高考數(shù)學專項研究：導數(shù)（29）變量換元第六章常用方法第二節(jié)變量換元一、自變量表示參數(shù)(一)常量代換1.(經(jīng)典例題)fx=x2解:f′x=2x2+2x+a1+xx【關鍵一步:參變代換】由gx2則fx2=x22+aln1+x2=x22?2【同源練習】①fx=x2②fx=?lnx?2.fx=x?解:由f′x由x2=1+由fx2<x2?1gx<g3.fx=lnx?2ax,解:g由g′x=0得x1x令x令?x=??同源練習:fx=x?1x?aln解:fM?Ng′x4.fx=x2?1+x2+解:根據(jù)我們對于絕對值問題的處理,顯然該函數(shù)為局部絕對值題型,因而分類討論去絕對值即可設0<x1<x2<2所以fx在(0,1]若1<x1<由fx1=0得k=?1x1故當?72<k<?當0<x1≤即1x1+15.設函數(shù)fx=x?a2ln①當0<x≤1時,對于任意的實數(shù)②當1<x≤解得3e?f′x=x?且?3e=2ln3e+1?a3e≥2ln3e+1?當x∈x0,a時,f′x<0;當x∈a所以要使fx≤4e2由?x0=將(3)代入(1)得4x02ln3x0≤4e2.又x0>1,注意到函數(shù)x3ln3x在6.fx=ln1+ax?2x解:f′x=af=ln=ln令2a?1=x,由0<當x∈?1,0,gx=2ln?x+2x?2,g′x=2x(二)構(gòu)建函數(shù)1.fx=x2?a+1解:由題意得f′m=由a∈0由m+n=?2且ny′=由m∈[?3當?2≤當?3≤綜上得gg【同源練習】fx=x?有三個零點的必要條件解:函數(shù)要想有三個零點,則至少需要三個單調(diào)區(qū)間,故a設極值點x1,x2故f得2lnx?x在0,12因此存在x0∈1e2,2.fx=x2+a?解:由f′x=x令a=gx故存在唯一的x1使得gx當x1>0時,在?∞,0上,g故在x=0處取最大值(舍)，當x1=0時,在?∞,0上,g當x1<0時,在?∞,x1上,gx<a,f′x>綜上,a=gx=x+23.fx=2解:令?x=故?x在[0,+∞)當a≥?1時,f′x在[則a∈?5,當a<?1時,則存在x當x∈0,x0時,?故x∈x0,+∞時,?x則f又因為?x0=2由ex0=x0M′x=1Mx<綜上,ln4.fx=a?ex+解:f′x所以gx單調(diào)遞增,g0=?gx0=0,由gx0=0得aex又aex0=故存在m∈0,+∞使得?m=1所以m<x0≤所以5.fx=x解:f′x=x設?x=2xlnx+x,?′x=3(三)代換+構(gòu)建已知函數(shù)fx=?2存在a∈0,1,使得fx≥0解:由f′x=令φx則φ1=1>0令由u′x=1?所以0=u1當a=a0易判斷函數(shù)f′x在區(qū)間故當x∈1,x0當x∈x0,+∞時,有所以,當x∈1,+∞綜上所述,存在a∈0,1,使得fx≥0二、自變量互相表示(一)恒等式變換1.fx=ax?ax?解:設極值點為x1、因為x1x2=1,所以S令x12=t,t2.fxx1、x解:設g故?x2+2x+ax2gx若x1<0,若0<x綜上,λ3.已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx存在兩個極值點x1,解:(1)fx的定義域為0(i)若a≤2,則f′x≤0,當且僅當a=(ii)若a>2,令f′x=當x∈0,當x∈a?a2?4a+a2(2)由(1)知,fx存在兩個極值點當且僅當a由于fx的兩個極值點x1,x2滿足x2?f所以fx1?設函數(shù)gx=1x?x+2lnx所以1x2?【同源練習】①fx=x2證:f②已知fx=x2+a證:求導可得x4.gx=x2?2x+解:g′x=2x2證gx1g設?即?x在0,5.已知?x=lnx+1解:?由m≤?322?令g當x∈0,22時,g所以gxmin=g(二)不等式變換1.fx=解:f′xfx在?∞,x1單調(diào)遞增,在x所以證fx1展開式可以整理為