高一數(shù)學函數(shù)基礎知識詳解與例題函數(shù)，作為高中數(shù)學的基石，貫穿了我們整個中學乃至大學的數(shù)學學習。對于剛升入高中的同學們而言，從具體的數(shù)值運算過渡到對“變化關系”的抽象理解，無疑是一個重要的思維跨越。本文旨在幫助同學們扎實掌握函數(shù)的基礎知識，為后續(xù)的深入學習鋪平道路。一、函數(shù)的概念：從變量關系到對應法則在初中階段，我們已經(jīng)接觸過“變量”的概念，知道在一個變化過程中，有些量的值會隨著另一些量的變化而變化。函數(shù)的概念正是從這種“變化依賴關系”中抽象出來的。1.1函數(shù)的定義設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。這里，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合B的子集。對定義的理解要點：*非空數(shù)集：A和B必須是非空的數(shù)集，這一點明確了函數(shù)研究的是數(shù)與數(shù)之間的對應。*任意性：對于集合A中的“任意一個”x，強調(diào)了定義域內(nèi)每個元素都要有對應的函數(shù)值。*唯一性：在集合B中都有“唯一確定”的數(shù)f(x)與之對應。這是函數(shù)概念的核心，即一個自變量x不能對應多個函數(shù)值y。例如，y=±√x就不是一個函數(shù)，因為當x>0時，一個x對應了兩個y值。*對應關系f：這是函數(shù)的靈魂，它描述了從x到y(tǒng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則。我們可以理解為一種“加工機器”，輸入x，經(jīng)過f的“加工”，輸出y。1.2函數(shù)的三要素由定義可知，一個函數(shù)由定義域、對應關系和值域三個要素構(gòu)成。其中，定義域和對應關系是決定函數(shù)的關鍵要素。如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)，而與函數(shù)用什么字母表示無關（即函數(shù)的表示與字母無關，這一點初學者容易混淆）。例題1：判斷下列各組函數(shù)是否為同一函數(shù)。(1)f(x)=x與g(x)=(√x)2(2)f(x)=x+1與g(x)=(x2-1)/(x-1)(3)f(x)=|x|與g(x)=√(x2)思路分析：判斷是否為同一函數(shù)，需同時考察定義域和對應關系是否完全一致。解答：(1)f(x)=x的定義域為R（全體實數(shù)）。g(x)=(√x)2，由于根號下的數(shù)非負，且平方后仍有意義，其定義域為x≥0。定義域不同，故不是同一函數(shù)。(2)f(x)=x+1的定義域為R。g(x)=(x2-1)/(x-1)，分母不能為零，故其定義域為x≠1。定義域不同，故不是同一函數(shù)。雖然在x≠1時，g(x)可化簡為x+1，但定義域的差異導致它們不是同一函數(shù)。(3)f(x)=|x|的定義域為R，g(x)=√(x2)的定義域也為R。對于任意實數(shù)x，√(x2)=|x|，故它們的對應關系也相同。因此，f(x)與g(x)是同一函數(shù)。注意：解析式的化簡可能會改變定義域，因此在比較時，不能僅看化簡后的形式，必須先看原始解析式的定義域。二、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法是我們研究和應用函數(shù)的工具。常用的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。2.1解析法（公式法）用數(shù)學表達式（解析式）來表示兩個變量之間的對應關系，這種方法叫做解析法。例如，y=2x+3，y=x2-1，y=√(x+2)等。優(yōu)點：簡潔明了，便于進行理論分析和運算。缺點：不夠直觀，有些函數(shù)關系難以用解析式表示。2.2列表法通過列出表格來表示兩個變量之間的對應關系，這種方法叫做列表法。例如，數(shù)學用表中的平方表、平方根表，以及生活中常見的工資表、成績表等。優(yōu)點：直接明了，可快速查得對應值。缺點：只能表示有限個或離散的自變量對應的函數(shù)值，不便于進行連續(xù)變化的分析。2.3圖像法用平面直角坐標系中的圖形來表示兩個變量之間的對應關系，這種方法叫做圖像法。圖像上每一個點的坐標(x,y)都滿足函數(shù)關系y=f(x)。優(yōu)點：形象直觀，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢和某些性質(zhì)（如單調(diào)性、最值等）。缺點：有時不能精確地表示函數(shù)值，也不便于進行精確計算。在實際應用中，我們常常會根據(jù)問題的需要選擇合適的表示方法，或者將幾種方法結(jié)合起來使用。2.4分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上，對應關系用不同解析式來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，它依然是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。其圖像可能由幾段不同的曲線或直線構(gòu)成。例題2：已知函數(shù)f(x)={x2,x≤0;2x-1,x>0}，求f(-2)，f(0)，f(3)的值，并畫出函數(shù)的大致圖像。思路分析：分段函數(shù)求值，關鍵是判斷自變量所在的區(qū)間，然后選用對應的解析式代入計算。畫圖時，也需在不同區(qū)間分別畫出對應解析式的圖像。解答：f(-2)：因為-2≤0，所以使用f(x)=x2，f(-2)=(-2)2=4。f(0)：因為0≤0，所以使用f(x)=x2，f(0)=02=0。f(3)：因為3>0，所以使用f(x)=2x-1，f(3)=2*3-1=5。圖像繪制要點：*在x≤0的區(qū)間，圖像為開口向上的拋物線y=x2的左半部分（包括原點）。*在x>0的區(qū)間，圖像為直線y=2x-1的右半部分（不包括點(0,-1)，因為x=0時已由第一段函數(shù)定義為(0,0)）。注意：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。在分段點處，函數(shù)值應看該點屬于哪一段（或是否在定義域內(nèi)）。三、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，它是函數(shù)的靈魂之一。在研究函數(shù)之前，必須首先明確函數(shù)的定義域。如果定義域不明確，函數(shù)就失去了意義。3.1確定函數(shù)定義域的主要依據(jù)在中學階段，確定函數(shù)的定義域主要遵循以下原則（即常見的限制條件）：1.分式的分母不為零。例如，函數(shù)f(x)=1/(x-2)的定義域為x≠2。2.偶次根式的被開方數(shù)非負。例如，函數(shù)f(x)=√(3x+6)的定義域為3x+6≥0，即x≥-2。3.零次冪的底數(shù)不為零。例如，函數(shù)f(x)=(x-1)^0的定義域為x-1≠0，即x≠1。4.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1。