壓軸題10圓的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、四點共圓 1類型二、圓中最值問題 14類型三、定點定長構(gòu)造輔助圓 22類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓 26類型五、對角互補構(gòu)造輔助圓 33壓軸能力測評（10題） 40類型一、四點共圓一．填空題1．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點．點在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．二．解答題2．（2022秋?建湖縣期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個外角．（1）若，則；（2）過點作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若、，求的值．3．（2023秋?鄞州區(qū)期中）如圖，在△中，點，為，上的點，，，交于，△與△的外接圓相交于點（異于，，分別為△和△的垂心．證明：（1）平分；（2），，三點共線．（注：利用坐標系、復(fù)數(shù)解題者不給分）4．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在中，已知，作，是上一點，，連接、，在上截取，連接．（1）如圖1所示，若，，求的周長；（2）如圖2所示，若分別取、的中點、，連接、，求證：；（3）如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點，為中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．5．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）以下是“四點共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運用它們嗎？Ⅰ．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點共圓（圖1、；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的4個頂點共圓（圖；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點與線段兩端點連線的夾角相等，則這兩點和線段兩端點共圓（圖．（1）在圖1、2中，取的中點，根據(jù)得，即，，，共圓；（2）在圖3中，畫經(jīng)過點，，（圖．假設(shè)點落在外，交于點，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點也不會落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點共圓證明銳角三角形的三條高交于一點．已知：如圖6，銳角三角形的高，相交于點，射線交于點．求證：是的高．（補全以下證明框圖，并在圖上作必要標注）（4）如圖7，點是外部一點，過作直線，，的垂線，垂足分別為，，，且點，，在同一條直線上．求證：點在的外接圓上．類型二、圓中最值問題一．填空題1．（2022秋?長沙期中）如圖，的半徑為1，，為的切線，切點為，，，點為劣弧上一動點，過點作的切線，分別交，于點，，的最小值是．二．解答題2．（2022秋?東城區(qū)校級期中）對于平面直角坐標系中的圖形和點給出如下定義；為圖形上任意一點，若，兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，則稱點為圖形的“分點”．已知點，，，．（1）①在點，，中，線段的“分點”是；②點，若點為線段的“二分點”，求的值；（2）以點為圓心，為半徑畫圖，若線段上存在的“二分點”，直接寫出的取值范圍．3．（2022秋?江陰市期中）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，，點在軸的正半軸上，且，以點為圓心，1為半徑畫，與軸交于點（點在點的下方），點是的中點，點是上的一個動點，從點開始以5度秒的速度沿圓周逆時針運動一周，設(shè)運動時間為秒．（1）如圖1，連接，當時，求的值；（2）如圖2，點在運動過程中，連接，以為邊在左側(cè)作等邊，①當秒時，求點的坐標；②連接，當最大時，求此時的值和這個最大值．類型三、定點定長構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023秋?常州期中）如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內(nèi)一點，，點為線段的中點，連接，的最大值為．二．解答題2．（2022秋?秀洲區(qū)期中）如圖，中，，，過點任作一條直線，將線段沿直線翻折得線段，直線交直線于點．（1）小智同學(xué)通過思考推得當點在上方時，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：，、、三點在以為圓心以為半徑的圓上．．（2）若，求的長．（3）線段最大值為；若取的中點，則線段的最小值為．類型四、定弦定角構(gòu)造輔助圓一．填空題1．（2023春?梁子湖區(qū)期中）如圖，矩形的邊，，為的中點，是矩形內(nèi)部一動點，且滿足，為邊上的一個動點，連接，，則的最小值為．二．解答題2．（2023秋?濱?？h期中）（1）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”．①已知：如圖1，，若，求的度數(shù)．解：若以點為圓心，為半徑作輔助圓，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．②如圖2，點為正方形內(nèi)一點，且，若，求的最小值．解：，，點在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為點，則、、三點共線時最小，最小值為．（2）【問題解決】①如圖3，在平行四邊形中，已知，，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，作點關(guān)于直線的對稱點，則線段的最小值為．②如圖4，△中，，，，為上一動點，以為直徑的交于，求線段的最小值．（3）【問題拓展】如圖5，在平面直角坐標系中，已知兩點，，軸上有一動點，當最大時，直接寫出點的坐標．3．（2022秋?泗洪縣期中）已知：和外一點．（1）如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點，求證：．（2）尺規(guī)作圖：在圖乙中，過點畫的兩條切線、，、為切點（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）．類型五、對角互補構(gòu)造輔助圓1．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）如圖1，在中，，平分，且于點．（1）判斷的形狀；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，若，，，求的長；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，若將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作交于點．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2021秋?西城區(qū)校級期中）如圖，為等邊三角形，點是線段上一動點（點不與，重合），連接，過點作直線的垂線段，垂足為點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）延長交于點，求證：為的中點；（3）若的邊長為1，直接寫出的最大值．3．（2023秋?東城區(qū)校級期中）如圖1，在中，，，直線是過點的直線于點，連接．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段，，之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點作，交于點，進而得出：．（2）探究證明將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）拓展延伸在直線繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當面積取得最大值時，若長為1，請直接寫的長．1．（2023秋?旌陽區(qū)校級期中）如圖，在中，直徑，于點，．點是弧上動點，且與點、不重合，是直徑上的動點，設(shè)，則的取值范圍是A． B． C． D