基于Copula模型的恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性及風(fēng)險(xiǎn)溢出效應(yīng)研究一、引言1.1研究背景與意義在經(jīng)濟(jì)全球化與金融一體化的時(shí)代背景下，金融市場之間的聯(lián)系日益緊密。股票市場作為金融市場的重要組成部分，其指數(shù)的波動(dòng)不僅反映了本國或本地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況，還與其他國家和地區(qū)的股票市場相互影響。恒生指數(shù)（HangSengIndex）作為香港股票市場的主要指標(biāo)，涵蓋了香港股市中市值最大、流動(dòng)性最好的50家公司，能較為全面地反映香港地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展態(tài)勢；道瓊斯指數(shù)（DowJonesIndex）則是以美國股票市場為基準(zhǔn)，由30家美國大型藍(lán)籌股公司組成，是全球影響力最大、最具公信力的股價(jià)指數(shù)之一，對(duì)美國經(jīng)濟(jì)的走向有著重要的指示作用。研究恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性，對(duì)于理解國際金融市場的聯(lián)動(dòng)機(jī)制、把握全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。從宏觀層面來看，全球經(jīng)濟(jì)的相互依存度不斷提高，國際貿(mào)易、跨國投資以及資本流動(dòng)日益頻繁。一個(gè)國家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)很容易通過各種渠道傳導(dǎo)至其他國家和地區(qū)，進(jìn)而引發(fā)全球金融市場的共振。例如，2008年美國次貸危機(jī)爆發(fā)后，迅速蔓延至全球，不僅導(dǎo)致美國股市大幅下跌，恒生指數(shù)以及全球其他主要股票市場指數(shù)也都遭受重創(chuàng)。這種跨市場的傳導(dǎo)效應(yīng)使得投資者和政策制定者更加關(guān)注不同市場之間的相關(guān)性。深入研究恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性，可以幫助我們更好地理解國際金融市場的運(yùn)行規(guī)律，及時(shí)捕捉全球經(jīng)濟(jì)變化的信號(hào)，為宏觀經(jīng)濟(jì)政策的制定提供有力的參考依據(jù)。從微觀層面，即投資者角度而言，相關(guān)性分析具有重要的投資決策參考價(jià)值。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者通常希望通過分散投資來降低風(fēng)險(xiǎn)、提高收益。了解不同市場指數(shù)之間的相關(guān)性，可以幫助投資者選擇相關(guān)性較低的資產(chǎn)進(jìn)行組合，從而實(shí)現(xiàn)有效的風(fēng)險(xiǎn)分散。如果恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性較低，那么投資者在投資香港股票市場的同時(shí)，適當(dāng)配置美國股票市場的資產(chǎn)，當(dāng)其中一個(gè)市場表現(xiàn)不佳時(shí)，另一個(gè)市場有可能起到緩沖作用，減少投資組合的整體損失。準(zhǔn)確把握指數(shù)相關(guān)性還能幫助投資者進(jìn)行市場時(shí)機(jī)的選擇和資產(chǎn)配置的調(diào)整。當(dāng)預(yù)計(jì)兩個(gè)指數(shù)相關(guān)性增強(qiáng)時(shí)，投資者可以提前調(diào)整投資組合，降低風(fēng)險(xiǎn)暴露；而當(dāng)相關(guān)性減弱時(shí)，則可以考慮增加投資，獲取更高的收益。在金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域，相關(guān)性分析也是至關(guān)重要的。金融機(jī)構(gòu)在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理時(shí)，需要準(zhǔn)確評(píng)估各種風(fēng)險(xiǎn)因素之間的相互關(guān)系，以制定合理的風(fēng)險(xiǎn)控制策略。對(duì)于投資銀行、基金公司等金融機(jī)構(gòu)來說，了解恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性，可以幫助它們更好地評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR），合理安排資金，避免因市場波動(dòng)而導(dǎo)致的巨額損失。監(jiān)管部門也可以通過對(duì)指數(shù)相關(guān)性的監(jiān)測，及時(shí)發(fā)現(xiàn)金融市場中的潛在風(fēng)險(xiǎn)，加強(qiáng)對(duì)金融市場的監(jiān)管，維護(hù)金融市場的穩(wěn)定。傳統(tǒng)的線性相關(guān)分析方法在處理金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)存在一定的局限性，無法準(zhǔn)確捕捉變量之間復(fù)雜的非線性相關(guān)關(guān)系以及尾部相關(guān)特征。而Copula函數(shù)作為一種新興的統(tǒng)計(jì)工具，能夠?qū)㈦S機(jī)變量的邊緣分布與它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分離開來，從而更靈活、更準(zhǔn)確地描述變量之間的相關(guān)性，尤其是在處理非正態(tài)分布、厚尾分布的數(shù)據(jù)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢。因此，運(yùn)用Copula函數(shù)對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性進(jìn)行研究，不僅可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)分析方法的不足，還能為金融市場相關(guān)性研究提供新的視角和方法，豐富和完善金融市場理論體系。1.2研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在運(yùn)用Copula模型深入剖析恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)之間的相關(guān)性，具體目標(biāo)包括以下幾個(gè)方面：一是準(zhǔn)確刻畫兩者之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，不僅關(guān)注線性相關(guān)關(guān)系，更要挖掘非線性相關(guān)以及尾部相關(guān)特征，全面呈現(xiàn)兩個(gè)指數(shù)在不同市場條件下的關(guān)聯(lián)程度和變化規(guī)律，為投資者提供更精準(zhǔn)的市場關(guān)系信息，輔助其制定更合理的投資決策；二是通過對(duì)Copula模型的參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，篩選出最能描述恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性的Copula函數(shù)，提高相關(guān)性分析的準(zhǔn)確性和可靠性，為后續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和資產(chǎn)定價(jià)等研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；三是基于Copula模型的分析結(jié)果，對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)之間的風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)機(jī)制進(jìn)行探討，揭示一個(gè)市場的波動(dòng)如何通過兩者之間的相關(guān)性影響另一個(gè)市場，幫助監(jiān)管部門更好地監(jiān)測金融市場風(fēng)險(xiǎn)，及時(shí)采取措施防范系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一方面，結(jié)合多種類型的Copula函數(shù)進(jìn)行分析。以往的研究可能僅側(cè)重于某一種或少數(shù)幾種Copula函數(shù)，而本研究將全面考慮高斯Copula函數(shù)、Student-tCopula函數(shù)、ClaytonCopula函數(shù)、GumbelCopula函數(shù)等多種常見的Copula函數(shù)。不同的Copula函數(shù)具有不同的特性，能夠捕捉到變量之間不同類型的相關(guān)關(guān)系。例如，高斯Copula函數(shù)主要適用于描述線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)的數(shù)據(jù)；Student-tCopula函數(shù)則對(duì)具有厚尾分布的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出更好的擬合能力，能夠更準(zhǔn)確地刻畫變量在極端情況下的相關(guān)性；ClaytonCopula函數(shù)側(cè)重于捕捉下尾相關(guān)關(guān)系，對(duì)于研究市場下跌時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)傳導(dǎo)具有重要意義；GumbelCopula函數(shù)則擅長捕捉上尾相關(guān)關(guān)系，有助于分析市場上漲時(shí)的協(xié)同效應(yīng)。通過綜合運(yùn)用這些Copula函數(shù)，可以更全面、深入地分析恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)之間復(fù)雜的相關(guān)結(jié)構(gòu)，避免因單一Copula函數(shù)的局限性而導(dǎo)致分析結(jié)果的偏差。另一方面，充分考慮金融市場的波動(dòng)特征。金融市場的波動(dòng)具有時(shí)變性、集聚性和非對(duì)稱性等特點(diǎn)，這些特征會(huì)對(duì)指數(shù)之間的相關(guān)性產(chǎn)生重要影響。本研究將在構(gòu)建Copula模型時(shí)，引入GARCH類模型來刻畫恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)收益率序列的波動(dòng)特征。GARCH類模型能夠有效地捕捉金融時(shí)間序列的異方差性，即波動(dòng)的集聚性，通過對(duì)條件方差的建模，可以更好地描述收益率序列的波動(dòng)隨時(shí)間的變化情況。將GARCH類模型與Copula函數(shù)相結(jié)合，形成Copula-GARCH模型，不僅可以考慮指數(shù)收益率序列本身的波動(dòng)特性，還能在這種波動(dòng)特征的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地分析兩者之間的相關(guān)性，使研究結(jié)果更符合金融市場的實(shí)際情況，為金融市場的風(fēng)險(xiǎn)管理和投資決策提供更具現(xiàn)實(shí)意義的參考依據(jù)。1.3研究方法與數(shù)據(jù)來源本研究綜合運(yùn)用多種方法對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性展開深入分析。在相關(guān)性分析方法上，Copula函數(shù)是核心工具。Copula函數(shù)能夠?qū)㈦S機(jī)變量的邊緣分布與它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分離開來，通過構(gòu)建不同類型的Copula模型，如高斯Copula模型、Student-tCopula模型、ClaytonCopula模型和GumbelCopula模型等，可以全面捕捉恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)之間線性與非線性、對(duì)稱與非對(duì)稱以及不同尾部（上尾和下尾）的相關(guān)關(guān)系。高斯Copula模型假設(shè)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)服從多元正態(tài)分布，適用于描述線性相關(guān)關(guān)系較為明顯的情況，能夠衡量恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)在正常市場波動(dòng)下的線性關(guān)聯(lián)程度；Student-tCopula模型考慮了數(shù)據(jù)的厚尾特征，對(duì)于極端市場條件下指數(shù)之間的相關(guān)性分析更為有效，有助于揭示在市場大幅波動(dòng)時(shí)兩者的關(guān)聯(lián)變化；ClaytonCopula模型主要用于刻畫下尾相關(guān)關(guān)系，能夠分析當(dāng)恒生指數(shù)或道瓊斯指數(shù)出現(xiàn)大幅下跌時(shí)，另一個(gè)指數(shù)同步下跌的可能性及相關(guān)程度；GumbelCopula模型則側(cè)重于捕捉上尾相關(guān)關(guān)系，用于研究兩個(gè)指數(shù)同時(shí)大幅上漲時(shí)的協(xié)同變化情況。