5.1直角三角形的性質(zhì)定理第2課時(shí)

含30°角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用第5章直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進(jìn)一步掌握直角三角形的性質(zhì)——在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；2．能利用直角三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題.思考在一個(gè)銳角為30°的直角三角板中，這個(gè)銳角所對(duì)直角邊的長(zhǎng)度與斜邊的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？課時(shí)導(dǎo)入

ABC)30°D圖5.1-5知識(shí)講解

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

ABC)30°D圖5.1-5例2

OBDA北東60°圖5.1-6分析

如圖5.1-6，取輪船航向所在的直線為OB.過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D.AD的長(zhǎng)為A島到輪船航道的最短距離，若AD大于20海里，則輪船由西向東航行不會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)。

OBDA北東60°圖5.1-6

例2

如圖5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求證：∠A=30°.證明：（方法一）如圖5.1-7，取斜邊AB的中點(diǎn)D，連接CD.因?yàn)镃D是Rt△ABC斜邊AB上的中線，所以CD=AB=BD.因?yàn)锽C=AB，所以BC=BD=CD,即△BDC為等邊三角形.于是∠B=60°.因?yàn)椤螦+∠B=90°，所以∠A=30°.BCAD例3

圖5.1-7

證明方法：中線法（方法二）如圖5.1-8，延長(zhǎng)BC到F，使CF=BG，連接AF.因?yàn)椤螧CA=90°，BC=CF，所以AC垂直平分BF，于是AB=AF（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）.又BC=AB，BC=CF=BF，所以BF=AB，因此BF＝AB=AF，即△ABF是等邊三角形.所以∠B=60°，因此∠CAB=90°-∠B=30°.ABCF

證明方法：倍長(zhǎng)法圖5.1-8

在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.由例3得出：B1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊

AB上的高，AD＝3cm，則

AB的長(zhǎng)度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．隨堂小測(cè)2.如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B3.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)

a元，則購(gòu)買這種草皮需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B4.如圖，在

△ABC

中，∠ACB=90°，CD是高，

∠A=30°，AB=4．則

BD的長(zhǎng)為

.1A

B

C

D

5.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則

AB=______cm.ACB第5題圖第4題圖8因?yàn)椤螧=∠ACB=15°

(已知)，所以∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，6.已知：等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解：過(guò)

C作

CD⊥BA交

BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D.))所以CD=AC=×20=10.方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含

30°角的直角三角形來(lái)解決．7.如圖所示，在四邊形

ACBD中，AD∥BC，

AB⊥AC，且

AC＝BC，求∠DAC的度數(shù)．解：因?yàn)锳B⊥AC，

所以∠CAB＝90°.因?yàn)锳C＝BC，所以∠CBA＝30°.因?yàn)锳D∥BC，所以∠BAD＝

∠CBA＝30°．所以∠DAC

＝∠CAB＋∠BAD＝120°.ABCDE解：因?yàn)镈E⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，所以BC=AB，DE=AD.所以BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱

BC的長(zhǎng)是

3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.8.如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)

D

是斜梁

AB的中點(diǎn)，立柱

BC，DE

垂直于橫梁

AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱

BC、DE

有多長(zhǎng)？?jī)?nèi)容使用要點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