2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法解析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題4分，共20分）1.抽樣框2.抽樣誤差3.分層抽樣4.整群抽樣5.抽樣估計(jì)二、判斷題（每小題2分，請(qǐng)判斷正誤，正確的劃“√”，錯(cuò)誤的劃“×”，共20分）1.在抽樣調(diào)查中，總體參數(shù)是確定的、常數(shù)，而樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。（）2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指從總體中直接抽取樣本單位，每個(gè)單位被抽中的概率相等。（）3.分層抽樣的目的是為了降低抽樣誤差。（）4.整群抽樣的抽樣誤差通常大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（）5.抽樣調(diào)查只能產(chǎn)生登記誤差，不能產(chǎn)生抽樣誤差。（）6.系統(tǒng)抽樣的抽樣誤差一定等于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（）7.必要樣本量的確定與希望達(dá)到的估計(jì)精度無關(guān)。（）8.非概率抽樣由于不需要隨機(jī)抽取，因此可以完全避免抽樣誤差。（）9.在分層抽樣中，若各層內(nèi)方差較小，層間方差較大，則采用最優(yōu)分配能獲得最低的抽樣誤差。（）10.抽樣調(diào)查比全面調(diào)查更能反映總體的真實(shí)情況。（）三、簡(jiǎn)答題（每小題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述抽樣調(diào)查與普查相比的主要特點(diǎn)。2.簡(jiǎn)述影響抽樣誤差的主要因素。3.簡(jiǎn)述分層抽樣的優(yōu)缺點(diǎn)。4.簡(jiǎn)述整群抽樣的適用條件。5.簡(jiǎn)述點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的區(qū)別。四、計(jì)算題（每小題10分，共40分）1.某城市有100萬戶家庭，欲采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取1000戶進(jìn)行家庭收入調(diào)查。已知該城市家庭平均收入的方差為σ2=5000元2，若要求抽樣平均誤差不超過50元，問是否需要增加樣本量？2.某工廠生產(chǎn)一批零件共10萬個(gè)，按生產(chǎn)時(shí)間分成20個(gè)組，每組5000個(gè)。為檢驗(yàn)零件的合格率，擬采用整群抽樣進(jìn)行調(diào)查。若將20個(gè)組視為20群，隨機(jī)抽取4群進(jìn)行全面檢查，結(jié)果如下：群1合格率為98%，群2合格率為95%，群3合格率為96%，群4合格率為97%。試估計(jì)該批零件的平均合格率，并計(jì)算抽樣平均誤差（設(shè)各群規(guī)模相等）。3.某大學(xué)有8000名學(xué)生，按年級(jí)分為四個(gè)層次：大一2000人，大二2000人，大三1500人，大四1500人。為了解學(xué)生對(duì)新教學(xué)改革的看法，欲采用分層比例抽樣方法抽取400名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。試確定各年級(jí)應(yīng)抽取的樣本量。4.假設(shè)對(duì)某事件發(fā)生的概率p進(jìn)行估計(jì)，已知p的先驗(yàn)分布為0到1上的均勻分布。采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本容量n=100，觀察到的成功次數(shù)為60。請(qǐng)計(jì)算p的點(diǎn)估計(jì)值和置信水平為95%的置信區(qū)間。五、論述題（10分）結(jié)合實(shí)際，論述選擇何種抽樣方法應(yīng)考慮哪些主要因素。試卷答案一、名詞解釋1.抽樣框:指包含總體所有單位的名冊(cè)或列表，是實(shí)施抽樣調(diào)查抽取樣本的依據(jù)。**解析思路*:理解抽樣框是抽樣過程的起點(diǎn)，是連接總體和樣本的橋梁，其質(zhì)量直接影響抽樣效果。2.抽樣誤差:指在遵守隨機(jī)原則的情況下，用樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，不包括登記誤差。