高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第4講無(wú)窮小與無(wú)窮大第1章函數(shù)、極限與連續(xù)01無(wú)窮小02無(wú)窮大03無(wú)窮小階的比較04等價(jià)無(wú)窮小代換本講內(nèi)容01

無(wú)窮小定義1.133如果，則稱(chēng)函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小.當(dāng)為當(dāng)x1時(shí)的無(wú)窮小.為當(dāng)x0時(shí)的無(wú)窮小.為當(dāng)x

時(shí)的無(wú)窮小.為當(dāng)n

時(shí)的無(wú)窮小.數(shù)列

1例101

無(wú)窮小注4(1)一個(gè)變量是否為無(wú)窮小，除了與變量本身有關(guān)，還與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)；(2)無(wú)窮小不是絕對(duì)值很小的常數(shù)，而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下，函數(shù)的絕對(duì)值趨近于0的變量.常數(shù)0可以看成任何一個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小.特別地，

例如，

x–1當(dāng)

x1

時(shí)是無(wú)窮小，當(dāng)x2時(shí)不是無(wú)窮小.定理1.175的充分必要條件是時(shí)的無(wú)窮小，即其中是當(dāng)01

無(wú)窮小

2例2證明定理1.17.當(dāng)

時(shí),設(shè)

f(x)=A+

,

是x

x0時(shí)的無(wú)窮小，

是x

x0時(shí)的無(wú)窮小.證明總有(

x)(

x)(

x)性質(zhì)1.1性質(zhì)1.2性質(zhì)1.3推論6有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.01

無(wú)窮小注7無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和不一定是無(wú)窮小.中每一項(xiàng)均為無(wú)窮小,但.01

無(wú)窮小8求極限:

由于

解

3例03

無(wú)窮小階的比較故在

的任意去心領(lǐng)域內(nèi)是有界的.由性質(zhì)1.3可知，是

時(shí)而的無(wú)窮小，是

時(shí)的無(wú)窮小，即301無(wú)窮小02無(wú)窮大03無(wú)窮小階的比較04等價(jià)無(wú)窮小代換本講內(nèi)容定義1.141002

無(wú)窮大設(shè)函數(shù)

f(x)在x0

的某一去心鄰域內(nèi)有定義某一正數(shù)時(shí)有定義).如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M(不論它多么大)，總存在正數(shù)

只要x

適合0<|x–x0|<

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿(mǎn)足不等式|f(x)|>M，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x

x0

的無(wú)窮大.(或|x|大于(或正數(shù)X)，(或|x|>X)，記作(或

).(或x)時(shí)的無(wú)窮大.記作(5)無(wú)窮大分為正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大,分別記作

注11(1)無(wú)窮大是變量,不是很大的數(shù),不要將無(wú)窮大與很大的數(shù)(3)無(wú)窮大一定無(wú)界,但無(wú)界函數(shù)不一定是無(wú)窮大.例如,(2)無(wú)窮大是沒(méi)有極限的變量,但無(wú)極限的變量不一定是無(wú)窮大.和.(如)混淆.不是無(wú)窮大.比如不存在,但時(shí),02

無(wú)窮大

可定義不同變化過(guò)程中的無(wú)窮大.及(4)在該定義中,將換成,12

4例02

無(wú)窮大4已知，

證明：即

要使|f(x)|>M成立，只要取當(dāng)

時(shí),有故得證.

證明13當(dāng)時(shí),

說(shuō)明函數(shù)無(wú)界,

但不是無(wú)窮大.

取,則故當(dāng)時(shí),不是無(wú)窮大.取,則故當(dāng)時(shí),,因此無(wú)界.

解

5例,02

無(wú)窮大定理1.1814設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),(1)若是無(wú)窮大,則是無(wú)窮小;是無(wú)窮小,且(2)若,則是無(wú)窮大.例如,當(dāng)時(shí),為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;為無(wú)窮大.當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小,則02

無(wú)窮大01無(wú)窮小02無(wú)窮大03無(wú)窮小階的比較04等價(jià)無(wú)窮小代換本講內(nèi)容定義1.1516是自變量在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小,設(shè)也是在這個(gè)變化過(guò)程中的極限.且,而(2)如果,則稱(chēng)β是比α低階的無(wú)窮小.(1)如果,則稱(chēng)β是比α高階的無(wú)窮小,記作;03

無(wú)窮小階的比較(3)如果,則稱(chēng)β與α是同階無(wú)窮小.特別地,當(dāng)時(shí),稱(chēng)β與α是等價(jià)無(wú)窮小,記作.(4)如果,則稱(chēng)β是α的k階無(wú)窮小.17證明:與是同階無(wú)窮小.

