專題L7數(shù)軸（知識講解）

【學習目標】

1.理解數(shù)軸的概念及三要素；

2.理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系，并會借助數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小;

3.體會并理解數(shù)形結(jié)合思想；

4.初步理解數(shù)釉卜的動點問題.

【要點梳理】

L定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)地.

特別說明：

（1）原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.

（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度

單位是為度量線段的長度而制柒的單位.有km、m、dm、cm等.

（3）原點、正方向、單位長度可以根據(jù)實際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動.

2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不都

表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如乃.

特別說明：

（1）一般地，數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，左邊的點表示負數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點右邊的點表示，負數(shù)用原點左邊的點表示，零川原點表示.

（2）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

【典型例題】

【知識點一】數(shù)軸三要素及其畫法

在下列圖中，正確畫出的數(shù)軸是()

A---1----!------------1--->R-1---1----L

人-2.101>-2-10

【答案】B

【分析】先熟知數(shù)軸的定義，規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線是數(shù)軸，再對各選

項進行一一排查即可.

解：A.數(shù)軸的單位長度不統(tǒng)一，故選項A不正確；

n.滿足數(shù)軸的二要素，有原點，正方向，單位長度，故選項。正確;

C.數(shù)軸標數(shù)不全，故選項C不正確；

D.數(shù)軸沒有正方向，故選項。不正確.

故選擇B.

【點撥】本題考查數(shù)軸的定義與畫法，掌握數(shù)軸的三要素是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】下列關(guān)于數(shù)軸的圖示，畫法不正確的有（）

-----1----1---------1---------L->-------1---------?

-1011

(1)(2)

-J---------1---------1——?——1--------1----------1------

-101-101

(3)(4)

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義，逐一判斷，即可得到答案.

解：（1）中數(shù)軸的單位長度不一致，畫法不正確，符合題意；

（2）中數(shù)軸沒有原點，畫法不正確，符合題意；

（3）中數(shù)軸畫法正確，不符合題意；

（4）中數(shù)軸沒有正方向，畫法不正確，符合題意；

???畫法不正確的有3個，

故選B.

【點撥】本題主要考查數(shù)軸的畫法，掌握畫數(shù)軸的三要素：正方向，單位長度，原點,

是解題的關(guān)鍵.

【變式2】下列各語句中，錯誤的是（）

A.數(shù)軸上，原點位置的確定是任意的

B.數(shù)軸上，正方向是從原點向右

C.數(shù)軸上，單位長度1的長度的確定，可根據(jù)需要任意選取

D.數(shù)軸上，與原點的距禽等于36.8的點有兩個

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解.

解：A.數(shù)軸上，原點位置的確定是任意的，正確，不符合題意;

B.數(shù)軸上，正方向可以是從原點向右，也可以是從原點向左，錯誤，符合題意；

C.數(shù)軸上，單位長度1的長度的確定，可根據(jù)需要任意選取，正確，不符合題意：

D.數(shù)軸上，與原點的距離等于36.8的點有兩個，正確，不符合題意；

故選B.

【點撥】本題考查了數(shù)軸的定義，是基礎(chǔ)題，需熟記.

【知識點二】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)

.在數(shù)軸上，點A表示一2,若從點A出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向移動5個單位長度

到達點叢則點3表示的數(shù)是______.

【答案】3

【分析】根據(jù)向右加的運算法則，計算-2+5的結(jié)果就是點B表示的數(shù).

解：根據(jù)題意，得點B表示的數(shù)是-2+5=3,

故答案為：3.

【點撥】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握新數(shù)的表示方法是解題的關(guān)健.

舉一反三：

【變式1】從數(shù)軸上表示?3的點出發(fā)，向右移動4個單位長度到點A,則點A表示的數(shù)

【答案】I

【分析】根據(jù)向數(shù)軸右邊移動進行有理數(shù)加法運算即可得到答案.

解：由題意得點A表示的數(shù)為-3+4=1,

故答案為：1.

【點撥】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟知向右移是加運算是解題的關(guān)鍵.

【變式2】數(shù)軸上點4表示數(shù)-1,點、B表示數(shù)2,該數(shù)軸上的點。滿足條件CA=2CB,

則點C表示的數(shù)為.

A0B

?----------------------?A

【答案】I或5##5或1

【分析】先求出48的值，再分兩種情況：①當點C在線段48上時，②當點C在點4

右側(cè)時，求解即可.

解：AB=2-(-1)=2+1=3,

①當點C在線段A8上時，

?：CA=2CB,

13

:?CB=-AB=-=1,

33

：.OC=OB-CB=2-1=1,

???點C表示的數(shù)為I;

②當點C在點8右側(cè)時，

???CA=2C6,

：.CB=AB=3,

J。。=O8+8C=2+3=5,

???點C表示的數(shù)為5；

故答案為：1或5.

【點撥】此題考查了數(shù)軸的問題，解題的關(guān)鍵是分兩種情況根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)求解.

【知識點三】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

^^3.如圖數(shù)軸.

(1)寫出數(shù)軸上A,B,。各點分別表示的有理數(shù)；

44

⑵在數(shù)軸上把下列各數(shù)分別表示出來：-三、4.5；

(3)用“〉”將(1)、(2)中的六個數(shù)由大到小連接起來.

.d,,6.C,.,「

-4-3-2-1012345

,一44

【答案】(1)—3,0,2；(2)見解析；(3)4.5>2>耳>()>一石>一3

JJ

【分析】

(1)直接根據(jù)數(shù)軸上點對應數(shù)大小分布的特點寫出即可；

⑵直接在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可；

⑶根據(jù)數(shù)軸上數(shù)的大小特點直接即可寫出答案.

解：(1)A,B,C各點分別表示的有理數(shù)為：-3,0,2

(2)如圖所示，

44

A583c4.5

-4-3-2-1012345

(3)由數(shù)軸可得:

44

4.5>2>->0>——>-3.

35

【點撥】本題考杳了數(shù)軸的有關(guān)知識，熟練掌握數(shù)軸上的數(shù)的分布特點是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】寫出數(shù)軸上點八、8表示的數(shù)，并且在數(shù)軸上畫出點C,最后將點人、B、C

3

所表示的數(shù)用"V”連接.點C表示的數(shù)為1；.

4

0123

解：點A表示的百分數(shù)為,點8表示的假分數(shù)為.

<<.

Qq父

【答案】50%,50%,14,；

343

【分析】根據(jù)數(shù)軸卜?的點表示的數(shù)即可德結(jié)果，根據(jù)數(shù)軸的點表示的數(shù)，右山的數(shù)總比

左邊的數(shù)大即可比較大小.

解：在數(shù)軸上正確標出點C；

點A表示的百分數(shù)為50%；

點8表示的假分數(shù)為g；

排列正確：

43

【點撥】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)

軸上的點比較大小的方法是右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)，把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來.

【變式2】有理數(shù)m在數(shù)軸上的位置如圖所示.

（1）在數(shù)軸上表示出一a,-b,-21.

（2）把a,b,-a,—b,-2g,用“V”連接起來.

ba

1^1i1i,lI1t.

-5-4-3-2-1012345

【答案】（1）數(shù)軸表示見解析；⑵b<-2^<-a<a<-b

【分析】

（1）先畫出數(shù)軸，然后把根據(jù)題意表示出對應的有理數(shù)即可：

（2）根據(jù)數(shù)軸上點表示的有理數(shù)左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)進行求解即可.

解：（1）數(shù)軸表示如下所示:

t,...）■,*I}I

-5-4-3-2-1012345

（2）根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得：〃＜-2：＜-〃＜。＜-尻

【點撥】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵

在于能夠熟練掌握有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系.

【知識點四】數(shù)軸上兩點的距離

@4.如圖，小明在一張紙面上畫了一條數(shù)軸，折疊紙面，使表示數(shù)一1的點與表示

數(shù)5的點重合，請你回答以下問題：

J4二63-39-161234i61

（1）表示數(shù)一2的點與表示數(shù)__________的點重合；表示數(shù)7的點與表示數(shù)___________

的點重合.

（2）若數(shù)軸上點A在點B的左側(cè)，A,B兩點之間距離為12,且A,B兩點按小明的方法

折疊后重合，則點A表示的數(shù)是；點8表示的數(shù)是；

（3）已知數(shù)軸上的點用分別到（2）中A,8兩點的距離之和為2020,求點M表示的數(shù)

是多少？

【答案】（1）6,-3；（2）-4.8；（3）M點表示的數(shù)為一1008或1012

【分析】

（1）先判斷出表示數(shù)一1的點與表示數(shù)5的點關(guān)于數(shù)2的點對稱，即可得出答案；

（2）先判斷出點A和點8到表示數(shù)2的點的距離為6,即可得出結(jié)論；

（3）分點M在點A的左邊和在點8的右側(cè)，用距離之和為2020建立方程求解即可得

出結(jié)論.

