6.5正態(tài)分布前面討論了離散型隨機變量,它們的取值是可以一一列舉的.但在實際問題中,還有許多隨機變量可以取某一區(qū)間中的所有值.例如:.1.某一自動裝置無故障運轉的時間X是一個隨機變量，它可以取區(qū)間(O,+∞)內(nèi)的所有值;2.某種產(chǎn)品的壽命(使用時間)X是一個隨機變量,它可以取區(qū)間[0,b]或[0,+∞)內(nèi)的所有值.怎樣描述這樣的隨機變量的分布情況呢?我們來看一個產(chǎn)品壽命的例子.設X表示某產(chǎn)品的壽命(單位:h).人們對該產(chǎn)品有如下的了解:壽命小于500h的概率為0.71,壽命在500h~800h的概率為0.22,壽命在800h--1000h的概率為0.07,由此我們可以畫出圖6-5.但此圖是比較粗糙的，例如,它沒有告訴我們產(chǎn)品壽命在200h~400h的概率到底是多少.為了完全了解產(chǎn)品壽命的分布情況,需要將區(qū)間無限細分,最終得到一條曲線,如圖2.這條曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線,這條曲線對應的函數(shù)稱為X的分布密度函數(shù),記為f(x).如果需了解得更多,圖中的區(qū)間應分得更細，如圖1.

人們把具有分布密度函數(shù)的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量,最常見的一類連續(xù)型隨機變量是由誤差引起的.一般地，誤差在0附近的概率大,遠離0的概率小,誤差大于0的概率與小于0的概率相同.即誤差的分布具有對稱性.因此,這一類連續(xù)型隨機變量X的分布密度曲線一般是形狀像“鐘"的光滑曲線.

連續(xù)型隨機變量X的分布密度函數(shù)圖象如左圖，對應的分布密度函數(shù)解析式為：正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布，是刻畫誤差分布的重要模型，因此也稱為誤差模型.

如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布,那么對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對應的曲邊梯形面積的值(如圖).正態(tài)曲線基本性質(zhì)：

非負性對稱性集中性單調(diào)性

課堂小結作業(yè)：教材224頁練習題全做．

李明上學有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布．（1）估計X，Y的分布中的參數(shù)；分析：對于第（1）問，正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計．用樣本均值估計參數(shù)μ，用樣本標準差估計參數(shù)σ，可以得到隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標準差為2．X～N（30，62），Y～N（34，22）．解：（1）隨機變量X的樣本均值為30，樣本標準差為6；

李明上學有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布．（2）根據(jù)（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線；X～N（30，62），Y～N（34，22）．

李明上學有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布．（3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由．分析：對于第（3）問，這是一個概率決策問題，首先要明確決策的準則，在給定的時間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具；然后結合圖形，根據(jù)概率的表示，比較概率的大小，作出判斷．

李明上學有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布．（3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由．所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；P（X≤38）＜P（Y≤38），P（X≤34）＞P（Y≤34）．解：

（3）應選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具．由圖可知，

如果只有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車．函數(shù)f（x）＝

，x∈R．其中μ∈R，σ＞0為參數(shù)．我們稱f（x）為①______________，稱它的圖象為②______________，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)密度曲線若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f（x），則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～③___________．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從④______________．N（μ，σ2）標準正態(tài)分布正態(tài)曲線有以下特點：曲線位于x軸⑤__________，與x軸⑥__________；曲線是單峰的，它關于直線⑦__________對稱；當｜x｜無限⑨________時，曲線無限接近x軸；對任意的σ＞0，曲線與x軸圍成的面積總為1；曲線在⑧________處達到峰值

；上方不相交x＝μx＝μ增大1．某教育部門為了調(diào)查學生語文、數(shù)學、外語三科成績與選科之間的關系，從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語文、數(shù)學、外語的網(wǎng)絡測試，滿分450分，測試結果如下：此次測試平均成績?yōu)?71分，351分以上的有57人，該次網(wǎng)絡測試成績基本服從正態(tài)分布．現(xiàn)給前400名頒發(fā)榮譽證書，若考生甲得知他的成績?yōu)?70分，問甲能否進入前400名？附：若隨機變量X服從正態(tài)分布（μ，σ2），則P（μ－σ，≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973．提示：1．設此次網(wǎng)絡測試的成績?yōu)閄，由題意可知X～N（171，σ2）．因為

＝0.0228，且＝0.02275≈0.0228．所以σ＝

＝90，所以X～N（171，902）．而

＝0.16，且P（X＞μ＋σ）＝1．某教育部門為了調(diào)查學生語文、數(shù)學、外語三科成績與選科之間的關系，從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語文、數(shù)學、外語的網(wǎng)絡測試，滿分450分，測試結果如下：此次測試平均成績?yōu)?71分，351分以上的有57人，該次網(wǎng)絡測試成績基本服從正態(tài)分布．現(xiàn)給前400名頒發(fā)榮譽證書，若考生甲得知他的成績?yōu)?70分，問甲能否進入前400名？提示：1．設此次網(wǎng)絡測試的成績?yōu)閄，由題意可知X～N（171，σ2）．因為

＝0.0228，且＝0.02275≈0.0228．所以σ＝

＝90，所以X～N（171，902）．而

＝0.16，＝0.15865＜0.16．所以前400名學生成績的最低分低于μ＋σ＝261，而考生甲的成績?yōu)?70分，所以甲同學能進入前400名．

2．考生丙得知他的實際成績?yōu)?30分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?01分，351分以上的有57人．”請結合統(tǒng)計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn)危崾荆?．假設考生乙所說為真，則μ＝201，＝0.02275≈0.0228．而

＝0.0228，所以σ＝

＝75，從而μ＋3σ＝201＋3×75＝426，而430?[μ－3σ，μ＋3σ]，因為X＞μ＋3σ，為小概率事件，所以丙同學的成績?yōu)?30分是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙同學所說為假．

利用服從正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機變量X在三個特殊區(qū)間上取值