高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（慕課版）第3講隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)第2章導(dǎo)數(shù)與微分01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容3對(duì)由方程確定的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，可以將方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，然后把

解出來.01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4

1例

把看成是x的函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得，

整理得

解得

解01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1，求由方程

所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5

2例

把看成是x的函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得，

解得

解01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2求由方程

所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).上式兩邊同時(shí)對(duì)

x求導(dǎo)，得6

3例

求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

把看成是x的函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，

，

整理得

，

解得

．

得

解01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7

4例

01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求由方程所確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)3

把看成是x的函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，

解得得

解，，將

x=0代入原方程，得y=0，代入上式得

8

5例

01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4

把看成是x的函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，

解得得

解，求橢圓在點(diǎn)

處的切線方程.，故所求切線

將點(diǎn)代入，得切線斜率為

故所求切線方程為

6例9

解求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，再將代入得01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10

解

7例求由方程所確定的隱函數(shù)的方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)解得上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，再將代入得二階導(dǎo)數(shù).01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11

解

8例已知函數(shù)f(u)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定.設(shè)，求由方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，現(xiàn)由可得，01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得1201隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容1.多個(gè)函數(shù)積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)；14應(yīng)用于：2.冪指函數(shù).

(1)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)：應(yīng)用步驟(3).02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法15

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

方程兩邊同取對(duì)數(shù)，得

，

兩邊同時(shí)求的導(dǎo)數(shù)，得

，

即

解

9例02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法516

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

方程兩邊同取對(duì)數(shù)，得

，

兩邊同時(shí)求的導(dǎo)數(shù)，得

，

即

解

10例02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法17

此題通過運(yùn)用“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”，先通過方程兩邊同取對(duì)數(shù)把原來復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行了簡化，再借助隱函數(shù)的求導(dǎo)方法實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)，但由于原方程并不是真正的隱函數(shù)，含

x的函數(shù)形式．所以結(jié)果中的

y要代換回此類題目運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法比直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)要簡單的多．02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法18

方程兩邊同取對(duì)數(shù)，得

，

即，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，

，得

解02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

已知函數(shù)，求．

11例19

已知函數(shù)，求．

12例所以，故．02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法20冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法.

02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法21冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法.解得02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法22

求()的導(dǎo)數(shù)．

對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，

兩邊對(duì)求導(dǎo)，即

，得，

解

13例得02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法23

13例冪指函數(shù)還可以利用公式變形成復(fù)合函數(shù)后再求導(dǎo)．

例如，

．用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

求()的導(dǎo)數(shù)．

避免商的求導(dǎo)公式24

解

14例方程，確定函數(shù)，求方程兩邊取自然對(duì)數(shù)得即等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得即01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2501隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

26

解

15例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).兩邊取對(duì)數(shù)得

02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02對(duì)數(shù)求導(dǎo)法03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本講內(nèi)容28設(shè)參數(shù)方程唯一確定函數(shù)可導(dǎo)，則函數(shù)可導(dǎo)，且03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)29

證由于可導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)反函數(shù)為，把代入，得復(fù)合函數(shù)，得03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)30

證注

若有二階導(dǎo)數(shù)，則可利用求一階導(dǎo)數(shù)的方法求出.且03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)31

，

解

16例03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6求由擺線的參數(shù)方程函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).所確定的32

設(shè)求，．

，

聯(lián)立成新參數(shù)方程函數(shù)的求導(dǎo)公式得

．

再應(yīng)用參數(shù)方程所確定

解

17例03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)33

解對(duì)應(yīng)點(diǎn).03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求曲線在處的切線方程和法線方程.

18例34所以曲線在處的切線方程為即法線方程為即03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)35

解

19例03由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t

的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向

.拋射體在