訓練34隨機事件的概率與古典概型一、單項選擇題1．(2023·桂林模擬)甲、乙兩人各進行1次射擊，如果兩人擊中目標的概率分別為0.8和0.4，則其中恰有1人擊中目標的概率是()A．0.32B．0.56C．0.44D．0.68答案B解析恰好有1人擊中，表示甲擊中乙沒有擊中或甲沒有擊中乙擊中，這兩個是互斥事件，根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式可得P＝0.8×0.6＋0.2×0.4＝0.56.2．(2023·泰州模擬)為了強化安全意識，某校擬在周一至周五的5天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的2天恰好是連續(xù)2天的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,5)答案A解析由題意，某校擬在周一至周五的5天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，可得樣本點的總數(shù)為n＝Ceq\o\al(2,5)＝10(個)，其中選擇的2天恰好為連續(xù)2天包括的樣本點的個數(shù)為m＝4，所以選擇的2天恰好是連續(xù)2天的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．飛沫傳播是呼吸系統(tǒng)疾病傳播的主要途徑，已知患者通過飛沫傳播被感染的概率為eq\f(2,3)，假設甲、乙兩患者是否通過飛沫傳播被感染相互獨立，則甲、乙兩患者至少有一人是通過飛沫傳播被感染的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(11,12)C.eq\f(3,4)D.eq\f(8,9)答案D解析∵患者通過飛沫傳播被感染的概率為eq\f(2,3)，∴患者不是通過飛沫傳播被感染的概率為eq\f(1,3)，∴甲、乙兩患者都不是通過飛沫傳播被感染的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，故甲、乙兩患者至少有一人是通過飛沫傳播被感染的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).4．(2023·新余模擬)據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會統(tǒng)計顯示，2022年我國新能源汽車持續(xù)爆發(fā)式增長，購買電動汽車的家庭越來越多．某學校為方便駕駛電動汽車的教職工充電，在停車場開展充電樁安裝試點．如圖，試點區(qū)域共有十個車位，安裝了三個充電樁，每個充電樁只能給其南北兩側車位中的一輛電動汽車充電．現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動汽車同時隨機停入試點區(qū)域(停車前所有車位都空置)，請問2輛電動汽車能同時充上電的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,5)D.eq\f(4,15)答案D解析記事件E＝“2輛電動汽車能同時充上電”，先從Bi，i∈{1,2,3,4,5,6}中任選一個車位給第一輛電動汽車，有Ceq\o\al(1,6)種選擇，再從不與第一輛電動汽車并列的剩余四個車位中找一個給第二輛電動汽車，有Ceq\o\al(1,4)種選擇，最后從剩余8個車位中隨機選取3個安排燃油車即可，所以P(E)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4)A\o\al(3,8),A\o\al(5,10))＝eq\f(4,15).二、多項選擇題5．已知事件A，B滿足P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，則下列結論正確的是()A．P(eq\x\to(A))＝0.8，P(eq\x\to(B))＝0.4B．如果B?A，那么P(A＋B)＝0.6C．如果A與B互斥，那么P(A＋B)＝0.8D．如果A與B相互獨立，那么P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝0.32答案BCD解析對于選項A，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝0.4，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝0.8，故選項A錯誤；對于選項B，如果B?A，那么P(A＋B)＝P(A)＝0.6，選項B正確；對于選項C，如果A與B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以選項C正確；對于選項D，如果A與B相互獨立，那么P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.4×0.8＝0.32，所以選項D正確．6．某次數(shù)學考試中有一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分”．已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是()A．甲同學僅隨機選一個選項，能得2分的概率是eq\f(1,2)B．乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是eq\f(1,6)C．丙同學隨機至少選擇一個選項，能得分的概率是eq\f(1,5)D．丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是eq\f(1,10)答案ABD解析對于A，甲同學僅隨機選一個選項，有A，B，C，D四種情況，能得2分的有C或D，有2種，所以能得2分的概率是eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故選項A正確；對于B，乙同學僅隨機選兩個選項，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，能得5分的情況為CD，只有1種情況，所以能得5分的概率是eq\f(1,6)，故選項B正確；對于C，丙同學隨機至少選擇一個選項，選一個選項，有A，B，C，D共4種情況；選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，所以共有4＋6＋4＝14(種)情況，能得分的有C，D，CD共3種情況，所以能得分的概率是eq\f(3,14)，故選項C錯誤；對于D，丁同學隨機至少選擇兩個選項，選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，所以共有6＋4＝10(種)情況，能得分的有CD共1種情況，所以能得分的概率是eq\f(1,10)，故選項D正確．三、填空題7．(2024·皖西聯(lián)盟模擬)若從集合{1,2,3,5,7,8,10}中任選一個元素，則這個元素是奇數(shù)的概率為______．答案eq\f(4,7)解析集合{1,2,3,5,7,8,10}里共有7個元素，其中4個是奇數(shù)，故所求概率為eq\f(4,7).8．魔方，又叫魯比克方塊，是由匈牙利布達佩斯建筑學院的厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋同被稱為智力游戲界的三大不可思議．三階魔方(如圖所示)可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得．現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從這些小正方體中任取一個，恰好抽到邊緣方塊的概率為________，抽到的是中心方塊或邊角方塊的概率為________．答案eq\f(4,9)eq\f(14,27)解析沿等分線把正方體切開，得到27個同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個，2面有色的小正方體有12個，3面有色的小正方體有8個，所以恰好抽到邊緣方塊的概率為eq\f(12,27)＝eq\f(4,9).抽到的是中心方塊或邊角方塊的概率是eq\f(6,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(14,27).四、解答題9．某校近幾年加大了對學生奧賽的培訓力度，為了選擇培訓的對象，今年5月該校進行了一次化學競賽．現(xiàn)從參加競賽的同學中，選取100名同學并將其成績(百分制，均為整數(shù))分成五組：第1組[50,60)，第2組[60,70)，第3組[70,80)，第4組[80,90)，第5組[90,100]．得到如圖所示的頻率直方圖，觀察圖形，回答下列問題：(1)求a的值，并求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(中位數(shù)結果保留兩位小數(shù))；(2)已知分數(shù)在[50,60)之間的男生與女生的比例為3∶2，從分數(shù)在[50,60)內的同學中隨機抽取2人，求這2人均為男生的概率．解(1)由題意得10×a＋(0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，解得a＝0.005.設該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x，則10×(0.005＋0.020)＋(x－70)×0.030＝0.5，經計算，得x≈78.33，故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為78.33.(2)第1組人數(shù)為100×10×0.005＝5，則男生3人，女生2人．將男生記為a，b，c，女生記為A，B.從這5人中隨機抽取2人的情況有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10種；被抽到的2人均為男生的情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種．故被抽到的2人均為男生的概率P＝eq\f(3,10).10．為了使房價回歸到收入可支撐的水平，讓全體人民住有所居，近年來全國各一、二線城市打擊投機購房，陸續(xù)出臺了樓市限購令．某市一小區(qū)為了進一步了解已購房民眾對市政府岀臺樓市限購令的認同情況，隨機抽取了本小區(qū)50戶住戶進行調查，各戶人均月收入(單位：千元)的戶數(shù)頻率直方圖如圖，其中贊成限購的戶數(shù)如下表：人均月收入[1，3)[3，5)[5，7)[7，9)[9，11)[11，13]贊成戶數(shù)4912631(1)若從人均月收入在[9,11)的住戶中再隨機抽取兩戶，求所抽取的兩戶中至少有一戶贊成樓市限購令的概率；(2)若將小區(qū)人均月收入不低于7千元的住戶稱為“高收入戶”，人均月收入低于7千元的住戶稱為“非高收入戶”，根據(jù)已知條件完成所給的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“收入的高低”與“贊成樓市限購令”有關．非高收入戶高收入戶合計贊成不贊成合計附：臨界值表P(χ2≥x0)0.10.050.0100.001x02.7063.8416.63510.828參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)由直方圖知，人均月收入在[9,11)的住戶共有50×0.06×2＝6(戶)，其中有3戶贊成，3戶不贊成．設事件A為“所抽取的兩戶中至少有一戶贊成樓市限購令”，則由古典概型概率計算公式可知P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al