專題24空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布空間空間與立體幾何近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國乙（文科），第16題,5分已知三棱錐外接求半徑，求線段長2023年全國乙（文科），第19題,12分1、證明線面平行；2、求三棱錐的體積；2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第8題,5分圓錐體積相關(guān)計算2023年全國乙（理科），第9題,5分證明面面垂直，由二面角求線段長，從而求線面角的正切值2023年全國乙（理科），第19題,12分1、證明線面平行；2、證明面面垂直；3、求二面角2023年全國甲（文科），第10題,5分證明線面垂直，求三棱錐的體積2023年全國甲（文科），第16題,5分正方體的外接球、棱切球問題2023年全國甲（文科），第18題,12分1、證明面面垂直；2、求四棱錐的高2023年全國甲（理科），第11題,5分四棱錐表面積有關(guān)計算余弦定理解三角形2023年全國甲（理科），第15題,5分正方體的棱切球問題2023年全國甲（理科），第18題,12分1、已知點(diǎn)面距，證明線面垂直，從而得到線線相等；2、已知平行線間的距離，求線面角的正弦值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為理科必考知識，常出現(xiàn)在解答題中；2.用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面距離；3.用空間向量求異面直線、線面、、面面所成角；4.用空間向量證明線線、線面、面面平行與垂直.【備考策略】1.會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置,掌握空間中兩點(diǎn)間的距離公式.2.了解空間向量基本定理及其意義,理解空間向量的坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.4.能用向量方法判斷或證明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.5.能用向量方法解決空間中的距離問題.6.能用向量方法求解空間中的角度問題.【命題預(yù)測】1.用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面距離；2.用空間向量求異面直線、線面、、面面所成角；3.用空間向量證明線線、線面、面面平行與垂直.知識講解一、空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中,具有和的量

相等向量方向且模的向量

相反向量方向且模的向量

共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相的向量

共面向量平行于的向量

二、空間向量的有關(guān)定理1.共線向量定理:對空間任意兩個向量的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù),使得.

2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)對,使.

3.空間向量基本定理:如果三個向量不共面,那么對空間中任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組,使得,其中,叫作空間的一個基底.

三、兩個向量的數(shù)量積1.非零向量的數(shù)量積.2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)結(jié)合律:.(2)交換律:.(3)分配律:.四、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積共線

垂直

模x夾角恰當(dāng)選擇基向量是用向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵.用已知基向量表示指定向量時,應(yīng)結(jié)合已知和所求向量,觀察圖形,將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中,然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.證明三點(diǎn)共線、空間四點(diǎn)共面的方法三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面PA=λPB且同過點(diǎn)PMP=xMA+yMB對空間任一點(diǎn)O,OP=OA+tAB對空間任一點(diǎn)O,OP=OM+xMA+yMB對空間任一點(diǎn)O,OP=xOA+(1-x)OB對空間任一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB利用空間向量數(shù)量積求夾角和長度(1)求夾角,設(shè)向量所成的角為,則,進(jìn)而可求出兩異面直線所成的角,注意兩異面直線所成角的范圍是;(2)求長度(距離),運(yùn)用公式,可將線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題.(3)利用向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直的問題:.五、直線的方向向量與平面的法向量1.直線的方向向量:如果表示非零向量的有向線段所在的直線與直線平行或共線,那么稱向量為直線的方向向量.2.平面的法向量:若直線⊥平面,取直線的方向向量為,則向量叫作平面的法向量.3.方向向量和法向量均為非零向量且均不唯一.六、空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線,的方向向量分別為,∥⊥直線的方向向量為,平面的法向量為m∥⊥平面,的法向量分別為,∥⊥七、空間角公式1.異面直線所成角公式設(shè),分別為異面直線,上的方向向量,為異面直線所成的角,則.2.線面角公式設(shè)為一條與平面相交的直線,為的方向向量,為平面的法向量,為與所成的角,則.3.二面角公式設(shè),分別為平面,的法向量,平面,形成的二面角為,則或(需要根據(jù)具體情況判斷是相等還是互補(bǔ)),其中.八、求解空間中的距離1.異面直線間的距離如圖,設(shè)兩條異面直線,的公垂線的方向向量為,這時分別在,上任取A,B兩點(diǎn),則向量AB在上的正射影長就是兩條異面直線,的距離,則.即兩異面直線間的距離,等于在兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線方向向量的模的比值.2.點(diǎn)到平面的距離如圖,為平面外一點(diǎn),為平面的法向量,過作平面的斜線及垂線,為與平面所成的角,則.3.平面與平面、直線與平面之間的距離問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離問題求解.1.利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎居孟蛄糠ㄇ螽惷嬷本€所成角的一般步驟:(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.(2)確定異面直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.相關(guān)公式如下:設(shè),分別是兩異面直線,的方向向量,則與的夾角與所成的角范圍關(guān)系利用向量法求線面角的方法方法一:分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).方法二:通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量的夾角(夾角為鈍角時取其補(bǔ)角),取其余角就是斜線和平面所成的角.相關(guān)公式如下:如圖,設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為,兩向量與的夾角為,則有.1.利用空間向量求二面角的方法:方法1:如圖①,,分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線,則二面角的大小.方法2:如圖②③,,分別是二面角的兩個半平面,的法向量,則二面角的大小滿足,二面角的平面角大小是向量與的夾角(或其補(bǔ)角).2.向量法求二面角時需注意:(1)建立空間直角坐標(biāo)系時,若垂直關(guān)系不明確,則應(yīng)先給出證明;(2)對于某些平面的法向量,要結(jié)合題目條件和圖形多觀察,判斷該法向量是否已經(jīng)隱含著,不用單獨(dú)求;(3)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,可結(jié)合圖形判斷,以防結(jié)論失誤.求點(diǎn)到平面的距離的步驟:①建系:結(jié)合圖形的特點(diǎn),建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.②求向量:在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對應(yīng)的向量.③求法向量:設(shè)出平面的法向量,利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組,求出法向量.④得距離:根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式,計算得出距離.考點(diǎn)一、空間向量的線性運(yùn)算1．（2023年福建模擬數(shù)學(xué)試題）如圖,在平行六面體中,,,,是的中點(diǎn),是上的一點(diǎn),且,用表示向量的結(jié)果是（）.A．B．C．D．2．（2023年宜陽模擬數(shù)學(xué)試題）已知向量是空間的一個基底,向量是空間的另一個基底,一向量在基底下的坐標(biāo)為,則向量在基底下的坐標(biāo)為（）.A． B．C． D．如圖所示,在平行六面體中,設(shè),,,,,分別是的中點(diǎn),試用表示以下各向量:(1)AP;(2)A1(3)MP+NC考點(diǎn)二、共線、共面的判斷與證明1．已知O為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則m的值為（