**解析思路*:抽樣誤差的核心是“隨機(jī)性”和“抽樣引起”，區(qū)分于因測(cè)量、記錄等失誤造成的登記誤差。3.分層抽樣:指將總體按某種標(biāo)志劃分為若干個(gè)互不重疊的子總體（層），然后從每個(gè)層中按一定比例或最優(yōu)方式隨機(jī)抽取樣本，并將各層樣本結(jié)合構(gòu)成總樣本的抽樣方法。**解析思路*:關(guān)鍵在于“分層”和“按層抽樣”，理解分層的目的在于提高精度或滿足特定要求。4.整群抽樣:指將總體單位劃分成若干群，隨機(jī)抽取部分群，然后對(duì)抽中的群內(nèi)所有單位或按一定方式抽取群內(nèi)單位進(jìn)行調(diào)查的抽樣方法。**解析思路*:關(guān)鍵在于“整群”和“群內(nèi)單位”，理解整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)（組織方便）和缺點(diǎn)（通常誤差大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）。5.抽樣估計(jì):指利用樣本信息（樣本統(tǒng)計(jì)量）來推斷總體特征（總體參數(shù)）的一種統(tǒng)計(jì)推斷方法。**解析思路*:理解抽樣估計(jì)是抽樣調(diào)查的核心目的，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種形式。二、判斷題1.√**解析思路*:總體參數(shù)是描述總體特征的固定值，而樣本統(tǒng)計(jì)量因樣本不同而變化，是隨機(jī)變量。2.√**解析思路*:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義就是直接從總體中抽取，且每個(gè)單位被抽中概率相等。3.√**解析思路*:分層抽樣的目的之一就是將總體細(xì)分，使各層內(nèi)部差異減小、層間差異增大，從而在相同樣本量下降低抽樣誤差。4.√**解析思路*:整群抽樣因抽樣單位集中，樣本分布比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更集中，通常方差更大，導(dǎo)致誤差也更大。5.×**解析思路*:抽樣調(diào)查既可能產(chǎn)生登記誤差（如測(cè)量錯(cuò)誤、記錄錯(cuò)誤），也可能產(chǎn)生抽樣誤差（抽樣導(dǎo)致樣本與總體存在差異）。6.×**解析思路*:系統(tǒng)抽樣誤差與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差大小關(guān)系取決于系統(tǒng)偏差和總體結(jié)構(gòu)周期性，不一定相等。7.×**解析思路*:必要樣本量計(jì)算公式中包含精度要求（如允許誤差）的平方，精度要求越高，所需樣本量越大。8.×**解析思路*:非概率抽樣由于未遵循隨機(jī)原則，無法準(zhǔn)確計(jì)算抽樣誤差，其結(jié)果可能存在系統(tǒng)性偏差，不能完全避免誤差。9.×**解析思路*:當(dāng)各層內(nèi)方差較小而層間方差較大時(shí)，采用比例分配能獲得最低的抽樣誤差，最優(yōu)分配（如哈特菲爾德）適用于層內(nèi)方差大、層間方差小時(shí)的情況。10.√**解析思路*:抽樣調(diào)查能避免全面調(diào)查的全面誤差（如人力物力限制下的測(cè)量偏差），且能通過科學(xué)設(shè)計(jì)獲得較可靠的信息，是認(rèn)識(shí)總體的有效方式。三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述抽樣調(diào)查與普查相比的主要特點(diǎn)。**解析思路*:從成本、時(shí)間、準(zhǔn)確性、覆蓋面、方法多樣性等方面對(duì)比。*答案要點(diǎn)：①抽樣調(diào)查成本較低，節(jié)省人力、物力和時(shí)間；②抽樣調(diào)查可進(jìn)行更頻繁、更深入的調(diào)查；③抽樣調(diào)查產(chǎn)生的抽樣誤差是隨機(jī)誤差，可計(jì)算和控制，而普查存在大量非抽樣誤差，難以控制；④抽樣調(diào)查結(jié)果通常更準(zhǔn)確可靠（在忽略非抽樣誤差前提下）；⑤抽樣調(diào)查方法更靈活多樣。2.簡(jiǎn)述影響抽樣誤差的主要因素。**解析思路*:回顧抽樣誤差的計(jì)算公式或影響因素理論。*答案要點(diǎn)：①總體方差（或變異程度）：總體單位標(biāo)志值差異越大，抽樣誤差越大；②樣本單位數(shù)（樣本容量）：樣本量越大，抽樣誤差越??