專題30雙曲線及其性質（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年全國乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關系，參數(shù)方程2023年全國乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點求標準方程，拋物線的定義2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分根據(jù)標準方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國乙（理科），第11題,5分2023年全國乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關系，求線段的中點坐標2023年全國乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關系向量的數(shù)量積2023年全國乙（理科），第20題,12分2023年全國乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點問題；2023年全國甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題2023年全國甲（理科），第8題,5分2023年全國甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點弦2023年全國甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點三角形2023年全國甲（理科），第20題,12分2023年全國甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.根據(jù)定義Ⅰ，平面內、是兩定點，動點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于定點間距離)，即(為常數(shù))，則動點的軌跡是雙曲線。根據(jù)定義Ⅱ，若動點到定點與到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點的軌跡是雙曲線；2.雙曲線在坐標軸上的取值區(qū)域為、或者、；雙曲線關于坐標軸和原點對稱；3.雙曲線有兩個頂點、，這兩點在橫軸上，且叫做雙曲線的實軸，長度為；另外，還有兩個頂點、，這兩點在縱軸上，且叫做雙曲線的虛軸，長度為；4.雙曲線有兩條漸近線，橫軸為，豎軸為；5.雙曲線的離心率，其中是雙曲線的半焦距。離心率取值范圍為；6.雙曲線上的一點到定點的距離和到定直線(相應準線)的距離的比等于雙曲線的離心率；7.圓錐曲線上任意一點到焦點距離可以通過焦半徑公式計算。過右焦點的半徑，過左焦點的半徑；8.當雙曲線的實軸與虛軸長相等時，即，雙曲線的離心率√2；【備考策略】1.了解雙曲線產生的實際背景,感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,以及它的簡單幾何性質.3.通過對雙曲線的學習,進一步體會數(shù)形結合的思想.【命題預測】1.雙曲線的定義和基本屬性可能會繼續(xù)是考查的重點。這包括雙曲線的定義、取值范圍、對稱性、頂點、漸近線等；2.雙曲線的幾何性質也是一個可能的考查重點。雙曲線的離心率和焦半徑公式等，這些不僅涉及到雙曲線的形狀和大小，還涉及到雙曲線與坐標軸和焦點等的關系；3.在考查雙曲線的計算時，可能會在復雜度上有所提升；知識講解一、雙曲線的定義平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于||)的點的集合叫作雙曲線,這兩個定點叫作雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

(1)定義的數(shù)學表達式為||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).

(2)在雙曲線的定義中,當時,動點的軌跡是兩條射線;當||時,動點的軌跡不存在.

二、雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程圖形(續(xù)表)標準方程性質范圍或,,或對稱性對稱軸:坐標軸,對稱中心:原點

頂點漸近線離心率,(1,+∞),其中軸線段叫作雙曲線的實軸,它的長||=2a;線段叫作雙曲線的虛軸,它的長||=2b.叫作雙曲線的實半軸長,叫作雙曲線的虛半軸長

,,的關系a2+b2三、等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率e=2.