）A． B．2 C． D．2.如圖所示,已知斜三棱柱,點(diǎn)分別在上,且滿足,.(1)向量是否與向量共面?(2)直線是否與平面平行?1．下列命題中正確的是（）A．若，，則與所在直線平行B．向量、、共面即它們所在直線共面C．空間任意兩個向量共面D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使2．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）已知向量，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．33．已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn),用向量方法求證:(1)四點(diǎn)共面;(2)平面.考點(diǎn)三、空間向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算1．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（

）A．B．BD⊥平面ACC?C．向量與的夾角是60°D．直線BD?與AC所成角的余弦值為2．（2023年四川綿陽質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）如圖,在大小為45°的二面角中,四邊形都是邊長為1的正方形,則兩點(diǎn)間的距離是（）.A． B． C． D．3．（2023年山東臨沂聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若向量,且,則實(shí)數(shù)（）.A． B． C． D．1．（2023年福建省質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，，且，則線段的長為（

）

A．9 B． C． D．2．若向量,,夾角的余弦值為,則實(shí)數(shù)（）.A．1 B．3 C．2 D．4考點(diǎn)四、求法向量1．已知，，則平面ABC的一個單位法向量為（

）A． B．C． D．2．如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）1．（2023年黑龍江省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．2．已知平面上三點(diǎn)，，，則平面的一個法向量為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五、向量法求點(diǎn)面、線面距離1．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（

）A． B． C． D．2．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，則直線FC到平面的距離為．3．如圖，已知正方體的棱長為1，則線段上的動點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．1．已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023屆浙江省適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.考點(diǎn)六、向量法求點(diǎn)線距離1．（2023年河北省模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．32．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（

）A． B． C． D．1．（2023年遼寧省模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且是l的方向向量，則點(diǎn)到l的距離為（

）．A． B． C． D．2．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．考點(diǎn)七、向量法求異面直線的距離1．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．2．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．3．在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．1．長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．2．如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023年陜西省模擬考試（理科）數(shù)學(xué)試題）如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)八、向量法求平面到平面的距離1．已知正方體的棱長為，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．2．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為.1．（2023年河北省階段測試數(shù)學(xué)試題）兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．2．在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為（）A． B．C． D．3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.考點(diǎn)九、向量法求異面直線所成角1．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)（全國卷II））在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．1．正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則異面直線AE與FC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．在平行六面體中，，，，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)十、向量法求直線與平面所成角1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023年廣東省模擬考試數(shù)學(xué)試題）在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．1．正方體棱長為2，是棱的中點(diǎn)，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且，當(dāng)三棱錐的體積最大時，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（

）A． B． C． D．3．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十一、向量法求平面與平面所成角1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．2．若在正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則二面角的平面角的正切值為（

）．A． B．2 C． D．3．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示，正方體的棱長為，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，則二面角的正切值為（

）

A． B． C． D．1．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知，，，，則該二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．在二面角的棱上有兩個點(diǎn)、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個二面角的大小為（

）A． B． C． D．3．（2023年天津質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，則平面與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023年湖南省模擬考試數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，且P到平面的距離等于線段PM的長度，則線段長度的最小值為．3．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法錯誤的是（

）A．與不是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是4．已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線和間的距離．6．（2023年河南省聯(lián)考（B卷）數(shù)學(xué)試題）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為4的菱形，且，底面，若點(diǎn)到平面的距離為，則（

）A． B． C．1 D．27．如圖，在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為.8．已知長方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．9．將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為．10．在如圖所示的六面體中，四邊形和均為直角梯形，，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個面均為矩形，，，，則平面與平面所成的角為（

）A．30° B．45° C．135° D．45°或135°11．在三棱錐O-ABC中，OA?OB?OC兩兩垂直，，，，D是AB的中點(diǎn)，則CD與平面OAB所成的角的正切值為.12．如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.13．如圖，正三角形與正三角形所在平面互相垂直，則二面角的余弦值是（

）A． B． C． D．14．在棱長為的正方體中，平面與平面間的距離是.15．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【能力提升】1．在四棱錐中，面，底面為矩形，，，為中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離為.2．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在正方體的對角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD