專題五萬(wàn)有引力與宇宙航行體系透視考點(diǎn)透析目錄考點(diǎn)1開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律萬(wàn)有引力定律考點(diǎn)2人造衛(wèi)星

宇宙速度題型透悟題型9天體運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題體系透視考點(diǎn)1

開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律萬(wàn)有引力定律一、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的推論考點(diǎn)透析1.行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。2.如圖所示,由開(kāi)普勒第二定律得

Δl1r1=

Δl2r2,即

v1Δt·r1=

v2Δt·r2,解得

=

。

3.在開(kāi)普勒第三定律

=k中,k值與中心天體的質(zhì)量有關(guān)。二、萬(wàn)有引力定律的兩條常用推論1.推論1:在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力的合力為0,即∑F=0。2.推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處,質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力等于半徑為r的球體對(duì)它的

引力,如圖所示,即F'=G

,而

=

,故F'=G

r。

三、萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系1.忽略地球自轉(zhuǎn):可認(rèn)為萬(wàn)有引力等于重力,即G

=mg,可得GM=gR2(黃金代換式)。2.考慮地球自轉(zhuǎn)如圖所示,地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是產(chǎn)生重力mg,二是提供物體隨

地球自轉(zhuǎn)所需的向心力F向。

(1)在赤道上,G

=mg1+mω2R,g1為赤道處的重力加速度。(2)在兩極處,G

=mg2,g2為兩極處的重力加速度。(3)在一般位置,萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和。(4)從赤道到兩極,重力加速度隨緯度增大而增大。四、地球表面、上空、內(nèi)部的重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))滿足mg=G

,得g=

。2.在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度為g',有

=

。3.在地球內(nèi)部距離地心r處的重力加速度為g″,由萬(wàn)有引力定律的推論2可得mg″=

r,即g″=

r。命題情境以地心為原點(diǎn)O建立坐標(biāo)軸,用r表示坐標(biāo)軸上某點(diǎn)到地心的距離,地表處重力加速度為

g0,則該直線上各點(diǎn)的重力加速度g隨r變化的圖像如圖所示。五、挖補(bǔ)法求解萬(wàn)有引力

如圖所示,在一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑

為?的小球體后,求剩余部分對(duì)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的引力大小。已知質(zhì)點(diǎn)位于球心和空穴中心連線上,且與球心距離為d。

完整的均勻球體對(duì)球外質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的引力F=G

,

設(shè)挖去小球體后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為F1,半徑為

的小

球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為F2,則F=F1+F2,半徑為

的小球體的質(zhì)量M'=

π

ρ=

,則F2=G

=G

,所以F1=F-F2=G

-G

。六、中心天體質(zhì)量和平均密度的計(jì)算

方法已知量利用公式表達(dá)式質(zhì)量的計(jì)算利用環(huán)繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的物理量r、TG

=mr

M=

r、vG

=m

M=

v、TG

=m

G

=mr

M=

利用中心天體半徑及

表面重力加速度g、Rmg=

M=

平均密度的計(jì)算利用環(huán)繞天體做圓周運(yùn)動(dòng)的物理量,以及中心天體半徑Rr、T、RG

=mr

M=ρ·

πR3ρ=

當(dāng)r=R時(shí)ρ=

利用中心天體半徑及表面重力加速度g、Rmg=

M=ρ·

πR3ρ=

考點(diǎn)2人造衛(wèi)星宇宙速度近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體運(yùn)動(dòng)的比較

近地衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星地球赤道上物體向心力來(lái)源萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力的一個(gè)分力軌道半徑r同>r物=r近角速度由

=mω2r得ω=

,故ω近>ω同同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同,故ω同=ω物ω近>ω同=ω物線速度由

=

得v=

,故v近>v同由v=rω得v同>v物v近>v同>v物向心加速度由

=ma得a=

,故a近>a同由a=rω2得a同>a物a近>a同>a物題型9天體運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題一、雙星及三星問(wèn)題題型透悟

雙星問(wèn)題三星問(wèn)題情境圖

運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同,周期、角速度相等,運(yùn)

動(dòng)半徑一般不同環(huán)繞星體轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同,周期、角速

