（人教2024版）數(shù)學八年級上冊

第十三章三角形大單元教學設(shè)計

一大單元主題背景分析（教材分析）

教材地位與作用

三角形是初中幾何的基石，本章內(nèi)容既是七年級“線段、角”知識的深化，也為后續(xù)學習“全等三角形軸

對稱圖形”等章節(jié)奠定基礎(chǔ).通過研究三角形的基本概念、邊角關(guān)系、特殊線段（高、中線、角平分線）及內(nèi)

角和性質(zhì)，學生將系統(tǒng)掌握幾何圖形的核心要素，培養(yǎng)空間觀念與邏輯推理能力.

新課標銜接與核心素養(yǎng)

?幾何直觀：通過觀察、操作（如畫高、折中線）感知三角形穩(wěn)定性及內(nèi)角和規(guī)律；

?推理能力：從“三角形內(nèi)角和為180。”的證明，到直角三角形性質(zhì)與判定的邏輯推導(dǎo)；

?模型觀念：結(jié)合實際問題（如設(shè)計三角形支架、計算多邊形內(nèi)角和），建立三角形模型解決現(xiàn)實問題.

學情分析

?認知基礎(chǔ)：學生已熟悉線段、角的基本性質(zhì)，但空間想象能力較弱，對“三角形穩(wěn)定性”的抽象理解存在

困難；

?學習難點：動態(tài)理解三角形高、中線、角平分線的區(qū)別與聯(lián)系，以及直角三角形斜邊中線性質(zhì)的應(yīng)用；

?興趣點：通過實驗操作（如拼接三角形紙片）和實際測量（如校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)）激發(fā)探究欲望.

---------------------------單元教學目標------

知識與技能

1.理解三角形的定義及分類（按角、按邊），掌握三角形三邊關(guān)系定理；

2.識別并畫出三角形的高、中線、角平分線，理解其性質(zhì)（如中線平分面積）；

3.掌握三角形內(nèi)角和為180。，外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；

4.理解直角三角形的性質(zhì)（如斜邊中線等于斜邊一半）及判定方法（如一個角為90。）.

數(shù)學思考

1.經(jīng)歷從“實驗操作”到“邏輯論證”的推理過程（如通過折疊驗證內(nèi)角和）：

2.培養(yǎng)分類討論思想（如已知兩邊及一邊對角時三角形的存在性分析）；

3.建立幾何命題的逆向思維（如從內(nèi)角和反推外角性質(zhì)）.

問題解決

I.能用三角形穩(wěn)定性原理解決實際問撅（如設(shè)計穩(wěn)固的支架）：

2.運用內(nèi)角和、外角性質(zhì)計算特殊圖形角度；

3.通過小組合作完成項目式學習（如“校園內(nèi)三角形結(jié)構(gòu)調(diào)查“）.

情感態(tài)度

I.感受幾何圖形在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值；

2.培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學表達習慣（如規(guī)范書寫證明過程）；

3.增強團隊合作意識（如小組討論中的角色分工）.

學習活動設(shè)計

活動一三角形的概念

活動二與三角形有關(guān)的線段

活動三三角形的內(nèi)角和外角

------學習評價設(shè)計------

過程性評價

?課堂表現(xiàn)：通過提問、板演記錄學生參與度（占比20%）；

?實踐任務(wù)：評價尺規(guī)作圖、模型制作等動手操作能力（占比30%）；

?階段性測驗：設(shè)計分層測試題（基礎(chǔ)題、變式題、拓展題），關(guān)注思維過程而非唯一答案.

終結(jié)性評價

?單元測試：包含選擇題（概念辨析）、填空題（性質(zhì)應(yīng)用）、解答題（綜合證明）和開放題；

?成長檔案袋：收集學生錯題分析、思維導(dǎo)圖、學習反思等材料.

---------------------------反思性教學改進------

?教學實施反思

問題1:部分學生對“三角形高”的概念理解困難，尤其在鈍角三角形中.

改進策略：增加動態(tài)演示（如幾何畫板展示高隨頂點移動的變化），設(shè)計對比實驗（銳角、百角、鈍角式

角形高的位置）.

問題2：小組討論參與度不均衡.

改進策略：采用“異質(zhì)分組+角色輪換制”，設(shè)置“記錄員”“匯報員”“質(zhì)疑員”等明確職責.

?資源優(yōu)化建議

1.開發(fā)“三角形性質(zhì)”互動微課，支持學生課前預(yù)習與課后鞏固；

2.引入AR技術(shù)，通過虛擬實驗觀察三角形穩(wěn)定性（如橋梁結(jié)構(gòu)中的三角形應(yīng)用）.

?長效目標調(diào)整

1.將“數(shù)學文化''融入課堂（如介紹古代建筑中的三角形結(jié)構(gòu)）；

2.聯(lián)合物理教師開展“三角形與力的平衡”跨學科項目，強化核心素養(yǎng)的綜合性培養(yǎng).

-----單元教學結(jié)構(gòu)圖------

表示三角形時，字母沒有先后順序.即：可以記作AABC,也可記作AACB.