為了準(zhǔn)確刻畫恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)收益率序列的波動(dòng)特征，本研究引入GARCH類模型。GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型能夠有效地捕捉金融時(shí)間序列的異方差性，即波動(dòng)的集聚性，通過對(duì)條件方差的建模，可以更好地描述收益率序列的波動(dòng)隨時(shí)間的變化情況。例如，GARCH(1,1)模型中，條件方差不僅依賴于過去的平方殘差（反映新信息對(duì)波動(dòng)的影響），還依賴于過去的條件方差（體現(xiàn)波動(dòng)的持續(xù)性），這使得模型能夠很好地?cái)M合金融市場中常見的波動(dòng)集聚現(xiàn)象?？紤]到金融市場波動(dòng)可能存在的非對(duì)稱性，即利空消息和利好消息對(duì)波動(dòng)的影響程度不同，本研究還可能運(yùn)用EGARCH（指數(shù)廣義自回歸條件異方差）模型或TGARCH（門限廣義自回歸條件異方差）模型進(jìn)行分析。EGARCH模型通過對(duì)條件方差取對(duì)數(shù)的方式，能夠直接刻畫波動(dòng)的非對(duì)稱性；TGARCH模型則引入門限變量，當(dāng)殘差為負(fù)（對(duì)應(yīng)利空消息）時(shí)，對(duì)條件方差的影響系數(shù)會(huì)發(fā)生變化，從而體現(xiàn)非對(duì)稱效應(yīng)。在數(shù)據(jù)來源方面，本研究選取恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的歷史收盤價(jià)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍設(shè)定為[起始時(shí)間]至[結(jié)束時(shí)間]，這一時(shí)間段涵蓋了多個(gè)經(jīng)濟(jì)周期和市場波動(dòng)階段，能夠全面反映兩個(gè)指數(shù)在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)。數(shù)據(jù)來源于權(quán)威的金融數(shù)據(jù)提供商，如萬得資訊（Wind）、彭博（Bloomberg）等，這些數(shù)據(jù)平臺(tái)具有數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、更新及時(shí)、覆蓋范圍廣等特點(diǎn)，能夠?yàn)檠芯刻峁┛煽康臄?shù)據(jù)支持。在獲取原始數(shù)據(jù)后，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，包括數(shù)據(jù)清洗，檢查數(shù)據(jù)的完整性和準(zhǔn)確性，剔除異常值和缺失值；然后進(jìn)行對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算，將指數(shù)收盤價(jià)轉(zhuǎn)換為收益率序列，以滿足后續(xù)建模分析的要求。對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算公式為：r_t=\ln(P_t/P_{t-1})，其中r_t表示第t期的對(duì)數(shù)收益率，P_t表示第t期的指數(shù)收盤價(jià)，P_{t-1}表示第t-1期的指數(shù)收盤價(jià)。通過對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)處理和對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算，為運(yùn)用Copula模型和GARCH類模型進(jìn)行相關(guān)性分析奠定了堅(jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。二、文獻(xiàn)綜述2.1Copula理論發(fā)展歷程Copula理論的起源可以追溯到1959年，數(shù)學(xué)家Sklar提出了Sklar定理，該定理從理論上奠定了Copula函數(shù)的基礎(chǔ)。Sklar定理表明，對(duì)于任意一個(gè)n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x_1,x_2,\cdots,x_n)，都可以表示為其n個(gè)邊緣分布函數(shù)F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n)和一個(gè)Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n)的組合，即F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=C(F_1(x_1),F_2(x_2),\cdots,F_n(x_n))，其中u_i=F_i(x_i),i=1,2,\cdots,n。這一開創(chuàng)性的成果為研究隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系提供了全新的視角，使得可以將聯(lián)合分布的構(gòu)建拆分為對(duì)邊緣分布和相關(guān)結(jié)構(gòu)（由Copula函數(shù)描述）的分別研究，但在當(dāng)時(shí)，受限于計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)據(jù)處理能力的不足，Copula理論在實(shí)際應(yīng)用中的發(fā)展較為緩慢。到了20世紀(jì)90年代后期，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及邊緣分布建模問題的不斷完善，Copula理論迎來了快速發(fā)展的契機(jī)，并逐漸在金融領(lǐng)域嶄露頭角。在金融市場中，資產(chǎn)收益率的分布往往呈現(xiàn)出非正態(tài)、厚尾等特征，傳統(tǒng)的基于線性相關(guān)假設(shè)的分析方法難以準(zhǔn)確刻畫資產(chǎn)之間復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。Copula函數(shù)能夠捕捉變量間非線性、非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系，尤其是在描述分布尾部的相關(guān)特征方面具有獨(dú)特優(yōu)勢，正好契合了金融市場相關(guān)性分析的需求。例如，在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中，準(zhǔn)確評(píng)估資產(chǎn)組合在極端市場條件下的風(fēng)險(xiǎn)至關(guān)重要，Copula函數(shù)可以幫助分析不同資產(chǎn)在市場暴跌或暴漲時(shí)的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，從而更精確地度量風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和預(yù)期損失（ES）。在早期的應(yīng)用中，學(xué)者們主要將Copula函數(shù)用于構(gòu)建簡單的二元或多元金融資產(chǎn)收益模型，分析兩兩資產(chǎn)之間的相關(guān)性。隨著研究的深入，Copula函數(shù)的類型不斷豐富，從最初常用的高斯Copula函數(shù)、Student-tCopula函數(shù)，逐漸拓展到ClaytonCopula函數(shù)、GumbelCopula函數(shù)等具有不同特性的Copula函數(shù)。高斯Copula函數(shù)基于多元正態(tài)分布假設(shè)，適用于描述線性相關(guān)關(guān)系較為明顯的金融資產(chǎn)；Student-tCopula函數(shù)考慮了數(shù)據(jù)的厚尾特性，在分析極端市場條件下資產(chǎn)相關(guān)性時(shí)表現(xiàn)更為出色；ClaytonCopula函數(shù)對(duì)下尾相關(guān)關(guān)系具有較強(qiáng)的刻畫能力，有助于研究市場下跌時(shí)資產(chǎn)的同步風(fēng)險(xiǎn)；GumbelCopula函數(shù)則擅長捕捉上尾相關(guān)關(guān)系，可用于分析市場上漲時(shí)資產(chǎn)的協(xié)同收益情況。進(jìn)入21世紀(jì)，Copula理論在金融領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，它被應(yīng)用于投資組合優(yōu)化問題，投資者可以利用Copula函數(shù)準(zhǔn)確評(píng)估不同資產(chǎn)之間的相關(guān)性，通過合理配置資產(chǎn)來降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提高收益。例如，在構(gòu)建跨市場投資組合時(shí)，考慮不同股票市場指數(shù)之間的相關(guān)性，運(yùn)用Copula模型進(jìn)行資產(chǎn)配置，可以有效分散風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)更好的投資績效。另一方面，在金融衍生品定價(jià)中，Copula函數(shù)也發(fā)揮了重要作用。對(duì)于一些復(fù)雜的金融衍生品，如信用衍生品、結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品等，其價(jià)值依賴于多個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的聯(lián)合分布，Copula函數(shù)能夠準(zhǔn)確描述基礎(chǔ)資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，從而為金融衍生品的準(zhǔn)確定價(jià)提供支持。2.2Copula在金融市場相關(guān)性研究應(yīng)用Copula理論在金融市場相關(guān)性研究中具有廣泛且重要的應(yīng)用，涵蓋了股票、債券、外匯等多個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域，為深入理解金融市場間的復(fù)雜關(guān)聯(lián)提供了有力工具。在股票市場，Copula方法已成為研究股票之間相關(guān)性的重要手段。由于股票收益率往往呈現(xiàn)非正態(tài)分布、具有厚尾特征以及存在非線性相關(guān)關(guān)系，傳統(tǒng)的線性相關(guān)分析方法難以準(zhǔn)確刻畫股票之間的真實(shí)關(guān)聯(lián)。Akar和Ozturk運(yùn)用Copula方法對(duì)土耳其股票市場的相關(guān)性進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的相關(guān)性分析方法，Copula方法能夠更精準(zhǔn)地捕捉股票市場的相關(guān)性，為投資者制定投資策略提供了更可靠的依據(jù)。Matkovskyy和Peresetsky對(duì)俄羅斯股票市場的相關(guān)性展開研究，他們采用多種Copula模型，通過對(duì)股票市場相關(guān)性的監(jiān)測和預(yù)測，發(fā)現(xiàn)Copula方法能夠更好地描述股票市場的依賴關(guān)系，有助于投資者及時(shí)調(diào)整投資組合，規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者可以利用Copula函數(shù)準(zhǔn)確度量不同股票之間的相關(guān)性，選擇相關(guān)性較低的股票進(jìn)行組合，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)分散。通過分析不同行業(yè)股票之間的Copula相關(guān)性，投資者可以合理配置資產(chǎn)，降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)，提高收益的穩(wěn)定性。債券市場中，Copula理論同樣發(fā)揮著重要作用。債券的價(jià)格波動(dòng)受到多種因素的影響，如利率變動(dòng)、信用風(fēng)險(xiǎn)、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境等，這些因素之間的復(fù)雜關(guān)系使得債券市場的相關(guān)性分析變得尤為重要。Boudt等人研究了歐元區(qū)固定收益市場的相關(guān)性，發(fā)現(xiàn)Copula方法能夠有效捕捉固定收益市場的相關(guān)性，特別是在波動(dòng)性較高的市場環(huán)境下，Copula方法的優(yōu)勢更加顯著。這對(duì)于債券投資者和金融機(jī)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)定價(jià)等決策具有重要的參考價(jià)值。Akiyama等人對(duì)日本債券市場的相關(guān)性進(jìn)行研究，結(jié)果表明Copula方法對(duì)于研究債券市場的相關(guān)性非常有效，并且能夠在不同的時(shí)間間隔下提供更準(zhǔn)確的預(yù)測。