專題08函數(shù)中的情景題與數(shù)學(xué)文化題一、單選題1．（2023屆福建省三明市高三三模）17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)（為素?cái)?shù)）型的數(shù)作了大量的研算，他在著作《物理數(shù)學(xué)隨感》中斷言：在的素?cái)?shù)中，當(dāng)，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，是素?cái)?shù)，其它都是合數(shù).除了和兩個(gè)數(shù)被后人證明不是素?cái)?shù)外，其余都已被證實(shí).人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在型素?cái)?shù)研究中所做的開創(chuàng)性工作，就把型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，記為.幾個(gè)年來，人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù)，由于這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們答為“數(shù)海明珠”.已知第7個(gè)梅森素?cái)?shù)，第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.62．（2023屆海南省高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷）天文學(xué)中常用“星等”來衡量天空中星體的明亮程度，一個(gè)望遠(yuǎn)鏡能看到的最暗的天體星等稱為這個(gè)望遠(yuǎn)鏡的“極限星等”．在一定條件下，望遠(yuǎn)鏡的極限星等M與其口徑D（即物鏡的直徑，單位：mm）近似滿足關(guān)系式，例如：口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為10.3．則口徑的望遠(yuǎn)鏡的極限星等約為（

）A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.33．（2023屆四川省綿陽市高三下學(xué)期3月月考）通過加強(qiáng)對(duì)野生動(dòng)物的棲息地保護(hù)和拯教繁育，某瀕危野生動(dòng)物的數(shù)量不斷增長，根據(jù)調(diào)查研究，該野生動(dòng)物的數(shù)量（t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動(dòng)物的最大數(shù)量.當(dāng)時(shí)，該野生動(dòng)物的瀕危程度降到較為安全的級(jí)別，此時(shí)約為（）（）A．9 B．10 C．11 D．124．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三下學(xué)期5月模擬）陜西榆林神木石峁遺址發(fā)現(xiàn)于1976，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)掘研究，已證實(shí)是中國已發(fā)現(xiàn)的龍山晚期到夏早期規(guī)模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對(duì)遺跡中發(fā)現(xiàn)的某具人婁骨骼化石進(jìn)行碳14測定年代，公式為：（其中為樣本距今年代，為現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，該人類骨骼碳14放射性豐度，則該骨骼化石距今的年份大約為（

）（附：，，）A．3353 B．3997 C．4125 D．43875．（2024屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期測試）隨著新一代人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和突破，以深度學(xué)習(xí)計(jì)算模式為主的AI算力需求呈指數(shù)級(jí)增長.現(xiàn)有一臺(tái)計(jì)算機(jī)每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，用它處理一段自然語言的翻譯，需要進(jìn)行次運(yùn)算，那么處理這段自然語言的翻譯所需時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒6．（2024屆江西省宜春市豐城市江西省豐城中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時(shí)，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．75 B．74 C．73 D．727．（2023屆浙江省金麗衢十二校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）提丟斯一波得定則，簡稱“波得定律”，是表示各行星與太陽平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長波得歸納成了一個(gè)如下經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽到地球的平均距離為1，若某行星的編號(hào)為n，則該行星到太陽的平均距離表示為，那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號(hào)12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實(shí)測值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．8．（2023屆上海市七寶中學(xué)高三5月第二次模擬）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是（

）

A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)9．（2023屆安徽省A10聯(lián)盟高三最后一卷）19世紀(jì)美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經(jīng)測定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且y隨時(shí)間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間t（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．5 B．7 C．9 D．1011．（2024屆陜西省渭南市富平中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國十大考古新發(fā)現(xiàn)終評(píng)項(xiàng)目．該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量N隨時(shí)間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）．經(jīng)過測定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來的倍，據(jù)此推測該石制品生產(chǎn)的時(shí)間距今約（

）．（參考數(shù)據(jù)：，）A．8037年 B．8138年 C．8237年 D．8337年12．（2024屆湖南省衡陽市第八中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)檢測）黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其定義為:時(shí)，.若數(shù)列，則下列結(jié)論:①的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；②；③；④；⑤.其中正確的是（

）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤【二、多選題13．（2024屆】湖南省長沙市高三上學(xué)期入學(xué)考試）濟(jì)南大明湖的湖邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為怠鏈線.如果建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，那么懸鏈線可以表示為函數(shù)，其中，則下列關(guān)于懸鏈線函數(shù)的性質(zhì)判斷正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．的單調(diào)遞減區(qū)間為 D．的最大值是14．（2024屆貴州省遵義市鳳岡縣第二中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念，例如，1等星的星等值為1，等星的星等值為.已知兩個(gè)天體的星等值，和它們對(duì)應(yīng)的亮度，滿足關(guān)系式，關(guān)于星等下列結(jié)論正確的是（

）A．星等值越小，星星就越亮B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍C．若星體甲與星體乙的星等值的差小于2.5，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于D．若星體甲與星體乙的星等值的差大于10，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于15．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過，且與互素（兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如.歐拉函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果是互素的正整數(shù)，那么.下列說法中正確的是（

）A．B．若為素?cái)?shù)，則C．若為奇數(shù)，則D．若，則16．麥克斯韋妖（Maxwell＇sdemon），是在物理學(xué)中假想的妖，能探測并控制單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)，于1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的．當(dāng)時(shí)麥克斯韋意識(shí)到自然界存在著與熵增加相拮抗的能量控制機(jī)制．但他無法清晰地說明這種機(jī)制．他只能詼諧地假定一種“妖”，能夠按照某種秩序和規(guī)則把作隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)的微粒分配到一定的相格里．麥克斯韋妖是耗散結(jié)構(gòu)的一個(gè)雛形．可以簡單的這樣描述，一個(gè)絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)向門上撞擊，“門”可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會(huì)比另外一格溫度高，可以利用此溫差，驅(qū)動(dòng)熱機(jī)做功．這是第二類永動(dòng)機(jī)的一個(gè)范例．而直到信息熵的發(fā)現(xiàn)后才推翻了麥克斯韋妖理論．設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1，2，…n，且（，2，…n），定義X的信息熵，則下列說法正確的有（

）A．n=1時(shí)B．n=2時(shí)，若，則與正相關(guān)C．若，，D．若n=2m，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…,m，且（j=1,2,…,m）則17．（2023屆河北省衡水中學(xué)高三第四次綜合素養(yǎng)測評(píng)）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)于，令，若存在正整數(shù)使得，且當(dāng)時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為的周期點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．若，則存在唯一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)；B．若，則存在周期為2的周期點(diǎn)；C．若，則不存在周期為3的周期點(diǎn)；D．若，則對(duì)任意正整數(shù)，都不是的周期為的周期點(diǎn).三、填空題18．（2023屆廣東省六校聯(lián)考）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）19．（2023屆江蘇省淮安市淮安區(qū)高三上學(xué)期期中）有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長為8.4cm．已知蠟燭長度l（cm）與燃燒時(shí)間t（min）可用直線方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)min．20．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象.若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，.據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量比初始累計(jì)繁殖數(shù)量增加倍所需要的時(shí)間為天.（，）21．阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)問題，并得到小