度、線速度大小、圓周運(yùn)動(dòng)半徑均

相等受力特點(diǎn)兩星間的萬(wàn)有引力提供兩星做圓周

運(yùn)動(dòng)的向心力各星所受萬(wàn)有引力的合力提供其做

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力規(guī)律

=m1ω2r1

=m2ω2r2

cos30°×2=ma向關(guān)鍵點(diǎn)m1r1=m2r2r1+r2=Lm1+m2=

r=

典例1

(2024常州一中10月月考)觀測(cè)到做圓周運(yùn)動(dòng)的雙星系統(tǒng):其運(yùn)動(dòng)的周期為T、

兩星間距為L(zhǎng),已知引力常量為G,能夠求解出

()A.兩星球的半徑

B.兩星球的軌道半徑C.兩星球的質(zhì)量

D.兩星球的總質(zhì)量

D

模型構(gòu)建

解析

雙星系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中,兩星球的運(yùn)動(dòng)周期相等、角速度相同,兩星球間的萬(wàn)有引

力提供向心力,設(shè)兩星球的軌道半徑分別為r1、r2,由向心力公式可得G

=m1ω2r1=m2ω2r2(易錯(cuò):兩顆星球間的距離為L(zhǎng),不是r1、r2),整理可得m1r1=m2r2,m1=

,m2=

,又ω=

,故兩星球的總質(zhì)量可表示為M=m1+m2=

,可以求出兩星球的總質(zhì)量,由題意無(wú)法求出兩星球的軌道半徑和星球半徑,故兩星球各自的質(zhì)量無(wú)法求出,D正確。二、衛(wèi)星變軌和對(duì)接問(wèn)題1.兩類變軌問(wèn)題兩類變軌離心運(yùn)動(dòng)近心運(yùn)動(dòng)示意圖

變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小兩力關(guān)系G

<m

萬(wàn)有引力小于所需向心力G

>m

萬(wàn)有引力大于所需向心力變軌結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動(dòng)或在較大半徑

圓軌道上運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動(dòng)或在較小半徑

圓軌道上運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星在新圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速率比在

原軌道的小,周期比在原軌道的大衛(wèi)星在新圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速率比在

原軌道的大,周期比在原軌道的小動(dòng)能減小、勢(shì)能增大、機(jī)械能增大動(dòng)能增大、勢(shì)能減小、機(jī)械能減小

實(shí)戰(zhàn)演練速度關(guān)系在A點(diǎn)加速:vⅡA>vⅠ在B點(diǎn)加速:vⅢ>vⅡB即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB加速度關(guān)系aⅢ=aⅡB,aⅡA=aⅠ周期關(guān)系TⅠ<TⅡ<TⅢ機(jī)械能EⅠ<EⅡ<EⅢ注意(1)同一航天器在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能守恒,在不同軌道上運(yùn)行時(shí)

機(jī)械能不同,軌道半徑越大,機(jī)械能越大。(2)航天器經(jīng)過(guò)不同軌道的相交點(diǎn)時(shí),加速度相等,外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。2.兩類對(duì)接兩類對(duì)接低軌道飛船與高軌道空間站對(duì)接同一軌道飛船與空間站對(duì)接示意圖

情景分析低軌道飛船通過(guò)合理加速,沿橢圓軌

道(做離心運(yùn)動(dòng))追上高軌道空間站與

其完成對(duì)接后面的飛船先減速降低高度,再加速

提升高度,通過(guò)適當(dāng)控制,使飛船追上

空間站時(shí)恰好具有與空間站相同的

速度注意衛(wèi)星“對(duì)接”實(shí)質(zhì)是變軌問(wèn)題。典例2

(2024鎮(zhèn)江開(kāi)學(xué)考)2024年4月26日,神舟十八號(hào)飛船與天宮空間站順利對(duì)接,如

圖所示,飛船與空間站對(duì)接前在各自預(yù)定的圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)動(dòng),Ⅱ?yàn)閷?duì)接轉(zhuǎn)移軌道,下

列說(shuō)法正確的是

()

A.飛船在Ⅰ軌道上的運(yùn)行速度小于在Ⅲ軌道上的運(yùn)行速度

C

B.飛船在三個(gè)軌道上的運(yùn)行周期TⅠ>TⅡ>TⅢC.飛船在Ⅱ軌道上的機(jī)械能大于在Ⅰ軌道上的機(jī)械能D.飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行時(shí)與地球連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等解題導(dǎo)引

