2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣調(diào)查期末考試題庫(kù)——分層抽樣與聚類分析方法應(yīng)用應(yīng)用實(shí)戰(zhàn)演練試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.在分層抽樣中，確定各層樣本量時(shí)，最優(yōu)分配法（比例分配法）的核心思想是（）。A.保證總樣本量不變B.使各層內(nèi)方差最小C.使各層間方差最小D.使總體方差在各層間的分解達(dá)到最小（或抽樣誤差最?。?.以下關(guān)于分層抽樣說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）。A.分層可以縮小抽樣誤差B.分層后各層內(nèi)部單位應(yīng)盡可能同質(zhì)C.分層后各層之間單位應(yīng)盡可能異質(zhì)D.分層抽樣的實(shí)施比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更復(fù)雜3.聚類分析的主要目標(biāo)是（）。A.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理B.發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱藏的潛在結(jié)構(gòu)或模式C.對(duì)變量進(jìn)行篩選D.確定變量的線性關(guān)系4.K-Means聚類算法中，聚類中心（初始值或迭代更新）的確定方法主要有（）。A.系統(tǒng)聚類法B.輪廓系數(shù)法C.隨機(jī)選擇法或基于距離的方法D.回歸分析法5.評(píng)估聚類分析結(jié)果好壞時(shí)，常用的內(nèi)部評(píng)估指標(biāo)是（）。A.調(diào)整蘭德指數(shù)（ARI）B.輪廓系數(shù)（SilhouetteCoefficient）C.F統(tǒng)計(jì)量D.決策樹(shù)誤差二、簡(jiǎn)答題（每題8分，共32分）1.簡(jiǎn)述分層抽樣的主要步驟及其優(yōu)點(diǎn)。2.請(qǐng)比較比例抽樣和非比例抽樣的主要區(qū)別、適用條件和優(yōu)缺點(diǎn)。3.簡(jiǎn)述K-Means聚類算法的基本思想和工作流程。4.在進(jìn)行聚類分析時(shí)，如何確定合適的聚類數(shù)目K？請(qǐng)列舉至少兩種方法并簡(jiǎn)述其原理。三、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.某城市共有家庭戶50萬(wàn)戶，按城市區(qū)域（市區(qū)、郊區(qū)、農(nóng)村）分為三層，其戶數(shù)分別為：市區(qū)20萬(wàn)戶，郊區(qū)15萬(wàn)戶，農(nóng)村15萬(wàn)戶。某項(xiàng)調(diào)查需要抽取500戶樣本，若采用比例分層抽樣，請(qǐng)計(jì)算各區(qū)域應(yīng)抽取的樣本量。假設(shè)市區(qū)樣本量為100戶，其家庭月收入的樣本均值為8000元，標(biāo)準(zhǔn)差為1200元；郊區(qū)樣本量為75戶，樣本均值為7000元，標(biāo)準(zhǔn)差為1100元；農(nóng)村樣本量為125戶，樣本均值為6500元，標(biāo)準(zhǔn)差為1000元。請(qǐng)計(jì)算該城市家庭月收入的總體均值的無(wú)偏估計(jì)值及其抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤（假設(shè)各層內(nèi)方差相等，采用比例方差估計(jì)）。2.給定一組樣本數(shù)據(jù)（X1,Y1),(X2,Y2),...,(Xn,Yn)，其中X表示客戶年齡，Y表示客戶年消費(fèi)額?，F(xiàn)欲采用K-Means聚類算法對(duì)這些客戶進(jìn)行分類，以識(shí)別不同類型的客戶群體。請(qǐng)簡(jiǎn)述使用該算法進(jìn)行聚類的基本步驟，并說(shuō)明在聚類過(guò)程中需要關(guān)注哪些關(guān)鍵點(diǎn)。四、應(yīng)用案例分析題（共33分）某大型電子商務(wù)平臺(tái)擁有數(shù)百萬(wàn)注冊(cè)用戶，平臺(tái)希望對(duì)用戶進(jìn)行細(xì)分，以便更好地理解不同用戶群體的行為特征和需求，從而實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)營(yíng)銷和個(gè)性化服務(wù)。平臺(tái)收集了用戶的多種數(shù)據(jù)，包括：年齡（Age）、性別（Gender，1=男，2=女）、月均瀏覽時(shí)長(zhǎng)（Hours）、月均購(gòu)買次數(shù)（Purchases）、最近一次購(gòu)買間隔天數(shù)（DaysSinceLastPurchase）、會(huì)員等級(jí)（Level，1=普通，2=白銀，3=黃金，4=鉑金）?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)樣本包含10,000個(gè)用戶記錄。