雙曲線的幾個常用結論(1)與雙曲線有共同漸近線的雙曲線系的方程為.(2)焦點到漸近線的距離為.(3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系).(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.四、直線和雙曲線的位置關系1.直線和雙曲線的位置關系有三種:相交、相切、相離.設雙曲線方程為,直線方程為,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去得到關于的方程,(1)若,當時,直線與雙曲線有兩個公共點;當Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點;當Δ<0時,直線與雙曲線無公共點.(2)若,則直線與雙曲線只有一個公共點,此時直線與雙曲線的漸近線平行.2.弦長公式:設直線交雙曲線于點,則,或.3.雙曲線的切線方程雙曲線在其上一點處的切線方程為.雙曲線的定義及應用(1)利用雙曲線的定義判斷平面內動點的軌跡是否為雙曲線,進而根據(jù)要求可求出曲線方程;(2)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,經常用定義,運用平方的方法,建立與的聯(lián)系.求雙曲線的標準方程的方法1.定義法:由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線,由雙曲線的定義確定或,從而求出,寫出雙曲線方程.2.待定系數(shù)法:先確定焦點在軸上還是在軸上,設出標準方程,再由條件確定的值,即“先定型,再定量”,如果焦點位置不好確定,可將雙曲線方程設為,再根據(jù)條件求的值.求雙曲線的離心率或其范圍的方法:(1)求的值,由直接求;(2)列出含有的齊次方程(或不等式),借助于消去,然后轉化成關于的方程(或不等式)求解.求與漸近線有關的雙曲線方程的常用方法:(1)與雙曲線共漸近線的方程可設為;(2)若雙曲線的漸近線方程為,則雙曲線的方程可設為.求解與雙曲線有關的范圍(或最值)問題的方法(1)點在雙曲線上,求相關式子(目標函數(shù))的取值范圍,常轉化為函數(shù)的最值問題解決.(2)求雙曲線焦距的最值問題,解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值時,要檢驗等號是否成立.(1)解答直線與雙曲線的公共點問題時,不僅要考慮判別式,更要注意當二次項系數(shù)為0時,直線與漸近線平行的特殊情況.(2)雙曲線與直線只有一個公共點的問題,應分兩種情況討論:雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.(3)注意對直線l的斜率是否存在進行討論.解決綜合問題時,可以仿照橢圓的處理思路,借助于方程思想,將問題進行化歸,然后利用直線與雙曲線的位置關系進行求解.(1)解決與雙曲線有關的應用問題時,除了要準確把握題意,了解一些實際問題的相關概念之外,還要注意雙曲線的定義的靈活運用.(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量的取值范圍.考點一、雙曲線的定義及應用1．雙曲線的兩個焦點分別是，點是雙曲線上一點且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，可得，中再利用余弦定理可得，由面積公式即可求得答案.【詳解】，所以，，，在雙曲線上，設，，①，由，在中由余弦定理可得：，故②，由①②可得，直角的面積.2．（2020年浙江省高考數(shù)學試題）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標，得到的值．【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應用，以及二次曲線的位置關系的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．3．已知分別是雙曲線的左、右焦點，動點P在雙曲線的左支上，點Q為圓上一動點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C． D．5【答案】A【分析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當，，三點共線時，最小，最小值為，而，所以．故選：A

4．（2023屆廣東省教學質量檢測數(shù)學試題）已知為雙曲線的左焦點，為其右支上一點，點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設雙曲線的右焦點為，由雙曲線方程可求出，b，c的值，利用雙曲線的定義以及三點共線即可求出的周長的最小值．【詳解】設雙曲線的右焦點為，由雙曲線的方程可得：，則，所以，且，所以，的周長為，當且僅當M，P，A三點共線時取等號，則周長的最小值為．5．若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義可知與同號，從而可求出m的取值范圍【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，解得.1．設，分別是雙曲線的左?右焦點，是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，，用余弦定理和面積公式求出答案.【詳解】設，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.2．已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點在雙曲線的兩支之間，結合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點為，右焦點，則由雙曲線的定義得，因為點在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為9.3．雙曲線過焦點的弦AB，A、B兩點在同一支上且長為m，另一焦點為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【分析】由雙曲線定義得到，，兩式相加得到，進而求出周長.【詳解】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長為.4．