2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用題解析試卷集考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______考試時(shí)間：120分鐘一、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的區(qū)別，并說明為什么通常需要從樣本推斷總體。2.解釋假設(shè)檢驗(yàn)中第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的含義，并說明兩者之間的關(guān)系。3.在回歸分析中，什么是多重共線性？它會(huì)對(duì)回歸模型的估計(jì)和解釋帶來哪些主要問題？4.簡(jiǎn)述方差分析的基本思想，并說明它在研究問題時(shí)相比于多個(gè)獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)。5.什么是置信區(qū)間？構(gòu)建一個(gè)95%置信區(qū)間意味著什么？二、計(jì)算與分析題（共70分）1.（15分）某公司想要了解其產(chǎn)品在新舊兩個(gè)市場(chǎng)的滿意度差異。隨機(jī)抽取了100名在新市場(chǎng)購(gòu)買者和100名在舊市場(chǎng)購(gòu)買者，讓他們對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分（滿分10分）。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，新市場(chǎng)購(gòu)買者的平均評(píng)分為8.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2分；舊市場(chǎng)購(gòu)買者的平均評(píng)分為8.0分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5分。要求：a.計(jì)算新市場(chǎng)購(gòu)買者評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)誤和舊市場(chǎng)購(gòu)買者評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)誤。b.檢驗(yàn)在新舊兩個(gè)市場(chǎng)購(gòu)買者對(duì)產(chǎn)品的平均滿意度是否存在顯著差異（α=0.05）。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域（或p值）和得出結(jié)論。2.（20分）一家汽車銷售公司想要研究廣告投入與月銷售量之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了過去12個(gè)月的月廣告投入（單位：萬元）和對(duì)應(yīng)的汽車銷售量（單位：輛）數(shù)據(jù)。通過分析得到回歸方程為：銷售量=120+5*廣告投入。要求：a.解釋回歸系數(shù)5的含義。b.如果下個(gè)月計(jì)劃投入6萬元廣告費(fèi)，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)該月的汽車銷售量是多少？c.假設(shè)某月的實(shí)際銷售量為150輛，廣告投入為7萬元。請(qǐng)計(jì)算該月的預(yù)測(cè)殘差，并簡(jiǎn)要說明殘差的意義。d.簡(jiǎn)述評(píng)價(jià)一個(gè)回歸模型好壞的常用統(tǒng)計(jì)量有哪些，并說明它們的基本含義。3.（20分）一個(gè)農(nóng)場(chǎng)想要比較四種不同的肥料（記為A,B,C,D）對(duì)某種作物產(chǎn)量的影響。在相同的條件下，選擇了一塊土地，將其分成16個(gè)小區(qū)，隨機(jī)將四種肥料分配到四個(gè)小區(qū)上（每個(gè)肥料4個(gè)小區(qū)）。作物成熟后，測(cè)量了每個(gè)小區(qū)的產(chǎn)量（單位：kg）。（注：此處不提供具體數(shù)據(jù)，請(qǐng)假設(shè)題目中隱含了數(shù)據(jù)足夠支撐分析）。要求：a.說明該研究屬于哪種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)類型。b.為了檢驗(yàn)四種肥料的平均產(chǎn)量是否存在顯著差異，應(yīng)使用什么樣的統(tǒng)計(jì)方法？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明該方法的基本原理。c.假設(shè)通過計(jì)算得到F檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為3.8，自由度為（3,12）。請(qǐng)查閱F分布表（或使用軟件），在顯著性水平α=0.05下，判斷是否可以拒絕“四種肥料的平均產(chǎn)量相同”的原假設(shè)。4.（15分）一家銀行想知道客戶的信用評(píng)分（CreditScore）與其月消費(fèi)額（MonthlySpending）之間是否存在線性關(guān)系。隨機(jī)抽取了200名客戶的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。計(jì)算得到樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45。要求：a.解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45的含義。b.請(qǐng)計(jì)算該線性回歸模型的判定系數(shù)R2，并說明其含義。c.在α=0.01的顯著性水平下，檢驗(yàn)“客戶的信用評(píng)分與月消費(fèi)額之間存在線性關(guān)系”這一假設(shè)是否成立。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的步驟（包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域或p值、得出結(jié)論）。---試卷答案一、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）1.樣本統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的量（如樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差），用于描述樣本特征；總體參數(shù)是根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算出來的量（如總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差），用于描述總體特征。通常因?yàn)榭傮w范圍過大或無法完全測(cè)量，我們通過抽取有代表性的樣本，利用樣本統(tǒng)計(jì)量來推斷和估計(jì)未知的總體參數(shù)。