在AABC中，

AB邊所對的角是：ZC

ZA所對的邊是：BC

追問：再說幾個對邊與對角的關(guān)系試試.

思考：按照三角形內(nèi)角的大小，三角形可以分為哪幾類？

三角形的分類

直角三角形

銳角三角形直角三角形

三角形銳角三角形

鈍角三角形

鈍角三角形

思考：你能找出下列三角形各自的特點嗎？

總結(jié)：三條邊各不相等的三角形叫作不等邊三角形；

有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形；

三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.

追問：等邊三角形和等腰三角形之間有什么關(guān)系？

結(jié)論：等腰三角形兩邊相等，等逅三角形三邊相等.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

A

思考：按照三角形三邊情況，三角形可以分為哪幾類？

練習：判斷以下命題的真假：

（1）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形.（）

（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（）

（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）

（4）等邊三角形是銳角三角形.（）

（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）

（6）銳角三角形是三條邊都不相等的三角形；（）

（7）等腰三角形是等邊三角形；（）

（8）等邊三角形是等腰三角形.（）

答案：X^X^XXXA/

師生活動：教師引導(dǎo)學生思考，待學生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充.

設(shè)計意圖：把未知的知識交給學生，讓他們在合作學習的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動了學生的學習熱情，培養(yǎng)和提高了學生學習的主

動性和合作精神，同時又使學生的觀察力和語言表達能力得到了鍛煉.

■應(yīng)用新知

例I.卜?列圖形是三角形嗎？

例2.如圖，在aABC中，點D在邊BC上，BD=AD=DC=AC.

（1）寫出以點C為頂點的三角形；

（2）寫出以AB為邊的三角形；

（3）找出圖中的等腰三角形和等邊三角形.

A

解：

(1)以點。為頂點的三角形有ZUBC.A-4DC；

(2)以48為邊的三角形有△4HC,△血；

(3)等腰三角形有△45。C,

等邊三角形有△"(?

例3.(1)圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形.

(2)以AB為邊的三角形有哪些？

(3)以E為頂點的三角形有哪些？

(4)以ND為角的三角形有哪些？

(5)說出ABCD的三個角和三個頂點所對的邊.

解：⑴5個，分別是AABE,AABC,ABCE,ABCD,AECD.

(2)AABCSAABE.

(3)AABENABCE>ACDE.

(4)"CD、ADEC.

(5)ABCD的三個角是NBCD、ZD和ZCBD.

頂點B所對的邊為DC,頂點C所對的邊為BD,頂點D所對的邊為BC.

例4.把下列三角形進行分類，并把序號填入到正確的位置.

(I)按邊分類：

三邊均不相等的是不等邊三角形；

兩條邊相等的是等腰三角形；

三條邊相等的是等邊三角形.

(2)按角分類：

都是銳角的是銳角三角形；

有直角的是直角三角形；

有鈍角的是鈍角三角形.

答案：②④⑤⑦，①③??,①；①④⑥，③⑤⑦，②⑧

例5.圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1,每個小正方形的頂點稱為格點，

線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫aABC,要求：

（1）在圖①中畫一個直角三角形，在圖②中畫一個銳角三角形，在圖③中畫一個鈍角三角形.（2）點C

圖①圖②圖③

師生活動：學生獨立完成，然后同桌互批;教師鼓勵學生到黑板前演示，再走到學生中間對個別學生指導(dǎo)，在學

生完成后組織學生進行交流、評價和實物投影展示，對■于細節(jié)上存在的問題要讓學生進行糾錯，必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握所學知識，同時培養(yǎng)學生變相思考問題的能力，運用知識.學

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學生的應(yīng)用意識.

活動二與三角形有關(guān)的線段

■情境引入

思考：從A到C你會選擇哪條路?

追問：為什么？你能證明嗎?

證明：

VAB為線段

AAC+BOAB

（兩點之間線段最短）

同理，AB+BOAC

AC+AB>BC

師生活動：在教師的引導(dǎo)下，學生理解情境問題，合作探究，積極參與到課堂中去.

設(shè)計意圖：生活中的實際案例引入，提高學生學習的積極性.從生活中，讓學生去發(fā)現(xiàn)存在的教學問題，體

會教學來源于生活，應(yīng)用于生活；同時引出本節(jié)課題.

■探究新知

思考：任意選三根小棒，能圍成一個三角形嗎？先圍一圍，再與同學交流.

8cm4cm

5cm2cm

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示.

追問：為什么有的圍的起來，有的圍不起來呢？記錄一下所有你圍成的邊長情況，分析交流一下吧!

小棒長度小棒長度小棒長度能否圍成

第一次8cm4cm5cm能圍成

第二次4cm5cm2cm能圍成

第三次8cm4cm2cm不能圍成

第四次8cm5cm2cm不能圍成

任意選取三根小棒,圍一圍，發(fā)現(xiàn)有的能圍成一個三角形,有的則不能.

追問：以第三次為例，說明為什么不能構(gòu)成三角形.

追問：根據(jù)以上結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？

得出初步的結(jié)論：

兩條短邊的長度之和要大于最長的邊.