(1)“飛船與空間站對(duì)接前在各自預(yù)定的圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)動(dòng)”→穩(wěn)定圓

軌道用v=

比較運(yùn)行速度的大小。(2)“飛船在三個(gè)軌道上的運(yùn)行周期”→三個(gè)軌道都是飛船繞地球運(yùn)動(dòng)軌道,滿足開(kāi)普

勒第三定律,利用

=k判斷飛船在三個(gè)軌道上的運(yùn)行周期大小。(3)飛船在Ⅱ、Ⅰ軌道上的機(jī)械能→飛船從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ要進(jìn)行點(diǎn)火加速,做離心運(yùn)

動(dòng),飛船機(jī)械能變大。(4)“飛船在三個(gè)軌道上運(yùn)行時(shí)與地球連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等”→判斷是

否滿足開(kāi)普勒第二定律。解析根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有G

=m

,解得v=

,可知飛船在Ⅰ軌道上的運(yùn)行速度大于在Ⅲ軌道上的運(yùn)行速度(點(diǎn)撥:高軌低速大周期),A錯(cuò)誤;根據(jù)開(kāi)普勒第三定

律

=k及rⅠ<aⅡ<rⅢ(aⅡ?yàn)檐壍愧虻陌腴L(zhǎng)軸),可知飛船在三個(gè)軌道上的運(yùn)行周期TⅠ<TⅡ<TⅢ,B錯(cuò)誤;飛船從Ⅰ軌道到Ⅱ軌道要進(jìn)行加速,機(jī)械能增加,則飛船在Ⅱ軌道上的機(jī)械能

大于在Ⅰ軌道上的機(jī)械能,C正確;根據(jù)開(kāi)普勒第二定律,飛船在三個(gè)不同軌道上運(yùn)行時(shí),

與地球連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不相等,D錯(cuò)誤。三、衛(wèi)星的追及問(wèn)題1.模型特征衛(wèi)星的追及問(wèn)題主要研究同一中心天體的兩顆衛(wèi)星相距最近或最遠(yuǎn)的情況。當(dāng)兩顆

衛(wèi)星與中心天體在同一直線上,且位于中心天體的同一側(cè)時(shí),相距最近,如圖甲;當(dāng)兩顆

衛(wèi)星與中心天體在同一直線上,且位于中心天體的兩側(cè)時(shí),相距最遠(yuǎn),如圖乙。

2.常見(jiàn)問(wèn)題及處理方法(兩顆衛(wèi)星同向轉(zhuǎn)動(dòng))(1)計(jì)算同一中心天體的兩顆衛(wèi)星由相距最近(最遠(yuǎn))到再次相距最近(最遠(yuǎn))需要的時(shí)

間。①角度關(guān)系:ω1t-ω2t=n·2π(n=1,2,3,…)(ω1>ω2)。②圈數(shù)關(guān)系:

-

=n(n=1,2,3,…)(T1<T2)。(2)計(jì)算同一中心天體的兩顆衛(wèi)星由相距最近到相距最遠(yuǎn)需要的時(shí)間。①角度關(guān)系:ω1t-ω2t=(2n-1)π(n=1,2,3,…)(ω1>ω2)。②圈數(shù)關(guān)系:

-

=

(n=1,2,3,…)(T1<T2)。典例3

(2024連云港期中)一顆衛(wèi)星在赤道上空沿地球自西向東自轉(zhuǎn)的方向做勻速圓

周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為r。已知地球半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為ω0,r=2R,地球表面重力加速度

為g。求:(1)衛(wèi)星在軌道上繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω;(2)衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過(guò)赤道上同一建筑物正上方的時(shí)間間隔t。思路分析

同向運(yùn)行的天體的追及問(wèn)題處理思路(1)兩天體從相距最近到再次相距最近,運(yùn)動(dòng)的角度差等于2π的整數(shù)倍。(2)兩天體從相距最近到相距最遠(yuǎn),運(yùn)動(dòng)的角度差等于π的奇數(shù)倍。解析