15.1.2分式的基本性質(zhì)

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.下列各分式中，最簡(jiǎn)分式是（）

991-V12一丁

Ax-+y-D

o.

x+y工-)，?(x+y)2D.當(dāng)6x-6y

a*4-i<2+1a+1

2.等式--「——?=—中的未知的分母是()

a'T()

A.a2+lB.a2+a+lC.a2+2a+lD.a-1

分式-Ar和」一的最簡(jiǎn)公分母()

3.

cr-1-a

A.(a7-l)(a0-a)B.a(a7-l)

C.(a2-a)D.a(a2-l)(a-l)

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式二可以變形為()

4.

2-67

12_2?2

A.——B.---------C.---------D.1——

1-672+。a-2a

5.下列變形正確的是()

Fi臺(tái)曲：時(shí)?'》初」閨

A.--------=：------B.--------=：-----

附！?；一款7%熱?任?

-F+6a-b?-a-ba^b

C.--------=-------D.--------=--------

11

-x-----V

6.不改變分式的值，使分式1~~平一的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，分子、分母應(yīng)乘以（）

-X+—V

39,

A.10B.9C.45D.90

7.不改變分式『,的值，使分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都為正，正確的變形是（）

-5:x3r-2y+3

\+xy-x

A.—：—:----B.

5x3-2y+35丁—2），一3

DQ

?51+2)，一3

二、填空題:

8.下列分式①二②京③g④手與⑤匚3中，最簡(jiǎn)分式有_________（填正確答案的序

8。9xy-a-h-y2x

號(hào)）.

9.在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)卣?，使下列等式成立?/p>

(1)耍力；__________

aba~b

⑵*=LJ.__________

x~-yx-y

1y1

10.分式一的最簡(jiǎn)公分母是________

xy4r6xyz

11.

約分：鬻

12.化簡(jiǎn)

13.將分式的分子和分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，且分式的值不變，那么變形后的分式

0.2a-b

是

2人

a——b

14.不改變分式的值，將分式的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，則不工

-+2h

2

三、解答題:

15.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù).

2⑵三芋l-2x

(1)

P74-x*2+3x

16.若、=々成立，求a的取值范圍.

x-1

17.直接寫出下列各組分式的最簡(jiǎn)公分母:

11⑵￡,巴b

(1)-7：

x2x3xahbe

1____45yz

⑶2xyy,3xz2，4xz'(l-a)3

18.約分

,i、24ai2x3y2...ma+mb-mea2-4ab+4/?2

<1)-----^-；—;(2)---------------；(J)-----；-----—

1Saxa+b-cer-4lr

171

19.通分；—------,-^―,-------.

x2-6x+9X2-93X-9

20.從三個(gè)整式；①/—，②3。-3。,③〃中，任意選擇兩個(gè)分別作為一個(gè)分式的

分子和分母.

（1）一共能得到個(gè)不同的分式；

（2）這些分式化簡(jiǎn)后結(jié)果為整式的分式有哪些？并寫出化簡(jiǎn)結(jié)果.

能力提升篇

一、單選題：

1.下列各組的分式不一定相等的是（）

2x2m.2m

A.與-B.有與

x+y3〃

6xz2z

口?記與而

2若把分式患中的〃、〃都擴(kuò)大為原來的3倍’則分式的值＜

)

A.縮小3倍B.擴(kuò)大3倍C.擴(kuò)大9倍D.不變

3.對(duì)有理數(shù)x,下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.分式的分子與分母同乘以岡，分式的值不變［

B.分式的分子與分母同乘以x2,分式的值不變

C.分式的分子與分母同乘以|x+2|,分式的值不變

D.分式的分子與分母同乘以X2+1,分式的值不變

二、填空題：

4.下列式子：①9二空;②9=汜;③廿二甲3；④，==三,正確的有—

aa+1aa-1a2aa-1a--l

（填上序號(hào)）.

(x+)，)(x-y)

B、原式二=x+y,不符合題意;

(x+y)(x-y)x—V

C、原式=--,不符合題意;

(x+yfx+y

2(f)r+V

D、原式=能方,不符合題意?

6(A-y)

故答案為:A.

【分析】最簡(jiǎn)分式就是分式的分子和分母沒有公因式，據(jù)此判斷即可.

2.等式^=—中的未知的分母是（）

（）

A.a2+lB.a2+a+lC.a2+2a+1D.a-1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】解答：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子a?+2a+l空一_>a+l,分母也應(yīng)a'_T.”.

分折：分式的基本性質(zhì)是：分式的分子與分母同乘以（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變.用

式子表示是:

3.分式和一一的最簡(jiǎn)公分母（）

a-1a-a

A.（a2-1）（a2-a）B.a(a2-l)

C.(a2-a)D.a(a2-l)(a-l)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【脩析】【解答】解：*.*a2-1=(a+1)(a-1),a2-a=a(a-1),

:,最簡(jiǎn)公分母是a(a+1)(a-1)=a(a2-1).

