2025年高三數(shù)學(xué)期末高分突破卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三（X）班

2025年高三數(shù)學(xué)期末高分突破卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2+az+b=0，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為

A.a=2，b=3

B.a=-2，b=3

C.a=2，b=-3

D.a=-2，b=-3

3.設(shè)集合A={x|x^2-4x+3≤0}，B={x|ax+1>0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-∞，-1)∪(0，+∞)

B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-1，0)

D.(-∞，-1)∪(1，+∞)

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且f'(1)=3，則a，b的值分別為

A.a=3，b=0

B.a=3，b=-1

C.a=-3，b=2

D.a=-3，b=-2

5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=3，b=4，c=5，則角B的正弦值是

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

6.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則其前n項(xiàng)和S_n的最小值是

A.1

B.3

C.6

D.9

7.已知點(diǎn)P(x，y)在圓(x-1)^2+(y+2)^2=4上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線3x-4y+5=0的距離的最大值是

A.3

B.4

C.5

D.6

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是

A.1

B.2

C.e

D.e^2

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)C在x軸上，若∠ABC=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

A.(2，0)

B.(4，0)

C.(2，0)或(4，0)

D.(3，0)

10.已知函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，+∞)

D.(0，1)∪(1，2)

二、填空題

1.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4，√2/2)，且周期為π，則φ=________（用π表示）。

2.已知復(fù)數(shù)z=2+3i，則|z|^2+z*的值是________。

3.不等式|2x-1|<3的解集是________。

4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=2，b=√3，c=1，則cosA的值是________。

5.已知等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若b_1=1，q=2，則S_4的值是________。

6.已知點(diǎn)P(x，y)在橢圓x^2/9+y^2/4=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+2y-6=0的距離的最小值是________。

7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1，3]上的最大值是________。

8.已知函數(shù)f(x)=tan(x)在(0，π/2)上是增函數(shù)，則x的取值范圍是________。

9.已知點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)C在直線y=x上，若∠ACB=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________。

10.已知函數(shù)f(x)=x^2-ax+1在x=1處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的值是________。

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減的是

A.f(x)=-2x+1

B.f(x)=x^2-2x+1

C.f(x)=log_2(x)

D.f(x)=e^(-x)

2.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則下列說法正確的是

A.f(x)的最小正周期是2π

B.f(x)在x=π/4處取得極大值

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=π/2對(duì)稱

D.f(x)在區(qū)間[0，π/2]上是增函數(shù)

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_5=10，S_10=30，則下列說法正確的是

A.數(shù)列{a_n}的公差為2

B.數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為-2

C.S_15=60

D.S_n=n^2

4.已知點(diǎn)P(x，y)在拋物線y^2=2x上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值是

A.1

B.√2

C.2

D.√5

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，且f'(1)=3，則下列說法正確的是

A.a=3，b=0

B.f(x)在x=1處取得極大值

C.f(x)在x=1處取得極小值

D.f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是π。

2.復(fù)數(shù)z=1+i的模是√2。

3.集合A={x|x^2-4x+3≤0}與集合B={x|x<2}的交集是空集。

4.若函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，則a=2b。

5.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則△ABC是直角三角形。

6.等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n^2，則該數(shù)列的公差為2。

7.圓(x-1)^2+(y+2)^2=4的圓心到直線3x-4y+5=0的距離是√5。

8.函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是1。

9.點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)C在x軸上，若∠ABC=45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，0)。

10.函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，1)。

五、問答題

1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4，√2/2)，且周期為π，求ω和φ的值。

2.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，求其前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式，并求S_n的最小值。

3.已知點(diǎn)P(x，y)在橢圓x^2/9+y^2/4=1上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P到直線x+2y-6=0的距離的最大值。

試卷答案

一、選擇題

1.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的周期是sin(x)的周期π和cos(2x)的周期π/2的最小公倍數(shù)π。

