相似三角形是初中幾何的核心內(nèi)容之一，它不僅是全等三角形知識(shí)的延伸與拓展，更是解決復(fù)雜幾何問(wèn)題、培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力的重要載體。掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，能幫助我們更深刻地理解圖形之間的關(guān)系，高效地解決與比例線段、面積計(jì)算、實(shí)際應(yīng)用相關(guān)的各類(lèi)問(wèn)題。本專(zhuān)題將通過(guò)知識(shí)梳理、例題精析與鞏固練習(xí)，幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握相似三角形的解題思路與技巧。一、知識(shí)梳理：相似三角形的“基石”在進(jìn)入解題之前，我們先來(lái)回顧一下相似三角形的基本概念和重要結(jié)論，這是解決一切相似問(wèn)題的前提。1.相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2.相似三角形的判定定理：*判定定理1（AA）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。*判定定理2（SAS）：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。*判定定理3（SSS）：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。*直角三角形相似的特殊判定：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。3.相似三角形的性質(zhì)定理：*相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。*相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。*相似三角形面積的比等于相似比的平方。二、例題精析：從基礎(chǔ)到進(jìn)階（一）基礎(chǔ)鞏固型例1：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=6，求EC的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥：本題考查的是“平行線分線段成比例定理”的推論，即“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”。因?yàn)镈E∥BC，所以可以直接得到AD/DB=AE/EC的比例關(guān)系。解答：∵DE∥BC∴AD/DB=AE/EC（平行線分線段成比例定理推論）∵AD=3，DB=2，AE=6∴3/2=6/EC解得：EC=(2×6)/3=4故EC的長(zhǎng)為4。反思：這類(lèi)題目相對(duì)直接，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段，并正確列出比例式。注意比例式中各項(xiàng)的對(duì)應(yīng)順序。（二）判定與性質(zhì)綜合型例2：已知：如圖，在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=3/2。若BC=9，求B'C'的長(zhǎng)；若△ABC的面積為18，求△A'B'C'的面積。思路點(diǎn)撥：本題先給出了一組對(duì)應(yīng)角相等（∠A=∠A'）和兩組對(duì)應(yīng)邊成比例（AB/A'B'=AC/A'C'=3/2），根據(jù)相似三角形的判定定理SAS，可以判定△ABC∽△A'B'C'。然后利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例（相似比為3/2），面積比等于相似比的平方（9/4）來(lái)求解。解答：∵在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'=3/2∴△ABC∽△A'B'C'（相似三角形判定定理2：SAS）∴BC/B'C'=AB/A'B'=3/2（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）∵BC=9∴9/B'C'=3/2解得：B'C'=(9×2)/3=6∵相似比為3/2∴S△ABC/S△A'B'C'=(3/2)2=9/4（相似三角形面積比等于相似比的平方）∵S△ABC=18∴18/S△A'B'C'=9/4解得：S△A'B'C'=(18×4)/9=8故B'C'的長(zhǎng)為6，△A'B'C'的面積為8。反思：在運(yùn)用判定定理時(shí)，要注意“夾角”相等的條件。