（對數(shù)函數(shù)將在后續(xù)學習）5.實際問題中，函數(shù)的定義域還需考慮自變量的實際意義。例如，若用函數(shù)表示人數(shù)，則定義域應為非負整數(shù)。對于由多個數(shù)學式子組合而成的函數(shù)，其定義域是各個部分都有意義的自變量的取值集合的交集。3.2求函數(shù)定義域的步驟1.找出所有限制條件（如分母、偶次根式、零次冪等）。2.分別列出使每個限制條件成立的不等式（組）。3.解不等式（組），求出解集。4.將解集用集合或區(qū)間的形式表示出來，即為函數(shù)的定義域。例題3：求函數(shù)f(x)=√(x+3)/(x2-1)的定義域。思路分析：該函數(shù)是一個分式，分子是偶次根式。因此，需同時滿足：分子的被開方數(shù)非負，且分母不為零。解答：要使函數(shù)有意義，需滿足：{x+3≥0（偶次根式被開方數(shù)非負）x2-1≠0（分母不為零）}解第一個不等式：x≥-3。解第二個不等式：x2≠1，即x≠1且x≠-1。綜合以上，函數(shù)的定義域為x≥-3且x≠-1且x≠1。用區(qū)間表示為：[-3,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。注意：定義域的表示要規(guī)范，通常用集合（如{x|x≥-3且x≠±1}）或區(qū)間表示?！扒摇弊植荒苁÷?，它表示多個條件的同時滿足。四、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是描述函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)增減變化趨勢的重要性質(zhì)，它反映了函數(shù)值隨自變量變化的規(guī)律。4.1單調(diào)性的定義設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?：*當x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。*當x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。對定義的理解要點：*區(qū)間D：單調(diào)性是函數(shù)在“某個區(qū)間上”的性質(zhì)，離開了具體區(qū)間，談論單調(diào)性是沒有意義的。一個函數(shù)可能在定義域的不同區(qū)間上有不同的單調(diào)性。*任意性：定義中的“任意兩個自變量的值x?，x?”，強調(diào)了不能用特殊值代替，必須具有普遍性。*有序性：x?<x?以及f(x?)與f(x?)的大小比較，體現(xiàn)了變化的方向性。4.2單調(diào)性的判斷與證明判斷函數(shù)的單調(diào)性，常用的方法有圖像法和定義法。圖像法直觀，定義法嚴謹。*圖像法：在某個區(qū)間上，若函數(shù)圖像從左到右是上升的，則函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；若圖像從左到右是下降的，則為減函數(shù)。*定義法：按照定義進行證明，步驟如下：1.取值：在區(qū)間D上任取x?，x?，且設x?<x?。2.作差：計算f(x?)-f(x?)。3.變形：對差式進行變形（通常是因式分解、配方等），以便判斷其符號。4.定號：根據(jù)已知條件或變形結(jié)果，判斷f(x?)-f(x?)的符號。5.結(jié)論：根據(jù)定義得出函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性結(jié)論。例題4：證明函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)。思路分析：嚴格按照定義法證明的步驟進行。證明：任取x?，x?∈[0,+∞)，且x?<x?。f(x?)-f(x?)=x?2-x?2=(x?-x?)(x?+x?)。因為x?<x?，所以x?-x?<0。又因為x?，x?∈[0,+∞)，所以x?+x?>0。因此，f(x?)-f(x?)=(x?-x?)(x?+x?)<0*(x?+x?)=0，即f(x?)<f(x?)。根據(jù)增函數(shù)的定義，函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)。注意：變形的目的是為了能清晰地判斷出差的符號。對于二次函數(shù)，平方差公式是常用的變形手段。五、函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的另一個重要性質(zhì)，它描述的是函數(shù)圖像關于原點或y軸對稱的特性。5.1奇偶性的定義設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的任意一個x，都有-x∈I，且：*f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)。*f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。不滿足上述條件的函數(shù)，不具有奇偶性（既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)）。對定義的理解要點：*定義域的對稱性：對于定義域內(nèi)的任意一個x，-x也必須在定義域內(nèi)。這意味著奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必須關于原點對稱。這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。如果一個函數(shù)的定義域不關于原點對稱，那么它一定不具有奇偶性。*f(-x)與f(x)的關系：這是判斷奇偶性的核心。對于偶函數(shù)，自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值不變；對于奇函數(shù)，自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值也取相反數(shù)。*函數(shù)圖像特征：偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖像關于原點中心對稱。這個特征非常直觀，有助于我們理解和記憶奇偶性。5.2奇偶性的判斷步驟1.判斷定義域是否關于原點對稱。若不對稱，則函數(shù)非奇非偶。2.計算f(-x)。3.比較f(-x)與f(x)以及-f(x)的關系。*若f(-x)=f(x)且f(-x)≠-f(x)，則為偶函數(shù)。*若f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，則為奇函數(shù)。*若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（此時f(x)=0，且定義域關于原點對稱）。*若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，則函數(shù)非奇非偶。例題5：判斷下列函數(shù)的奇偶性。(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=x2+1