；③抽樣方法：不同抽樣方法的抽樣誤差不同（如整群抽樣誤差通常大于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）；④抽樣組織形式：科學(xué)的抽樣組織可降低抽樣誤差。3.簡(jiǎn)述分層抽樣的優(yōu)缺點(diǎn)。**解析思路*:分別闡述分層抽樣帶來的好處和可能存在的缺點(diǎn)。*答案要點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：①可提高估計(jì)精度（在相同樣本量下誤差更小，或用更小樣本量達(dá)到相同精度）；②可獲得各層子總體的詳細(xì)信息；③可按特定要求抽取樣本（如保證各層代表性）；④便于分區(qū)管理和組織實(shí)施。缺點(diǎn)：①需要掌握總體各單位的分層信息；②分層抽樣比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣復(fù)雜，增加組織和計(jì)算工作量；③若層內(nèi)方差大、層間方差小，則分層效果不佳。4.簡(jiǎn)述整群抽樣的適用條件。**解析思路*:思考整群抽樣的優(yōu)勢(shì)和哪些場(chǎng)景下這些優(yōu)勢(shì)更明顯。*答案要點(diǎn)：①總體單位分布廣泛，難以直接抽取樣本單位；②抽樣單位需要按自然群組劃分，且群內(nèi)單位同質(zhì)性較高、群間異質(zhì)性適中；③為方便組織、實(shí)施和管理，需要集中訪問或測(cè)量；④當(dāng)抽樣調(diào)查成本較高，且群間差異不大時(shí)，經(jīng)濟(jì)性較好。5.簡(jiǎn)述點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的區(qū)別。**解析思路*:區(qū)分兩者的概念、結(jié)果形式、是否考慮誤差和精度。*答案要點(diǎn)：①點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)具體數(shù)值直接推斷總體參數(shù)，結(jié)果是一個(gè)點(diǎn)值；區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出一個(gè)置信區(qū)間，用區(qū)間范圍來推斷總體參數(shù)可能的取值范圍；②點(diǎn)估計(jì)只給出一個(gè)估計(jì)值，未說明估計(jì)的精確度和可靠性；區(qū)間估計(jì)不僅給出估計(jì)范圍，還給出了估計(jì)的置信水平（可靠性），反映了估計(jì)的精度；③點(diǎn)估計(jì)不考慮抽樣誤差，而區(qū)間估計(jì)的構(gòu)造必須基于抽樣誤差。四、計(jì)算題1.某城市有100萬戶家庭，欲采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取1000戶進(jìn)行家庭收入調(diào)查。已知該城市家庭平均收入的方差為σ2=5000元2，若要求抽樣平均誤差不超過50元，問是否需要增加樣本量？**解析思路*:先計(jì)算在n=1000時(shí)，允許的抽樣平均誤差對(duì)應(yīng)的方差根（標(biāo)準(zhǔn)差），再與總體方差比較，判斷是否滿足要求，若不滿足則需要增加樣本量?；蛑苯永霉接?jì)算所需樣本量，再與1000比較。*答案要點(diǎn)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣平均誤差公式：μ_?=σ/√n。要求μ_?≤50元。σ=√5000。n=1000時(shí)，μ_?=√5000/√1000=√5/10≈0.2236元。0.2236<50，故在n=1000時(shí)滿足要求。無需增加樣本量。（注：若題目要求計(jì)算至少需要多少樣本量，則使用n=(σ/μ_?)2=(√5000/50)2=(5/50)2=0.042=0.002，即n=1。但通常n需取整并向上取偶數(shù)，此處計(jì)算結(jié)果已滿足，無需增加。）2.某工廠生產(chǎn)一批零件共10萬個(gè)，按生產(chǎn)時(shí)間分成20個(gè)組，每組5000個(gè)。為檢驗(yàn)零件的合格率，擬采用整群抽樣進(jìn)行調(diào)查。若將20個(gè)組視為20群，隨機(jī)抽取4群進(jìn)行全面檢查，結(jié)果如下：群1合格率為98%，群2合格率為95%，群3合格率為96%，群4合格率為97%。試估計(jì)該批零件的平均合格率，并計(jì)算抽樣平均誤差（設(shè)各群規(guī)模相等）。**解析思路*:先計(jì)算樣本群的平均合格率作為總體平均合格率的點(diǎn)估計(jì)值。