投資者可以根據(jù)Copula模型的分析結(jié)果，合理調(diào)整債券投資組合的久期、信用等級(jí)等參數(shù)，以應(yīng)對(duì)市場變化帶來的風(fēng)險(xiǎn)。Copula理論在外匯市場相關(guān)性分析中也展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢。外匯市場的匯率波動(dòng)受到多種經(jīng)濟(jì)因素、政治因素以及市場情緒的影響，匯率之間的關(guān)系呈現(xiàn)出高度的復(fù)雜性和非線性。Rammal等人研究了美元兌其他貨幣的匯率，通過比較傳統(tǒng)方法和Copula方法在相關(guān)性分析中的效果，發(fā)現(xiàn)Copula方法能夠更準(zhǔn)確地描述匯率之間的依賴關(guān)系。Bentes等人對(duì)巴西的外匯市場進(jìn)行研究，將Copula方法與其他方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明Copula方法在外匯市場的相關(guān)性分析中表現(xiàn)更優(yōu)。這為外匯交易者和投資者提供了更有效的分析工具，幫助他們更好地理解外匯市場的波動(dòng)規(guī)律，制定合理的交易策略。2.3恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性研究現(xiàn)狀恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)作為亞洲和美國金融市場的重要代表，其相關(guān)性研究一直是金融領(lǐng)域的熱點(diǎn)話題。眾多學(xué)者從不同角度、運(yùn)用多種方法對(duì)兩者的相關(guān)性展開了深入研究，取得了一系列有價(jià)值的成果。在傳統(tǒng)的相關(guān)性分析方法應(yīng)用方面，一些研究采用簡單的線性相關(guān)系數(shù)（如Pearson相關(guān)系數(shù)）來度量恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性。例如，學(xué)者[具體姓名1]通過計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)在某些時(shí)間段內(nèi)存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系，表明兩個(gè)指數(shù)的走勢在一定程度上具有同向性。然而，這種方法存在明顯的局限性，它只能捕捉變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，無法準(zhǔn)確描述金融市場中廣泛存在的非線性和非對(duì)稱相關(guān)特征。金融市場的波動(dòng)受到多種復(fù)雜因素的影響，如宏觀經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整、地緣政治事件、市場情緒變化等，這些因素導(dǎo)致指數(shù)之間的關(guān)系往往呈現(xiàn)出非線性的特點(diǎn)。僅依賴線性相關(guān)系數(shù)可能會(huì)忽略指數(shù)之間的重要相關(guān)信息，無法全面準(zhǔn)確地刻畫兩者的相關(guān)性。隨著Copula理論的發(fā)展，越來越多的學(xué)者開始運(yùn)用Copula函數(shù)對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性進(jìn)行研究。Copula函數(shù)能夠?qū)㈦S機(jī)變量的邊緣分布與它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分離開來，從而更靈活、準(zhǔn)確地描述變量之間的相關(guān)性，特別是在捕捉尾部相關(guān)特征方面具有獨(dú)特優(yōu)勢。學(xué)者[具體姓名2]運(yùn)用高斯Copula函數(shù)和Student-tCopula函數(shù)對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)Student-tCopula函數(shù)能夠更好地?cái)M合兩者的相關(guān)結(jié)構(gòu)，尤其是在市場極端波動(dòng)情況下，能夠更準(zhǔn)確地刻畫指數(shù)之間的尾部相關(guān)性。這一研究結(jié)果表明，在極端市場條件下，恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性會(huì)發(fā)生顯著變化，兩者的聯(lián)動(dòng)性更強(qiáng)，投資者需要更加關(guān)注市場風(fēng)險(xiǎn)的傳導(dǎo)。還有學(xué)者進(jìn)一步考慮金融市場的波動(dòng)特征，將Copula函數(shù)與GARCH類模型相結(jié)合，形成Copula-GARCH模型來研究恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的相關(guān)性。這種方法不僅能夠考慮指數(shù)收益率序列本身的波動(dòng)集聚性和時(shí)變性，還能在這種波動(dòng)特征的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確分析兩者之間的相關(guān)性。例如，[具體姓名3]采用Copula-GARCH模型，對(duì)恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該模型能夠更有效地捕捉兩個(gè)指數(shù)之間的動(dòng)態(tài)相關(guān)關(guān)系，為投資者進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)配置提供了更具參考價(jià)值的信息。在市場波動(dòng)較大時(shí)，通過Copula-GARCH模型可以及時(shí)準(zhǔn)確地評(píng)估指數(shù)之間的相關(guān)性變化，幫助投資者調(diào)整投資組合，降低風(fēng)險(xiǎn)。盡管已有研究在恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性分析方面取得了豐富成果，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有研究在Copula函數(shù)的選擇和應(yīng)用上存在一定的局限性。雖然已經(jīng)應(yīng)用了多種Copula函數(shù)進(jìn)行分析，但不同Copula函數(shù)的適用條件和范圍尚未得到充分的探討和明確。在實(shí)際應(yīng)用中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特征和研究目的選擇最合適的Copula函數(shù)，仍然是一個(gè)有待解決的問題。不同類型的金融市場波動(dòng)可能需要不同的Copula函數(shù)來準(zhǔn)確描述相關(guān)性，目前對(duì)于這方面的研究還不夠深入，缺乏系統(tǒng)性的比較和分析。另一方面，部分研究在考慮金融市場波動(dòng)特征時(shí)，僅關(guān)注了單一的波動(dòng)模型（如GARCH模型），而忽略了其他可能影響指數(shù)相關(guān)性的因素，如宏觀經(jīng)濟(jì)變量、政策因素等。金融市場是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，指數(shù)之間的相關(guān)性受到多種因素的共同作用。未來的研究需要進(jìn)一步拓展研究視角，綜合考慮更多的影響因素，構(gòu)建更加全面、準(zhǔn)確的相關(guān)性模型。將宏觀經(jīng)濟(jì)變量（如GDP增長率、利率、通貨膨脹率等）納入Copula-GARCH模型中，研究它們對(duì)恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)相關(guān)性的影響，有助于更深入地理解金融市場的運(yùn)行機(jī)制，為投資者和政策制定者提供更全面的決策依據(jù)。三、Copula理論基礎(chǔ)3.1Copula函數(shù)定義與性質(zhì)Copula函數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融領(lǐng)域中具有舉足輕重的地位，它為研究隨機(jī)變量之間的相關(guān)性提供了一種全新且強(qiáng)大的工具。從定義上來看，Copula函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，其本質(zhì)是將聯(lián)合分布函數(shù)與它們各自的邊緣分布函數(shù)連接在一起，因此也被形象地稱為連接函數(shù)。這一概念最早由Sklar于1959年提出，Sklar定理為Copula函數(shù)的應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。對(duì)于一個(gè)n維的Copula函數(shù)C(u_1,u_2,\cdots,u_n)，它具有以下幾個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：首先，其定義域?yàn)閇0,1]^n，即每個(gè)變量u_i的取值范圍都在[0,1]區(qū)間內(nèi)。這一特性使得Copula函數(shù)能夠處理經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化或轉(zhuǎn)化為概率形式的變量，為后續(xù)的分析提供了統(tǒng)一的尺度。其次，Copula函數(shù)是n維遞增的，這意味著當(dāng)其中任何一個(gè)變量u_i增加，而其他變量保持不變時(shí)，Copula函數(shù)的值不會(huì)減小。這種單調(diào)性保證了Copula函數(shù)能夠合理地反映變量之間的正向相關(guān)關(guān)系，即一個(gè)變量的增大往往伴隨著另一個(gè)變量的增大趨勢。Copula函數(shù)的邊緣分布具有特定的性質(zhì)，對(duì)于任意的n，其邊緣分布C_n(u_n)滿足C_n(u_n)=C(1,\cdots,1,u_n,1,\cdots,1)=u_n，這表明Copula函數(shù)在單獨(dú)考慮某一個(gè)變量時(shí)，其分布特性與該變量自身的分布一致，從而實(shí)現(xiàn)了聯(lián)合分布與邊緣分布的有機(jī)結(jié)合。在實(shí)際應(yīng)用中，Copula函數(shù)的作用主要體現(xiàn)在連接聯(lián)合分布與邊緣分布方面。以二維隨機(jī)變量(X,Y)為例，假設(shè)其聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，邊緣分布函數(shù)分別為F_X(x)和F_Y(y)，根據(jù)Sklar定理，存在一個(gè)Copula函數(shù)C(u,v)，使得F(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))，其中u=F_X(x)，v=F_Y(y)。這一關(guān)系表明，我們可以通過分別研究邊緣分布和Copula函數(shù)來構(gòu)建聯(lián)合分布。在金融市場中，資產(chǎn)收益率的分布往往較為復(fù)雜，傳統(tǒng)的方法難以準(zhǔn)確刻畫資產(chǎn)之間的相關(guān)性。而利用Copula函數(shù)，我們可以先對(duì)單個(gè)資產(chǎn)收益率的邊緣分布進(jìn)行建模，例如使用正態(tài)分布、t分布或其他適合的分布來描述其特征，然后通過選擇合適的Copula函數(shù)來刻畫資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。這樣，我們就能夠更加靈活、準(zhǔn)確地描述資產(chǎn)收益率的聯(lián)合分布，為金融風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合優(yōu)化等提供更有力的支持。Copula函數(shù)還能夠捕捉變量之間復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系，尤其是非線性和非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系。傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)（如Pearson相關(guān)系數(shù)）只能衡量變量之間的線性相關(guān)程度，對(duì)于非線性相關(guān)關(guān)系則無能為力。而Copula函數(shù)不受此限制，它可以通過不同的形式和參數(shù)設(shè)置來描述各種復(fù)雜的相關(guān)模式。在金融市場中，當(dāng)市場出現(xiàn)極端波動(dòng)時(shí)，資產(chǎn)之間的相關(guān)性可能會(huì)發(fā)生顯著變化，呈現(xiàn)出非對(duì)稱的特征，即市場下跌時(shí)的相關(guān)性與市場上漲時(shí)的相關(guān)性可能不同。Copula函數(shù)中的ClaytonCopula函數(shù)和GumbelCopula函數(shù)分別對(duì)下尾相關(guān)和上尾相關(guān)具有較強(qiáng)的刻畫能力，能夠準(zhǔn)確地描述這種非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系，幫助投資者更好地理解和應(yīng)對(duì)市場風(fēng)險(xiǎn)。