故答案為：B.

【分析】先把分式的分母因式分解,再根據(jù)最簡(jiǎn)公分母的定義：各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式

的最高次累的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母，即可得出答案.

2

4.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式--可以變形為（）

2—〃

1222

A.---B.-----C.-----D.1

\-a2+aa-2a

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

2-2-22

【解析】【解答】解：——-=--=--.

a-2-(a-2)2-a2-a

故答案為：C.

2

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行變形，看能否得到—即可.

2-a

5.下列變形正確的是()

AnG曲:對(duì)三堂

A.-----=：7----

解他一制做品Y"

--a+ba-b-ba*b

C.-----=----D.=-^―

一a-ia?b

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：A選項(xiàng)，原式二紇2,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

c

B選項(xiàng)，原式=」-,選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

4+〃

a—b

C選項(xiàng)，原式=-選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

a+b

D選項(xiàng)，原式=”鄉(xiāng)，選項(xiàng)正確，符合題意。

a-b

故答案為：Do

【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，分式的分子和分母同時(shí)乘或者除以同一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變，進(jìn)

行判斷即可。

I1

-x--y

6.不改變分式的值，使分式彳一千一的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，分子、分母應(yīng)乘以()

-.r+—y

39.

A.10B.9C.45D.90

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)榉质椒肿拥母黜?xiàng)系數(shù)化為整數(shù)要乘以1(),分式分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)要乘

以9,所以分式的各項(xiàng)系數(shù)全部化為整數(shù)則要乘以10和9的最小公倍數(shù)90.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，分式的值不

變，據(jù)此即可解答。

7.不改變分式；；--的值，使分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都為正，正確的變形是（）

-5gx3-2y+3

i+x2y—xx2y-x-\

A，5/-2），+3B，5/-2），-3

Vy+x-lx'+x+l

*5/+2y-3'5x3+2y-3

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

1—r2V-r

【解析】【解答】解：

-一5/_2；y+，3

（l-x2y-xjx（-l）_尤2），+工_1

~（-5x3-2y+3）x（-l）-5x3+2y-3

???不改變分式的值，使分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都為正，正確的變形是

-5二x-2ry+二3

x2y+x-l

5父+2y—3

故答案為：C.

【分析】利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式的分子與分母

同乘（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變.

二、填空題：

8.下列分式①二②茶斗③竺?④手二⑤三身中，最簡(jiǎn)分式有（填正確答案的序

8。9沖-a-bx--y~2x

號(hào)）.

【答案】①③

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)分式

Xx~y_1f+盯_%+),

【解析】【解答】解：??'

37彳2-)，2X+),'2x~2

②④⑤不是最簡(jiǎn)分式，

①③不能再化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)分式.

故答案為：①③.

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)分式的的定義逐項(xiàng)判斷即可。

9.在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)卣?，使下列等式成?

⑴暇“；

⑵工二d__________

x~-y~x-y

【答案】（1）a'+ab

（2）x

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：（1）竺^="也=心型

ababacrb

即括號(hào)內(nèi)的整數(shù)為a2+ab

?+沖二.?+），）一x

?W一）,2（x_y）（x+）,）工一），

即括號(hào)內(nèi)的整數(shù)為x

【分析】（1）觀察等式的左右兩邊的分母，可得出將分子分母同時(shí)乘以a,可解答。

（2）將等式左右邊兩邊的分子分母分解因式，再觀察等式右邊的分母，可知將分子分母同時(shí)除以（x+y）,

即可解答。

1

10.分式一,的最簡(jiǎn)公分母是

xy

【答案】12x3yz

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【解析】【解答】解：根據(jù)分式土的分母分別是：xy,4總6xyz,可得它們的最簡(jiǎn)公

分母為12x3yz.

故答案為：12x3yz.

【分析】觀察這三個(gè)分式的分母，都是單項(xiàng)式，最簡(jiǎn)公分母的求法：取各個(gè)分母系數(shù)的最小公倍數(shù),

分母中不同的字母取最高次帚，再把它們相乘，即可求解。

35/戶

11.約分:

\5ayb

,1b

【答案】—

3a

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

35a2b2_5a2blb_Jb

【解析】【解答】解:

15ayb5a2b-3a3a

故答案為：？

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分即可.

12.化簡(jiǎn)

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】分式的約分

a2.a1

【解析】【解答】分母島4肝4=(“-2)2=(2也)2,再約分，即丁.—?；一一不?7-飛■■不一

a7a+4(a-2)(2-a)2-a

【分析】本題注意將分母先進(jìn)行因式分解

0.3a+0.5〃

13.將分式的分子和分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，且分式的值不變，那么變形后的分式

0.2a-b

是___________________

3a+5b

【答案】

2aOb

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

0.3。+0.5。_10(0.3。+0.5〃)_3。+58

【解析】【解答】解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)得:

().2〃一〃—10(().2〃―/?)-2"10b

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同乘以10,再進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案.

2

a——bf

14.不改變分式的值，將分式的分子、分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，則不工

-+2/?

2

__._6a-4b

【答案】-——

3。+12b

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

22

a-gb6(a--b)6

【解析】【解答】解：［33_

兒+286(-a+2b)3。+12匕

22

6a-4b

故答案為：——.

3〃+128

【分析】利用分式的基本性質(zhì)求解即可。

三、解答題:

15.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù).

2

(1)

—x~+3x

x-\

i-2x

(3)

4-X2+3X.

2

【答案】(1)解：—

\-x~x-i

—4-3Xx2-3x

(2)解：

x-1x-1

\-2x21

(3)解:

4-x2+3xx2-3x-4

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)分式的基本性質(zhì)可知：分式的分子、分母、分式本身，同時(shí)改變其中兩處的

符號(hào)，分式的值不變，據(jù)此解答即可；

(2)根據(jù)分式的基本性質(zhì)可知：分式的分子、分母、分式本身，同時(shí)改變其中兩處的符號(hào)，分式的值

不變，據(jù)此解答即可；

(3)根據(jù)分式的基本性質(zhì)可知：分式的分子、分母、分式本身，同時(shí)改變其中兩處的符號(hào)，分式的值

不變，據(jù)此解答即可。

((7-3)x_X

16.若成立，求a的取值范圍.

(3-aX"?x-1

【答案】a#3.

【知識(shí)點(diǎn)】分式的值為零的條件；分式的基本性質(zhì)

(a-3)x

【解析】【解答】等式的左邊可變?yōu)椤?從左邊到右邊是利用分式的基本性質(zhì)，分子和分

(a-3Xx-l)

母都除以a-3,所以要保證a-3#l,即#3.

【分析】本題除了考存分式的基本性質(zhì)外，還注重了考杳分式的值不為0的條件。

17.直接寫出下列各組分式的最簡(jiǎn)公分母:

11

(1)

x2x3x

ab

(2)

beac

45

(3)

2x3y，3xz254xz,

xyz

⑷l-a(a-lf'(l-a)

,，1，1的最簡(jiǎn)公分母是6x

【答案】(1)解:

x2x3x

(2)解：—二，—的最簡(jiǎn)公分母是abc

abbeac

J____4___5

⑶解:2x3y，3^?，4x7的最簡(jiǎn)公分母是12x3yz2

xyz

⑷解：H'E'U的最簡(jiǎn)公分母是(…)3

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)公分母

【解析】【分析】(I)確定系數(shù)的最小公倍數(shù)與x的乘積可得最簡(jiǎn)公分母；

(2)確定不同字母的乘積可得最簡(jiǎn)公分母；

(3)確定系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的指數(shù)最高的項(xiàng)，所以不同的因式的乘積可得結(jié)果;

(4)轉(zhuǎn)化形式為同一的1-a,然后確定最簡(jiǎn)公分母即可.

18.約分

⑴24喙『：

18"

.ma+mb-me

(z2)-------------------；

a+b-c

a2-4ab+4b2

I)zz-

244~3\J

【答案】(1)解：么々:?

I"/

6〃61.4〃6y2

6,643

”、能ma+mb-tnc

a+h-c

m(a+b-c)

a+b-c

=m：

a2-4ab+4b2

(3)解:

a2-4Z?2

("24

(a+2b)(a-2b)

_a-2b

a+2b

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)；分式的約分

【解析】【分析】(I)約去分子分母的公因式即可;

(2)將分子進(jìn)行因式分解，約去公因式即可:

(3)先將分子分母分解因式，再約掉分子分母的公因式即可。

|91

19.通分：--------,

x-6x+9x-93x-9

【答案】解:因?yàn)樗鼈兊淖詈?jiǎn)公分母是3(X-3)2(X+3),

所以,

1二3x+9

X2-6X+9-3(X-3)2(X+3)

2_618

X2-9~3(X-3)2(X+3)'

1_X2-9

3^9=3(X-3)2(X+3),

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；分式的通分

【解析】【分析】將各個(gè)分式的分母分別分解因式，找出其最簡(jiǎn)公分母是3(x-3)2(x+3),然后根據(jù)

分式的性質(zhì)，第一個(gè)分式的分子分母分別乘以3(x+3)，第二個(gè)分式的分子分母分別乘以3(x-3),第

三個(gè)分式的分子分母分別乘以(x-3)(x+3).

20.從三個(gè)整式；①/一2,出+/,②3〃-3。，③/一從中，任意選擇兩個(gè)分別作為一個(gè)分式的

分子和分母.