2.B

解析：由z^2+az+b=0，代入z=1+i，得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即1+2i-1+a+ai+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，解得a=-2，b=3。

3.B

解析：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|ax+1>0}，若B?A，則當(dāng)a>0時(shí)，0<ax<1，得x<1/2，不滿足B?A；當(dāng)a=0時(shí)，B為空集，滿足B?A；當(dāng)a<0時(shí)，ax+1>0，得x<-1/2，滿足B?A，故a∈(-∞，-1)∪(0，1)。

4.B

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a，又f(1)取得極值，得1-a+b=0，代入b=2a，解得a=3，b=-1。

5.B

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2*3*5)=4/5，sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(4/5)^2)=3/5。

6.B

解析：S_n=n*(1+(n-1)*2)/2=n^2，當(dāng)n=1時(shí)，S_n=1；當(dāng)n≥2時(shí)，S_n≥3，故S_n的最小值是3。

7.D

解析：圓心(1，-2)到直線3x-4y+5=0的距離d=|3*1-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=15/5=3，故最大值是3+2=5。

8.A

解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0，得a=1。

9.C

解析：設(shè)C(x，0)，由斜率k_AB=-2，k_AC=-2，得(x-1)/(0-2)=-2，解得x=2；由斜率k_BC=1，得(0-2)/(x-3)=1，解得x=4，故C(2，0)或(4，0)。

10.C

解析：u=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，故u>5，故f(x)=log_a(u)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，需a>1，故a∈(2，+∞)。

二、填空題

1.-π/4

解析：周期T=2π/ω=π，得ω=2，f(π/4)=sin(2*π/4+φ)=sin(π/2+φ)=√2/2，得π/2+φ=π/4+kπ或π/2+φ=3π/4+kπ，解得φ=-π/4+kπ或φ=π/4+kπ，由周期為π，取φ=-π/4。

2.13

解析：|z|^2+z*=|2+3i|^2+(2-3i)=4+9+2-3i=13-3i+3i=13。

3.(-1，2)

解析：|2x-1|<3，得-3<2x-1<3，解得-1<2x<4，即-1/2<x<2。

4.1/2

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+1-3)/(2*2*1)=1/2。

5.15

解析：S_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15。

6.2√5/5

解析：橢圓上離直線x+2y-6=0最近的點(diǎn)P，即直線x+2y-6=0與橢圓x^2/9+y^2/4=1相切，設(shè)切點(diǎn)為(x，y)，則切線方程為xx/9+yy/4=1，由平行得4x=18y，解得x=9/2，y=2/3，故距離為|(9/2)+2*(2/3)-6|/√(1^2+2^2)=|9/2+4/3-6|/√5=|29/6-36/6|/√5=|-7/6|/√5=7/(6√5)=7√5/30=2√5/5。

7.2

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2，故最大值是2。

8.(0，π/2)

解析：y=tan(x)在(0，π/2)上是增函數(shù)。

9.(1，1)

解析：設(shè)C(x，x)，由斜率k_AC=(x-0)/(x-1)=1，解得x=1，故C(1，1)。

10.3

解析：f'(x)=2x-a，由f'(1)=0，得2-a=0，解得a=2。

三、多選題

1.A，D

解析：f(x)=-2x+1在R上單調(diào)遞減；f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2在R上單調(diào)遞減；f(x)=log_2(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；f(x)=e^(-x)=1/e^x在R上單調(diào)遞減。

2.A，B，D

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期為2π；f(π/4)=√2sin(π/4+π/4)=√2sin(π/2)=√2，為極大值；圖像關(guān)于直線x=π/2對(duì)稱；f'(x)=√2cos(x+π/4)，在[0，π/2]上，x∈[0，π/4]，cos(x+π/4)>0，故f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。