（2023屆廣東省聯(lián)考數(shù)學試題）“k<2”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的定義，雙曲線方程的定義進行分析即可【詳解】∵方程為雙曲線，∴，∴或，∴“”是“方程為雙曲線”的充分不必要條件.考點二、雙曲線的標準方程1．（2022年高考天津卷數(shù)學真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設點為第二象限內的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.2．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結合橢圓與雙曲線的幾何性質，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】由橢圓的標準方程為，可得，即，因為雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，所以雙曲線中，半焦距，又因為雙曲線滿足，即，又由，即，解得，可得，所以雙曲線的方程為.3．設雙曲線C：（，）的左焦點為F，直線過點F且與雙曲線C在第二象限的交點為P，，其中O為坐標原點，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將左焦點坐標代入中可求出，設右焦點為N，連接，，，則三角形為直角三角形，可得，，然后利用雙曲線的定義列方程可求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】設左焦點F的坐標為，由點F過直線，所以，解得，設右焦點為N，連接，，.由，故三角形為直角三角形，即,又因為直線斜率為，設直線傾斜角為，則.又，則，，由雙曲線定義，則，所以，所以所以雙曲線C的方程為.1．（2021年北京市高考數(shù)學試題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.2．（2023年新高考天津數(shù)學高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】先由點到直線的距離公式求出，設，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，

因為，不妨設漸近線方程為，即，所以，所以.設,則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為.3．與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線方程為．【答案】【分析】設雙曲線方程為，將點代入，解得，即可求解．【詳解】解：設雙曲線方程為，將點代入，即，解得或（舍去），故所求雙曲線方程為．考點三、雙曲線的幾何性質1．已知雙曲線C的離心率為是C的兩個焦點，P為C上一點，，若的面積為，則雙曲線C的實軸長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，在中，運用余弦定理，并結合和的面積建立方程，解出方程即可【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，可得：又：解得：，雙曲線C的離心率為，則有：在中，由余弦定理，可得：則有：的面積為，可得：解得：故雙曲線C的實軸長為：22．（2017年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標1卷））已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則的面積為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由得，所以，將代入，得，所以，又點A的坐標是(1，3)，故△APF的面積為．點睛:本題考查圓錐曲線中雙曲線的簡單運算，屬容易題．由雙曲線方程得，結合PF與x軸垂直，可得，最后由點A的坐標是(1，3)，計算△APF的面積．3．若雙曲線mx2＋ny2＝1的焦點在y軸上，則（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，即可得出結論.【詳解】雙曲線可化為，因為雙曲線的焦點在軸上，所以，即．1．設表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）.A． B．2k C． D．【答案】C【分析】先整理雙曲線方程，得到，，從而求出雙曲線的虛軸長.【詳解】整理為：，由題意得：，故焦點在軸上，，所以，該雙曲線的虛軸長為.2．雙曲線的兩個焦點為、，點在雙曲線上，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】設點，根據(jù)題意得，進而與雙曲線方程聯(lián)立得，即可得答案.【詳解】設點，由雙曲線可知、，∵，∴，∴，代入雙曲線方程，∴，∴，∴，∴到軸的距離是．3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m的值為（）A．4 B．－4 C．－ D．【答案】C【分析】先將雙曲線方程化為標準形式，利用虛軸長是實軸長的倍列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，雙曲線的標準方程為，即，由于虛軸長是實軸長的倍，所以，即，也即.【點睛】本小題主要考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線實軸和虛軸的概念，屬于基礎題.考點四、雙曲線的離心率1．已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點F，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】設雙曲線的左焦點為，連接，，由題意可得，設，，根據(jù)對稱性可得，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，，整理可得關于，的齊次方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】解：設雙曲線的左焦點為，連接，，因為以為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點，所以，圓心為，半徑為，根據(jù)雙曲線的對稱性可得四邊形是矩形，設，，則，由可得，所以，所以，所以.