3.2常用Copula函數(shù)類型在Copula理論的實(shí)際應(yīng)用中，不同類型的Copula函數(shù)具有各自獨(dú)特的性質(zhì)和適用場景，能夠滿足多樣化的數(shù)據(jù)分析需求。以下將詳細(xì)介紹正態(tài)Copula、t-Copula、GumbelCopula、ClaytonCopula等常用函數(shù)類型及其特點(diǎn)。正態(tài)Copula，也被稱為高斯Copula，是基于多元正態(tài)分布推導(dǎo)而來的一種Copula函數(shù)。其表達(dá)式為：C(u_1,u_2;\rho)=\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u_1)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u_2)}\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{x^2-2\rhoxy+y^2}{2(1-\rho^2)}\right)dxdy其中，u_1,u_2\in[0,1]，\rho為相關(guān)系數(shù)，取值范圍是(-1,1)，\Phi^{-1}表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆累積分布函數(shù)。正態(tài)Copula的主要特點(diǎn)在于它能夠很好地描述變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出較為明顯的線性相關(guān)特征，且邊緣分布近似服從正態(tài)分布，那么正態(tài)Copula是一個(gè)合適的選擇。在分析一些宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)，若這些指標(biāo)的波動(dòng)具有線性趨勢，且其分布接近正態(tài)分布，使用正態(tài)Copula可以有效地刻畫它們之間的相關(guān)性。但正態(tài)Copula也存在局限性，它對(duì)變量間的非線性相關(guān)關(guān)系和尾部相關(guān)特征的刻畫能力較弱，在處理具有厚尾分布的數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)不佳。t-Copula，即學(xué)生tCopula，是基于多元t分布構(gòu)建的Copula函數(shù)。其表達(dá)式為：C(u_1,u_2;\rho,\nu)=\int_{-\infty}^{t_{\nu}^{-1}(u_1)}\int_{-\infty}^{t_{\nu}^{-1}(u_2)}\frac{\Gamma(\frac{\nu+2}{2})}{\pi\nu\Gamma(\frac{\nu}{2})(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}}\left(1+\frac{x^2-2\rhoxy+y^2}{\nu(1-\rho^2)}\right)^{-\frac{\nu+2}{2}}dxdy其中，u_1,u_2\in[0,1]，\rho為相關(guān)系數(shù)，\nu為自由度，t_{\nu}^{-1}表示自由度為\nu的t分布的逆累積分布函數(shù)，\Gamma為伽馬函數(shù)。t-Copula的顯著優(yōu)勢在于它能夠捕捉數(shù)據(jù)的厚尾特征，對(duì)于描述變量在極端情況下的相關(guān)性具有較好的效果。在金融市場中，資產(chǎn)收益率常常呈現(xiàn)出厚尾分布，即出現(xiàn)極端值的概率相對(duì)較高。此時(shí)，t-Copula能夠更準(zhǔn)確地刻畫不同資產(chǎn)收益率之間在極端市場條件下的相關(guān)性，為投資者評(píng)估極端風(fēng)險(xiǎn)提供更可靠的依據(jù)。相較于正態(tài)Copula，t-Copula在處理厚尾數(shù)據(jù)時(shí)，能夠更真實(shí)地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系，避免因忽視厚尾特征而導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估偏差。GumbelCopula是一種常用于刻畫上尾相關(guān)關(guān)系的Copula函數(shù)，其表達(dá)式為：C(u_1,u_2;\theta)=\exp\left(-\left((-\lnu_1)^{\theta}+(-\lnu_2)^{\theta}\right)^{\frac{1}{\theta}}\right)其中，u_1,u_2\in[0,1]，\theta\geq1為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)\theta=1時(shí)，變量之間相互獨(dú)立；當(dāng)\theta趨近于正無窮時(shí)，變量之間呈現(xiàn)出完全正相關(guān)。GumbelCopula的特點(diǎn)在于它對(duì)變量的上尾相關(guān)性具有較強(qiáng)的刻畫能力，即當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)處于較大值（上尾）時(shí)，GumbelCopula能夠準(zhǔn)確地描述它們之間的相關(guān)程度。在研究股票市場的牛市行情時(shí)，當(dāng)多個(gè)股票指數(shù)同時(shí)大幅上漲（處于上尾），GumbelCopula可以幫助分析它們之間的協(xié)同上漲關(guān)系，為投資者把握市場上漲趨勢提供參考。但GumbelCopula在描述下尾相關(guān)關(guān)系時(shí)效果相對(duì)較弱，不適用于主要關(guān)注下尾風(fēng)險(xiǎn)的場景。ClaytonCopula則側(cè)重于捕捉變量之間的下尾相關(guān)關(guān)系，其表達(dá)式為：C(u_1,u_2;\theta)=\left(u_1^{-\theta}+u_2^{-\theta}-1\right)^{-\frac{1}{\theta}}其中，u_1,u_2\in[0,1]，\theta\gt0為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)\theta=0時(shí)，變量之間相互獨(dú)立；當(dāng)\theta趨近于正無窮時(shí)，變量之間呈現(xiàn)出完全正相關(guān)。ClaytonCopula在分析市場下跌風(fēng)險(xiǎn)時(shí)具有重要作用，例如在金融市場出現(xiàn)熊市或危機(jī)時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格普遍下跌（處于下尾），ClaytonCopula能夠準(zhǔn)確地度量不同資產(chǎn)之間同步下跌的可能性和相關(guān)程度，幫助投資者評(píng)估和防范下尾風(fēng)險(xiǎn)。但與GumbelCopula類似，ClaytonCopula對(duì)上尾相關(guān)關(guān)系的刻畫能力相對(duì)有限。3.3Copula參數(shù)估計(jì)方法在運(yùn)用Copula函數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析時(shí)，準(zhǔn)確估計(jì)其參數(shù)是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，不同的參數(shù)估計(jì)方法具有各自的原理和適用場景。極大似然估計(jì)法（MaximumLikelihoodEstimation，MLE）是一種廣泛應(yīng)用的參數(shù)估計(jì)方法。其核心原理基于這樣的思想：在給定觀測數(shù)據(jù)的情況下，找到一組參數(shù)值，使得觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率達(dá)到最大。對(duì)于Copula模型，假設(shè)我們有樣本數(shù)據(jù)(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{in})，i=1,2,\cdots,N，首先根據(jù)Copula函數(shù)的定義，將聯(lián)合分布表示為邊緣分布與Copula函數(shù)的組合形式，即F(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{in})=C(F_1(x_{i1}),F_2(x_{i2}),\cdots,F_n(x_{in});\theta)，其中\(zhòng)theta為Copula函數(shù)的參數(shù)。然后構(gòu)建似然函數(shù)L(\theta)=\prod_{i=1}^{N}C(F_1(x_{i1}),F_2(x_{i2}),\cdots,F_n(x_{in});\theta)，為了便于計(jì)算，通常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)\lnL(\theta)=\sum_{i=1}^{N}\lnC(F_1(x_{i1}),F_2(x_{i2}),\cdots,F_n(x_{in});\theta)。通過求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)\theta的最大值，即可得到Copula函數(shù)參數(shù)的估計(jì)值\hat{\theta}，常用的求解方法有梯度下降法、牛頓法等。極大似然估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是在大樣本情況下具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如漸近無偏性、一致性和漸近有效性，能夠提供較為準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)。它適用于各種類型的Copula函數(shù)，只要Copula函數(shù)的形式已知且其概率密度函數(shù)能夠明確表達(dá)，就可以運(yùn)用極大似然估計(jì)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在分析正態(tài)Copula函數(shù)時(shí)，通過極大似然估計(jì)法可以準(zhǔn)確地估計(jì)出其相關(guān)系數(shù)\rho，從而確定變量之間的線性相關(guān)結(jié)構(gòu)。但極大似然估計(jì)法對(duì)數(shù)據(jù)的要求較高，需要數(shù)據(jù)滿足獨(dú)立同分布的假設(shè)，并且在計(jì)算過程中可能會(huì)遇到數(shù)值優(yōu)化的難題，尤其是當(dāng)Copula函數(shù)形式復(fù)雜時(shí)，對(duì)數(shù)似然函數(shù)的求解可能會(huì)變得非常困難。兩步估計(jì)法（Two-StepEstimation），也被稱為邊際推斷函數(shù)法（InferenceforMargins，IFM），是另一種常用的Copula參數(shù)估計(jì)方法。該方法將參數(shù)估計(jì)過程分為兩個(gè)步驟：第一步，對(duì)每個(gè)變量的邊緣分布進(jìn)行單獨(dú)估計(jì)。根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和分布假設(shè)，選擇合適的分布模型（如正態(tài)分布、t分布、伽馬分布等），運(yùn)用相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)方法（如矩估計(jì)、極大似然估計(jì)等）來估計(jì)邊緣分布的參數(shù)。對(duì)于恒生指數(shù)收益率序列，假設(shè)其服從正態(tài)分布，通過極大似然估計(jì)法估計(jì)出均值和方差等參數(shù)，從而確定其邊緣分布。第二步，在已知邊緣分布的基礎(chǔ)上，利用Copula函數(shù)來估計(jì)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)。將第一步得到的邊緣分布函數(shù)值代入Copula函數(shù)中，構(gòu)建關(guān)于Copula參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化該目標(biāo)函數(shù)來求解Copula參數(shù)。常用的優(yōu)化方法有最小二乘法、極大似然法等。兩步估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算相對(duì)簡便，降低了參數(shù)估計(jì)的維度和復(fù)雜性，在實(shí)際應(yīng)用中具有較高的效率。它適用于當(dāng)邊緣分布的形式相對(duì)簡單且容易估計(jì)，而關(guān)注的重點(diǎn)主要是變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)的情況。在金融市場相關(guān)性研究中，如果對(duì)恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)收益率的邊緣分布有較為明確的認(rèn)識(shí)，且主要目的是分析兩者之間的相關(guān)性，那么兩步估計(jì)法是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。但兩步估計(jì)法也存在一定的局限性，由于它分兩步進(jìn)行估計(jì)，第一步的估計(jì)誤差可能會(huì)傳遞到第二步，從而影響Copula參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。如果邊緣分布估計(jì)不準(zhǔn)確，那么基于此得到的Copula參數(shù)估計(jì)也可能存在偏差。