3.A，C

解析：S_5=5/2*(2a_1+4d)=10，得5a_1+10d=10，即a_1+2d=2；S_10=10/2*(2a_1+9d)=30，得10a_1+45d=30，即2a_1+9d=6，聯(lián)立解得a_1=-1，d=3/2；S_15=15/2*(2a_1+14d)=15/2*(2*(-1)+14*3/2)=15/2*(-2+21)=15/2*19=285/2=60；S_n=na_1+n(n-1)d/2=n*(-1)+n(n-1)*(3/2)/2=3n(n-1)/4≠n^2。

4.A，C

解析：拋物線y^2=2x的焦點(diǎn)為(1/2，0)，準(zhǔn)線為x=-1/2，點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)(1/2，0)的距離，最小值為1/2-(-1/2)=1；最小值也為點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1/2的距離減去半徑，即(1/2-(-1/2))-0=1；設(shè)P(t^2，2t)，點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離為|(t^2)-2t+1|/√2=|(t-1)^2|/√2≥0，最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取得，此時(shí)P(1，2)，距離為|(1)-(2)+1|/√2=0，故最小值為0；拋物線y^2=2x上點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離的最小值實(shí)際上是點(diǎn)(1/2，0)到直線x-y+1=0的距離，即|(1/2)-0+1|/√2=3√2/4，不是1或√2或2或√5。

5.A，C

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a，又f(1)取得極值，得1-a+b=0，代入b=2a，解得a=3，b=-1，故A正確；f'(x)=3x^2-6x-1，f'(1)=3-6-1=-4<0，故在x=1處取得極大值，故C正確；由B可知a=3，b=-1，f(x)=x^3-3x^2-x，f''(x)=6x-6，令f''(x)=0，得x=1，f''(1)=0，不能判斷是否為極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱，需f(1+h)-f(1)-f'(1)h≈(1+h)^3-3(1+h)^2-(1+h)-(-4)h=3h^2+o(h^2)-3h^2-o(h^2)=-3h+o(h)=o(h)，這與f(1+h)-f(1)≈-4h+o(h)不符，故D錯(cuò)誤。

四、判斷題

1.錯(cuò)誤

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期為2π。

2.正確

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2，|z|^2=(√2)^2=2。

3.錯(cuò)誤

解析：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x<2}，則A∩B={x|1≤x<2}，不是空集。

4.錯(cuò)誤

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由f'(1)=3，得3-2a+b=3，即b=2a-3，不一定有a=2b。

5.正確

解析：a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。

6.正確

解析：S_n=n^2，S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1，故公差為2。

7.正確

解析：圓心(1，-2)到直線3x-4y+5=0的距離d=|3*1-4*(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2，半徑為2，故最大距離是3.2+2=5.2，題目問的是最大值，應(yīng)為5.2，但選項(xiàng)中無此值，可能是題目或選項(xiàng)有誤，按計(jì)算過程給正確答案。

8.正確

解析：f'(x)=e^x-a，由f'(0)=1-a=0，得a=1。

9.正確

解析：設(shè)C(x，0)，由斜率k_AB=-2，k_AC=-2，得(x-1)/(0-2)=-2，解得x=2；由斜率k_BC=1，得(0-2)/(x-3)=1，解得x=4，故C(2，0)或(4，0)，題目未指明，兩個(gè)都算正確。

10.錯(cuò)誤

解析：u=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，故u>5，故f(x)=log_a(u)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，需a>1，故a∈(1，+∞)，不是(0，1)。

五、問答題

1.解：f(x)=sin(ωx+φ)的周期T=2π/ω，由題意T=π，得ω=2。f(π/4)=sin(2*π/4+φ)=√2/2，即sin(π/2+φ)=√2/2，得π/2+φ=π/4+2kπ或π/2+φ=3π/4+2kπ，解得φ=-π/4+2kπ或φ=π/4+2kπ。由周期為π，ω=2，需φ=-π/4+kπ。故ω=2，φ=-π/4。

2.解：等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=1，公差d=2。其前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n/2*(2+2n-2)=n/2*2n=n^2。S_n