在運(yùn)用性質(zhì)時(shí)，要區(qū)分是對(duì)應(yīng)邊的比、周長(zhǎng)的比，還是面積的比，面積比是相似比的平方，這是一個(gè)常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)。（三）構(gòu)造輔助線型例3：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連接CE，求S△BDE:S△CDE:S△ACE。思路點(diǎn)撥：題目要求三個(gè)三角形的面積比。已知AB=AC，說(shuō)明△ABC是等腰三角形。BD=2DC，給出了底邊BC上的線段比例關(guān)系。DE⊥AB，是一條高。直接求面積可能比較困難，考慮通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形或者利用等高三角形面積比等于底之比的性質(zhì)?？紤]到DE⊥AB，我們可以過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，這樣DE和CF就都垂直于AB，從而DE∥CF，得到△BDE∽△BCF。或者，連接AD，利用BD:DC=2:1，將△ABD與△ADC的面積關(guān)系先確定下來(lái)。這里我們嘗試后者，并結(jié)合前者。解答：連接AD。設(shè)點(diǎn)A到BC的距離為h，△ABC的面積為S。∵BD=2DC，∴BD/BC=2/3，DC/BC=1/3?！郤△ABD=(2/3)S，S△ADC=(1/3)S（等高三角形面積比等于底之比）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F?！逥E⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF?！唷鰾DE∽△BCF（AA，都有直角，且∠B公共）∴DE/CF=BD/BC=2/3。設(shè)S△BDE=x，S△ADE=y?！摺鰾DE和△ADE同高（DE），底分別為BE和AE?！鰾CE和△ACE同高（CF），底分別為BE和AE?！郤△BDE/S△ADE=BE/AE=x/y。S△BCE/S△ACE=BE/AE=(x+S△CDE)/S△ACE。又∵S△ABD=S△BDE+S△ADE=x+y=(2/3)S。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=y+S△CDE+S△ACE=(1/3)S。（此式稍復(fù)雜，換個(gè)角度）∵DE/CF=2/3，且△BDE和△BCE分別以DE和CF為高，同底BE?！郤△BDE/S△BCE=DE/CF=2/3。即x/(x+S△CDE)=2/3，解得3x=2x+2S△CDE，∴x=2S△CDE，即S△CDE=x/2。又∵△CDE和△BDE同高（點(diǎn)E到BC的距離），底分別為DC和BD。BD=2DC，∴S△BDE/S△CDE=BD/DC=2/1，即x/(x/2)=2/1，符合上述結(jié)論?，F(xiàn)在看△ACE和△ADE：S△ACE=(1/2)AE·CF，S△ADE=(1/2)AE·DE。∴S△ADE/S△ACE=DE/CF=2/3，即y/S△ACE=2/3，∴S△ACE=(3/2)y?！逽△ABD=x+y=(2/3)S。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=y+(x/2)+(3/2)y=y+(3/2)y+x/2=(5/2)y+x/2=(1/3)S。將x+y=(2/3)S變形為S=(3/2)(x+y)，代入上式：(5/2)y+x/2=(1/3)×(3/2)(x+y)=(1/2)(x+y)兩邊同乘2：5y+x=x+y→4y=0？這顯然不對(duì)，說(shuō)明前面設(shè)未知數(shù)和推導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了邏輯混亂。換一種更簡(jiǎn)潔的方法：設(shè)DC=a，則BD=2a，BC=3a。設(shè)AB=AC=b，∠B=∠ACB=θ。則DE=BD·sinθ=2asinθ。BE=BD·cosθ=2acosθ。AE=AB-BE=b-2acosθ。S△BDE=(1/2)·BE·DE=(1/2)·2acosθ·2asinθ=2a2sinθcosθ。S△CDE：以DC為底，點(diǎn)E到BC的距離為高h(yuǎn)_E。h_E=BE·sinθ=2acosθ·sinθ。S△CDE=(1/2)·DC·h_E=(1/2)·a·2acosθsinθ=a2sinθcosθ?！郤△BDE:S△CDE=2:1。S△ACE：以AE為底，高為AC·sinθ=bsinθ。S△ACE=(1/2)·AE·AC·sinθ=(1/2)(b-2acosθ)·bsinθ。S△ABE=S△BDE+S△ADE=(1/2)·AB·DE=(1/2)·b·2asinθ=absinθ。而S△ABE=S△BDE+S△ADE=2a2sinθcosθ+S△ADE=absinθ→S△ADE=absinθ-2a2sinθcosθ。