線性代數(shù)（慕課版）本章小結(jié)第6章

二次型本講內(nèi)容01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議3二次型二次型相關(guān)概念二次型的秩標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法配方法正交變換法定義判定定理性質(zhì)正慣性指數(shù)規(guī)范形慣性定理01

知識(shí)點(diǎn)歸納本講內(nèi)容01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議5掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．??1.??2.??3.??4.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理．02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議實(shí)對(duì)稱矩陣6設(shè)二次型則稱實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為二次型f的秩.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議??定理6.1??慣性定理任給實(shí)二次型f=XTAX，總存在正交變換X=PY，使得其中λ1,…,λ2為

f的矩陣

A的特征值.設(shè)有二次型，且它的秩為r，若有兩個(gè)實(shí)的可逆變換X=PY，X=QZ，使二次型化為則λ1,

λ2,

…,λr和p1,p2,…,pr中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等,

02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議78均為m，稱m為二次型的正慣性指數(shù)；負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)也相等，均為r–m，稱r–m為二次型的負(fù)慣性指數(shù)；稱正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)之差2m–r

為符號(hào)差.則λ1,

λ2,

…,λr和p1,p2,…,pr中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等,

02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議9配方法總結(jié)

??類型1先按及含有x1的混合項(xiàng)配成完全平方再按配成完全平方令得二次型得標(biāo)準(zhǔn)形為02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議10配方法總結(jié)

??類型2令則有則先按及含有y1的混合項(xiàng)配成完全平方令02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議11二次型正定的判定

（1）實(shí)二次型f=XTAX正定的充要條件（2）實(shí)二次型f=XTAX正定的充要條件（3）實(shí)二次型f=XTAX正定的充要條件（4）實(shí)二次型f=XTAX正定的充要條件對(duì)任意，恒有它的正慣性指數(shù)等于

n.f的矩陣

A的特征值為正.A的各階順序主子式全大于零.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議12（1）A為對(duì)稱矩陣；（2）對(duì)應(yīng)的實(shí)二次型f=XTAX正定.正定矩陣的判定

02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議13正定矩陣的性質(zhì)

(1)若A為正定矩陣,則|A|>0;(2)若A為正定矩陣,則A的主對(duì)角線元素(3)若A為正定矩陣,則A-1，kA(k>0為實(shí)數(shù))均為正定矩陣;(4)若A為正定矩陣,則A*,Am均為正定矩陣,其中m為正整數(shù);(