然后計(jì)算整群抽樣平均誤差，注意使用群間方差。由于樣本量較?。╧=4），通常使用不重復(fù)抽樣的公式，并利用樣本方差估計(jì)總體方差。*答案要點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)：總體平均合格率π的估計(jì)值π?=(p?+p?+p?+p?)/k=(0.98+0.95+0.96+0.97)/4=3.86/4=0.965或96.5%。抽樣平均誤差：不重復(fù)整群抽樣平均誤差公式：μ_p=√[(k-1)S_p2/k]，其中S_p2是群間方差。S_p2=[(p?-π?)2+(p?-π?)2+...+(p_k-π?)2]/(k-1)。計(jì)算：(0.98-0.965)2+(0.95-0.965)2+(0.96-0.965)2+(0.97-0.965)2/3≈(0.015)2+(-0.015)2+(-0.005)2+(0.005)2/3≈0.000225+0.000225+0.000025+0.000025/3≈0.0005/3≈0.0001667。S_p2≈0.0001667。μ_p=√[(4-1)*0.0001667/4]=√[3*0.0001667/4]=√[0.0005001/4]=√0.000125025≈0.01118或1.118%。（注：若群規(guī)模不等，需加權(quán)計(jì)算群間方差。）3.某大學(xué)有8000名學(xué)生，按年級(jí)分為四個(gè)層次：大一2000人，大二2000人，大三1500人，大四1500人。為了解學(xué)生對(duì)新教學(xué)改革的看法，欲采用分層比例抽樣方法抽取400名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。試確定各年級(jí)應(yīng)抽取的樣本量。**解析思路*:按照總體各層單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比例，分配樣本量。*答案要點(diǎn)：總樣本量N=8000，n=400。大一：n?=(N?/N)*n=(2000/8000)*400=0.25*400=100人。大二：n?=(N?/N)*n=(2000/8000)*400=0.25*400=100人。大三：n?=(N?/N)*n=(1500/8000)*400=0.1875*400=75人。大四：n?=(N?/N)*n=(1500/8000)*400=0.1875*400=75人。（檢查：100+100+75+75=350，與總樣本量400有差異，說明題目給定樣本量n=400與比例分配計(jì)算出的樣本量不匹配。若按嚴(yán)格比例，則總樣本量應(yīng)為400/(2000/8000)=1600人。此處按題目給定的n=400，直接按比例分配，可能存在樣本量不足的問題。若必須分配400人，則需調(diào)整，例如按層內(nèi)比例再分配，或采用最優(yōu)分配等。此處按最直接的層比例分配結(jié)果：大一100人，大二100人，大三75人，大四75人。）4.假設(shè)對(duì)某事件發(fā)生的概率p進(jìn)行估計(jì)，已知p的先驗(yàn)分布為0到1上的均勻分布。采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，樣本容量n=100，觀察到的成功次數(shù)為60。請(qǐng)計(jì)算p的點(diǎn)估計(jì)值和置信水平為95%的置信區(qū)間。**解析思路*:點(diǎn)估計(jì)直接用樣本比例。置信區(qū)間使用貝葉斯方法或基于正態(tài)近似（n足夠大時(shí)）計(jì)算。此處采用基于正態(tài)近似的常用方法。*答案要點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)：p?=x/n=60/100=0.6。置信區(qū)間：當(dāng)n足夠大時(shí)，p?的抽樣分布近似正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)誤為SE=√[p?(1-p?)/n]。由于是先驗(yàn)均勻分布，貝葉斯估計(jì)與矩估計(jì)結(jié)果相同，可用p?的標(biāo)準(zhǔn)誤。SE=√[0.6*(1-0.6)/100]=√[0.24/100]=√0.0024=0.0489。95%置信水平對(duì)應(yīng)Z值為1.96。置信區(qū)間為(p?-Z*SE,p?+Z*SE)=(0.6-1.96*0.0489,0.6+1.96*0.0489)=(0.6-0.096024,0.6+0.