北師大版七年級下冊第2章平行線——紙片翻折問題專題練習（含詳細解析）一、基礎鞏固篇（每題10分，共30分）1.單條直線翻折基礎如圖1，將長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在A'處，若AB∥CD，∠1=50°，求∠A'EF的度數(shù)。（注：實際word版需插入標準幾何圖形）解析：利用平行線性質：∵AB∥CD，∴∠1=∠AEF=50°（兩直線平行，內錯角相等）。緊扣翻折性質：折疊前后對應角相等，即∠A'EF=∠AEF。計算結果：∠A'EF=50°。2.雙線平行翻折轉化如圖2，直線a∥b，將一張直角三角形紙片ABC（∠C=90°）按圖示方式折疊，使點C落在直線b上的C'處，折痕為DE。若∠1=25°，求∠2的度數(shù)。解析：標注折疊對應角：由翻折可知，∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED。求∠CDE的度數(shù)：∵∠1=25°，∠C=90°，∴∠CDE=180°-90°-25°=65°，則∠CDC'=2×65°=130°。利用平行線同旁內角：∵a∥b，∴∠CDC'+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補），故∠2=180°-130°=50°。3.折疊產(chǎn)生等腰模型如圖3，將平行四邊形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于點E。求證：△BDE是等腰三角形。解析：梳理已知條件：ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內錯角相等）。應用翻折性質：折疊后∠C'BD=∠CBD（對應角相等）。推導等腰關系：∠ADB=∠C'BD，∴BE=DE（等角對等邊），即△BDE是等腰三角形。二、能力提升篇（每題15分，共45分）4.多次翻折角度綜合如圖4，將長方形紙片ABCD先沿EF折疊，使點B落在AD上的B'處，再沿B'G折疊，使點A落在B'F上的A'處。若∠1=30°，求∠2的度數(shù)。解析：第一次折疊分析：由折疊得∠BFE=∠B'FE，∵AD∥BC，∠1=30°，∴∠BFE=∠1=30°，則∠BFB'=60°。計算∠AB'F：在△AB'F中，∠A=90°，∠AFB'=180°-60°=120°，∴∠AB'F=180°-90°-120°=-30°（錯誤修正：應為∠AFB'=180°-∠BFB'=120°，故∠AB'F=180°-90°-(180°-120°)=30°）。第二次折疊分析：折疊得∠AB'G=∠A'B'G=(90°-30°)/2=30°，∵AD∥BC，∴∠2=∠AB'G=30°（兩直線平行，同位角相等）。5.折疊與拐點模型結合如圖5，AB∥CD，將紙片沿MN折疊，使點D落在D'處，點C落在C'處。若∠AMD'=40°，求∠MNC'的度數(shù)。（提示：構造平行線輔助線）解析：構造輔助線：過點M作ME∥AB，過點N作NF∥CD。利用平行線傳遞性：∵AB∥CD，∴ME∥NF∥AB∥CD。求∠DMD'：∠AMD'=40°，∴∠DMD'=180°-40°=140°，由折疊得∠DMN=∠D'MN=70°。計算∠MNF：∠EMN=∠DMN=70°（ME∥CD，內錯角相等），∵ME∥NF，∴∠MNF=180°-70°=110°。得出結果：由折疊得∠MNC'=∠MNC=110°。6.折疊與動點問題如圖6，AB∥CD，點P是CD上一動點，將紙片沿AP折疊，使點D落在D'處。當∠DAP=多少度時，D'P∥AB？解析：設未知數(shù)并標注：設∠DAP=x，由折疊得∠D'AP=∠DAP=x，∠ADP=∠AD'P=180°-∠D=180°-180°=0°（錯誤修正：應為ABCD是平行線，假設AD與CD垂直，則∠D=90°，故∠AD'P=90°）。利用平行條件：若D'P∥AB，且AB∥CD，則D'P∥CD，∴∠AD'P+∠D'PC=180°，即∠D'PC=90°。推導角度關系：∠D'PA=∠DPA=180°-∠DAP-∠D=180°-x-90°=90°-x，又∠D'PA+∠D'PC=180°，∴(90°-x)+90°=180°，解得x=45°。結論：當∠DAP=45°時，D'P∥AB。三、拓展創(chuàng)新篇（25分）7.折疊綜合應用（含幾何證明與計算）如圖7，在長方形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，將紙片沿直線l折疊，使點B落在AD邊上的B'處，折痕l與BC交于點E，與AB交于點F。（1）求證：△AB'F∽△BEF；（10分）（2）若B'為AD中點，求BF的長度。（15分）解析：（1）證明相似：由折疊得對應關系：∠BFE=∠B'FE，BF=B'F。利用平行線性質：∵AD∥BC，∴∠B'FE=∠BEF（兩直線平行，內錯角相等），故∠BFE=∠BEF，即BE=BF=B'F。找等角條件：∠A=∠B=90°，∠AFB'=180°-∠B'FE-∠BFE=180°-2∠BEF，∠BEF=90°-∠BFE=90°-∠B'FE，通過角度轉化得∠AFB'=∠BEF，因此△AB'F∽△BEF（兩角對應相等，兩三角形相似）。（2）計算BF長度：設未知數(shù)：設BF=x，則B'F=x，AF=AB-BF=8-x。利用中點條件：B'為AD中點，AD=6cm，∴AB'=3cm。應用勾股定理：在Rt△AB'F中，AB'2+AF2=B'F2，即32+(8-x)2=x2。解方程：9+64-16x+x2=x2→73-16x=0→x=73/16≈4.56cm。結果：BF的長度為73/16cm（或4.56cm）。四、參考答案總結50°50°（證明過程見解析）30°110°45°（1）（證明過程見解析）；（2）73/16cm五、解題技巧歸納核心性質：翻折前后圖形全等（對應角相等、對應邊相等），這是解題的“題眼”。輔