請(qǐng)結(jié)合分層抽樣和聚類分析的相關(guān)知識(shí)，回答以下問(wèn)題：1.如果平臺(tái)想通過(guò)抽樣調(diào)查的方式了解所有用戶的平均月消費(fèi)額，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案。你需要確定分層依據(jù)、劃分多少層、如何確定各層樣本量（可以選擇比例分配或最優(yōu)分配，并說(shuō)明理由）、計(jì)算樣本平均消費(fèi)額的估計(jì)值及抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤。（13分）2.如果平臺(tái)希望直接利用現(xiàn)有用戶數(shù)據(jù)對(duì)用戶進(jìn)行分類，識(shí)別出具有不同特征的客戶群體，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)聚類分析方案。你需要說(shuō)明選擇哪種聚類方法（如K-Means或系統(tǒng)聚類）并說(shuō)明理由、如何選擇聚類數(shù)目K、簡(jiǎn)述聚類過(guò)程、并對(duì)可能出現(xiàn)的聚類結(jié)果進(jìn)行解釋和分析，思考不同類別用戶可能具有哪些典型的特征或行為模式。（20分）試卷答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.D2.D3.B4.C5.B二、簡(jiǎn)答題（每題8分，共32分）1.主要步驟：*確定分層依據(jù)，將總體按特定標(biāo)準(zhǔn)劃分為互不重疊的若干層（子總體）。*確定各層樣本量（可按比例、最優(yōu)或Neyman分配等原則）。*在各層內(nèi)獨(dú)立、隨機(jī)地抽取樣本（常用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）。*將各層樣本匯總，得到總樣本。*根據(jù)各層樣本數(shù)據(jù)計(jì)算總體參數(shù)的估計(jì)值和抽樣誤差。優(yōu)點(diǎn)：*抽樣誤差可能比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣小。*可保證樣本在關(guān)鍵變量上的代表性，特別有助于研究各層內(nèi)部特征。*便于分區(qū)管理、實(shí)施和開(kāi)展分層內(nèi)的專項(xiàng)調(diào)查。*可對(duì)不同層采用不同抽樣方法或抽樣比例。2.主要區(qū)別、適用條件和優(yōu)缺點(diǎn)：*區(qū)別：比例抽樣是按各層單位數(shù)占總體單位數(shù)的比例來(lái)確定各層樣本量；非比例抽樣（如最優(yōu)分配、Neyman分配）則根據(jù)各層方差、成本等因素來(lái)確定各層樣本量，不一定成比例。*適用條件與優(yōu)缺點(diǎn)：*比例抽樣：*適用條件：各層內(nèi)部方差差異不大，或調(diào)查重點(diǎn)在于了解總體結(jié)構(gòu)，對(duì)各層代表性要求一致。*優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，實(shí)施方便，樣本分布與總體分布結(jié)構(gòu)一致。*缺點(diǎn)：當(dāng)各層內(nèi)部方差差異很大時(shí)，可能導(dǎo)致抽樣誤差偏大；未能充分利用關(guān)于層內(nèi)方差的先驗(yàn)信息。*非比例抽樣（以最優(yōu)分配為例）：*適用條件：存在關(guān)于層內(nèi)方差的先驗(yàn)信息，且希望以給定的總樣本量下獲得最小的抽樣誤差，或需要考慮抽樣成本。*優(yōu)點(diǎn)：能在給定樣本量的前提下，使抽樣誤差最小化（特定條件下）；能根據(jù)實(shí)際情況（如成本、方差）調(diào)整樣本量分配，更具效率。*缺點(diǎn)：計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，需要準(zhǔn)確的層內(nèi)方差或成本信息，樣本在各層的分布可能與總體不一致。3.基本思想與工作流程：*基本思想：將相似的對(duì)象歸為一類，不相似的對(duì)象分到不同的類，通過(guò)迭代優(yōu)化聚類中心位置，使得類內(nèi)對(duì)象相似度高、類間對(duì)象相似度低。*工作流程：*初始化：選擇K個(gè)初始聚類中心（隨機(jī)選擇或基于某些規(guī)則）。*分配：計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)到各個(gè)聚類中心的距離，將每個(gè)樣本點(diǎn)分配給距離最近的聚類中心所代表的類。*更新：根據(jù)上一步分配的樣本點(diǎn)，重新計(jì)算每個(gè)類（簇）的聚類中心（通常是均值）。*重復(fù)：重復(fù)“分配”和“更新”步驟，直到聚類中心不再發(fā)生顯著變化，或達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)。*結(jié)果：得到最終的K個(gè)聚類。4.