專題16全等與相似模型.半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型上行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

解魏思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明馬

半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半

角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)一一證全等一一得到相關(guān)結(jié)論。

【模型展示】

1）正方形半角模型

條件：四邊形A8C。是正方形，ZECF=45°；

結(jié)論：?ABCE^ADCG：②△（?￡/經(jīng)△CGF；③EF=BE+DF；④AAE/7的周長=2A8；

⑤CE、CF分別平分和

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AA8C是等腰直角三角形，NOAE=45。；

結(jié)論：①②ADAE*/\GAE；③/ECG=90°：?DE2=BD2+EC2；

3）等邊二角形半角模型（120。?6。。型）

AAA

條件：AA4C是等邊三角形，△8QC是等腰三角形，且8O=C。，N8QC=120。，ZEDF=60°；

結(jié)論：①△3。七注△COG：②△￡￡）尸治△GQF：③EF=BE+FC；④△4￡產(chǎn)的周長=2A4：

⑤OE、DF分別平分NBEF和ZEFC.

4）等邊三角形半角模型（60。?30。型）

條件：AABC是等邊三角形，Z￡AD=30°：

結(jié)論：①△8D4g/\C"；②△D4Eg△物E；③NECF=120。；@DE2=(jBD+EC)2+f2^

BD

5）半角模型（加?a型）

條件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

結(jié)論：①△8AQ@Z\C4F；②△￡AO絲③N￡Cb=1800-2a。

例1.（2025?黑龍江?九年級階段練習(xí)）已知四邊形A8CO是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點

與A點重合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線AC,C。于M,N.

⑴如圖1,當(dāng)"，N分別在邊4cCO上時，求證：BM+DN=MN

⑵如圖2,當(dāng)M,N分別在邊3cC。的延長線上時，請直接寫出線段3M,DN,MN之間的數(shù)量關(guān)系

⑶如圖3,直線AN與BC交于P點,MN=10,CN=6,MC=8,求CP的長.

例2.（2025?北京四中九年級期中）如圖，在048。中，I2ACB=900,CA=CB,點P在線段A3」：，作射線

CP（00<[MCP<450）,射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到射線CQ,過點A作ADQ”于點。，交CQ于

點E,連接BE.（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段4。，DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

C

例3.（2025秋?江蘇揚州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形48c中，在AC邊上取兩點“、M使

/MBN=3。.若AA/=〃7,MN=X,CN=n,則以乂以〃為邊長的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨其相，〃的值而定

例4.（2025?廣東深圳?八年級期末）如圖，0ABC+，（3840=120。，A8=4C,點。為8c邊上一點.點E

為線段CQ上一點，且CE=2,AB=4逐,WAE=60°,則。E的長為

（3）如圖3,在四邊形ABC。中，AB=BC,MBC+（MOC=180。，點M、N分別在OA、C。的延長線上,

若試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為

模型2.半角模型（相似模型）

【常見模型及結(jié)論】

1）半角模型（正方形中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形48C。中，（3E4F的兩邊分別交8C、CD邊于M、/V兩點，且（3￡4F=45。

AfATFFl

結(jié)論：如圖1,△AMNs/XAFE且工=空=匕二夜.（思路提示：4ANM=4AEF,NAMN=NAFE）；

AMANMN

結(jié)論：如圖2,△MANS/XMDA,ANAMsANBA；

結(jié)論：如圖3,連接AC,則△AMBS/^AFC,△AM）S/^AEC.

AMAH

圖3圖4

結(jié)論：如圖4,/\BMEsXAMNs2DFN.