2．（2023屆湖北省調研測試數(shù)學試題）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因為，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．3．已知、是雙曲線的左，右焦點，過的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由已知條件結合雙曲線的定義可得為等邊三角形，從而得，然后在中，利用余弦定理化簡可得到，從而可求出離心率的值.【詳解】設，則，設，則由雙曲線的定義得，，解得，所以，，，，所以為等邊三角形，所以，則，在中，由余弦定理得，,即，化簡得，，所以雙曲線的離心率為.1．如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】不妨令，，，根據(jù)雙曲線的定義可求得，，再利用勾股定理可求得，從而可求得雙曲線的離心率．【詳解】，不妨令，，，，，又由雙曲線的定義得：，，，，．在中，，又，，雙曲線的離心率．2．已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點.點滿足，且，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件可得AM垂直平分，再結合雙曲線定義及三角形余弦定理列式計算作答.【詳解】因，則點是線段中點，由得，即AM垂直平分，則有，，而，則，又，令雙曲線的半焦距為c，在中，，，由余弦定理得：，即，化簡得，所以雙曲線的離心率是.3．（2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題）設,是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,,點睛：本題主要考查雙曲線的相關知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應用，屬于中檔題．考點五、雙曲線的漸近線1．（2023屆山東省一模數(shù)學試題）已知雙曲線的左焦點為，M為C上一點，M關于原點的對稱點為N，若，且，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對稱性知四邊形為平行四邊形，可求得及，在中，由余弦定理建立的關系，從而求得漸近線方程.【詳解】如圖所示，不妨設在左支，設右焦點為，連接，由對稱性知四邊形為平行四邊形，由得，由雙曲線定義知：，所以，因為，所以在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以，則C的漸近線方程為.【點睛】求雙曲線的漸近線就是求與的關系，通過可通過幾何關系或代數(shù)式建立關于的一個齊次等式，求解均可得到漸近線方程.幾何關系通過用到平面幾何中的有關知識建立關系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用來建立關系式.2．（2023年山西省調研數(shù)學試題）已知雙曲線的實軸長為4，虛軸長為6，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線幾何性質解決即可.【詳解】由題知雙曲線中，所以，雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.3．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.1．（2023屆廣東省調研測試數(shù)學試題）已知雙曲線的漸近線方程為，則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點確定m為負，再求出雙曲線漸近線方程作答.【詳解】在雙曲線中，，其實半軸長，虛半軸長，因雙曲線的漸近線方程為，于是得，解得.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點M，若，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于點，于點，可得，，根據(jù)求出和，結合雙曲線定義可得的關系，從而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】如圖，作于點于點B，因為與圓相切，所以，在中，，所以．又點M在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：所以，整理得：，所以，所以雙曲線的漸近線方程為．3．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.【答案】【分析】根據(jù)離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.考點六、雙曲線相關的軌跡方程1．在直角坐標系中，已知點A，B分別是定直線和上的動點，若的面積為定值S，則線段的中點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【分析】設，由于的面積為定值，可得出為定值，設，設線段的中點為M，因為，即可得出線段的中點的軌跡為雙曲線.【詳解】設，則.由于的面積為定值且為定值，從而為定值，設.設線段的中點為M，則，，故為定值，從而線段的中點的軌跡為雙曲線.2．已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【分析】設動圓圓心的坐標為，半徑為，由題意可得，可得點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支．根據(jù)，，求得的值，可得點的軌跡方程．【詳解】設動圓圓心的坐標為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．1．已知兩條直線：，：，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與，都相交，并且，被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值，，則動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線【答案】C【分析】利用幾何法列式得圓的弦長與圓心到直線的距離之間的關系，由點到直線的距離公式表示出，，從而代入求解軌跡方程，即可判斷.【詳解】設動圓圓心的坐標為，半徑為，圓心到，的距離分別是，，則，，所以，又因為，，即，得，即.所以動圓圓心的軌跡方程為，由方程可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線.2．