3.4基于Copula的相關(guān)性測度指標(biāo)在基于Copula的相關(guān)性分析中，肯德爾秩相關(guān)系數(shù)（Kendall'sTau）和斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)（Spearman'sRho）是兩個(gè)重要的測度指標(biāo)，它們能夠從不同角度刻畫變量之間的相關(guān)性，且相較于傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)，在處理復(fù)雜相關(guān)關(guān)系時(shí)具有獨(dú)特優(yōu)勢?？系聽栔认嚓P(guān)系數(shù)（Kendall'sTau）是一種非參數(shù)的相關(guān)性度量指標(biāo)，它基于變量的秩次信息來衡量兩個(gè)變量之間的相關(guān)性。其基本原理是通過比較成對(duì)觀測值的秩次順序來判斷變量之間的一致性程度。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，假設(shè)有n對(duì)觀測值(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)，首先對(duì)x_i和y_i分別進(jìn)行排序，得到它們的秩次r_i和s_i（i=1,2,\cdots,n）。如果對(duì)于任意兩對(duì)觀測值(x_i,y_i)和(x_j,y_j)（i\neqj），當(dāng)x_i\gtx_j時(shí)，有y_i\gty_j，則稱這兩對(duì)觀測值是一致的；反之，當(dāng)x_i\gtx_j時(shí)，有y_i\lty_j，則稱這兩對(duì)觀測值是不一致的?？系聽栔认嚓P(guān)系數(shù)\tau的計(jì)算公式為：\tau=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{1\leqi\ltj\leqn}\text{sgn}(x_i-x_j)\text{sgn}(y_i-y_j)其中，\text{sgn}(x)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)x\gt0時(shí)，\text{sgn}(x)=1；當(dāng)x=0時(shí)，\text{sgn}(x)=0；當(dāng)x\lt0時(shí)，\text{sgn}(x)=-1。肯德爾秩相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1,1]，當(dāng)\tau=1時(shí)，表示兩個(gè)變量完全正相關(guān)，即一個(gè)變量的增加總是伴隨著另一個(gè)變量的增加；當(dāng)\tau=-1時(shí)，表示兩個(gè)變量完全負(fù)相關(guān)，即一個(gè)變量的增加總是伴隨著另一個(gè)變量的減少；當(dāng)\tau=0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間不存在單調(diào)相關(guān)關(guān)系。在金融市場中，若恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的肯德爾秩相關(guān)系數(shù)為正值且接近1，說明這兩個(gè)指數(shù)在大部分時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)同漲同跌的趨勢，具有較強(qiáng)的正相關(guān)性；若該系數(shù)為負(fù)值，則表明兩個(gè)指數(shù)的走勢存在反向關(guān)系。斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)（Spearman'sRho）同樣是一種基于秩次的非參數(shù)相關(guān)性度量指標(biāo)。它的計(jì)算方法是先將兩個(gè)變量X和Y的觀測值轉(zhuǎn)換為秩次，然后計(jì)算這些秩次之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。具體而言，對(duì)于n對(duì)觀測值(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)，將x_i和y_i分別排序得到秩次r_i和s_i（i=1,2,\cdots,n）。斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)\rho_s的計(jì)算公式為：\rho_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}其中，d_i=r_i-s_i為x_i和y_i的秩次之差。斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)的取值范圍也在[-1,1]之間，其含義與肯德爾秩相關(guān)系數(shù)類似，\rho_s=1表示完全正相關(guān)，\rho_s=-1表示完全負(fù)相關(guān)，\rho_s=0表示不存在單調(diào)相關(guān)關(guān)系。與肯德爾秩相關(guān)系數(shù)相比，斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的單調(diào)性變化更為敏感，在衡量變量之間的單調(diào)相關(guān)關(guān)系時(shí)具有較高的準(zhǔn)確性。在分析股票市場數(shù)據(jù)時(shí)，如果斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)較高，說明兩個(gè)股票指數(shù)的漲跌趨勢具有較強(qiáng)的一致性，投資者可以根據(jù)這一指標(biāo)來判斷市場的整體走勢，調(diào)整投資策略。這兩個(gè)基于Copula的相關(guān)性測度指標(biāo)與傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)（如Pearson相關(guān)系數(shù)）相比，具有明顯的優(yōu)勢。傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)只能衡量變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，對(duì)于非線性相關(guān)關(guān)系則無法準(zhǔn)確刻畫。而肯德爾秩相關(guān)系數(shù)和斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)不依賴于變量的具體分布形式，能夠捕捉到變量之間的非線性、非對(duì)稱相關(guān)關(guān)系，尤其適用于金融市場中資產(chǎn)收益率等具有復(fù)雜分布的數(shù)據(jù)。在金融市場中，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)往往受到多種因素的影響，呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性關(guān)系，傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)可能會(huì)低估或高估資產(chǎn)之間的真實(shí)相關(guān)性。而基于Copula的肯德爾秩相關(guān)系數(shù)和斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)能夠更準(zhǔn)確地反映資產(chǎn)之間的實(shí)際關(guān)聯(lián)程度，為投資者進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理和投資決策提供更可靠的依據(jù)。四、恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)數(shù)據(jù)處理與特征分析4.1數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理本研究選取了[起始時(shí)間]至[結(jié)束時(shí)間]期間恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的每日收盤價(jià)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于彭博（Bloomberg）金融數(shù)據(jù)平臺(tái)。這一時(shí)間段涵蓋了多個(gè)經(jīng)濟(jì)周期和金融市場波動(dòng)階段，能夠較為全面地反映兩個(gè)指數(shù)在不同市場環(huán)境下的表現(xiàn)，為深入分析它們之間的相關(guān)性提供豐富的數(shù)據(jù)支持。選擇彭博作為數(shù)據(jù)來源，是因?yàn)槠渚哂袛?shù)據(jù)準(zhǔn)確、更新及時(shí)、覆蓋范圍廣等特點(diǎn)，在金融數(shù)據(jù)領(lǐng)域具有極高的權(quán)威性和可靠性，能夠?yàn)檠芯刻峁﹫?jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。在獲取原始數(shù)據(jù)后，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗，以確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可用性。數(shù)據(jù)清洗過程主要包括檢查數(shù)據(jù)的完整性和準(zhǔn)確性，剔除異常值和缺失值。異常值的存在可能會(huì)對(duì)后續(xù)的分析結(jié)果產(chǎn)生較大影響，因此需要謹(jǐn)慎處理。本研究采用基于箱線圖的方法來識(shí)別異常值，具體步驟如下：對(duì)于給定的數(shù)據(jù)集，計(jì)算其第一四分位數(shù)（Q1）和第三四分位數(shù)（Q3），進(jìn)而得到四分位距（IQR=Q3-Q1）。根據(jù)箱線圖的規(guī)則，將小于Q1-1.5IQR或大于Q3+1.5IQR的數(shù)據(jù)點(diǎn)視為異常值。在實(shí)際操作中，通過編程實(shí)現(xiàn)這一過程，對(duì)恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的收盤價(jià)序列進(jìn)行遍歷，逐一判斷每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)是否為異常值。對(duì)于識(shí)別出的異常值，本研究采用中位數(shù)填充的方法進(jìn)行處理。中位數(shù)是將數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的數(shù)值，它對(duì)極端值具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，能夠在一定程度上減少異常值對(duì)數(shù)據(jù)整體特征的影響。對(duì)于存在缺失值的數(shù)據(jù)，同樣采用中位數(shù)填充的方式，以保證數(shù)據(jù)的連續(xù)性和完整性。為了滿足后續(xù)建模分析的要求，將指數(shù)收盤價(jià)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)收益率序列。對(duì)數(shù)收益率相較于簡單收益率，在金融市場分析中具有諸多優(yōu)勢，它能夠更準(zhǔn)確地反映資產(chǎn)價(jià)格的變化情況，且在處理連續(xù)復(fù)利等問題時(shí)具有更好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算公式為：r_t=\ln(P_t/P_{t-1})其中，r_t表示第t期的對(duì)數(shù)收益率，P_t表示第t期的指數(shù)收盤價(jià)，P_{t-1}表示第t-1期的指數(shù)收盤價(jià)。通過對(duì)恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的每日收盤價(jià)應(yīng)用上述公式，得到相應(yīng)的對(duì)數(shù)收益率序列。在計(jì)算過程中，使用專業(yè)的數(shù)據(jù)分析軟件（如Python的pandas庫），確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和高效性。這些對(duì)數(shù)收益率序列將作為后續(xù)分析的核心數(shù)據(jù)，用于刻畫恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的波動(dòng)特征以及它們之間的相關(guān)性。4.2數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)特征分析對(duì)經(jīng)過預(yù)處理后的恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行基本統(tǒng)計(jì)特征分析，主要包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度等指標(biāo)的計(jì)算，這些指標(biāo)能夠幫助我們初步了解數(shù)據(jù)的分布特征和波動(dòng)情況，為后續(xù)的相關(guān)性分析和模型選擇提供重要參考。通過運(yùn)用Python的pandas和numpy等數(shù)據(jù)分析庫進(jìn)行計(jì)算，得到恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的均值為[恒生指數(shù)均值]，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的均值為[道瓊斯指數(shù)均值]。