2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）

（1）含45°半角模型

B

圖2

條件：如圖1,已知/8AC=90°,ZABC=ZACB=ZDAE=45°；

結(jié)論:①△ABEs/\O4EsZ\oc4；②竺=生=烏；③(AB?=BECD)

BEAEAC

（2）含60“半角模型

條件：如圖1,已知/84C=120°,ZADE=ZmE=60°；

結(jié)論:①△AB￡)s/^CAEs/\C8A；②生=g=生；③A￡)AE=4￡)C￡：(DE?=BDCE)

BDAEAB

例1.（2025?山東濟南?九年級期中）如圖，在正方形A8C。中，點、E、F分別是8C、。。邊上的兩點，且

ZE4F=45°,AE."分別交8。于M,N.下列結(jié)論：①A8?=8NQW;②質(zhì)平分NZWE;③

AMAE=ANAF；⑥BE+DF-^MN.其中正確的結(jié)論是《）

A.①②③④B.①②③C.①③D.①②

例2.（2025?山西晉城?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCO中，AO=9,AB=6,E,尸分別為，CO邊

上的點.若㈤尸=45。，AE=3j5,則。尸的長為

例3.（2025秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△48。中，N4C4=90。，AC=5C,點。、E在邊

上，CE2=13EDE.（l）^ilE：/￡>CE=45。；（2）當(dāng)AC=3,AD=2BD時,求。石的長.

例4.（2025?江蘇無錫?九年級期中）如圖，在“8C中，AB=AC=4>/3,N8AC=120。，點E都在邊8C

上，N的e=60。.若以A2CE,則OE的長為.

例5.（2025秋?江蘇泰州?九年級校考期末）（1）如圖1,。、E為等邊△ABC中BC邊所在直線.上兩點，

Z/ME=120°,求證：△AAOSAECA；（2）VAQE中，ZD4E=I2O°,請用不含刻度的直尺和圓規(guī)在OE

上求作兩點4、C,點4在點C的左側(cè)，使得“3。為等邊三角形；

（3）在（1）的條件下，〃為BC邊上一點，過〃作，/〃A。交A3延長線于點尸，”G〃AE交AC延長

nr

線于點G,若AB=6,BD=a,44石=60。，求；■的值.（月含有。的代數(shù)式表示）

例6.（2025?江西吉安?統(tǒng)考一模）綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我俏的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊A8、4。都落在對角線4c上，展開得折痕AE、AF,連接七人

如圖1.

（1）ZEAF=L寫出空中兩個等腰二角形：（不需要添加字母）;

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的一￡4"繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CO于點P、Q,連接尸。，如圖2.

（2）線段3P、PQ、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）連接正方形對角線30,若圖2中的NPAQ的

邊AP、4Q分別交對角線友）于點M、點N.如圖3,則盥=________:

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線3。剪開，如圖4.（4）求證：BM?+DN?=MN?.

例7.（2025?湖北武漢?校考模擬預(yù)測）在矩形A8CO中，AD=iiAI3,AEAF=a（0°<?<%°）,點E、F

分別是邊8C、CD上的點，過點尸作尸G〃3C,交直線AE于點G.

(1)如圖L若AO=6,//=1,a=45°,BE=2,則&7?'=?SjEF~

⑵如圖2：若〃=2,a=45。，過點F作尸G〃3C,交AE于點G,過￡作即〃A8,交加、于點〃，求證:

尸G=2E”；⑶如圖3：若〃=2,BE=E，。r=6過點尸作/G〃8C,交AE于點G,FG=5上，直

接寫出tana的值.

課后專項訓(xùn)練

1.（2025?成都市?八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形4ECO中，對角線AC,BD交于點O,E在BD

上，連接CE,作Eq1CE交于點片交4c于點G,連接C尸交于點兒延長CE交4。于點連

接則下列結(jié)論：①點E到八從8c的距離相等；②MCE=45。；③團。例C=（3KWC；④若DM=2,

3

則BF="正確的有（）個.

A.1/

F

B

A.1B.2C.3D.4

2.12025?廣東深圳?統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABC。中，E是的中點，尸在CO上，CF=2DF,連接AE,

A尸與對角線8。交于點M,N,連接MREN.給出結(jié)論：①㈤?=45。；②AN_LEN；③tanNAMV=3；

@DN:MN:BM=丘:也:也.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

3.如圖，在矩形紙片人8C力中，點石、尸分別在矩形的邊人“、人力上，將矩形紙片沿CE、CF折會，點"

落在”處，點。落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AS=6,4。=4,BE=2,則DF的長是（)

3&

D.3

~2~

4.（2025春?廣東河源?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形A8CD內(nèi)作NE4"=45。，AE交BC

于點E,AF交CD于點F,連接即，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△A8G,若BE=2,則EF的長

5.（2025?浙江紹興?校聯(lián)考三模）矩形48co中，AB=6,AD=\2,連接BO,E,尸分別在邊"C,C。上,

連接AE,"分別交BO于點M,N,若NE4"=45。，8E=3,則DV的長為

6.12025?成都市?九年級專題練習(xí)）如圖，在RrtMBC中，AB=AC,。、石是斜邊上兩點，且皿4E=45。，

將（L4QC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后.得至胞4尸8,連接EF,下列結(jié)論：①財ED的4ER②空二空；③的WC

BECD

的面積等于四邊形”8。的面積；④BE2+DC2=DE2；⑤BE=EF-DC；其中正確的選項是（填

序號）

八力3

7.（2025?上海寶山??？家荒＃┤鐖D，在團ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，0DAE=EB=3O°,且一=-,

AE2

那么當(dāng)DF的值是,

oC

8.（2025?江蘇南京?九年級專題練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1,在正方形A/TCO中，若￡,少分別是C。，8C

邊上的點，0EAF=45°,則我們常會想到：把繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的WG.易證即1E距,

得出線段8凡DE,E尸之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）類比探究：如圖2,在等邊中，D,E為BC邊上的點，I3DAE=30°,80=3,EC=4,求線段QE

的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3,在財BC中，AB=AC,0B4C=150。，點O,E在8c邊上，（3D4E=75。，若

。石是等腰的腰長，請直接寫出BD：CE的值.

9.（2025?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形48co中，AB=AD,N8+N￡>=180。，點E,

產(chǎn)分別在8C,CD上,若284。=2/石4尸，則EF=BE+DF，

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形48co.已知CO=CB=l（X）m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBC￡>=150°,道路A。，AB上分別有景點M,N,且DW=100m,

用V=50（6-l）m,若在用，N之間修一條直路，則路線MfN的長比路線MfAfN的長少

m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：x/3?1.7）.

圖①

10.（2025?山東青島九年級期中）【模型引入】

當(dāng)幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型"

【模型探究】（1）如圖1，在正方形A3CO中，E、r分別是A&3C邊上的點，且團EOr=45。，探究圖中

線段EF,AE,FC之間的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,如果匹邊形ABC。"AB=AD,^BAD=^BCD=9Q°,0EAF=45°,且8c=7,

DC=13,CF=5,求BE的長.

【拓展提高】（3）如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD.（3ABC與財。C互補，點E、尸分別在射線CB、

0c上，^EAF=LWAD.當(dāng)BC=4,DC=1,C尸=1時，ACE廠的周長等于.

2

（4）如圖4,正方形ABC。中，“4MN的頂點M、N分別在8C、C。邊上，A砸MM且A”=A8,連接

8。分別交4M、AN于點E、F,若MH=2,N"=3,DF=2后,求EF的長.

（5）如圖5,已知菱形ABCD中，姐=60。，點E、?分別是邊BC,CD上的動點（不與端點重合），且目￡4尸=60。.連

接8。分別與邊AE、A/交于M、N,當(dāng)回D4F=15°時，求證：MN2+DN2=BM2.

圖4圖5

11.（2025?江西九江?一模）如圖（1）,在四邊形/WCO中，NA+NO=180。，A3=4）,以點人為頂點作/￡4尸，

且NE4"=；/8A。，連接EE（1）觀察猜想如圖（2）,當(dāng)N8AD=N8=/。=90。時，

①四邊形48C。是（填特殊四邊形的名稱）；②BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系為.（2）類比探

究如圖（1）,線段BE,QRE戶之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若木成立，請說

明理由.（3）解決問題如圖（3）,在/MBC中，NBAC=90。,A3=AC=4,點Q,E均在邊BC上，且

ZZME=45°,若BD=6，求DE的長.

