3.4.3.1空間中的角（第一課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用向量法求線線角、線面角，體現(xiàn)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力（重點(diǎn)）2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角的關(guān)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入回顧一下：我們學(xué)習(xí)過(guò)異面直線的夾角、直線與平面的夾角,以及兩個(gè)平面相交所成的二面角，回顧一下這些定義.

異面直線的夾角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a'//a，b'//b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角直線與平面的夾角：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.新課學(xué)習(xí)兩個(gè)平面相交所成的二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.回顧一下：我們學(xué)習(xí)過(guò)異面直線的夾角、直線與平面的夾角,以及兩個(gè)平面相交所成的二面角，回顧一下這些定義.

思考一下：那么,在空間中怎樣描述這些角呢?這些角的大小與直線的方向向量、平面的法向量有何關(guān)系？新課學(xué)習(xí)思考一下：觀察如圖的兩條直線a，b的方向向量a，b，這兩條直線所成的角與兩條直線有什么關(guān)系？ab圖①當(dāng)兩條直線a與b相交時(shí)，我們把兩條直線交角中范圍在

內(nèi)的角叫作兩條直線所成的角(如圖①)；當(dāng)兩條直線平行時(shí)，規(guī)定它們所成的角為0；當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時(shí)，在空間任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線a'和b'，使得a'∥a，b'∥b，把a(bǔ)'，b'所成的角叫作異面直線a與b所成的角(如圖②).圖②aa'b'Ob新課學(xué)習(xí)拓展：求異面直線夾角的步驟1.確定兩條異面直線的方向向量.2.確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.3.得出兩條異面直線所成的角.新課學(xué)習(xí)兩條直線的夾角的概念若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ∈且θ與兩個(gè)方向向量所成的角〈a，b〉相等或互補(bǔ).也就是說(shuō)，當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，故cosθ＝|cos〈a，b〉|.新課學(xué)習(xí)例8：如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'，AB=2，BC=1，AA'=3.求AC'與A'D夾角的余弦值.設(shè)s1，s2

分別是AC'和A'D的一個(gè)方向向量，取因?yàn)锳(0,0,0),C'(2,1,3),

A'(2,1,3),D(0,1,0),所以設(shè)AC'和A'D的夾角為θ，則故AC'和A'D夾角的余弦值為新課學(xué)習(xí)思考一下：觀察如圖直線l的一個(gè)方向向量l與平面α的一個(gè)法向量n兩者的夾角〈l，n〉與直線l和平面α所成的角θ的關(guān)系是什么？平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的投影所成的銳角就是這條直線與這個(gè)平面的夾角.當(dāng)一條直線與一個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定這條直線與這個(gè)平面的夾角為0；當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直時(shí)，規(guī)定這條直線與這個(gè)平面的夾角為由圖1和圖2不難看出:直線與平面的夾角和直線與平面的垂線的夾角互余.新課學(xué)習(xí)直線與平面的夾角的概念設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量，則直線l與平面α所成的角θ∈且θ=或θ=

故sinθ＝|cos〈l，n〉|.新課學(xué)習(xí)例9:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長(zhǎng)為2，AA'=

，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC，AA'所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.易知n=(1，0，0)是平面ACC'A'的一個(gè)法向量.由△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可得所以設(shè)直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角為θ，則新課學(xué)習(xí)例9:如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面邊長(zhǎng)為2，AA'=

，求直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值.故直線AB'與側(cè)面ACC'A'所成角的正弦值為新課學(xué)習(xí)拓展：求直線與平面所成角的步驟1.分析圖形關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系；2.求出直線的方向向量a和平面的法向量n；3.設(shè)線面角為θ，則sinθ＝新課學(xué)習(xí)練一練：如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，CC1的中點(diǎn)，求直線EF與BD1所成角的余弦值.如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則E(2,1,0),F(0,2,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以所以

所以直線EF與B