解：（1）由折疊知，表示數(shù)一1的點與表示數(shù)5的點關(guān)于數(shù)2的點對稱，

:.表示數(shù)一2的點與表示數(shù)6的點關(guān)于數(shù)2的點對稱，

表示數(shù)7的點與表示數(shù)一3的點關(guān)于數(shù)2的點對稱，

故答案為：6,—3；

（2）???折疊后點A與點B重合，

???點A與點8關(guān)于表示數(shù)2的點對稱，

???4,5兩點之間距離為12,

???點4和點B到表示數(shù)2的點的距離都為6,

???點A表示的數(shù)為2—6=—4,點B表示的數(shù)為2+6=8,

故答案為：一4,8：

(3)設”表示的數(shù)為》,

當M點在A點左側(cè)時-4—x+8—x=2020,解得x=-1008；

當M點在B點右側(cè)時：x-(T)+x-8=2020,解得x=1012,

所以用點表示的數(shù)為一1008或1012.

【點撥】本題考查折疊問題，一元一次方程的解法，用分類討論的思想解決問題是解題

的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，在數(shù)軸I二有三個點4,B,C,回答卜列問題：

BAC

1」」」」」」I111」」.

-8-7-6-5-4-3-2-101234

(1)若將點B向右移動5個單位長度后，三個點所表示的數(shù)中最小的數(shù)是多少？

(2)在數(shù)軸上找一點。，使點。到A,C兩點的距離相等，寫出點。表示的數(shù)：

(3)在數(shù)軸上找出點E,使點E到點A的距離等于點E到點8的距離的2倍，寫出點E

表示的數(shù).

【答案】(1)一1;(2)0.5；⑶一3或-7

【分析】

(1)根據(jù)移動的方向和距離結(jié)合數(shù)軸即可回答；

(2)根據(jù)題意可知點。是線段AC的中點；

(3)點—可能在A、8之間,也可能在點8的左右.

解：(1)點8向右移動5個單位長度后，點8表示的數(shù)為1;

三個點所表示的數(shù)中最小的數(shù)是點A,為-1.

(2)點。到A,。兩點的距離相等；故點。為AC的中點.。表示的數(shù)為：0.5.

(3)當點E在A、5之間時，EA=2EB,從圖上可以看出點E為-3,

???點E表示的數(shù)為-3；

當力:E在點B的左側(cè)時，根據(jù)題意可知點8是4E的中點，

???點E表示的數(shù)是-7.

綜上:點E表小的數(shù)為-3或-7.

【點撥】本題主要考查的是數(shù)軸的認識，解題的關(guān)健是找出各點在數(shù)軸上的位置.

【變式2】如圖，數(shù)相上點A,B,M,N表示的數(shù)分別為一1,5,"?,〃，且AM=|A8,

點N是線段的中點，求小，〃的值.

AB

-5-4-3-2-1012345x

【答案】m=3,〃=4或m=—5,〃=0

7

【分析】根據(jù)題意得：48=6.再由4M=（人-可得AM=4.然后分兩種情況討論,

即可求解.

解：???數(shù)軸上，點A,8表示的數(shù)分別為一1,5,

???A8=6.

2

\'AM=-AB,

3

,\AM=4.

①當點”在點4右側(cè)時，

???點A表示的數(shù)為一1,AM=4,

???點M表示的數(shù)為3,即〃?=3.

?.?點8表示的數(shù)為5,點N是線段8M的中點，

???點N表示的數(shù)為4,即〃=4.

②當點M在點A左側(cè)時，

???點4表示的數(shù)為一1，4例=4,

???點M表示的數(shù)為一5,即〃?=一5.

:點B表示的數(shù)為5,點N是線段的中點，

???點N表示的數(shù)為0,即〃=0.

綜上，m=3,n=4,或〃?=-5,n=0.

【點撥】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離，并利用

分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【知識點五】數(shù)軸上的動點問題

包’5.如圖，在數(shù)軻上，點A、B、。表示的數(shù)分別為一2、1、6（點A與點8之間的

距離表示為人8）.

ABC

—I_A_?_?_I_?_?_?_?_l_

-3-2-101234567

（1）AB=,BC=,AC=.

（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點8和點。分別以每秒2個

單位長度和5個單位長度的速度向右運動.請問：24C—AC的值是否隨著運動時間/的變化

而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值.

