2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一、一元二次不等式的相關概念1、定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)）3、一元二次不等式的解集使某一個一元二次不等式成立的x的值，叫作這個一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有解組成的集合，叫作這個一元二次不等式的解集；將一個不等式轉化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形。二、一元二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．三、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??四、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.五、含參數(shù)的一元二次不等式討論依據(jù)1、對二次項系數(shù)進行大于0，小于0，等于0分類討論；2、當二次項系數(shù)不等于0時，再對判別式進行大于0，小于0，等于0的分類討論；3、當判別式大于0時，再對兩根的大小進行討論，最后確定出解集。題型一解不含參數(shù)一元二次不等式【例1】的解集為（）A．B．或C．D．【答案】B【解析】因為時，解得或，所以的解集為或.故選：B.【變式1-1】不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，解得：.故選：C.【變式1-2】不等式的解集是（）A．RB．C．或D．【答案】B【解析】由題意得所求，令，為開口向上的拋物線，，所以恒成立，所以不成立，故的解集為.故選：B【變式1-3】不等式的解集是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】原式化為，即，故不等式的解集為.故選:D【變式1-4】不等式的解集為（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】依題意可得，故，解得或，所以不等式的解集為或故選：B．【變式1-5】求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），解得：不等式解集為：.（2），整理得：，即解得：，不等式解集為：.（3），整理得：，故不等式再實數(shù)范圍內無解不等式解集為：.題型二解含參數(shù)一元二次不等式【例2】解關于的不等式：【解析】方程的解為，，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.【變式2-1】解關于x的不等式【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】關于x的不等式，可化為（1）當時，，解得．（2）當，所以所以方程的兩根為-1和，當，即時，不等式的解集為或}，當，即時，不等式的解集為．當，即時，不等式的解集為或}．（3）當時，因為方程的兩根為—1和，又因為，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或}.【變式2-2】（多選）下列關于不等式的解集討論正確的是（）A．當時，的解集為B．當時，的解集為C．當時，的解集為D．無論a取何值時，的解集均不為空集【答案】CD【解析】對于A，當時，原不等式為，解得，故A不正確；對于B，當時，原不等式為，解得或，故B不正確；對于C，當時，原不等式為，解得或，故C正確；對于D，由二次函數(shù)，開口向上，所以無論a取何值時，不等式均有解，故D正確；故選：CD.【變式2-3】（多選）已知關于的一元二次不等式，其中，則該不等式的解集可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】不等式變形為，又，所以，時，不等式解集為空集；，，時，，因此解集可能為ABD．【變式2-4】設關于x的一元二次不等式與的解集分別為與，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集為，則的解集為R.的解集為，則的解集為，轉化為所以不等式的解集為.故選：B.題型三由一元二次不等式的解確定參數(shù)【例3】關于的不等式的解集為空集，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】因不等式的解集為空集，則當時，不成立，因此，滿足題意，當時，必有，解得，綜上得，所以實數(shù)k的取值范圍是：.故選：A【變式3-1】已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A．或B．C．或D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以，即，解得．故選：B【變式3-2】若關于x的不等式的解集為，則ab的值為（）A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】由題意知，解得，故選：A．【變式3-3】已知關于x的不等式的解集為M，若，則a的取值范圍為（）A．[－2，4]B．（－2，4）C．D．【答案】A【解析】由于，所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A【變式3-4】若關于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式，即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是4，5，6，故；當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)只能是0，1，2，故；故實數(shù)m的取值范圍為．故選：C題型四一元二次不等式恒成立與有解問題【例4】已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當時，該不等式為，成立；當時，要滿足關于的不等式對任意恒成立，只需，解得，綜上所述，的取值范圍是，故選：A.【變式4-1】若不等式對一切實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為恒成立所以恒成立恒成立恒成立故，解之得：故選：A【變式4-2】對任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，由得：，（當且僅當，即時取等號），，解得：，即的取值范圍為.故選：D.【變式4-3】命題“存在，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由于“存在，”為假命題，所以“”，為真命題，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上，當時，取得最大值為，所以.【變式4-4】已知命題“，”是真命題，則實數(shù)的取值范圍（）A．B．