五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積（5年5考）2025天津卷：求數(shù)量積2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加減與數(shù)量積運(yùn)算，通常運(yùn)用基底法與建系法數(shù)形結(jié)合。2.平面向量的線性表示，通常會(huì)與共線結(jié)合，同時(shí)結(jié)合基本不等式求解最值與取值范圍問題.3.向量的夾角與模長問題是高考中中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合最值與取值范圍進(jìn)行考察考點(diǎn)2平面向量的線性表示（5年4考）2025天津卷：平面向量的線性運(yùn)算2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)3向量夾角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)4向量模長（5年1考）2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；考點(diǎn)4復(fù)數(shù)（5年5考）2025天津卷：復(fù)數(shù)的模2024天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；2023天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2022天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2021天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)在高考中主要考察了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，包含了加減乘除運(yùn)算.考點(diǎn)01平面向量數(shù)量積1．（2024·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則2.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，考點(diǎn)02平面向量的線性表示3．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=1考點(diǎn)03向量夾角4．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示考點(diǎn)04向量模長5．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E．DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算6.（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．7．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i8．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡5+14i2+39．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡11-3i1+2i的結(jié)果為10．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+2i2+i一、單選題1．（2025·天津和平·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2025·天津·一模）若（是虛數(shù)單位，a，b是實(shí)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足，則.4．（2025·天津北辰·三模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.5．（2025·天津河西·二模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則.6．（2025·天津南開·二模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．7．（2025·天津·二模）在邊長為1的菱形ABCD中，，記，，點(diǎn)M是線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DC上一點(diǎn)，且A，M，N三點(diǎn)共線．若，則用，表示；若，則的值為．8．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.9．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長為1，中心為，過作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（?。┊?dāng)時(shí)，；（ⅱ）的最小值為．10．（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.11．（2025·天津南開·二模）在梯形中，，，，記，，用和表示；若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．12．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為；（2）邊和的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為和的交點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則的最小值為.13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，則；若為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14．（2025·天津和平·二模）在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則，若，則當(dāng)最大時(shí)，的值為.15．（2025·天津河北·二模）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)，分別在邊，上.若，，則用和表示；若，則的最小值為.16．（2025·天津和平·一模）已知平面四邊形滿足，且，為的中點(diǎn)，則，若、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為.17．（2025·天津·一模）在邊長為的菱形中，，且，，則；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．18．（2025·天津河西·一模）如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，，，則；設(shè)，且，則四邊形的面積為．19．（2025·天津南開·一模）在中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，用和表示；則的余弦值為．20．（2025·天津武清·一模）已知正方形的邊長為，，若，其中，為實(shí)數(shù)，則；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為.專題05平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積（5年5考）2025天津卷：求數(shù)量積2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加減與數(shù)量積運(yùn)算，通常運(yùn)用基底法與建系法數(shù)形結(jié)合。2.平面向量的線性表示，通常會(huì)與共線結(jié)合，同時(shí)結(jié)合基本不等式求解最值與取值范圍問題.3.向量的夾角與模長問題是高考中中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合最值與取值范圍進(jìn)行考察考點(diǎn)2平面向量的線性表示（5年4考）2025天津卷：平面向量的線性運(yùn)算2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)3向量夾角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)4向量模長（5年1考）2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；考點(diǎn)4復(fù)數(shù)（5年5考）2025天津卷：復(fù)數(shù)的模2024天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；2023天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2022天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2021天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)在高考中主要考察了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，包含了加減乘除運(yùn)算.考點(diǎn)01平面向量數(shù)量積1．（2024·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則2.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，考點(diǎn)02平面向量的線性表示3．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=1考點(diǎn)03向量夾角4．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示考點(diǎn)04向量模長5．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E．DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算6.（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．7．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i8．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡5+14i2+39．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡11-3i1+2i的結(jié)果為10．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+2i2+i一、單選題1．（2025·天津和平·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2025·天津·一模）若（是虛數(shù)單位，a，b是實(shí)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題3．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足，則.4．（2025·天津北辰·三模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.5．（2025·天津河西·二模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則.6．（2025·天津南開·二模）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則．7．（2025·天津·二模）在邊長為1的菱形ABCD中，，記，，點(diǎn)M是線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段DC上一點(diǎn)，且A，M，N三點(diǎn)共線．若，則用，表示；若，則的值為．8．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.9．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長為1，中心為，過作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，；（ⅱ）的最小值為．10．（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為；當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.11．（2025·天津南開·二模）在梯形中，，，，記，，用和表示；若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．12．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為；（2）邊和的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為和的交點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則的最小值為.13．（2025·天津·二模）在中，已知，且，則；若為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14．（2025·天津和平·二模）在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則，若，則當(dāng)最大時(shí)，的值為.15．（2025·天津河北·二模）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)，分別在邊，上.若，，則用和表示；若，則的最小值為.16．（2025·天津和平·一模）已知平面四邊形滿足，且，為的中點(diǎn)，則，若、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為.17．（2025·天津·一