探究：三角形任意兩邊長度的和真的是一定大于第三邊嗎？每位同學都來試試，先畫一個三角形，再量一

量、算一算，看看有沒有能推翻這個結(jié)論的“例子”！

結(jié)論：三角形兩邊的和大于第三邊.三角形兩邊的差小于第三邊.

即a+b>c,a+c>b,b+c>a,a-b<c,a-c<b,b-c<a

思考：把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

三A角形木架的形狀不會改變，說明三角形具有穩(wěn)定性.

三角形的穩(wěn)定性:只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性

質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動或拉不動”的問題，其實質(zhì)應(yīng)是“三角形的

邊長一旦確定，其形狀和大小就確定了

追問：三角形的穩(wěn)定性有著廣泛的應(yīng)用，以下是其中的一些例子.你能再舉出一些例子嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學生思考，待學生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充.

設(shè)計意圖：把未知的知識交給學生，讓他們在合作學習的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動了學芻的學習熱情，培養(yǎng)和提高了學生學習的主

動性和合作精神，同時又使學生的觀察力和語言表達能力得到了搬煉.

■探究新知

思考：如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水

源處，應(yīng)該怎么分？

AB

OA

垂線：當兩條直線相交所

成的四個角中，有一個角線段中點：把一角的平分線：一條射

是直角時，就說這兩條直條線段分成兩條線把一個角分成兩個

線互相垂直，其中一條直相等的線段的點.相等的角，這條射線

線叫做另一條直線的垂線.叫做這個角的平分線.

在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.

如圖，在ZkABC中，E是BC的中點.則AE是BC邊上的中線，此時BE二CE.

如圖，在AABC中，AE是BC邊上的中線.則E是BC的中點，此時BE=CE.

思考：每一個三角形都有個頂點，因此每一個三角形都有條中線.如圖，畫出三角形的

中線.

追問：這三條中線之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條中線是在三角形的內(nèi)部還是外部?

追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條中線相交于一點“？

分別畫出卜.列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條中線，并觀察三條中線是否相交于一點.

八

三角形的三條中線____gm交于一點,且該交點位于三角形內(nèi)部

三角形三條中線的交點，叫做三角形的的圭.

思考：如圖，在AABC中，AD是aABC的中線，AE是z\ABC的高.試判斷aABD和aACD的面積有

什么關(guān)系，為什么？通過以上問題你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

A

G

BDEC

1.一:角形的三條中線相交于一點，這點叫做三角形的重心.

2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

3.三角形重心的性質(zhì)

(1)AG=2GD=|AZ);

(2)S&BG=S&CG=S@CG=7S48U

BDC

總結(jié)：一:角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

高相等時，面積的比等于底邊的比；

底相等時，面積的比等于高的比.

S@BE_BE_5

⑵S&BF_BF_s國CF

BF

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示.

思考：你能類比三角形的中線的定義，說明什么是三角形的角平分線嗎？

在三角形中，一個內(nèi)角的一平分線與它的對邊相交.這個角

的頂點與交點之間的線段,叫做三角形的角平分線.

A

如圖，在A4BC中，Z1=Z2

則AD是N且的角平分線

如圖，在△ASC中，4□是的角平分線

則N1=N2

追問：三角形的角平分線與角的平分線相同嗎?

相同點是：，ABD=NCBD；

不同點是：前者是線段，后者是射線.

思考：每一個三角形都有個內(nèi)角，因此每一個三角形都有條角平分線.

如圖，畫出三角形的角平分線.

追問：這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條角平分線是在三角形的內(nèi)部還是外部”

追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條角平分線相交于一點”？

分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線,

并觀察三條角平分線是否相交于一點.

三角形的三條角平分線相交于一點.且該交點位于三角形內(nèi)部.

該點稱為三角形的內(nèi)心.

三角形的角平分線是一條理

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線,頂點和垂足

之間的線段叫做三角形的高.

如圖，在A45C中，點D是垂足,

則AD是A本期邊K'上的高一

NAD5=NJDC=9Qo.

注意：

標明垂直的記號和垂足的字母一

高的敘述方法（如圖）：有三種

①AD是aABC的即

②AD1BC,垂足為D.

③點D在BC上，且/BDA=NCDA=90。.

思考：每一個三角形都有個頂點，因此每一個三角形都有條高.

追問：這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？

追問：銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部？

追問：對于任意三角形，是否也滿足“三條高相交于一點”？

分別畫出下列銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條高，

并觀察三條高是否相交于一點.

（1）銳角三角形

欣邊上的高為AD

/曲上的高為怔

■姐邊上的高為b

②銳角三角形的三條高（線段￡）,BE.CD相交于一點

且該點位于三角形的內(nèi)部.

(2)直角三角形

64(^2上的高為BD

直角邊四上的高為CB

直角邊8c上的高為AB

,②直角三角形的三條高相交于直角頂點.

(3)鈍角三角形

①次邊上的高為期

，仍邊上的高為CE

月Mh的高為BF

②鈍角三角形的三條高人相交于一點.

