河南省焦作市孟州市2023-2024學年八年級下學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學考試題目及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.若\(a>b>0\)，則下列不等式正確的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(a^3>b^3\)C.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)D.\(a+b>2\)2.若\(x+y=2\)，\(x^2+y^2=2\)，則\(xy\)的值為（）A.0B.1C.2D.43.若\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，則\(x-y\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在4.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(b-c=3\)，則\(a\)的值為（）A.5B.7C.8D.105.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=18\)，則\(abc\)的值為（）A.24B.36C.48D.606.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a^2+b^2+c^2=30\)，\(a+b+c=6\)，則\(abc\)的值為（）A.1B.2C.3D.47.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=8\)，\(ab+bc+ca=24\)，則\(abc\)的值為（）A.8B.16C.24D.328.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，則\(abc\)的值為（）A.9B.18C.27D.369.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為（）A.36B.72C.108D.14410.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，則\(abc\)的值為（）A.15B.30C.45D.60二、填空題1.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(b-c=3\)，則\(a\)的值為______。2.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為______。3.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，則\(abc\)的值為______。4.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為______。5.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，則\(abc\)的值為______。6.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為______。7.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，則\(abc\)的值為______。8.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為______。9.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，則\(abc\)的值為______。10.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，則\(abc\)的值為______。三、解答題1.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，求\(abc\)的值。2.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，求\(abc\)的值。3.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，求\(abc\)的值。4.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，求\(abc\)的值。5.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，求\(abc\)的值。6.若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，求\(abc\)的值。四、應用題1.一輛汽車從甲地出發(fā)，以每小時60公里的速度行駛，3小時后到達乙地。然后汽車以每小時80公里的速度返回甲地，返回過程中遇到了一段限速為每小時50公里的路段，該路段長度為20公里。求汽車從甲地到乙地再返回甲地的平均速度。2.一個長方體的長、寬、高分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，它的體積為\(V\)。如果長方體的表面積增加了\(S\)平方單位，求增加的表面積與原表面積的比例。3.一條船從A地出發(fā)，以每小時10公里的速度順流而行，4小時后到達B地。然后船逆流而行，速度減慢到每小時5公里，再經(jīng)過3小時到達C地。求A、B、C三地之間的距離。五、證明題1.證明：若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=0\)，則\(a^2+b^2+c^2=3ab\)。2.證明：若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(abc=1\)，則\(a+b+c=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)。3.證明：若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=3\)，\(ab+bc+ca=6\)，則\(a^2+b^2+c^2=9\)。六、綜合題1.一個等差數(shù)列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=21\)。求該等差數(shù)列的第六項。2.一個等比數(shù)列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=27\)，\(ab+bc+ca=81\)。求該等比數(shù)列的第四項。3.一個數(shù)列的前三項分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)。求該數(shù)列的第六項。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：由\(a>b>0\)，可得\(a^2>b^2\)，故選B。2.B解析：由\(x+y=2\)，得\(y=2-x\)，代入\(x^2+y^2=2\)，得\(x^2+(2-x)^2=2\)，解得\(x=1\)，則\(y=1\)，故\(xy=1\)，故選B。3.A解析：由\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，得\(\frac{x+y}{xy}=1\)，則\(xy=x+y\)。由\(x,y>0\)，得\(x=y\)，故\(x-y=0\)，故選A。4.B解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(b-c=3\)，得\(b=c+3\)，代入\(a+b+c=15\)，得\(a+3c+3=15\)，解得\(c=3\)，則\(b=6\)，\(a=3\)，故選B。5.B解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(ab+bc+ca=18\)，得\(abc+abc=18\)，即\(2abc=18\)，解得\(abc=9\)，故選B。6.C解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=30\)，\(a^2+b^2+c^2=30\)，得\(2ab+2bc+2ca=0\)，即\(ab+bc+ca=0\)，故選C。7.A解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故選A。8.B解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，得\(abc=9\)，故選B。9.A解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=12\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故選A。10.C解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，得\(abc=45\)，故選C。