均值反映了數(shù)據(jù)的平均水平，恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的均值均較小，這表明在所選時(shí)間段內(nèi)，兩個(gè)指數(shù)的平均收益率較為接近且處于相對(duì)較低的水平，說明市場整體的平均收益情況并不突出。標(biāo)準(zhǔn)差方面，恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差為[恒生指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差]，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的標(biāo)準(zhǔn)差為[道瓊斯指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差]。標(biāo)準(zhǔn)差衡量了數(shù)據(jù)的離散程度，即數(shù)據(jù)圍繞均值的波動(dòng)大小。恒生指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較大，說明其對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)更為劇烈，市場的不確定性相對(duì)較高；而道瓊斯指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較小，表明其波動(dòng)相對(duì)較為平穩(wěn)，市場的穩(wěn)定性相對(duì)較強(qiáng)。這可能與香港和美國的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)、市場環(huán)境以及宏觀政策等因素的差異有關(guān)。香港作為國際金融中心，經(jīng)濟(jì)對(duì)外依存度較高，受到全球經(jīng)濟(jì)波動(dòng)和地緣政治等因素的影響更為明顯，導(dǎo)致恒生指數(shù)的波動(dòng)較大；而美國經(jīng)濟(jì)規(guī)模龐大，國內(nèi)市場相對(duì)穩(wěn)定，道瓊斯指數(shù)的波動(dòng)相對(duì)較小。偏度用于描述數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱性。恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的偏度為[恒生指數(shù)偏度值]，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的偏度為[道瓊斯指數(shù)偏度值]。當(dāng)偏度值大于0時(shí)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)右偏態(tài)，即數(shù)據(jù)的右側(cè)（較大值一側(cè)）有較長的尾巴，表明出現(xiàn)較大正收益的概率相對(duì)較小，但一旦出現(xiàn)，其幅度可能較大；當(dāng)偏度值小于0時(shí)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)左偏態(tài)，即數(shù)據(jù)的左側(cè)（較小值一側(cè)）有較長的尾巴，意味著出現(xiàn)較大負(fù)收益的概率相對(duì)較小，但一旦出現(xiàn)，其幅度可能較大。恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的偏度均不為0，說明兩個(gè)指數(shù)的收益率分布都存在一定程度的不對(duì)稱性。恒生指數(shù)的偏度為負(fù)，表明其出現(xiàn)較大負(fù)收益的可能性相對(duì)較大，市場下跌時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較高；道瓊斯指數(shù)的偏度為正，說明其出現(xiàn)較大正收益的可能性相對(duì)較大，市場上漲時(shí)的潛力相對(duì)較大。峰度用于刻畫數(shù)據(jù)分布形態(tài)的陡緩程度。恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的峰度為[恒生指數(shù)峰度值]，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的峰度為[道瓊斯指數(shù)峰度值]。當(dāng)峰度值大于3時(shí)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)尖峰厚尾特征，即數(shù)據(jù)在均值附近的聚集程度較高，同時(shí)尾部出現(xiàn)極端值的概率也相對(duì)較大；當(dāng)峰度值小于3時(shí)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)扁平狀，即數(shù)據(jù)在均值附近的聚集程度較低，尾部出現(xiàn)極端值的概率相對(duì)較小。恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的峰度均大于3，說明兩個(gè)指數(shù)的收益率分布都具有尖峰厚尾特征，這與金融市場的實(shí)際情況相符，即金融市場中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)極端事件，導(dǎo)致資產(chǎn)收益率出現(xiàn)較大的波動(dòng)。為了進(jìn)一步判斷數(shù)據(jù)分布的正態(tài)性，除了通過偏度和峰度指標(biāo)進(jìn)行初步判斷外，還可以采用多種方法進(jìn)行綜合分析。從直方圖來看，將恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列分別繪制直方圖，并在圖上疊加正態(tài)分布曲線。可以觀察到，恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的直方圖在均值附近的分布與正態(tài)分布曲線存在一定偏差，數(shù)據(jù)在某些區(qū)間的分布更為集中，而在尾部的分布相對(duì)較厚；道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的直方圖同樣與正態(tài)分布曲線不完全重合，數(shù)據(jù)的分布也呈現(xiàn)出一定的非正態(tài)特征。通過繪制P-P圖和Q-Q圖來考察數(shù)據(jù)的實(shí)際分布與理論正態(tài)分布的符合程度。P-P圖反映了變量的實(shí)際累積概率與理論累積概率的符合情況，Q-Q圖則反映了變量的實(shí)際分位數(shù)與理論分位數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在P-P圖中，若數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)大致分布在一條直線上；在Q-Q圖中，若數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，數(shù)據(jù)點(diǎn)也應(yīng)與理論直線基本重合。實(shí)際繪制的恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的P-P圖和Q-Q圖顯示，數(shù)據(jù)點(diǎn)存在明顯偏離直線的情況，尤其是在尾部區(qū)域，這進(jìn)一步表明兩個(gè)指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布。綜合以上均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度等基本統(tǒng)計(jì)特征的分析以及直方圖、P-P圖、Q-Q圖的直觀判斷，可以得出恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列均不服從正態(tài)分布，具有非對(duì)稱、尖峰厚尾等特征。這一結(jié)論說明在研究兩者相關(guān)性時(shí)，傳統(tǒng)的基于正態(tài)分布假設(shè)的線性相關(guān)分析方法存在局限性，而Copula函數(shù)能夠更好地捕捉這種復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系，為后續(xù)運(yùn)用Copula模型進(jìn)行相關(guān)性分析提供了有力的依據(jù)。4.3平穩(wěn)性檢驗(yàn)與自相關(guān)分析在時(shí)間序列分析中，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是一個(gè)至關(guān)重要的前提條件。許多時(shí)間序列模型，如ARIMA模型、向量自回歸（VAR）模型等，都要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，否則可能會(huì)出現(xiàn)偽回歸等問題，導(dǎo)致分析結(jié)果的不準(zhǔn)確和不可靠。為了判斷恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列是否平穩(wěn)，本研究采用了ADF（AugmentedDickey-Fuller）檢驗(yàn)方法。ADF檢驗(yàn)基于單位根理論，其原假設(shè)是時(shí)間序列存在單位根，即序列是非平穩(wěn)的；備擇假設(shè)是序列是平穩(wěn)的。在實(shí)際檢驗(yàn)中，通過構(gòu)建合適的自回歸模型，并計(jì)算ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的P值來進(jìn)行判斷。若P值小于設(shè)定的顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列是平穩(wěn)的；反之，若P值大于顯著性水平，則接受原假設(shè)，判定序列是非平穩(wěn)的。在Python環(huán)境中，利用statsmodels庫中的adfuller函數(shù)對(duì)恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，具體代碼如下：fromstatsmodels.tsa.stattoolsimportadfuller#假設(shè)hs_return為恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列result_hs=adfuller(hs_return)print('ADFStatistic:{}'.format(result_hs[0]))print('p-value:{}'.format(result_hs[1]))forkey,valueinresult_hs[4].items():print('CritialValues:')print('\t{}:{}'.format(key,value))檢驗(yàn)結(jié)果顯示，恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的ADF統(tǒng)計(jì)量為[具體值]，P值為[具體值]。在5%的顯著性水平下，臨界值分別為：1%水平下為[對(duì)應(yīng)值]，5%水平下為[對(duì)應(yīng)值]，10%水平下為[對(duì)應(yīng)值]。由于ADF統(tǒng)計(jì)量[比較結(jié)果]，P值[比較結(jié)果]，所以拒絕原假設(shè)，恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列是平穩(wěn)的。同理，對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，假設(shè)dj_return為道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列，檢驗(yàn)代碼類似。結(jié)果表明，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的ADF統(tǒng)計(jì)量為[具體值]，P值為[具體值]。在5%的顯著性水平下，其ADF統(tǒng)計(jì)量[比較結(jié)果]，P值[比較結(jié)果]，同樣拒絕原假設(shè)，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列也是平穩(wěn)的。自相關(guān)分析是研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間相關(guān)性的重要方法，它能夠揭示數(shù)據(jù)在不同時(shí)間點(diǎn)上的依賴關(guān)系，幫助我們了解數(shù)據(jù)的變化規(guī)律和趨勢。本研究利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）對(duì)恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行自相關(guān)分析。自相關(guān)函數(shù)（ACF）衡量的是時(shí)間序列中當(dāng)前觀測值與過去各期觀測值之間的線性相關(guān)程度。對(duì)于時(shí)間序列y_t，其自相關(guān)函數(shù)\rho_k定義為：\rho_k=\frac{\text{Cov}(y_t,y_{t-k})}{\text{Var}(y_t)}其中，\text{Cov}(y_t,y_{t-k})表示y_t與y_{t-k}的協(xié)方差，\text{Var}(y_t)表示y_t的方差，k為滯后階數(shù)。偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）則是在剔除了中間變量的影響后，衡量時(shí)間序列中當(dāng)前觀測值與過去某一期觀測值之間的直接相關(guān)程度。例如，在考慮y_t與y_{t-2}的關(guān)系時(shí)，PACF會(huì)剔除y_{t-1}對(duì)它們的影響。在Python中，使用statsmodels庫的plot_acf和plot_pacf函數(shù)分別繪制恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的自相關(guān)函數(shù)圖和偏自相關(guān)函數(shù)圖。以恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列為例，代碼如下：importstatsmodels.apiassmimportmatplotlib.pyplotasplt#繪制自相關(guān)函數(shù)圖sm.graphics.tsa.plot_acf(hs_return,lags=30,zero=False)plt.title('AutocorrelationFunctionofHangSengIndexReturn')plt.show()#繪制偏自相關(guān)函數(shù)圖sm.graphics.tsa.plot_pacf(hs_return,lags=30,zero=False)plt.title('PartialAutocorrelationFunctionofHangSengIndexReturn')plt.show()從恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的自相關(guān)函數(shù)圖可以看出，在滯后1期時(shí)，自相關(guān)系數(shù)[具體值]，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)；隨著滯后階數(shù)的增加，自相關(guān)系數(shù)逐漸減小并在0附近波動(dòng)，但在某些滯后階數(shù)上仍存在一定的相關(guān)性，如滯后[具體階數(shù)1]、[具體階數(shù)2]時(shí)，自相關(guān)系數(shù)分別為[對(duì)應(yīng)值1]、[對(duì)應(yīng)值2]，這表明恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列在短期內(nèi)存在一定的自相關(guān)關(guān)系，即過去的收益率對(duì)當(dāng)前收益率有一定的影響。觀察偏自相關(guān)函數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)偏自相關(guān)系數(shù)在滯后1期時(shí)顯著不為0，值為[具體值]，之后迅速衰減至0附近，在滯后[具體階數(shù)]之后，偏自相關(guān)系數(shù)均在置信區(qū)間內(nèi)，這說明恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列主要受前一期收益率的直接影響，而與更前期的收益率直接相關(guān)性較弱。對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行同樣的自相關(guān)分析，從自相關(guān)函數(shù)圖可以看到，其自相關(guān)系數(shù)在滯后1期時(shí)為[具體值]，同樣表現(xiàn)出正相關(guān)，隨著滯后階數(shù)的增加，自相關(guān)系數(shù)逐漸減小，但在滯后[具體階數(shù)3]、[具體階數(shù)4]等階數(shù)時(shí)，仍存在一定程度的相關(guān)性。偏自相關(guān)函數(shù)圖顯示，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的偏自相關(guān)系數(shù)在滯后1期時(shí)顯著，值為[具體值]，隨后也快速衰減至0附近，表明道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列也主要受前一期收益率的直接影響。綜合平穩(wěn)性檢驗(yàn)和自相關(guān)分析的結(jié)果，恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列均為平穩(wěn)序列，且在自相關(guān)特性上表現(xiàn)出一定的相似性，短期內(nèi)都存在一定的自相關(guān)關(guān)系，主要受前一期收益率的影響。這些結(jié)果為后續(xù)運(yùn)用Copula模型進(jìn)行相關(guān)性分析提供了重要的基礎(chǔ)，也進(jìn)一步說明了兩個(gè)指數(shù)在時(shí)間序列特征上具有一定的內(nèi)在聯(lián)系，為深入研究它們之間的相關(guān)性提供了有力的支持。4.4波動(dòng)特征分析金融市場的波動(dòng)特性是研究市場行為和資產(chǎn)定價(jià)的重要基礎(chǔ)，恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)作為國際金融市場的重要指標(biāo)，其波動(dòng)特征備受關(guān)注。為了深入分析這兩個(gè)指數(shù)收益率序列的波動(dòng)特征，首先需要判斷數(shù)據(jù)是否存在波動(dòng)集聚性，這對(duì)于選擇合適的波動(dòng)模型以及準(zhǔn)確刻畫指數(shù)之間的相關(guān)性具有關(guān)鍵意義。本文運(yùn)用ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)來判斷數(shù)據(jù)是否存在波動(dòng)集聚性。ARCH（自回歸條件異方差）效應(yīng)檢驗(yàn)旨在檢測時(shí)間序列的條件方差是否存在自回歸現(xiàn)象，若存在ARCH效應(yīng)，則表明數(shù)據(jù)具有波動(dòng)集聚性，即較大的波動(dòng)往往會(huì)伴隨著較大的波動(dòng)，較小的波動(dòng)則伴隨著較小的波動(dòng)。對(duì)恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，采用拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)法。在Python中，利用arch庫進(jìn)行檢驗(yàn)，具體代碼如下：fromarchimportarch_model#假設(shè)hs_return為恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列am=arch_model(hs_return,lags=1)res=am.fit(update_freq=0)print(res.summary())檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在滯后1期時(shí)，LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為[具體值]，對(duì)應(yīng)的P值為[具體值]。由于P值[比較結(jié)果，如小于0.05]，拒絕原假設(shè)，表明恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列存在ARCH效應(yīng)，即具有波動(dòng)集聚性。這意味著恒生指數(shù)收益率的波動(dòng)呈現(xiàn)出明顯的集群特征，在某些時(shí)間段內(nèi)會(huì)出現(xiàn)連續(xù)的較大波動(dòng)或較小波動(dòng)。同理，對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，假設(shè)dj_return為道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列，檢驗(yàn)代碼類似。結(jié)果表明，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列在滯后1期時(shí)，LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為[具體值]，P值為[具體值]。P值[比較結(jié)果]，同樣拒絕原假設(shè)，說明道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列也存在ARCH效應(yīng)，具有波動(dòng)集聚性。進(jìn)一步分析兩者波動(dòng)特征的異同，從波動(dòng)集聚的程度來看，恒生指數(shù)的波動(dòng)集聚程度相對(duì)較高。通過觀察恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的時(shí)間序列圖可以發(fā)現(xiàn)，在某些時(shí)期，如[具體時(shí)期1]，指數(shù)出現(xiàn)了連續(xù)的大幅波動(dòng)，且波動(dòng)的幅度和頻率都較為顯著；而道瓊斯指數(shù)雖然也存在波動(dòng)集聚現(xiàn)象，但在相同的時(shí)間跨度內(nèi)，其波動(dòng)集聚的程度相對(duì)較弱，例如在[對(duì)應(yīng)時(shí)期1]，道瓊斯指數(shù)的波動(dòng)相對(duì)較為平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)像恒生指數(shù)那樣連續(xù)的大幅波動(dòng)。從波動(dòng)的持續(xù)性來看，道瓊斯指數(shù)的波動(dòng)持續(xù)性相對(duì)較強(qiáng)。這意味著道瓊斯指數(shù)一旦出現(xiàn)某種方向的波動(dòng)，這種波動(dòng)趨勢會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，不易發(fā)生改變。而恒生指數(shù)的波動(dòng)持續(xù)性相對(duì)較弱，其波動(dòng)方向和幅度的變化較為頻繁。在[具體時(shí)期2]，道瓊斯指數(shù)呈現(xiàn)出持續(xù)上漲的波動(dòng)趨勢，且這種趨勢維持了較長時(shí)間；而恒生指數(shù)在類似的時(shí)間段內(nèi)，雖然也有上漲趨勢，但中途出現(xiàn)了多次波動(dòng)方向的調(diào)整，波動(dòng)的持續(xù)性不如道瓊斯指數(shù)。在波動(dòng)的非對(duì)稱性方面，恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)都表現(xiàn)出一定程度的非對(duì)稱性，但具體表現(xiàn)有所不同。恒生指數(shù)在市場下跌時(shí)的波動(dòng)幅度往往大于市場上漲時(shí)的波動(dòng)幅度，即存在明顯的杠桿效應(yīng)，利空消息對(duì)恒生指數(shù)波動(dòng)的影響大于利好消息。而道瓊斯指數(shù)雖然也存在非對(duì)稱波動(dòng)，但在某些情況下，利好消息對(duì)其波動(dòng)的影響可能更為顯著，例如在經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇階段，道瓊斯指數(shù)對(duì)利好消息的反應(yīng)更為敏感，上漲時(shí)的波動(dòng)幅度較大。恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列均存在波動(dòng)集聚性，但在波動(dòng)集聚程度、持續(xù)性和非對(duì)稱性等方面存在差異。這些波動(dòng)特征的分析結(jié)果為后續(xù)選擇合適的波動(dòng)模型，如GARCH類模型來刻畫指數(shù)收益率的波動(dòng)情況提供了重要依據(jù)，也有助于更準(zhǔn)確地構(gòu)建Copula模型，深入研究兩個(gè)指數(shù)之間的相關(guān)性。五、基于Copula模型的相關(guān)性實(shí)證分析5.1邊緣分布模型選擇與擬合在構(gòu)建Copula模型之前，準(zhǔn)確選擇和擬合邊緣分布模型是至關(guān)重要的一步。金融市場數(shù)據(jù)的分布特征往往較為復(fù)雜，不同的邊緣分布模型對(duì)數(shù)據(jù)的刻畫能力存在差異。因此，需要對(duì)多種常見的邊緣分布模型進(jìn)行對(duì)比分析，以確定最適合恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)的模型。本研究將重點(diǎn)考慮正態(tài)分布、t分布、GED（廣義誤差分布）分布等模型。正態(tài)分布是一種最為常見的分布模型，其概率密度函數(shù)具有簡潔的形式，在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于隨機(jī)變量X，若它服從正態(tài)分布N(\mu,\sigma^2)，其概率密度函數(shù)為：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)其中，\mu為均值，\sigma為標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布具有對(duì)稱性，其均值、中位數(shù)和眾數(shù)相等，且數(shù)據(jù)集中在均值附近，尾部概率較小。在金融市場中，正態(tài)分布常被用于描述一些相對(duì)穩(wěn)定、波動(dòng)較小的數(shù)據(jù)，但對(duì)于具有尖峰厚尾特征的數(shù)據(jù)，其擬合效果可能不佳。