B

BB

（圖1）閥3）

12.（2025?福建泉州?統(tǒng)考二模）（1）如圖1,在正方形A8CO中，E,尸分別為DC,3c邊上的點，且滿

足NE4/=45。，連接EF,則DE,BF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖2,將RtA48C沿斜邊翻折得到△ADC,E,尸分別為。C,B。邊上的點，且=

試猜想。石，BF，E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）將兩個全等的等腰直角皿?。和△Af'G按如圖3所示擺放在一起，A為公共頂點，ZZMC-ZAGF-900,

AF,AG與邊BC的交點分別為。，E,求證：DE?=BD2+CE?.

13.（2025?陜西西安?九年級?？计谥校﹩栴}研究，如圖，在等腰“WC中，4B=AC,點。、E為底邊BC

上的兩個動點（不與。、C重合），且4M￡=NB.

（1）請在圖中找出一個與相似的三角形，這個三角形是;

（2）若N8AC=90°,分別過點0、E作A8、AC的垂線，垂足分別為尸、G,且。尸、EG的反向延長

線交于點M，若AB=1,求四邊形ABWG的面積；

D

問寇解決（3）如圖所示，有一個矩形倉庫A8C。，其中A8=40米，4。=30米，現(xiàn)計劃在倉庫的內(nèi)部的E、

尸兩處分別安裝監(jiān)控攝像頭，其中點E在邊BC上，點尸在邊。C上.設(shè)計要求㈤b=45。且CE=b,則CE

的長應(yīng)為多少米？

14.（2025?陜西漢中?九年級統(tǒng)考期末）如圖，MBC+，NB4c=120。，AB=AC,點、D為BC邊上一點.

nrj

⑴如圖1,若AD=/W,ND4M=120。.①求證：BD=CM；②若NCMO=90。，求而的值.

⑵如圖2,點E為線段C。上一點，旦CE=4,A8=6百，ZZ>4E=60o,求OE的長.

15.（2025?遼寧沈陽?九年級統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】

（1）如圖1,在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，^BAC

=l?G=90o,BC=6,若固定不動，將財產(chǎn)G繞點A旋轉(zhuǎn)，邊4尺4G與邊分別交于點/5,E（點。

不與點B重合，點E不與點C重合）①求證：AE2=DE^BE；②求BE?C。的值;

【拓展探究】⑵如圖2,在中，呢=9。。，點D,E在邊8C上』"的A3。。，且仞=白￡,

請直接寫出D票E的值.

LJX--

A

A

B/DE\~

CDEB

F

ffll圖2

16.（2025秋?廣東?九年級校考期中）如圖①，在正方形中，點N、M分別在邊3C、CD上，連接

團MAN=45。,將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,點。與點3重合，得到財8￡易證:西MWmMNE,

從而得DM+BN=MN.

【實踐探究】⑴在圖①條件下,若CN=6,CM=8,則正方形48C。的邊長是.

⑵如圖②，點M、N分別在邊CD、AB±,口BN=DM.點￡尸分別在區(qū)例、ON上，（3EAF=45\連接

EF,猜想三條線段ERBE、。尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在矩形A8C。中，A8=6,AO=8,點M、N分別在邊DC、BC上,連接AM,

AN,已知（3M4N=45。，BN=2,求。M的長.

17.（2025?浙江杭州?九年級期中）已知正方形A8CO的邊長為4,一個以點A為頂點的45。角繞點A旋轉(zhuǎn),

角的兩邊分別與邊BC、QC的延長線交于點&F,連接環(huán).設(shè)CE=o,CF=〃.