思考：鈍角三角形的三條高相交嗎？它們所在的直線交于一點嗎？這點位于何處？

A

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

高在三角形內(nèi)部的數(shù)置311

高之間是否相交相交相交不相交

高所在的直線是否相交相交相交相交

三條高所在直線的三角形直角三角形

交點的位置內(nèi)部頂點外部

三角形三條高所在直線的交點稱為三角形的垂心.

師生活動：教師引導(dǎo)學生思考，待學生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充.

設(shè)計意圖：把未知的知識交給學生，讓他們在合作學習的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動了學芻的學習熱情，培養(yǎng)和提高了學生學習的主

動性和合作精神，同時又使學生的觀察力和語言表達能力得到了俄煉.

■應(yīng)用新知

例I.下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？

(1)3cm、8cm、4cm；(2)5cm、6cm、11cm；

(3)5cm、6cm>10cm.

解：(1)不能，因為3cm+4cm<8cm.

(2)不能，因為5cm+6cm=11cm.

(3)能，因為5cm+6cm>10cm.

歸納總結(jié)：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需判斷兩條較短線段長之和是否大于第三條線段長即可.

例2.一個三角形的三邊長分別為J7,x,那么x的取值范圍是()

A.3<x<llB.4<x<7

C.-3<x<lID.x>3

解：???三角形的三邊長分別為4,7,x,

??.7-4VxV7+4,即3VxVU.

歸納總結(jié)：三角形的第三邊長x滿足兩邊之差VxV兩邊之和.

若三角形的三邊長分別為a,b,則第三邊長度x應(yīng)該滿足：|a-b|<x<a+b.

例3.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.

解：設(shè)第三邊的長為X,

根據(jù)兩邊之和大于第三邊得：

x<2+7即x<9

根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：

x>7-2即x>5

所以x的值大于3小于9,又因為它是奇數(shù)，

所以x只能取7.

例4.用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

(1)如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？

(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

解：(1)設(shè)底邊長為xcm,則腰長為2xcm.

x+2x+2x=18.

解得x=3.6.

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

(2)①如果4cm長的邊為底邊，設(shè)腰長為xcm,貝ij

4+2x=18.解得x=7.

②如果4cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm,則

4x2+x=18.解得x=10.

因為4+4V10,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，

所以不能圍成腰長為4的等腰三角形.

由以上討論可知，第①種情況可以圍成底邊

長為4cm的等腰三角形.

例5.蓋房子時，在窗框未安裝好之前，工人師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢?生活中

壞有哪叱是利用了這個原理？

解N：利用三角形的穩(wěn)定性.四邊形不穩(wěn)定，容易變形.斜釘一根木條后，就形成了兩個三角形，利用三角形的穩(wěn)

定性可以預(yù)防窗框變形.

例6.如圖，有一塊三角形的菜地，現(xiàn)要求分成面積比為1：1：2三塊，且圖中A處是三塊菜地的共同水源

處，應(yīng)該怎么分？

解：根據(jù)面積比值為1：I：2的要求，可以將三角形菜地的總面積看作4份.

利用三角形的中線可以將三角形分成面枳相等的兩個小三角形的性質(zhì).

如圖，分別作出兩條中線，所得到的^ABE,ZkAED,ZkADC的面積之比就是1：1：2.

例7.如圖，AD為aABC的中線，AB=12cm,z^ABD和aADC的周長差是4cm,求^ABC的邊AC的長（AC

<AB）.

ABD=CD

「△ABDfUAADC的周長差是4cm

AAB+AD+BD-(AC+AD+CD)

=AB+AD+BD-AC-AD-BD

=AB-AC=4cm

*.*AB=12cm

AC=AB-4cm=8cm

??.△ABC的邊AC的長為8cm

例8.如圖，ffiAABC中，E是BC上的一點，EC=2BE,點D是AC的中點，設(shè)aABC,AADF和ABEF

的面積分別為SAABC,SAADF和S^BEF,且SAABC=12,求SAADF-SABEF的值.

解：???點。是.4。的中點，

S"5c=12,~S-12=6.

?；EC=2BE,S=3C=12,

??12=4.

=^^ADF^^^ABF)~=S^F-S*一

?0-5科)尸-5口￡尸=5"助一5_4￡￡=6-4=2.

例9.如圖，在^ABC中，AD±BC,AE平分NBAC(ZB>ZC).若NB=80。，NC=30。，求NDAE.

解：???在△A8C中，Z3=808,ZC=30s,

/.Z5JC-709.

YAE平分NBAC,

/.NBAC=2ZBAE=2NCAE.

???NBdC=7(r,：.^BAE=35'.

9

-.'AD±BCtZ5=80",：,^BAD=10

/.乙DAE=乙BAE-NBAD=35,-10。=253.

例10.如圖，在ZkABC中，AD±BC,AE平分/BAC(ZB>ZC).若NB=x。，ZC=y°,求NDAE(用x,y

表示).

解：???在△ASC中，NBr",ZC-y8,

Z5-4C=(180-x-y)0.