因?yàn)樗耘c是同階無(wú)窮小.

6例,03

無(wú)窮小階的比較證明18

證明故

7例03

無(wú)窮小階的比較5證明：當(dāng)x0時(shí)，設(shè)則當(dāng)

時(shí)，可以證明，當(dāng)x0時(shí)，19

證明所以

8例03

無(wú)窮小階的比較6證明：當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)?0

證明故

9例03

無(wú)窮小階的比較7證明：當(dāng)x0時(shí)，設(shè)則當(dāng)

時(shí)，21

證明所以

10例03

無(wú)窮小階的比較8證明：當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)?2

證明所以

11例03

無(wú)窮小階的比較9證明：當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)榭梢宰C明，23

證明故

12例03

無(wú)窮小階的比較10證明：當(dāng)x0時(shí)，設(shè)則當(dāng)

時(shí)，于是24證明:與是同階無(wú)窮小.

因?yàn)?/p>

證明所以與是同階無(wú)窮小.

13例,03

無(wú)窮小階的比較注25是無(wú)窮小,例如,當(dāng)時(shí),由于是有界變量,

與的階的高低.可知不存在,而故不能比較03

無(wú)窮小階的比較01無(wú)窮小02無(wú)窮大03無(wú)窮小階的比較04等價(jià)無(wú)窮小代換本講內(nèi)容定理1.1927若??,??是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,且存在,則證明04

等價(jià)無(wú)窮小代換注28(1)定理1.19說(shuō)明在求極限的過(guò)程中,代換.但須注意,在加減運(yùn)算中不能使用等價(jià)無(wú)窮小商中的無(wú)窮小代換,從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.可以把積或04

等價(jià)無(wú)窮小代換29時(shí),常用的等價(jià)無(wú)窮小有(2)當(dāng)(k為非零常數(shù)).上述常用的等價(jià)無(wú)窮小中,將變量??換成無(wú)窮小函數(shù)或無(wú)窮小數(shù)列結(jié)論仍成立.04

等價(jià)無(wú)窮小代換

14例

解30是等價(jià)無(wú)窮小,則當(dāng)時(shí),與由等價(jià)無(wú)窮小的定義，得所以,所以應(yīng)選C.04

等價(jià)無(wú)窮小代換

15例

解31由等價(jià)無(wú)窮小的定義得是等價(jià)無(wú)窮小,則??的值為().當(dāng)時(shí),與所以,所以應(yīng)選A.04

等價(jià)無(wú)窮小代換32設(shè)當(dāng)時(shí),是比高階的無(wú)窮小,而是比高階的無(wú)窮小,

求正當(dāng)時(shí),,,,由已知可得,

所以,故

解

16例的值.整數(shù)04

等價(jià)無(wú)窮小代換33

由,,其中為時(shí)的無(wú)窮小,故.

根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系知若,則為(

).

A.

0

B.

6

C.

36

D.

17例

解04

等價(jià)無(wú)窮小代換34==

==

故應(yīng)選C.

.04

等價(jià)無(wú)窮小代換35【方法歸納】解此題最易犯的錯(cuò)誤,滿(mǎn)足條件而使用洛必達(dá)法則(第3章將介紹

),結(jié)果花費(fèi)

了不少時(shí)間還沒(méi)能得到正確的結(jié)論;其次不少人選A,

認(rèn)為=

在這里,用6替換是錯(cuò)誤的!

是否

是不考慮,04

等價(jià)無(wú)窮小代換36

.

故應(yīng)填

解

18例,04

等價(jià)無(wú)窮小代換37故.

A.

0

B.

6

C.

36

D.

由,,其中為時(shí)的無(wú)窮小,根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系知若,則().

19例

解04

等價(jià)無(wú)窮小代換38==

故應(yīng)選C.

.=

=.04

等價(jià)無(wú)窮小代換

解39求極限.因?yàn)?/p>

20例04

等價(jià)無(wú)窮小代換40所以.04

等價(jià)無(wú)窮小代換41

故應(yīng)填.