確定聚類數(shù)目K的方法：*肘部法則（ElbowMethod）：計(jì)算不同K值下聚類分析的總體平方和（SSE，Within-ClusterSumofSquares）。繪制K值與SSE的曲線，曲線形狀呈肘部彎曲，彎曲點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值即為候選。原理是隨著K值增大，SSE不斷減小，但減小速度減緩。*輪廓系數(shù)法（SilhouetteCoefficient）：對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算其輪廓系數(shù)（取值范圍[-1,1]），輪廓系數(shù)是衡量樣本點(diǎn)與其自身類別緊密度以及與相鄰類別分離度的綜合指標(biāo)。計(jì)算不同K值下的平均輪廓系數(shù)，選擇平均輪廓系數(shù)最大的K值。原理是輪廓系數(shù)高表示樣本點(diǎn)在其類別內(nèi)緊靠，與相鄰類別疏遠(yuǎn)，聚類效果好。*其他方法：如GapStatistic、Calinski-Harabasz指數(shù)（輪廓指數(shù)）等，也可用于輔助確定K值。三、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.計(jì)算：*總戶數(shù)N=50萬(wàn)，樣本量n=500。*市區(qū)：N1=20萬(wàn)，n1=500*(20/50)=200戶。*郊區(qū)：N2=15萬(wàn)，n2=500*(15/50)=150戶。*農(nóng)村：N3=15萬(wàn)，n3=500*(15/50)=150戶。*總體均值估計(jì)：?μ=(n1/N1)*?μ1+(n2/N2)*?μ2+(n3/N3)*?μ3=(200/200000)*8000+(150/150000)*7000+(150/150000)*6500=0.001*8000+0.001*7000+0.001*6500=8+7+6.5=21.5元。*假設(shè)各層內(nèi)方差相等（采用比例方差估計(jì)），合并層內(nèi)方差估計(jì)s_p2：s_p2=[(n1-1)s?2+(n2-1)s?2+(n3-1)s?2]/(n1+n2+n3-3)=[(200-1)*12002+(150-1)*11002+(150-1)*10002]/(500-3)=[199*1440000+149*1210000+149*1000000]/497=[285760000+180290000+149000000]/497=615050000/497≈1236984.81*抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤(SE_?μ)：SE_?μ=sqrt[s_p2/n+(n1-1)s?2/(N1*n1)+(n2-1)s?2/(N2*n2)+(n3-1)s?2/(N3*n3)]SE_?μ=sqrt[1236984.81/500+199*12002/(200000*200)+149*11002/(150000*150)+149*10002/(150000*150)]SE_?μ=sqrt[2473.9696+199*1440000/40000000+149*1210000/22500000+149*1000000/22500000]SE_?μ=sqrt[2473.9696+7.104+7.912+6.656]SE_?μ=sqrt[2595.6416]≈160.97元。2.基本步驟與關(guān)鍵點(diǎn)：*基本步驟：1.數(shù)據(jù)預(yù)處理：選擇變量，處理缺失值，對(duì)數(shù)值型變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（使各變量具有相同量綱和均值為0，方差為1）。2.選擇聚類數(shù)目K（如使用肘部法則或輪廓系數(shù)法）。3.初始化聚類中心：隨機(jī)選擇K個(gè)樣本點(diǎn)作為初始聚類中心。4.分配樣本點(diǎn)：計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)到K個(gè)聚類中心的距離（常用歐氏距離），將每個(gè)樣本點(diǎn)分配給距離最近的聚類中心所代表的類。5.更新聚類中心：計(jì)算每個(gè)類（簇）內(nèi)所有樣本點(diǎn)的均值，將該均值作為新的聚類中心。6.重復(fù)迭代：重復(fù)步驟4和步驟5，直到聚類中心不再發(fā)生改變，或者達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)。7.結(jié)果輸出：得到最終的聚類結(jié)果，即每個(gè)樣本點(diǎn)所屬的類別。*關(guān)鍵點(diǎn)：*變量選擇：選擇能夠有效區(qū)分不同客戶群體的相關(guān)變量（如年齡、消費(fèi)額、瀏覽時(shí)長(zhǎng)等）。*數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：原始數(shù)據(jù)量綱不同會(huì)影響距離計(jì)算，必須進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。*距離度量：選擇合適的距離度量方法（如歐氏距離、曼哈頓距離等）。