2.第一類錯(cuò)誤（α錯(cuò)誤）是指在原假設(shè)H?為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了H?；第二類錯(cuò)誤（β錯(cuò)誤）是指在原假設(shè)H?為假時(shí)，錯(cuò)誤地未能拒絕H?。兩者之間通常存在權(quán)衡關(guān)系，減小α往往會(huì)導(dǎo)致β增大，反之亦然（在樣本量固定時(shí)）。3.多重共線性是指回歸模型中兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。主要問題包括：使得回歸系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定、方差增大，導(dǎo)致系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）結(jié)果不可靠（容易得出錯(cuò)誤結(jié)論），并且難以準(zhǔn)確解釋單個(gè)自變量對(duì)因變量的獨(dú)立影響。4.方差分析的基本思想是將總變異分解為不同來源的變異（如組間變異和組內(nèi)變異），通過比較這些變異的相對(duì)大小來判斷各個(gè)組的均值是否存在顯著差異。相比于多個(gè)獨(dú)立的樣本t檢驗(yàn)（可能需要進(jìn)行多次檢驗(yàn)并面臨多重比較問題），方差分析能更高效、更全面地處理多個(gè)因素對(duì)結(jié)果的影響，且能在控制第一類錯(cuò)誤率的前提下同時(shí)檢驗(yàn)多個(gè)對(duì)比。5.置信區(qū)間是在點(diǎn)估計(jì)值的基礎(chǔ)上，給出一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間被認(rèn)為包含總體參數(shù)真值的可能性有多大（用置信水平表示，如95%）。構(gòu)建一個(gè)95%置信區(qū)間意味著如果重復(fù)抽樣多次并構(gòu)建區(qū)間，大約有95%的區(qū)間會(huì)包含真實(shí)的總體參數(shù)。二、計(jì)算與分析題（共70分）1.（15分）a.新市場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)誤=σ?/√n?=1.2/√100=0.12；舊市場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)誤=σ?/√n?=1.5/√100=0.15。b.檢驗(yàn)步驟：提出假設(shè)：H?:μ?=μ?（新舊市場(chǎng)平均滿意度無差異）；H?:μ?≠μ?（新舊市場(chǎng)平均滿意度有差異）。選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x??-x??)/sqrt(s?2/n?+s?2/n?)=(8.5-8.0)/sqrt(1.22/100+1.52/100)=0.5/sqrt(0.0144+0.0225)=0.5/sqrt(0.0369)=0.5/0.192=2.609。確定拒絕域：α=0.05，雙尾檢驗(yàn)，自由度df≈min(n?-1,n?-1)=min(99,99)≈99。查t分布表得臨界值t_(0.025,99)≈1.984。拒絕域?yàn)閠<-1.984或t>1.984。（或計(jì)算p值：p=2*P(T>|2.609|)≈2*P(T>2.609)≈2*0.0048=0.0096）。得出結(jié)論：由于t=2.609>1.984（或p=0.0096<0.05），拒絕H?。有充分證據(jù)表明新舊市場(chǎng)購(gòu)買者對(duì)產(chǎn)品的平均滿意度存在顯著差異。2.（20分）a.回歸系數(shù)5的含義是：在其他因素保持不變的情況下，廣告投入每增加1萬元，預(yù)計(jì)汽車銷售量將增加5輛。b.預(yù)測(cè)銷售量=120+5*6=120+30=150輛。c.預(yù)測(cè)殘差=實(shí)際值-預(yù)測(cè)值=150-(120+5*7)=150-155=-5。殘差表示實(shí)際銷售量與根據(jù)廣告投入預(yù)測(cè)的銷售量之間的差異，負(fù)殘差說明實(shí)際銷售量低于預(yù)測(cè)值。d.常用統(tǒng)計(jì)量包括：判定系數(shù)R2（衡量模型解釋變異的比例）、回歸系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量（檢驗(yàn)單個(gè)自變量的顯著性）、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差（衡量模型預(yù)測(cè)精度）。R2越接近1越好，t統(tǒng)計(jì)量的p值小于顯著性水平表示自變量顯著，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差越小越好。3.（20分）a.該研究屬于完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)（或單因素方差分析設(shè)計(jì)）。b.應(yīng)使用單因素方差分析（One-wayANOVA）方法?；驹硎潜容^各組樣本均值之間的差異是否超過了隨機(jī)因素導(dǎo)致的預(yù)期波動(dòng)，即檢驗(yàn)各個(gè)組的總體均值是否相等。通過計(jì)算組間方差和組內(nèi)方差，并進(jìn)行F檢驗(yàn)來判斷組間均值差異的顯著性。c.查F分布表（α=0.05，df?=3,df?=12），得臨界值F_(0.05,3,12)≈3.49。由于F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=3.8>3.49，拒絕“四種肥料的平均產(chǎn)量相同”的原假設(shè)。有足夠證據(jù)表明至少有一種肥料的平均產(chǎn)量與其他不同。4.（15分）a.樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45表示在樣本中，客戶的信用評(píng)分與月消費(fèi)額之間存在中等強(qiáng)度的正相關(guān)關(guān)系，即信用評(píng)分越高，月消費(fèi)額也傾向于越高。b.判定系數(shù)R2=r2=0.452=0.2025。其含義是信用評(píng)分在解釋月消費(fèi)額變異方面貢獻(xiàn)了約20.25%。c.檢驗(yàn)步驟：提出假設(shè)：H?:ρ=0（總體相關(guān)系數(shù)為0，即無線性關(guān)系）；H?:ρ≠0（總體相關(guān)系數(shù)不為0，即存在線性關(guān)系）。選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=r*sqrt((n-2)/(1-r2))=0.45*sqrt((200-2)/(1-0.452))=0.45*sqrt(198/(1-0.2025))=0.45*sqrt(198/0.7975)≈0.45*sqrt(248.53)≈0.45*15.7