2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）思維拓展06三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（精講+精練）一、三次函數(shù)概念定義：形如叫做三次函敞，把叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式當(dāng)時(shí)，令，記兩根為二、三次函數(shù)的圖像及單調(diào)性注：三次函數(shù)要么無(wú)極值點(diǎn)，要么有兩個(gè)，不可能只有一個(gè)！系數(shù)關(guān)系式的圖像的圖像的性質(zhì)恒成立在上遞增無(wú)極值點(diǎn)恒成立在上遞減無(wú)極值增區(qū)間減區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)極大值，極小值增區(qū)間減區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)極大值，極小值三、三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)若三次函數(shù)存在極值時(shí)，其圖像、零點(diǎn)、極值的關(guān)系如下：性質(zhì)三次函數(shù)圖像說(shuō)明零點(diǎn)個(gè)數(shù)三個(gè)兩個(gè)極值異與圖像與軸有三個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)有一個(gè)極值為0圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)存在極值時(shí)一個(gè)不存在極值時(shí)，函數(shù)單調(diào)，與軸有一個(gè)交點(diǎn)四、三次函數(shù)的韋達(dá)定理設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，則(1)(2)(3)(4)五、三次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)論1三次函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱結(jié)論2已知三次函數(shù)中心對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，則結(jié)論3若圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖像關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)，軸對(duì)稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)【典例1】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形【典例2】（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)使得 B．方程有唯一正實(shí)數(shù)解C．方程有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解 D．有負(fù)實(shí)數(shù)解【題型訓(xùn)練-刷真題】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，3．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題5．（2024·全國(guó)·高考真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【題型訓(xùn)練-刷模擬】一、單選題1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知函數(shù)，則以下正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）有兩個(gè)極值點(diǎn)；（2）的駐點(diǎn)為和；（3）有3個(gè)零點(diǎn)；（4）直線是曲線的切線.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4．（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恒成立C．當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，記為，則5．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)同時(shí)也是的零點(diǎn)，則（

）A．B．在R上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)只有兩條直線與曲線相切二、多選題6．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為17．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則8．（2024·貴州畢節(jié)·一模）已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A．B．時(shí)，函數(shù)的圖象在處的切線方程為C．為定值D