?二/上平分N3/C,

2BAC=2/BAE=2/CAE.

???NBAE3-0.5(x-y)°.

'.'ADJ-BC,Z3=808,：.^BAD=(90-xy.

ZD<4￡=ZA4E-Z5^Z>=0.5(X5')'.

例II.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是八ARC的高()

(A)(C)(D)

例12.如圖，在AABC中，AC=8.BC=4,高BD=3,試作出BC邊上的高AE,并求AE的長.

解：如圖，過點A作BC邊上的高線AE,交CB延長線于點E

VI/2BC*AE=l/2AC*BD,AC=8,BC=4,而BD=3

i/2x4AE=l/2x8x3

解得AE=6

???AE的長為6

D

師生活動：學生獨立完成，然后同桌互批;教師鼓勵學生到黑板前演示，再走到學生中間對個別學生指導(dǎo)，在學

生完成后組織學生進行交流、評價和實物投影展示，對于細節(jié)上存在的問題要讓學生進行糾錯，必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計意圖；通過例題的解答，讓學生真正掌握所學知識，同時培養(yǎng)學生變和思考問題的能力，運用知識.學

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學生的應(yīng)用意識.

活動三三角形的內(nèi)角和外角

■復(fù)習回顧

思考：三角形的內(nèi)角和是多少？我們怎么證明呢？

設(shè)計意圖：由問題導(dǎo)入新課，既復(fù)習了舊知識，又引出了新課題，最后設(shè)置懸念，既增強了學生的學習興

趣，又激發(fā)了學生的學習熱情，對學生探究新知識起到很好的推動作用，讓學生發(fā)表自己的見解，既培恭

了學生的數(shù)學語言表達的能力，又發(fā)揮了學生學習的主動性，使他們的注意力始終集中在課堂上.

■探究新知

由于測量常常有誤差，這樣驗證三角形的內(nèi)角和等于180。，不能完全令人信服；又由于形狀不同的三

角形有無數(shù)個，我們不可能用上達方法一一驗證所有三角形的內(nèi)角和等于180。.因此，需要通過推理的方法

去證明：任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.

已知：AABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°

證明方法三：推理驗證法（1）

???NB=NI（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）

/ON2（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）

VZ2+Z1+ZBAC=I8O°

/.ZB+ZC+ZBAC=180°

證明方法三：推理驗證法（2）

E

A

證明：延長BC到D,過點C作CE〃BA

???NA=N1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

NB=N2（兩直線平行，同位角相等）

又???Nl+/2+NACB=180。

/.ZA+ZB+ZACB=180°

證明方法三：推理驗證法（3）

證明：過D作DE〃AC,作DF〃AB

???NC;NEDB.NB=NFDC（兩直線平行，同位角相等）

ZA+ZAED=I80°,ZAED+ZEDF=180°

（兩直線平行，同旁內(nèi)角相補）

JZA=ZEDF.

???ZEDB+ZEDF+ZFDC=180°

AZA+ZB+ZC=180°

思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？

結(jié)論：借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化到一個平角上.

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示.

設(shè)計意圖：在教學中運用探究式教學模式，不僅使學生體驗教學再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學生的

創(chuàng)造意識和科學精神.

■溯源

三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180。.

帕斯卡：（1623—1662）是法國著名的數(shù)學家、物理學家.早在300多年前，他12歲時，就獨立發(fā)現(xiàn)了任何

三角形的內(nèi)角和都是18()。.

■應(yīng)用新知

例I.求出下列各圖中的x值.

答案如上

例2.如圖，在aABC中，ZB=42°,ZC=78°,AD平分/BAC.求NADC的度數(shù).

78°,

.-.ZBAC=180°-ZB-ZC=60°.

VAD平分DBAC

AZCAD=1/2ZBAC=30°.

AZADC=180°-ZC-ZCAD=72°.

例3.如圖，ZkABC中，D在BC的延長線上，過D作DE±AB于E,交AC于F.己知NA=30。，Z

FCD=80°,求ND.

.\ZFEA=90o.

在AAEF中，ZFEA=90°,ZA=30°,

???NAFE=180。一NFEA-ZA=60°.

又,.,NCFD=NAFE,

.\ZCFD=60°.

在^CDF中，ZD=1800-ZCFD-ZFCD=40°.

歸納總結(jié)

事實上，在ZiAEF中，ZA+ZAFE+ZAEF=180°,

在&CDF中，ZD+ZFCD+ZCFD=180°,

而NAFE=NCFD,

故有NA+NAEF=ND+NFCD.

這樣的模型我們稱之為“八字模型

由三角形的內(nèi)角和定理

易得NA+NB=/C+ND.

由三角形的內(nèi)角和定理易得，Zl+Z2=Z3+Z4.

例4.在^ABC中，已知/A=60。，ZB：ZC=2：I,求NB和NC.

解：設(shè)NC為x。，則/B為2x。，

從而有x+2x+60=180.

解得x=40.

:.2x=80.

答:ZC,ZB的度數(shù)分別為4()。，80。.

總結(jié)：幾何問題借助方程來解，這是一個重要的數(shù)學思想.