圖1圖2（備用圖）圖3

（1）如圖1，當(dāng)/E4f被對角線AC平分時，求人力的值；（2）當(dāng)AAE尸是直角三角形時，求。、匕的值;

（3）如圖3,探索NE4尸繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，△CEF的面積是否發(fā)生變化？請說明理由.

18.（2025?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的

三角尺放在正方形A3CO中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點。重合，繞點。旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的

兩邊CM,CN始終與正方形的邊AO,A4所在直線分別相交于點M,N,連接MN,可得ACMN.

【探究一】如圖②，把VC/加繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CM,同時得到點〃在直線A3上.求證：

NCNM=NCN〃；【探究二】在圖②中，連接8。，分別交CM,CN干點、E,F.求證：ACEFs^CNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置.，直線8。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連

接AC交于點。，求名的值.

NM

圖③

圖①

專題16全等與相似模型.半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型上行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

解魏思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明馬

半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半

角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)一一證全等一一得到相關(guān)結(jié)論。

【模型展示】

1）正方形半角模型

條件：四邊形A8C。是正方形，ZECF=45°；

結(jié)論：?ABCE^ADCG：②△（?￡/經(jīng)△CGF；③EF=BE+DF；④AAE/7的周長=2A8；

⑤CE、CF分別平分和

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AA8C是等腰直角三角形，NOAE=45。；

結(jié)論：①②ADAE*/\GAE；③/ECG==90°；@DE2=BD2^EC2；

3）等邊二角形半角模型（120。?6。。型）

AAA

條件：AA4C是等邊三角形，△8QC是等腰三角形，且8O=C。，N8QC=120。，ZEDF=60°；

結(jié)論：①△3。七注△COG：②△￡￡）尸治△GQF：③EF=BE+FC；④△4￡產(chǎn)的周長=2A4：

⑤OE、DF分別平分NBEF和ZEFC.

4）等邊三角形半角模型（60。?30。型）

條件：AABC是等邊三角形，Z￡AD=30°：

結(jié)論：①△8D4g/\C"；②△D4Eg△物E；③NECF=120。；@DE2=(jBD+EC)2+f2^

BD

5）半角模型（加?a型）

條件：ZBAC=2a,AB=AC,ZDAE=a；

結(jié)論：①△8AQ@Z\C4F；②△￡AO絲③N￡Cb=1800-2a。

例1.（2025?黑龍江?九年級階段練習(xí)）已知四邊形A8CO是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點

與A點重合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線AC,C。于M,N.

⑴如圖1,當(dāng)"，N分別在邊4cCO上時，求證：BM+DN=MN

⑵如圖2,當(dāng)M,N分別在邊3cC。的延長線上時，請直接寫出線段3M,DN,MN之間的數(shù)量關(guān)系

⑶如圖3,直線AN與BC交于P點,MN=10,CN=6,MC=8,求CP的長.

【答案】(1)見解析；(2)BM-DN=MN；(3)3

【分析】(1)延長CA到G使AG=DN,連接AG,先證明MGB三AAND,由此得到AG=AN,NGAB=ND47V,

再根據(jù)NM4N=45。，ZBA￡>=90°,可以得到NG4/=ZA^=45。，從而證明△AMV且△4WG,然后根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)即可證明8M+DV=MN；(2)在3M上取一點G,使得3G=AW,連接AG,先證明

△4GBWA4M),由此得到AG=AN,NGAB=NDAN,由此可得NG/W=N&V)=9(r,再根據(jù)NM4N=45。

可以得到NG4M=ZM4M=45。，從而證明八兩空"MG,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明