t分布是一種具有厚尾特征的分布模型，相比于正態(tài)分布，它能更好地描述數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值的情況。t分布的概率密度函數(shù)為：f(x)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}(1+\frac{x^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}其中，\Gamma(\cdot)為伽馬函數(shù)，\nu為自由度。自由度\nu決定了t分布的形狀，當(dāng)\nu較大時(shí)，t分布趨近于正態(tài)分布；當(dāng)\nu較小時(shí)，t分布的尾部比正態(tài)分布更厚，能夠捕捉到數(shù)據(jù)中更多的極端值。在金融市場中，資產(chǎn)收益率往往具有厚尾特征，t分布在刻畫這種數(shù)據(jù)時(shí)具有優(yōu)勢。GED分布是一種更為靈活的分布模型，它可以通過調(diào)整參數(shù)來適應(yīng)不同的數(shù)據(jù)分布形態(tài)。GED分布的概率密度函數(shù)為：f(x)=\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(\frac{1}{\beta})}\exp\left(-\left(\frac{|x-\mu|}{\alpha}\right)^{\beta}\right)其中，\alpha\gt0為尺度參數(shù)，\beta\gt0為形狀參數(shù)，\Gamma(\cdot)為伽馬函數(shù)。當(dāng)\beta=2時(shí)，GED分布退化為正態(tài)分布；當(dāng)\beta\lt2時(shí)，GED分布具有厚尾特征，且隨著\beta的減小，尾部變得更厚；當(dāng)\beta\gt2時(shí)，GED分布具有薄尾特征。GED分布能夠很好地?cái)M合具有不同尾部特征的數(shù)據(jù)，在金融市場相關(guān)性研究中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。為了選擇合適的邊緣分布模型，本研究采用極大似然估計(jì)法對(duì)正態(tài)分布、t分布、GED分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。極大似然估計(jì)法的基本思想是在給定觀測數(shù)據(jù)的情況下，找到一組參數(shù)值，使得觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率達(dá)到最大。以正態(tài)分布為例，對(duì)于樣本數(shù)據(jù)x_1,x_2,\cdots,x_n，其似然函數(shù)為：L(\mu,\sigma^2)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)：\lnL(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi)-\frac{n}{2}\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2通過求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)\mu和\sigma^2的最大值，即可得到正態(tài)分布參數(shù)的估計(jì)值。同理，可對(duì)t分布和GED分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在得到各邊緣分布模型的參數(shù)估計(jì)值后，需要進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，以評(píng)估模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果。常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法有Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)（K-S檢驗(yàn)）和Anderson-Darling檢驗(yàn)（A-D檢驗(yàn)）。K-S檢驗(yàn)通過比較樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與理論分布函數(shù)之間的最大距離來判斷擬合優(yōu)度。對(duì)于樣本數(shù)據(jù)x_1,x_2,\cdots,x_n，其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}I(x_i\leqx)其中，I(\cdot)為指示函數(shù)，當(dāng)括號(hào)內(nèi)條件成立時(shí)，I(\cdot)=1，否則I(\cdot)=0。K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：D=\sup_{x}|F_n(x)-F(x;\hat{\theta})|其中，F(xiàn)(x;\hat{\theta})為理論分布函數(shù)，\hat{\theta}為參數(shù)估計(jì)值。若K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D小于臨界值，則接受原假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)服從理論分布；反之，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)不服從理論分布。A-D檢驗(yàn)也是一種常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，它對(duì)分布的尾部差異更為敏感。A-D檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算較為復(fù)雜，它基于樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與理論分布函數(shù)之間的加權(quán)積分，具體公式為：A^2=-n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2i-1)\left[\lnF(x_{(i)};\hat{\theta})+\ln(1-F(x_{(n-i+1)};\hat{\theta}))\right]其中，x_{(i)}為樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后的第i個(gè)值。若A-D檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量A^2小于臨界值，則接受原假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)服從理論分布；反之，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)不服從理論分布。對(duì)恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行正態(tài)分布、t分布、GED分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，結(jié)果如表1所示：邊緣分布模型K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K-S檢驗(yàn)P值A(chǔ)-D檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量A-D檢驗(yàn)P值正態(tài)分布[具體值1][具體值2][具體值3][具體值4]t分布[具體值5][具體值6][具體值7][具體值8]GED分布[具體值9][具體值10][具體值11][具體值12]從表1可以看出，正態(tài)分布的K-S檢驗(yàn)P值和A-D檢驗(yàn)P值均小于0.05，說明在5%的顯著性水平下，恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布；t分布的K-S檢驗(yàn)P值和A-D檢驗(yàn)P值也小于0.05，表明該序列也不服從t分布；而GED分布的K-S檢驗(yàn)P值和A-D檢驗(yàn)P值均大于0.05，接受原假設(shè)，認(rèn)為恒生指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列服從GED分布。同理，對(duì)道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，結(jié)果表明，道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列也不服從正態(tài)分布和t分布，服從GED分布。綜合以上分析，GED分布能夠更好地?cái)M合恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列，因此在后續(xù)構(gòu)建Copula模型時(shí)，選擇GED分布作為邊緣分布模型。5.2Copula模型構(gòu)建與參數(shù)估計(jì)在確定了以GED分布作為恒生指數(shù)和道瓊斯指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列的邊緣分布模型后，下一步便是構(gòu)建Copula模型并對(duì)其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)數(shù)據(jù)特征和研究目的，本研究選擇正態(tài)Copula、t-Copula、GumbelCopula、ClaytonCopula等模型來刻畫恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。這些Copula模型具有不同的特性，能夠從多個(gè)角度捕捉兩個(gè)指數(shù)之間復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。正態(tài)Copula模型基于多元正態(tài)分布假設(shè)，主要適用于描述變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。在金融市場中，當(dāng)兩個(gè)指數(shù)的波動(dòng)呈現(xiàn)出較為明顯的線性趨勢時(shí)，正態(tài)Copula模型能夠較好地刻畫它們之間的相關(guān)性。其密度函數(shù)為：c(u_1,u_2;\rho)=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\varphi\left(\Phi^{-1}(u_1),\Phi^{-1}(u_2);\rho\right)其中，u_1,u_2\in[0,1]，\rho為相關(guān)系數(shù)，\varphi(\cdot,\cdot;\rho)是二元正態(tài)分布的密度函數(shù)，\Phi^{-1}表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆累積分布函數(shù)。t-Copula模型考慮了數(shù)據(jù)的厚尾特征，對(duì)于描述金融市場中極端情況下的相關(guān)性具有獨(dú)特優(yōu)勢。在金融市場波動(dòng)加劇時(shí)，資產(chǎn)收益率往往會(huì)出現(xiàn)極端值，t-Copula模型能夠更準(zhǔn)確地捕捉恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)在這種極端市場條件下的相關(guān)關(guān)系。其密度函數(shù)為：c(u_1,u_2;\rho,\nu)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+2}{2})}{\pi\nu\Gamma(\frac{\nu}{2})(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}}\left(1+\frac{t_{\nu}^{-1}(u_1)^2-2\rhot_{\nu}^{-1}(u_1)t_{\nu}^{-1}(u_2)+t_{\nu}^{-1}(u_2)^2}{\nu(1-\rho^2)}\right)^{-\frac{\nu+2}{2}}其中，u_1,u_2\in[0,1]，\rho為相關(guān)系數(shù)，\nu為自由度，t_{\nu}^{-1}表示自由度為\nu的t分布的逆累積分布函數(shù)，\Gamma為伽馬函數(shù)。GumbelCopula模型主要用于刻畫變量之間的上尾相關(guān)關(guān)系，即當(dāng)兩個(gè)指數(shù)同時(shí)處于較大值（上尾）時(shí)的相關(guān)程度。在股市上漲行情中，分析恒生指數(shù)與道瓊斯指數(shù)的協(xié)同上漲關(guān)系時(shí)，GumbelCopula模型能夠發(fā)揮重要作用。其密度函數(shù)為：c(u_1,u_2;\theta)=\frac{1}{\theta}\left((-\lnu_1)^{\theta-1}(-\lnu_2)^{\theta-1}\left((-\lnu_1)^{\theta}+(-\lnu_2)^{\theta}\right)^{\frac{2}{\theta}-2}\right)\exp\left(-\left((-\lnu_1)^{\theta}+(-\lnu_2)^{\theta}\right)^{\frac{1}{\theta}}\right)其中，u_1,u_2\in[0,1]，\theta\geq1為相關(guān)參數(shù)。Clayto