變式：在^ABC中，已知NB=x。，AD、CE是aABC的兩條角平分線，CE與AD相交于點O,求NAOC的

度數(shù).

B

然：記皿1C為Nl,NACE為N2,

?「40是△HBC的角平分線(已知)，

N(角平分線的意義).

同理N2=；N3Ca

???N1+N2=；(4BAC+/BCA)=；(180a-x9)

在AHOC中，Nl-N2+Nj0C=18O‘

.../父。。=180?(180*-X")=90'+打

例5.如圖，B島在A島的南偏匪40°方向，C島在A島的南偏東15。方向，C島在B島的北偏東80°

方向，求從C島看A,B兩島的視角NACB的度數(shù).

B

解：如圖，由題意得55心”），ZBAD=40°,

ZCAD=15°,Z￡3C=80°,

/.^EBABAD=40°t

Z5JC=40o+15°=55°.

/.NCBA=4EBC-ZEBA=80°-40°=40°.

/.ZACB=180°-ZBAC-Z.IBC

=180°-55°-40°=85°.

師生活動：學生獨立完成，然后同桌互批;教師鼓勵學生到黑板前演示，再走到學生中間對個別學生指導(dǎo)，在學

生完成后組織學生進行交流、評價和實物投影展示，對于細節(jié)上存在的問題要讓學生進行糾錯,必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握所學知識，同時培養(yǎng)學生變相思考問題的能力，運用知識.學

生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學生的應(yīng)用意識.

■探究新知

思考：如下圖所示是我們常用的三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別為多少度?

三角板的兩銳角之和

450+45°=90°30°+60°=90°

追問：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,兩銳角的和等于多少呢？

力

B-°C

解：在RSABC中，VZC=90°,

由三角形內(nèi)角和定理，

可得：ZA+ZB=90°.

由此可得：直角三角形的兩個銳角互余.

直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“RI△”表示,

直角三角形ABC可以寫成RtAABC.

應(yīng)用格式：

在RtAABC中，

VZC=90°,

AZA+ZB=90o.

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示.

設(shè)計意圖：把未知的知識交給學生，讓他們在合作學習的過程中，體會到可以用自己的能力去解決新問題，

探索新方法，從而獲得成功的喜悅.這樣一來又大大調(diào)動了學生的學習熱情，培養(yǎng)和提高了學生學習的主

動性和合作精神，同時又使學生的觀察力和語言表達能力得到了搬煉.

■應(yīng)用新知

例1.如圖，在ZkABC中,ZACB=90°,CD_LAB于點D,若NA=40。，求NBCD.

解：在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

AZB=50°,

在RtABDC中，ZB+ZBCD+ZBDC=180°

???ZBCD=40°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

事實上，

在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

在RsADC中，ZA+ZACD+ZADC=180°

因此，ZB=ZACD,

同理可得，ZA=ZBCD.

例2.如圖，在AABC中,ZB=50°,高AD、CE交于H,求NAHC.

A

c區(qū)

D

提示：能否找出以上雙垂直模型？

解：CE是的高，

；CEB=/CDH=90",

在RtAEBC中，

4B一4BCH=90言.

在RtZkHDC中，

NCW+/3cH=90,.

/.ZC2fD=ZB=50a,

Z^C=1803130s.

例3.如圖，ZC=ZD=90°,AD,BC相交于點E.ZCAE與ZDBE有什么關(guān)系？為什么？

2D

A

解：NC4￡=ND5E理由如下：

在RtA4CE中，ZC4￡=909-4AEC.

在RtZiBDE中，/DBE=90’ZBED.

?.,Z.4￡C=乙BED,

???NG4￡=4DBE.

事實上，這是一個條件更多的“八字型

如圖，ZB=ZD=90°,AD交BC于點0,則/A=NC.

師生活動：教師引導(dǎo)學生審題，學生弄清題意后，師生共同分析思路，學生口答，教師板書解題過程.

設(shè)計意圖：鼓勵學生認真思考；發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，引導(dǎo)學生主動地參與教學活動，發(fā)揚數(shù)學民主，讓

學生在獨立思考、合作交流等數(shù)學活動中，排養(yǎng)學生合作互助意識，提高數(shù)學交流與數(shù)學耒達能力.

■應(yīng)用新知

例4.如圖，在^ABC中，ZA+ZB=90°,那么AABC直角三角形嗎？

解：ZU5C是直角三角形，理由如下：

在ZUBC中，因為N4+/3+NC=180’,

而NH+N3=9(T,

所以NC=90’，

即ZUBC是直角三角形.

歸納總結(jié)：直角三角形的判定

有兩個角互余的三角形是直角三角形.

應(yīng)用格式：

在&ABC中，

VZA+ZB=90°,

/.△ABC是直角三角形.

例5.如圖，AB〃CD,/CAB和NACD的平分線相交于H點，那么^AHC是直角三角形嗎？為什么？

AB

解：△AHC是直角三角形,理由：

W4B//CD,AZCJB+Z^CD=1808.