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學試題）已知圓：，為圓心，為圓上任意一點，定點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的性質，線段垂直平分線的性質，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，所以有，由，得，該圓的半徑為，因為點在圓上運動時，所以有，于是有，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線，所以，所以點的軌跡方程為.3．已知平面內兩定點，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是.【答案】【分析】直接由定義判斷出M的軌跡是雙曲線，再由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，設雙曲線方程為，由可得，故點M的軌跡方程是.考點七、與雙曲線有關的最值問題1．（2023年河南省質量檢測文科數(shù)學試題）已知點是雙曲線的右焦點，點是雙曲線上位于第一象限內的一點，且與軸垂直，點是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的方程可得點坐標及漸近線方程，進而求得點坐標，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：由雙曲線方程可得，點坐標為，將代入雙曲線方程，得，由于點在第一象限，所以點坐標為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，點到雙曲線的漸近線的距離為．因為是雙曲線漸近線上的動點，所以的最小值為．2．長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B兩點的坐標表示出和，(F為雙曲線右焦點）解出A、B兩點的坐標，利用，求得m的最小值.【詳解】由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設AB中點M的橫坐標為m，，則，，，當且僅當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．檢驗:如圖，當F、A、B共線且軸時，為雙曲線的通徑，則根據(jù)通徑公式得,所以軸不滿足題意.綜上，當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．3．已知雙曲線的右焦點為F，，直線MF與y軸交于點N，點P為雙曲線上一動點，且，直線MP與以MN為直徑的圓交于點M?Q，則的最大值為（

）A．48 B．49 C．50 D．42【答案】A【分析】由已知可確定點坐標，從而確定以為直徑的圓，連接，可將轉化為，進一步利用向量的線性運算得到，由雙曲線性質可確定結果；【詳解】由雙曲線方程知：右焦點，在雙曲線上，直線方程為，令，解得：，；以為直徑的圓的圓心為，且．連接，在以為直徑的圓上，，，；為雙曲線上一點，且，，；【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線中的最值問題的求解，解題關鍵是能夠將所求式子進行轉化，可采用幾何法轉化為關于的最值的求解，或利用坐標運算將問題轉化為關于點橫坐標的函數(shù)的最值的求解.4．已知分別為雙曲線的左?右焦點，為雙曲線右支上任一點，則最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【分析】設且，應用兩點距離公式及P在雙曲線上，結合基本不等式求的范圍，注意等號成立條件，進而可求目標式的最小值.【詳解】令且，則，而，所以，令，則，當且僅當，即時等號成立，所以，即最小值為23.1．已知雙曲線，，為坐標原點，為雙曲線上任意一點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設點，可得或，且有，求得，設，利用二次函數(shù)的基本性質求得函數(shù)在上的值域，進而求解.【詳解】設點，則或，且有，可得，則，，所以，令，其中或，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.當時，函數(shù)單調遞減，此時；當時，函數(shù)單調遞增，此時.綜上所述，函數(shù)在上的值域為.因此，的最小值是.2．（2023屆江西省摸底測試數(shù)學（理）試題）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)化簡可得該方程表示雙曲線的右支，再結合雙曲線的性質判斷.【詳解】由，左右兩邊同時平方得，即，該方程可表示雙曲線的右支，如圖所示，

故的最小值為.3．（2023年河南省聯(lián)考數(shù)學試題）已知P是雙曲線上的動點，Q是圓上的動點，則P，Q兩點間的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓的圓心坐標，求出圓心到的距離，再求得出答案.【詳解】P是雙曲線上的動點，Q是圓上的動點，由已知圓的圓心為，半徑為2，P，Q兩點間的最短距離就是P到圓的圓心的距離的最小值減去半徑，設，可知，即，可得，當且僅當時取等號，所以P，Q兩點間的最短距離為：.4．已知點是雙曲線上的動點，，分別為其左，右焦點，為坐標原點.則的最大值是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】設在右支上，根據(jù)雙曲線的性質求得、且，由已知雙曲線有，結合的范圍求范圍，即可得結果.【詳解】由雙曲線的對稱性，假設在右支上，即，由到的距離為，而，所以，綜上，，同理，則，對于雙曲線，有且，所以，而，即.【點睛】關鍵點點睛：雙曲線上點到焦點距離與到距離的比值為，求焦半徑、，進而結合已知雙曲線求目標式范圍.考點八、雙曲線的實際應用1．從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標系，求得該雙曲線的標準方程，進而求得其焦距.【詳解】如圖，以O為原點，AD所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，則該雙曲線過點，且，所以，解得，所以，得，所以該雙曲線的焦距為.2．雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進而求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率．【詳解】易知共線，共線，如圖，設，則.因為，所以，則，則，又因為，所以，則,在中，，即，所以.3．北京冬奧會火種臺（圖1）以“承天載物”為設計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（

