專題09旋轉(zhuǎn)兩種解題模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2題型一：奔馳模型 2題型二：費馬點模型 15壓軸能力測評 21模型一：奔馳模型旋轉(zhuǎn)是中考必考題型，奔馳模型是非常經(jīng)典的一類題型，且近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)。我們不僅要掌握這類題型，提升利用旋轉(zhuǎn)解決問題的能力，更重要的是要明白一點:旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是把分散的條件集中化，從而解決問題模型二：費馬點模型最值問題是中考?？碱}型，費馬點屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而來，所以應(yīng)熟練掌握費馬點等此類最值經(jīng)典題。題型一：奔馳模型一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?順平縣期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到位置．連接，則以下結(jié)論錯誤的是A． B． C． D．二．填空題（共4小題）2．（2023秋?北屯市校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是等邊三角形，點的坐標(biāo)是，點在第一象限，的平分線交軸于點，把繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊與重合，得到，連接．則，點坐標(biāo)為．3．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）已知在中，，，（如圖），把繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，將點、的對應(yīng)點分別記為點、，如果△為直角三角形，那么點與點的距離為．4．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期中）如圖，正方形中，將邊繞著點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點落在邊的垂直平分線上的點處時，的度數(shù)為．5．（2021秋?盤龍區(qū)校級期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中正確有（填序號）①是等邊三角形②是直角三角形③④三．解答題（共6小題）6．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，一塊等腰直角的三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使，，三點在同一直線上，連接，求的度數(shù)．7．（2021秋?長樂區(qū)期中）在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點，的對應(yīng)點分別是，，連接．（1）如圖1，當(dāng)點恰好在邊上時，求的大?。唬?）如圖2，若為中點，求的最大值．8．（2022秋?東勝區(qū)校級期中）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，是正方形內(nèi)一點，連結(jié)，，現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，連接．若，，，則的長為，正方形的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點是等邊內(nèi)的一點，且，，，請猜想的度數(shù)，并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長度為．9．（2023秋?梁山縣期中）如圖，是正三角形內(nèi)的一點，且，，．若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△．（1）求點與點之間的距離；（2）求的度數(shù)．10．（2020秋?黃石期中）下面是一道例題及其解答過程，請補充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為三角形．的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．11．（2023秋?羅山縣期中）閱讀與理解：如圖1，等邊（邊長為按如圖所示方式設(shè)置．操作與證明：（1）操作：固定等邊（邊長為，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖2；在圖2中，請直接寫出線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系．（2）操作：若將圖1中的，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個角度，連接，，與相交于點，連，如圖3；在圖3中線段與之間具有怎樣的大小關(guān)系？的度數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．猜想與發(fā)現(xiàn)：（3）根據(jù)上面的操作過程，請你猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為多少度時，線段的長度最大，最大是多少？當(dāng)為多少度時，線段的長度最小，最小是多少？題型二：費馬點模型一．選擇題（共1小題）1．（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知，，，點在內(nèi)，將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．則的最小值為A．10 B． C． D．二．解答題（共2小題）2．（臺州期中）（1）知識儲備①如圖1，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：．②定義：在所在平面上存在一點，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離．（2）知識遷移①我們有如下探尋（其中，，均小于的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長度即為的費馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出的費馬點（要求尺規(guī)作圖）．（3）知識應(yīng)用①判斷題（正確的打，錯誤的打?。我馊切蔚馁M馬點有且只有一個；ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部．②已知正方形，是正方形內(nèi)部一點，且的最小值為，求正方形的邊長．3．（宿豫區(qū)校級期中）探究問題：（1）閱讀理解：①如圖（A），在已知所在平面上存在一點，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離；②如圖（B），若四邊形的四個頂點在同一圓上，則有．此為托勒密定理；（2）知識遷移：①請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C），已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中、、均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖（D），在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接、、、．易知；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出的費馬點，并請指出線段的長度即為的費馬距離．（3）知識應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．已知三村莊、、構(gòu)成了如圖（E）所示的（其中、、均小于，現(xiàn)選取一點打水井，使從水井到三村莊、、所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．1．（連城縣期中）（1）如圖1，點是等邊內(nèi)一點，已知，，，求的度數(shù)．要直接求的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi)，如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點是內(nèi)一點，，，，求的度數(shù)．2．（西城區(qū)校級期中）如圖，是等邊內(nèi)的一點，且，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．求：（1）點與點之間的距離；（2）求的度數(shù)．3．（漢陽區(qū)期中）如圖，是等腰內(nèi)一點，，連接，，．（1）如圖1，當(dāng)時，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）在（1）中，若，，，求的大??；（3）當(dāng)時，且，，，則的面積是（直接填答案）4．（漢陽區(qū)期中）（1）閱讀證明①如圖1，在所在平面上存在一點，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖2，已知點為等邊外接圓的上任意一點．求證：．（2）知識遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋（其中，，均小于的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖3，在的外部以為邊長作等邊及其外接圓；第二步：在上取一點，連接，，，．易知；第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出的費馬點，