?；AH,CH分別為NCAB,NjCD的平分線,

NC4月+NdCH=9(T.

???NNHC=9(T,即△dHC是直角三角形.

例6.如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,若NA=40。，求/BCD.

解：在Rt^ABC中，ZA+ZB+^ACB=180°,

，ZB=50°,

在RtABDC中，ZB+ZBCD+ZBDC=180°

???ZBCD=40°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

雙垂直模型

事實上，

在RQABC中，ZA+ZB+ZACB=180°,

在RSADC中，ZA+ZACD+ZADC=180°

因此，ZB=ZACD,

例7.如圖，在AABC中，ZB=50°,高AD、CE交于H,求NAHC.

解：?.?AD、CE是ZkABC的高，

.\ZCEB=ZCDA=90°,

在RtAEBC中，

ZB+ZBCH=90°.

在RIAHDC中，

ZCHD+ZBCH=90°.

AZCHD=ZB=50°,

.,.ZAHC=180°-ZCHD=130°.

思考：從以上例題中我們能得到什么啟發(fā)？

如圖，ZkABC中，CDXAB于D,BE_LAC于E,CD,BE相交于點F,

NA與NBFC有如下關(guān)系：ZA+ZBFC=180°.

證明：?:CD1AB于點D,BE_LAC于點E,

.\ZBEA=ZBDF=90°.

AZABE+ZA=90°,

ZABE+ZDFB=90°.

工/A二NDFB.

VZDFB+ZBFC=180°,

.\ZA+ZBFC=180°.

AD,BC相交于點E.ZCAE與ZDBE有什么關(guān)系？為什么?

解：ZCAE=ZDBE.理由如下：

在

中，

在RtAACEZCAE=90°-ZAEC.

RtABDE中，ZDBE=90°-ZBED.

ZAEC=ZBED,

AZCAE=ZDBE.

總結(jié)歸納：雙垂八字型

如圖，ZB=ZD=90°,AD交BC于點O,則NA=NC.

VZB=ND=90。，

/.ZA+ZAOB=90°,ZC+ZCOD=90°.

VZAOB=ZCOD,

AZA=ZC.

思考：如圖，在AABC中，NA+NB=90。，那么aABC直角三角形嗎？

解：AABC是直角三角形，理由如下：

在△ABC中，因為NA+NB+NC=180。，而NA+NB=90。,

所以/C=90。，

即&ABC是直角三角形.

歸納總結(jié)：直角三角形的判定

有兩個角互余的三角形是直角三角形.

應(yīng)用格式：

在AABC中，

VZA+ZB=90°,

???△ABC是直角三角形.

師生活動：教師引導(dǎo)學生思考，待學生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充.

設(shè)計意圖：在教學中運用探究式教學模式，不僅使學生體驗教學再創(chuàng)造的思維過程，而且還培養(yǎng)了學生的

創(chuàng)造意識和科學精神.

■探究新知

思考：假期,果果到爺爺?shù)霓r(nóng)田中幫忙,其中有一塊田是三角形形狀的.果果沿著這塊三角形農(nóng)田周圍的小

路，按逆時針行走.小明每從AC小路到AB小路時，身體轉(zhuǎn)過的角度是多少？

三角形的外角：如圖，把AABC的一邊BC延長，得到NACD,像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線

組成的角，叫做三角形的外角.

ZACD是AABC的一個外角.

三角形的外角應(yīng)具備的條件：

①角的頂點是三角形的頂點,②角的一邊是三角形的一邊，③另一邊是三角形中一邊的延長線.

思考：如圖，延長AC到E,ZBCE是不是2SABC的一個外角？ZDCE是不是AABC的一個外角？

NBCE是AABC的一個外角，NDCE不是aABC的一個外角.

追問：每個頂點處有幾個外角？它們有何關(guān)系？

每個頂點處有2個外角，如上圖，AABC在點C處有兩個外角，分別是NBCE和NACD,它們是對頂角,

因此它們相等.

追問：三角形共有幾個外角？

每一個三角形都有6個外角.每一個頂點相對應(yīng)的外角都有2個，且這2個角為對頂角.

思考：三角形的一個外向和它相鄰的內(nèi)向有何數(shù)量關(guān)系？三角形的一個外角和它不相鄰的兩個內(nèi)角有何數(shù)

量關(guān)系？

:不相鄰的內(nèi)角：1y/

//：二角舷而芥角

，除旃內(nèi)角；

求正：ZBCD=ZA+ZB.

證法一：

由三角形的內(nèi)角和可知

NA+/B+NACB=1800

由鄰補角的定義可知

ZBCD+ZACB=180°

AZBCD=ZA+ZB.

思考：你還有其他證法嗎？

證法二：

過C1作CE//曲

則=

（兩直線平行，同位角相等），

Z2=

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

乙ACD=N2+N1=/N+N3

三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

應(yīng)用格式：

VZACD是AABC的一個外角，

AZACD=ZA+ZB.

說明：推論是由定理直接推出的結(jié)論.和定理?樣，推論可以作為進?步推理的依據(jù).