（3）若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點人和點B分別以每秒1個

單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動.求隨著運動時間/的變化，AB、BC、AC之

間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）3,5,8：（2）會,理由見解析；（3）當時，AB+BC=AC：當，大于或

等干1,口，小干或等干2時,BC+AC=AB：當>2時.A8+AC=8C

【分析】

（1）根據(jù)點A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫出A3、BC、AC的長度；

（2）求出8C和A/T的值，然后求出28C-A8的值，判斷即可；

（3）分別表示出人從BC、AC的長度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系.

解：（1）由圖可得，AB=3,BC=5,AC=8,

故答案為：3,5,8；

（2）28C-A8的值會隨著時間/的變化而改變.

設運動時間為1秒，

則2BC-AB

=2[6+5/-（1+2/）]-[l+2/-（-2-/）]

=12+IOr-2-4r-l-2r-2-/

=31+7,

故2BC-AB的值會隨著時間t的變化而改變；

（3）由題意得，A8=f+3,

BC=5-5t（r<l時）或BC=5T（/>1時），

4c=8-41（任2時）或4c=4L8（f>2時）,

當/VI時，AB+BC=（z+3）+（5-5/）=8-4/=AC；

當1W注2時，8c'十AC=(5L5)十(8-4Z)=f+3=A8；

當/>2時，AB-\-AC=(/+3)+(4/-8)=5t-5=BC.

【點撥】本題主要考查了數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點間的距離.

舉一反三：

【變式1]“幸福是奮斗出來的“，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3,則C點叫做A

的“幸福點”，若。到A、B的距離之和為6,則C叫做小8的“幸福中心”.

ANM

------------------------?_?------------------>_|__|_,_|_L>

-5-4-3-2-1012345-3-2-1012345

度1圖2

ABC?-P

111▲，1111111111)

-3-2-1012345678910

（1）如圖1,點A表示的數(shù)為-1,則A的幸福點。所表示的數(shù)應該是；

（2）如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表水的數(shù)為4,點N所表小的數(shù)為-2,點C

就是M、N的幸福中心，則C所表示的數(shù)可以是（填一個即可）；

（3）如圖3,A、B、尸為數(shù)軸上三點，點A所表示的數(shù)為-1,點B所表示的數(shù)為4,點

7

P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，二秒

時，電子螞蟻是A和8的幸福中心嗎？請說明理由.

【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的數(shù)可以是?2或-1或0或1或2或3或4（答案不

唯一）：（3）當經(jīng)過2秒時，電子螞蚊是A和8的幸福中心.

4

【分析】

（1）根據(jù)幸福點的定義即可求解；

（2）根據(jù)幸福中心的定義即可求解；

（3）根據(jù)幸福中心的定義即可求解.

解：（1）4的幸福點C所表示的數(shù)應該是-1-3-4或-1+3-2；

故答案為：-4或2；

（2）V4-（-2）=6,

???M,N之間的所有數(shù)都是M,N的幸福中心.

故C所表示的數(shù)可以是-2或-1或?；?或2或3或4（答案不唯一）;

（3）經(jīng)過2秒時，電子螞蟻是4和8的幸福中心，理由是：

4

8-2x2-4+(8-2>:-+i)=6,

44

故當經(jīng)過?秒時，電子螞蟻是4和8的幸福中心.

4

【點撥】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點的距離、動點問題，熟練掌握動點中三個吊的數(shù)

量關(guān)系式：路程=時間、速度，認真理解新定義.

【變式2】已知數(shù)軸上有三點A,B,C分別表示有理數(shù)-26,-10,10,動點P從點A

出發(fā)，以I個單位長度/s的速度向終點。移動，設點P移動時間為用.

----->

APBC

-26-10010

(1)用含，的代數(shù)式表示點P分別到點A和點C的距離：PA=,PC=.

(2)當點P運動到點8時，點。從點A出發(fā)，以3個單位長度/S的速度向點。運動，

點Q到達點C'后，再立即以同樣的速度返回，當點。運動到點C'時，兩點運動停止.當點/),

Q運動停止時，求點。間的距離.

【答案】(1)，，36-/；(2)24

【分析】

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離即可求得答案；

(2)先求得點P從B點到C點的時間，進而求得點。運動20s的路程，根據(jù)題意確定。

的位置，進而求得2。的距離

解：(1)PA=t,PC=36-t