）A．2B．C． D．【答案】B【分析】建立雙曲線標準方程下的直角坐標系，得雙曲線方程為，利用實軸長為20，（），（）在雙曲線上，且，可求得，得離心率．【詳解】建立雙曲線標準方程的直角坐標系，最小直徑在軸，如圖，雙曲線方程為，則，，（），（）在雙曲線上，且，由，即，，，由，得，所以，，，離心率為．1．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學性質，如：光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點.光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.已知以坐標軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個焦點發(fā)出的光線經雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點到中心的距離為.【答案】2【分析】根據(jù)直角三角形的性質，可知，根據(jù)對稱軸與雙曲線的交點可得實半軸的長a，利用等軸雙曲線可求出c，即可得解.【詳解】是雙曲線的焦點，，分別為入射光線、反射光線，且，如圖，由解得，故，又雙曲線為等軸雙曲線，所以，所以，即,所以.2．如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為.【答案】【分析】以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，由題意求出可得答案.【詳解】如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，由題意知，所以，，，所以，解得，所以，所以.3．青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16，上瓶口圓的直徑為20，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12，則該雙曲線的離心率為.【答案】【分析】由題意作出軸截面，最短直徑為，根據(jù)已知條件點在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結合，，的關系可求得離心率的值．【詳解】由題意作出軸截面如圖：以花瓶最細處橫截面圓的直徑為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為：，花瓶最細處橫截面圓直徑為，設B為花瓶上瓶口軸截面上的點，則由已知可得是雙曲線上的點，且,故,解得，故故．考點九、直線與雙曲線的關系1．過雙曲線的左焦點作一條直線交雙曲線左支于，兩點，若，是雙曲線的右焦點，則的周長是.【答案】24【分析】利用雙曲線的定義求焦點三角形的周長即可.【詳解】由雙曲線定義知：，所以，，而，故，故的周長為.2．（2023屆福建省聯(lián)考數(shù)學試題）雙曲線C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上一點，直線PA，PB與分別交于M，N兩點，則的最小值為.【答案】【分析】設，，，，寫出直線方程求得點縱坐標后，求出，然后利用導數(shù)求得最小值．【詳解】由題意，，設，，，，直線方程為，令，得，直線方程為，令，得，，設，則，得，時，，時，，∴在上遞減，在上遞增，時，，所以．3．（2023屆江蘇省調研測試數(shù)學試題）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.【答案】(1);(2)證明見解析;【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進而求解；（2）設方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經過定點；方法二：設方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經過定點.1．（2023年四川省階段性測試數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，已知，是雙曲線上一點，則直線和直線的斜率之積的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由斜率公式可表示出，令，利用判別式法可求得的范圍，進而得到最大值.【詳解】設，則直線OP斜率，直線AP斜率，，令，則，即方程有解；當時，，解得：，符合題意；當時，，解得：或；綜上所述：，則直線和直線的斜率之積的最大值為.2．（2022年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故.3．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，且雙曲線C經過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為的直線l與雙曲線C交于異于M的不同兩點A、B，直線MA、MB的斜率分別為、，若，求直線l的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由漸近線方程及雙曲線所過的點可得，求參數(shù)，寫出雙曲線C的方程；（2）設，，，聯(lián)立雙曲線方程應用韋達定理及求出參數(shù)t，即可得直線l的方程．【詳解】（1）由題設可得：，∴.（2）設，，，聯(lián)立，則，∴，由，可得，故，∴.【基礎過關】1．設為橢圓和雙曲線的一個公共點，且在第一象限，是的左焦點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程可知二者共焦點，利用橢圓和雙曲線定義可構造方程組求得結果.【詳解】由橢圓方程知其焦點為；由雙曲線方程知其焦點為；橢圓與雙曲線共焦點，設其右焦點為，為橢圓與雙曲線在第一象限內的交點，由橢圓和雙曲線定義知：，解得：.2．若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【分析】由方程表示雙曲線有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，，可得.3．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線標準方程的特征求出a的范圍即可判斷．【詳解】方程表示的曲線為雙曲線，則a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，故“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的充要條件．4．（2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（課標卷））等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設C：－＝1．∵拋物線y2＝16x的準線為x＝－4，聯(lián)立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的實軸長為4．5．雙曲線：與雙曲線：的（

）A．實軸長相等 B．焦點坐標相同C．焦距相等 D．離心率相等【答案】C【分析】根據(jù)兩雙曲線的方程，分別求得實半軸，虛半軸，進而求得實軸長，焦點位置，焦距，離心率，即可做出判定.【詳解】設雙曲線的實半軸，虛半軸，半焦距分別為.由雙曲線的方程可得：,.雙曲線的實軸長分別是,,與參數(shù)t和m有關，所以實軸長不一定相等，故A錯誤；因為雙曲線的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，所以焦點坐標不同，故B錯誤；因為，∴∴，即兩個雙曲線的焦距相等，故C正確；因為離心率，，，不一定相等，故離心率不一定相等，故D錯誤.6．（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理數(shù)（全國卷II））雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.7．（2020年天津市高考數(shù)學試題）設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，雙曲線的幾何性質，以及直線與直線的位置關系的應用，屬于基礎題．8．設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的定義可得，又，進而即得.【詳解】∵雙曲線，∴，又點P在雙曲線C的右支上，，所以，，即，又，∴面積為.9．（2018年全國卷Ⅲ文數(shù)高考試題）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．詳解：，所以雙曲線的漸近線方程為，所以點（4，0）到漸近線的距離點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．10．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為（）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．11．已知雙曲線（其中，）的焦距為，其中一條漸近線的斜率為2，則．【答案】2【分析】根據(jù)漸近線斜率求得，根據(jù)焦距求得c的值，利用a,b,c的平方關系得到關于a的方程，求得a的值.【詳解】雙曲線的的漸進線方程為，∵一條漸近線的斜率為2，∴，即,又∵，∴，∴,∴.12．（2023屆福建省適應性練習卷（省質檢）數(shù)學試題）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點分別為，關于C的一條漸近線的對稱點為P.若，則的面積為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】設與漸近線交于，由對稱性知且，在直角中可求得，再由求得的面積.【詳解】設與漸近線交于，則，，，所以，，由分別是與的中點，知且，即，由得，所以.13．（2023屆浙江省教學質量檢測（二模）數(shù)學試題）費馬定理是幾何光學中的一條重要原理，在數(shù)學中可以推導出圓錐曲線的一些光學性質．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則．【答案】2【分析】延長交延長線于點，結合題意得點為的中點，，從而得到，再結合雙曲線的定義即可求解．【詳解】如圖，延長交延長線于點，因為點是的角平分線上的一點，且，所以點為的中點，所以，又點為的中點，且，所以．14．已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線距離為．(1)求橢圓的方程；(2)點F為橢圓的左焦點，不垂直于x軸且不過F點的直線l與曲線相交于A、B兩點，若直線FA、FB的斜率之和為0，則動直線l是否一定經過一定點？若存在這樣的定點，則求出該定點的坐標；若不存在這樣的定點，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由雙曲線頂點求出a，再由點到直線距離求出b作答.（2）設出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率坐標公式計算、推理作答.（1）雙曲線的頂點坐標為，漸近線方程為，依題意，，橢圓上頂點為到直線的距離，解得，所以橢圓的方程為．（2）依題意，設直線l的方程為，、，點，由消去y并整理得，則，，直線FA、FB的斜率之和為，即，有，整理得，此時，，否則，直線l過F點，因此當且，即且時，直線l與橢圓交于兩點，直線l：，所以符合條件的動直線l過定點．15．（2023屆江蘇省調研測試數(shù)學試題）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進而求解；（2）設方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經過定點；方法二：設方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設以為直徑的圓過，，而，,，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經過定點【能力提升】1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（，）的兩個焦點，C的離心率為5，點在C上，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當時，得，要由，解得，故當時，即可得到答案.【詳解】設的焦距為，離心率為．當時，由平面幾何知識得，解得．∵，∴．根據(jù)雙曲線上點的橫坐標的取值范圍以及平面向量內積的幾何意義可知，當時，實數(shù)的取值范圍是．2．（2023年江西省模擬數(shù)學試題）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【詳解】設橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，，，（），則，解之得又則則，則則，則（當且僅當時等號成立）則的最小值為.3．