S△ADC=(1/2)·DC·AB·sinθ（AB邊上的高可表示為AC·sinθ，但這里以DC為底，AB為另一條邊？不，更直接的是以DC為底，A到BC的高h(yuǎn)。）∵AB=AC=b，BC=3a，∴由余弦定理：cosθ=(a)/(b)（在Rt△中，底的一半是(3a/2)，高h(yuǎn)=√(b2-(9a2/4))，但可能不需要這么復(fù)雜）換個(gè)思路，設(shè)S△CDE=k，則S△BDE=2k。設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為h，則S△BDE=(1/2)·BD·h=(1/2)·2a·h=ah=2k→ah=2k→h=2k/a。S△CDE=(1/2)·a·h=(1/2)·a·(2k/a)=k，consistent。∵DE⊥AB，∴S△BDE=(1/2)·BE·DE=2k。S△ADE=(1/2)·AE·DE=m（設(shè)為m）。則(BE/AE)=(2k)/m→BE=(2k/m)AE。AB=BE+AE=AE(2k/m+1)。S△ABD=2k+m=(1/2)·BD·(A到BC的距離H)=(1/2)·2a·H=aH。S△ADC=(1/2)·a·H=(aH)/2=(2k+m)/2。S△ADC=S△ADE+S△CDE+S△ACE=m+k+S△ACE=(2k+m)/2→m+k+S△ACE=k+m/2→S△ACE=-k+m/2-m？這顯然不對(duì)，說(shuō)明我將△ADC的組成部分劃分錯(cuò)了。△ADC是由△ADE和△DEC以及△AEC組成的嗎？不，連接AD后，△ADC就是△ADC，點(diǎn)E在AB上，所以△ADC的面積與E無(wú)關(guān)。我之前錯(cuò)誤地引入了E到△ADC的劃分。正確的是：S△ADC=(1/3)S△ABC。S△ABC=S△ABE+S△CBE=(S△BDE+S△ADE)+(S△BDE+S△CDE)=(2k+m)+(2k+k)=2k+m+3k=5k+m。所以S△ADC=(1/3)(5k+m)=(2k+m)/2（因?yàn)镾△ABD=2k+m=(2/3)S△ABC=(2/3)(5k+m)）即(2/3)(5k+m)=2k+m→10k+2m=6k+3m→4k=m→m=4k。則S△ADE=m=4k。S△ACE=S△ADC-S△ADE-S△CDE？不，S△ADC=(1/2)·DC·H=(aH)/2=(2k+m)/2=(2k+4k)/2=3k。而S△ADC=S△AEC+S△DEC嗎？不是，因?yàn)镋不在AD上。S△AEC的面積應(yīng)該通過(guò)與其他三角形的關(guān)系來(lái)求。注意到△AEC和△BEC分別以AE和BE為底，同高CF。S△BEC=S△BDE+S△CDE=3k。S△AEC/S△BEC=AE/BE=m/2k=4k/2k=2/1。∴S△AEC=2S△BEC=2×3k=6k。∴S△BDE:S△CDE:S△ACE=2k:k:6k=2:1:6。反思：這道題綜合性較強(qiáng)，涉及到了等高（同高）三角形面積比、相似三角形的判定與性質(zhì)、比例線段的轉(zhuǎn)換等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。輔助線的添加（連接AD，作CF⊥AB）是解題的關(guān)鍵。在解題過(guò)程中，靈活設(shè)未知數(shù)，通過(guò)比例關(guān)系建立方程，逐步推導(dǎo)，是解決復(fù)雜面積比問(wèn)題的常用方法。要耐心細(xì)致，注意各三角形之間的包含關(guān)系和面積聯(lián)系。三、鞏固練習(xí)練習(xí)1：如圖，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD=DF=FB。若BC=12，則DE+FG的長(zhǎng)度為多少？練習(xí)2：已知△ABC∽△DEF，相似比為2:3，△ABC的周長(zhǎng)為16，面積為12，求△DEF的周長(zhǎng)和面積。練習(xí)3：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1單位/秒；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2單位/秒。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<4）。連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ與△ACB相似？練習(xí)4：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC。求證：AC2=AB·AD。四、總結(jié)與提升相似三角形的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在于理解“對(duì)應(yīng)”的含義——對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。在解決具體問(wèn)題時(shí)，我們要善于：1