*聚類數(shù)目K的選擇：K值的選擇對(duì)聚類結(jié)果影響很大，需要結(jié)合多種方法進(jìn)行判斷。*聚類結(jié)果解釋：分析每個(gè)類別中樣本點(diǎn)的特征，理解每個(gè)類別代表的客戶群體畫像。四、應(yīng)用案例分析題（共33分）1.分層抽樣方案設(shè)計(jì)：*分層依據(jù)：可考慮使用“會(huì)員等級(jí)（Level）”作為分層依據(jù)。不同等級(jí)會(huì)員可能在消費(fèi)能力、消費(fèi)習(xí)慣、忠誠(chéng)度等方面存在顯著差異，分層有助于提高樣本代表性，降低抽樣誤差。*劃分層數(shù)：劃分為3層（普通會(huì)員、白銀會(huì)員、黃金會(huì)員、鉑金會(huì)員）。為簡(jiǎn)化計(jì)算，可合并等級(jí)較低的會(huì)員為“普通層”，或合并等級(jí)較高的會(huì)員為“高等級(jí)層”，例如分為“普通層”和“高等級(jí)層”兩層，或按原始四個(gè)等級(jí)劃分。此處按原始四個(gè)等級(jí)劃分，共4層。*樣本量確定：*需要知道各層會(huì)員的總數(shù)N1,N2,N3,N4。假設(shè)已知：N1=6萬(wàn),N2=2萬(wàn),N3=1萬(wàn),N4=0.5萬(wàn)?？倶颖玖縩=500。*采用比例分配：n1=n*(N1/N),n2=n*(N2/N),n3=n*(N3/N),n4=n*(N4/N)。n1=500*(60000/100000)=300戶。n2=500*(20000/100000)=100戶。n3=500*(10000/100000)=50戶。n4=500*(5000/100000)=25戶。*理由：比例分配簡(jiǎn)單易行，能保證各層在樣本中的比例與總體一致。如果對(duì)各層內(nèi)部差異了解不多，且資源允許，比例分配是常用選擇。最優(yōu)分配能進(jìn)一步降低誤差，但需要各層方差信息。此處采用比例分配。*抽樣實(shí)施：在每個(gè)層內(nèi)獨(dú)立采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取相應(yīng)數(shù)量的會(huì)員樣本（n1=300,n2=100,n3=50,n4=25）。*總體均值估計(jì)：?μ=(n1/N1)*?μ1+(n2/N2)*?μ2+(n3/N3)*?μ3+(n4/N4)*?μ4。其中?μ1,?μ2,?μ3,?μ4分別為各層樣本的平均月消費(fèi)額。*抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤（近似）：采用合并方差估計(jì)，公式較復(fù)雜，涉及層內(nèi)方差和層間差異。若僅作概念說(shuō)明，可指出其計(jì)算考慮了層內(nèi)方差不齊的影響，理論上比簡(jiǎn)單平均誤差更小。2.聚類分析方案設(shè)計(jì)：*方法選擇：可選用K-Means聚類算法。理由：K-Means算法計(jì)算效率較高，易于實(shí)現(xiàn)，適用于樣本量較大（10,000）的數(shù)據(jù)集。它可以將用戶劃分為離散的、數(shù)量確定的類別。缺點(diǎn)是結(jié)果受初始中心影響，對(duì)異常值敏感，且需要預(yù)先指定聚類數(shù)目K。*選擇聚類數(shù)目K：*方法一：肘部法則。計(jì)算不同K值（如K=2,3,4,5,6...）下的K-Means聚類總平方和（SSE）。繪制K與SSE曲線，觀察曲線彎曲點(diǎn)。例如，若K=4時(shí)曲線彎曲明顯，可選擇K=4。*方法二：輪廓系數(shù)法。計(jì)算不同K值下的平均輪廓系數(shù)。選擇平均輪廓系數(shù)最大的K值。例如，若計(jì)算發(fā)現(xiàn)K=3時(shí)平均輪廓系數(shù)最高，可選擇K=3。*理由：肘部法則和輪廓系數(shù)法是常用的確定K值的方法，結(jié)合實(shí)際業(yè)務(wù)意義（如期望識(shí)別出幾個(gè)distinct的客戶群體）進(jìn)行判斷。此處假設(shè)通過(guò)肘部法則或輪廓系數(shù)法確定最優(yōu)聚類數(shù)目K=3（僅為示例）。*聚類過(guò)程：1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：選擇合適的變量。對(duì)于年齡和消費(fèi)額等連續(xù)變量，建議先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。會(huì)員等級(jí)是分類變量，可考慮將其數(shù)值化（如1,2,3,4）或進(jìn)行獨(dú)熱編碼（轉(zhuǎn)化為多個(gè)虛擬變量），是否編碼取決于聚類分析的具體實(shí)現(xiàn)和目標(biāo)。2.執(zhí)行聚類：使用選定的聚類算法（K-Means，K=3）和標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)（或適當(dāng)處理的分類變量數(shù)據(jù)）進(jìn)行聚類。3.結(jié)果分析：*獲取每個(gè)樣本點(diǎn)（用戶）被分到的類別標(biāo)簽（1,2,或3）。