若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點，由結合兩點間的距離公式得出點的軌跡方程，將問題轉化為雙曲線與點的軌跡有個公共點，并將雙曲線的方程與動點的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【詳解】依題意可得，設，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.4．已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，點M是它們的一個公共點，且，分別為，的離心率，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，利用橢圓、雙曲線定義及余弦定理建立關系，再借助均值不等式計算作答.【詳解】設橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線對稱性不妨令點M在第一象限，由橢圓、雙曲線定義知：，且，則有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，當且僅當，即時取“=”，從而有，所以的最小值為.5．在平面直角坐標系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義先推出為正三角形，然后根據(jù)余弦定理解決.【詳解】，∴，∴，∵經過內切圓圓心，∴為的角平分線，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴為正三角形，．中，由余弦定理，∴.6．已知雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，的內切圓的圓心為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，，，，進而在中，利用等面積法得的內切圓的半徑，再設的內切圓與邊相切于點，進而在中結合勾股定理求解即可.【詳解】解：因為雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，所以，，，因為，所以，設的內切圓的半徑為，則，即，解得，如圖，設的內切圓與邊相切于點，則，，所以，所以7．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點?，曲線和在第一象限相交于點P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是.【答案】【分析】設，由橢圓、雙曲線的定義可得，，由余弦定理可建立方程，轉化為離心率的關系式，根據(jù)橢圓離心率范圍，計算即可得到雙曲線離心率范圍.【詳解】設橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因為，所以，，可得，故，故答案為：8．（2023屆湖南省一模數(shù)學試題）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，則的最大值為.【答案】【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結合余弦定理可得，設，利用三角換元求出的最大值即可.【詳解】設橢圓，雙曲線，且設，由橢圓的定義得①，由雙曲線的定義得②，得，，得，，由余弦定理可得，所以③，設，所以，當即時，取最大值為.9．（2023屆安徽省教學質量檢測數(shù)學試題）已知雙曲線E：的左右焦點分別為，，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線與軸交于Q點．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意設點并解出Q點坐標為，再根據(jù)可得，即可解得，由P為雙曲線右支上一點可得，解不等式即可求得離心率的取值范圍.【詳解】如下圖所示，根據(jù)題意可得，設，則直線的方程為，所以直線與軸的交點，由可得，即，整理得，即；又因為P為雙曲線右支上一點，所以，當時，共線與題意不符，即；可得，整理得，即，解得或（舍）；即雙曲線E的離心率的取值范圍為.10．已知雙曲線，，分別為雙曲線的左右焦點，為雙曲線上一點，且位于第一象限，若為銳角三角形，則的取值范圍為．【答案】【分析】將銳角轉化數(shù)量積大于零，解出的范圍即可.【詳解】由雙曲線，得，，位于第一象限，恒為銳角，又為銳角三角形，均為銳角．由∠為銳角，得，．，，由∠為銳角，得，，即，又，．即，又，．綜上所述，．11．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，為雙曲線的左支上一點，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．若，且，則C．以線段，為直徑的兩個圓外切D．若點到的一條漸近線的距離為，則的實軸長為4【答案】C【分析】設，則，根據(jù)兩點坐標求斜率的方法求得，再由求出結果，即可判斷A選項；由，得，根據(jù)雙曲線的定義可得，根據(jù)題意得出和，可得出的值，即可判斷B選項；設的中點為，為原點，則為的中位線，所以，根據(jù)兩個圓的位置關系即可判斷C選項；由點到的一條漸近線的距離為，得出，而得出的值，即可得出的實軸長，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，設，則，因為，直線與的斜率之積等于3，所以，得，故A錯誤；對于B，因為，所以，而為雙曲線的左支上一點，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因為，且，所以，則，由，可得，即，解得：，故B錯誤；對于C，設的中點為，為原點，則為的中位線，所以，則以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，以線段為直徑的圓，圓心為，半徑，所以，故兩個圓外切，故C正確；對于D，因為點到的一條漸近線的距離為，所以，又由前面的推理可知，所以，故的實軸長為，故D錯誤.12．已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一個焦點坐標為(3，0)，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，O為坐標原點．(1)求雙曲線C的方程；(2)直線l與x軸正半軸相交于一點D，與雙曲線C右支相切(切點不為右頂點)，且l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M、N兩點，證