高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第3講極限的運(yùn)算法則第1章函數(shù)、極限與連續(xù)01極限的四則運(yùn)算法則02極限存在準(zhǔn)則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內(nèi)容01極限的四則運(yùn)算法則1.極限的四則運(yùn)算法則定理1.123(2)存在，且有(1)存在，且有.與都存在，且如果，，則1.極限的四則運(yùn)算法則4(3)，則若存在，且有.01極限的四則運(yùn)算法則5推論設(shè)存在，且..(1)若存在，且有是常數(shù)，則(2)為正整數(shù)，則若存在，且有01極限的四則運(yùn)算法則6

解求

.

1例.01極限的四則運(yùn)算法則7

解求

..

2例01極限的四則運(yùn)算法則8

解求

.

3例01極限的四則運(yùn)算法則19

解求

4例01極限的四則運(yùn)算法則2因?yàn)樗?0

解

5例01極限的四則運(yùn)算法則3求

將分子、分母同除以得注意11

解

6例01極限的四則運(yùn)算法則4求

將分子、分母同除以得12

解

7例01極限的四則運(yùn)算法則5求

結(jié)合例6可得13若，且和均為正整數(shù)，，則有01極限的四則運(yùn)算法則結(jié)論：14

解將分子、分母同除以得

8例求..01極限的四則運(yùn)算法則15，因?yàn)闃O限存在且為0，所以必有的值，使試求常數(shù)與.

解由題意可知，必有，進(jìn)行分子有理化得即.，

9例01極限的四則運(yùn)算法則（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）定理1.1316.，且在點(diǎn)，的某去心領(lǐng)域內(nèi)和，則由復(fù)合而成的函數(shù)的極限存在，且01極限的四則運(yùn)算法則17求極限.

所以.

時(shí)，則，

作代換，

解

10例01極限的四則運(yùn)算法則01極限的四則運(yùn)算法則02極限存在準(zhǔn)則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內(nèi)容（數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則）定理1.1419,(1)，如果數(shù)列滿足條件，，，(2)則數(shù)列的極限存在,且.02極限存在準(zhǔn)則20定理1.15（函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則）成立，設(shè)函數(shù)在，的某去心領(lǐng)域，內(nèi)有定義，且滿足條件(或)(1)當(dāng)(或)時(shí),有(2)，，存在，且.則02極限存在準(zhǔn)則

解21

11例求.記，將放縮得02極限存在準(zhǔn)則22而，，根據(jù)夾逼準(zhǔn)則得，，即.02極限存在準(zhǔn)則23單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定理1.16（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限.定義1.12若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列；為單調(diào)遞減數(shù)列.滿足，則稱數(shù)列若數(shù)列02極限存在準(zhǔn)則24設(shè)

(1)證明

存在；(2)求

(1)

因?yàn)?/p>

則，

且

即數(shù)列是單調(diào)遞減且有下界，

由單調(diào)有界原理可知存在.

12例

解又因?yàn)?2極限存在準(zhǔn)則25

(2)

設(shè)因?yàn)?/p>

對(duì)遞推公式

兩端同時(shí)取極限，得到

解得

02極限存在準(zhǔn)則所以由極限的保號(hào)性知01極限的四則運(yùn)算法則02極限存在準(zhǔn)則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內(nèi)容27重要極限Ⅰ上式可以用下面的結(jié)構(gòu)式表示：.03重要極限Ⅰ28

解求..

13例03重要極限Ⅰ29求

解

14例03重要極限Ⅰ

15例

解30求極限..由于極限式中有與故應(yīng)分別考慮左、，右極限，記由于03重要極限Ⅰ31.故.03重要極限Ⅰ01極限的四則運(yùn)算法則02極限存在準(zhǔn)則03重要極限Ⅰ04重要極限Ⅱ本講內(nèi)容重要極限Ⅱ的變形形式為33重要極