思考：如圖，ZBAE,ZCBF,ZACD是z\ABC的三個外角，它們的和是多少？

解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得

ZBAE=Z2+Z3,

ZCBF=Z1+N3,

ZACD=Z1+Z2.

又知N1+Z2+Z3=180°,

所以/BAE+NCBF+ZACD

=2（ZI+Z2+Z3）=360°.

追問：你還有其他解法嗎？

三角形的外角和：三角形每個頂點處分別有兩個外角，如果每個處各取一個外角，那么這三個外角的和就

叫做三角形的外角和.

結(jié)論：三角形的外角和等于360°.

師生活動：教師引導(dǎo)學生思考三角形的外角，待學生充分交流后，教師選代表總結(jié)，教師補充.

設(shè)計意圖：通過對三角形外角的探索，拓展學生的思維.嘗試不同解法，培養(yǎng)思維發(fā)散性.

■應(yīng)用新知

例1.如圖，ZBEC是哪個三角形的外角？ZAEC是哪個三角形的外角？ZEFD是哪個三角形的外角？說

一說圖中還有外角嗎？

D

解：ZBEC是AAEC的外角；ZAEC是ABEC的外角；ZEFD是ABEF和ADCF的外角.

例2.求出下列圖形中N1的度數(shù)

例3.已知圖中NA、NB、NC分別為80。，20°,30°,求N1的度數(shù).

解：???/2是ZiACD的一個外角，

.?.Z2=Z3+ZC=110°,

VZ1是」BDE的一個外角,

.*.Zl=ZB+Z2=130°.

追問：如何把圖中Nl、N2、/3按由大到小的順序排列？

例4.如圖，D是^ABC的BC邊上一點，ZB=ZBAD,ZADC=80°,

NBAC=70。.求：（1）ZB的度數(shù)；（2）ZC的度數(shù).

解：（1）因為NADC是^ABD的外角，

所以NADC=NB+NBAD=80。.

又因為NB=NBAD,所以NB=80"2=40。.

(2)SAABC中，因為NB+/BAC+/C=180。,

所以NC=18()。-NB-NBAC

=1800-40°-70°=700

例5.如圖，求NA+ZB+ZC+ZD+ZE的度數(shù).

A

A解：是△尸SE的外角，

/.Z1=ZB+ZE,

同理N2=Nd+NO.

在△CFG中，

ZC+Z1+Z2=18O°,

「?N/+N5+NC+ND+Z￡=180°.

例6.如圖，ZA4-ZB+ZC+ZD+/E+ZF=

解：是△ABN的外角，

.*.Z1=Z5-ZJ,

同理N2=NC+N0

N3=NE+NE

根據(jù)三角形的外角和為360°,

NZ+N3+NC+N。+NE

師生活動：學生獨立完成，然后同桌互批;教師鼓勵學生到黑板前演示，再走到學生中間對個別學生指導(dǎo)，在學

生完成后組織學生進行交流、評價和實物投影展示，對于細節(jié)上存在的問題要讓學生進行糾錯,必須做到解題

規(guī)范.

設(shè)計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握外角的應(yīng)用，同時培養(yǎng)學生變相思考問題的能力，運用知識.

學生審題是解題的關(guān)鍵，培養(yǎng)了學生的應(yīng)用意識.

■課堂小結(jié)

師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.

1.本節(jié)課你學到了什么？

2.什么是三角形？如何表示？其基本要素有哪些？

3.三角形如何分類？

4.三角形的三邊有何數(shù)量關(guān)系？這種數(shù)量關(guān)系有何應(yīng)用？

5.三角形具有穩(wěn)定性，你能舉出幾個例子嗎？

6.你會畫三角形的中線、角平分線和高嗎？它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？

7.三角形的內(nèi)角和是多少？如何證明？

8.直角三角形的性質(zhì)是什么？如何判定？

9.什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性質(zhì)？

設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識.由教師引導(dǎo)，學生進行總結(jié)，目的是充分發(fā)

揮學生的主體作用，有助于學生在理解新知識的基礎(chǔ)上，及時把知識系統(tǒng)化，條理化.

■當堂練習

1.國中的銳角三角形有)

A.3個B.4個C.5個D.6個

B

2.下面給出的四個三角形都有一部分被遮擋，其中不能判斷三角形類型的是（）

E2△

3.下列長度的線段不能組成三角形的是（

A.3,8,4B.4,9,6

C.15,20,8D.9,15,8

4.如圖，橋梁的斜拉鋼索是二角形的結(jié)構(gòu)，主要是為了（）

A.節(jié)省材料，節(jié)約成本

B.保持對稱

C.利用三角形的穩(wěn)定性

D美觀漂亮

5.總備下臉條件的AABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3

D.ZA=2ZB=3ZC

6.在一個直角三角形中，有一個銳角等于40。，則另一個銳角的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D,70°

7.具備下列條件的AABC中，不是直角三角形的是（）

A.NA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3

D.ZA=2ZB=3ZC

8.如圖，AB〃CD,ZA=37°,ZC=63°,那么NF等于（）

A.26°B.63°C.37°D.60°

E