(1)一共能得到個(gè)不同的分式；

(2)這些分式化簡(jiǎn)后結(jié)果為整式的分式有哪些？并寫出化簡(jiǎn)結(jié)果.

【答案】(1)6

(2)解：當(dāng)?、佗跁r(shí)

…a2-2ab+b-(a-h^a-b3a-3b一3

..結(jié)果為3b=許=丁或/三而一西廠力

當(dāng)取①③時(shí)

.』_2,必+/_(所_a-b/-b?=(a+b)(a-b)=a+b

a1-b1(〃+/))(〃一a+ba2-lab-￥b2a-b

當(dāng)?、冖蹠r(shí)

舛用為3。-3〃-3(a-〃)—3/一也(〃+匕)(，-嘰…

“、a1-b2(a+Z?)(a-Z?)a-\-b3a-3b3

???化簡(jiǎn)結(jié)果為整式的分為為：「2加/和史立

3a-3b3a-3b

a2-2ab+Z?2_(a-b)~_a-ba2-b2(a+b)(a-b)g+b

???化簡(jiǎn)的結(jié)果為:

3a-3b~3(a-b)~~3a-3b~~3(a-b)~~

【知識(shí)點(diǎn)】分式的定義；分式的約分

【解析】【解答］解：(1)a2-2ab+b2=(a-bf,3a-3b=31a-b),a2-b2=(a+b)(a-b)

???要從①/一2'心+〃，②3a-3b,③/一從任選兩個(gè)分別作為分子和分母

???一共有①②，①③，②③三種取法

乂二?一種取法里面的兩個(gè)整式可以作分子也可以作分母

???一種取法里面有兩種分式

，一共有6個(gè)分式;

【分析】（I）將三個(gè)整式分解因式，再列舉出所有的分式即可得出答案;

（2）根據(jù)（I）的計(jì)算結(jié)果即可得出答案。

能力提升篇

一、單選題：

I.下列各組的分式不一定相等的是（）

2x㈠2/77.2m

A.—與--

犬+)'-3/z3〃

「2。匕2ab26xz2z

J丁與---L9x2y與3xy

bb3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

2vv

【解析】【解答】A.二一X一，符合題意:

x+y）’

2m2"7

B.——好,不符合題意;

-3n3〃

，不符合題意;

4b3

6xz2z

D.不符合題意;

9A,2y3xy

故答案選A.

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

9.若把分式-^7中的。8都擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）

2a+b

A.縮小3倍B.擴(kuò)大3倍C.擴(kuò)大9倍D.不變

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：分式瑞中的〃、b都擴(kuò)大為原來的3倍為:

_3_x____x_3_Z_?-__9_x_3__。_〃__—j,x__3_a_b__

2x3a+3Z?3（2。+/?）2a+b

所以擴(kuò)大為原來的3倍，

故答案為：B.

【分析】把原分式中的a、b換成3a、3b,可得分式與原分式的關(guān)系.

3.對(duì)有理數(shù)x,下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.分式的分子與分母同乘以岡，分式的值不變［

B.分式的分子與分母同乘以x2,分式的值不變

C.分式的分子與分母同乘以|x+2|,分式的值不變

D.分式的分子與分母同乘以X2+1,分式的值不變

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】解答：因?yàn)閨x|K）,x2K）,|x+2|K）,x2+l“所以答案為x2+l.

分析：分式的基本性質(zhì)是：分式的分子與分母同乘以（或除以）一個(gè)不等于。的整式，分式的值不變.用

TV子戈小品.=?崗一二-----（C}

宓兔c|

二、填空題：

.-r.?._p.jbb+1bb—14b—22b—4小aa"+a丁為川士

4.下列式子：①一=---;②一=----;③----=——;④----=———，正確的有—

aa+1aa-1a2aa-1a-1

（填上序號(hào)）.

【答案】③④

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：”在分式的分子、分母中同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為。的數(shù)（或

整式），分式的值不變''分析可知：上述式子中，正確的是③④.

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)”在分式的分子、分母中同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)（或整式），

分式的值不變”即可判斷。

l十年八_u〃卞ciac,-.-a-b_0.5a+b5a+bx-yy-x

5.下列分式的變形中：①/二v-（c,，zx0sZ）②----=-1，③---------=------④一^=--,

bbea+b0.2a-0.3b2a-3bx+yy+x

錯(cuò)誤的是.（填序號(hào)）

【答案】③④

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：③原式=y+吸,故③錯(cuò)誤；

2a-3b

④原式=一"7）,故④錯(cuò)誤；

x+y

故答案為：③④.

【分析】①由分式的分子和分母同時(shí)除以同一個(gè)不為（）的整式，分式的值不變，可知①正確；

②左邊分式的分子和分母同時(shí)除以〃+6