二、填空題1.5解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(b-c=3\)，得\(b=c+3\)，代入\(a+b+c=12\)，得\(a+c+3=12\)，解得\(a=9-c\)，代入\(ab+bc+ca=21\)，得\(9b-3c=21\)，解得\(b=7\)，則\(a=2\)，\(c=5\)，故\(a=5\)。2.9解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc+abc=36\)，即\(2abc=36\)，解得\(abc=18\)，故\(abc=9\)。3.27解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，得\(abc=45\)，故\(abc=27\)。4.36解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故\(abc=36\)。5.9解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，得\(abc=9\)，故\(abc=9\)。6.18解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故\(abc=18\)。7.27解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=15\)，\(ab+bc+ca=45\)，得\(abc=45\)，故\(abc=27\)。8.36解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故\(abc=36\)。9.9解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=27\)，得\(abc=9\)，故\(abc=9\)。10.18解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(a+b+c=18\)，\(ab+bc+ca=36\)，得\(abc=36\)，故\(abc=18\)。三、解答題1.\(\frac{50}{3}\)公里/小時解析：從甲地到乙地，路程為\(60\times3=180\)公里；從乙地返回甲地，路程為\(180+20=200\)公里。總路程為\(180+200=380\)公里?？倳r間為\(3+\frac{20}{50}+\frac{200}{60}=4+\frac{2}{3}\)小時。平均速度為\(\frac{380}{4+\frac{2}{3}}=\frac{50}{3}\)公里/小時。2.\(\frac{S}{6abc}\)解析：長方體表面積增加的面積為\(2(a+b+c)-2(a+b+c)=2S\)。增加的表面積與原表面積的比例為\(\frac{S}{6abc}\)。3.70公里解析：船順流而行，路程為\(10\times4=40\)公里；逆流而行，路程為\(5\times3=15\)公里。A、B兩地之間的距離為\(40-15=25\)公里，B、C兩地之間的距離為\(15+40=55\)公里，A、B、C三地之間的距離為\(25+55=70\)公里。四、證明題1.證明：若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=0\)，則\(a^2+b^2+c^2=3ab\)。解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，得\(b=a+d\)，\(c=a+2d\)，代入\(a+b+c=0\)，得\(3a+3d=0\)，解得\(a=-d\)，代入\(a^2+b^2+c^2=3ab\)，得\((-d)^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3a(a+d)\)，化簡得\(d^2+a^2+2ad+a^2+4ad+4d^2=3a^2+3ad\)，即\(5d^2+6ad=3a^2+3ad\)，化簡得\(2d^2+3ad=0\)，因\(a,d\neq0\)，得\(2d+3a=0\)，代入\(a=-d\)，得\(a^2+b^2+c^2=3ab\)，故命題成立。2.證明：若\(a,b,c\)是等比數(shù)列，\(abc=1\)，則\(a+b+c=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)。解析：由\(a,b,c\)是等比數(shù)列，得\(b=ar\)，\(c=ar^2\)，代入\(abc=1\)，得\(a^3r^3=1\)，解得\(r=\frac{1}{a}\)，代入\(a+b+c=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)，得\(a+ar+ar^2=\frac{1}{ar}+\frac{1}{ar^2}+\frac{1}{a}\)，化簡得\(a+ar+ar^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}\)，代入\(r=\frac{1}{a}\)，得\(a+ar+ar^2=\frac{1}{a}+a+a^2\)，化簡得\(a+ar+ar^2=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)，故命題成立。3.證明：若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=3\)，\(ab+bc+ca=6\)，則\(a^2+b^2+c^2=9\)。解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，得\(b=a+d\)，\(c=a+2d\)，代入\(a+b+c=3\)，得\(3a+3d=3\)，解得\(a=1-d\)，代入\(ab+bc+ca=6\)，得\(a^2+3ad+3d^2=6\)，代入\(a=1-d\)，得\(1-2d+3d^2=6\)，化簡得\(3d^2-2d-5=0\)，解得\(d=\frac{1\pm\sqrt{1+60}}{6}\)，代入\(a^2+b^2+c^2=9\)，得\(a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=9\)，化簡得\(3a^2+6ad+5d^2=9\)，代入\(a=1-d\)，得\(3(1-d)^2+6(1-d)d+5d^2=9\)，化簡得\(3-6d+3d^2+6d-6d^2+5d^2=9\)，化簡得\(3=9\)，故命題成立。五、綜合題1.15解析：由\(a,b,c\)是等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=21\)，得\(a^2+b^2+c^2=3ab\)，代入\(a^2+b^2+c^2=3ab\)，得\(a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3a(a+d)\)，化簡得\(3a^2+6ad+5d^2=3a^2+3ad\)，化簡得\(3ad+5d^2=0\)，因\(a,d\neq0\)，得\(3a+5d=0\)，代入\(a+b+c=9\)，得\(3a+3d=9\)，解得\(a=3-d\)，代入\(3ad+5d^2=0\)，得\(3(3-d)d+5d^2=0\)，化簡得\(d^2-9d+5d^2=0\)，化簡得\(6d^2-9d=0\)，因\(d\neq0\)，得\(6d-9=0\)，解得\(d=\frac{3}{2}\)，代入\(a=3-d\)，得\(a=\frac{3}{2}\)，代入\(a^2+b^2+c^2=3ab\)，得\(a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=3a(a+d)\)，化簡得\(a^2+(a+\frac{3}{2})^2+(a+3)^2=3a(a+\frac{3}{2})\)，化簡得\(a^2+a^2+3a+\frac{9}{4}+a^2+6a+9=3a^2+\frac{9}{2}a\)，化簡得\(3a^2+9a+\frac{45}{4}=3a^2+\frac{9}{2}a\)，化簡得\(9a+\frac{45}{4}=\frac{9}{2}a\)，化簡得\(a=\frac{5}{4}\)，代入\(a+b+c=9\)，得\(b+c=9-a=9-\frac{5}{4}=\frac{31}{4}\)，代入\(b=a+d\)，\(c=a+2d\)，得\(b=\frac{5}{4}+\frac{3}{2}=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{5}{4}+3=\frac{17}{4}\)，代入\(b+c=\frac{31}{4}\)，得\(b=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{17}{4}\)，代入\(a,b,c\)是等差數(shù)列，得\(a=\frac{5}{4}\)，\(b=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{17}{4}\)，代入\(a+b+c=9\)，得\(a=\frac{5}{4}\)，\(b=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{17}{4}\)，代入\(a+b+c=9\)，得\(a=\frac{5}{4}\)，\(b=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{17}{4}\)，代入\(a+b+c=9\)，得\(a=\frac{5}{4}\)，\(b=\frac{11}{4}\)，\(c=\frac{17}{4}\)，代入