BM-DN=MN：(3)在QN上取一點G.使得。0=8”,連接4G,先證明△A8A/9AADG,再證明

△AMNW3GN,設(shè)ZX；=8W=x,根據(jù)。C=8C可求得x=2,由此"J得A8=8C=CQ=aV=6,最后再證明

由此即可求得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，延長CA到G使8G=ON,連接4G，

(3四邊形48CD是正方形，^AB=AD,〃\BG=ZADN=4BAD=4,

AB=AD

在與△”加中，J/48G=/4ON,:.^AGB^^AND(SAS),AG=AN,NGAB=/DAN,

BG=DN

vZAWV=45°,ZBAD=90°,0^DAN+ZBAM=ABAD-ZMAN=45°,

/.ZGAM=ZGAB+ZBAM=ZDAN+Z.BAM=45°,:"GAM=ZNAM,

AM=AM

在2kAMN與△AMG中，＜/GAM=/NAM,:.^AMN^/\AMG(SAS),:.MN=GM,

AN=AG

穴RM+GB=GM,BG=DN、:BM+DN=MN；

(2)BM—DN=MN,理由如卜.：如圖，在BM上取一點G,使得8G=ON,連接AG,

AB=AD

在^ABG與中，)/ABG=ZADN,AAGB^A/WD(必S),:.AG=AN,NGAB=ZDAN,

GB=DN

ZG/\B+ZGAD=ZDAN+ZGAD,Q]ZaW=Z/i4D=90o,

又?jNM4N=45°,Z.GAM=ZGAN-ZMAN=45°=AMAN,

AM=AM

在AAMN與△AMG中，｛/GAM=/N4M,.?.△AMN/△AMG(S4S),:.MN=GM,

AN=AG

yj!BM-BG=GM、BG=DN,國BM-DN=MN,故答案為：BM-DN=MN；

(3)如圖，在。N上取?點G,使得。G=BM,連接AG,

回四邊形ABC。是正方形，^AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ABAD=^°,ABHCD,

AB=AD

在6ABM與^AOG中，?NABM=NADG,"8用冬△AOG(S人S),

BM=DG

：.AM=AG,ZMAB=ZGAD,0+Z￡MG=ZG4D+ZftAG,EZMAG=NZMD=90°,

又?.?/MAN=45°,:.^GAN=ZA^iG-ZMAN=45°=ZMAN,

AM=AG

在2kAMN與AAGN中，＜/MAN=/GAN,/.AAMN烏AAGNISAS),/.MN=GN=1(),

AN=AN

設(shè)DG=8W=x,團CN=6,MC=8,0DC=7X7+G^-C7V=x+lO-6=x+4,BC=MC-BM=^-x,

^DC=BC,0x+4=8-.r,解得：x=2,^AB=BC=CD=CN=6,田AB〃CD,g/BAP=NCNP,

ZAPB=ANPC

在AABP與ANCP中，NBAP=￡CNP,;.AAB2aNCP(AAS),;.CP=BP=；BC=3,[3CP的長為3.

AB=CN

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運用全等

三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的的關(guān)鍵.

例2.（2025?北京四中九年級期中）如圖，在（MBC中，（MC8=90。，CA=CB,點P在線段AB上，作射線

CP（0°<[MCP<45o）,射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到射線C。，過點人作AD0”于點D,交CQ于

點E,連接（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段A。，OE,/法之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴作圖見解析.⑵結(jié)論：AD+BE=DE.證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.（2）結(jié)論：AD+BE=DE.延長D4至尸，使DF=DE,連接CE.利用

全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

（1）解：如圖所示：

c

(2)結(jié)論：AD+BE=DE.

理由：延長。A至凡?DF=DE,連接CKaADHCP,DF=DE,0CE=CF,00DCF=aDCE=45o,

回0ZC6=9O°,困ACD+MECB=45。,^DCA+^ACF=SDCF=45°,^FCA^ECB,

CA=CB

在(L4CF和團BCE中,NAC尸=N4C￡,^ACF^BCE(SAS),^AF=BE,^AD+BE=DE.

CF=CE

【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

例3.(2025秋?江蘇揚州?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，在等邊三角形A8C中，在AC邊上取兩點M、M使

NAIRN=3(f.若AM=〃?，MN=x,CN=n,則以乂〃?，〃為邊長的三角形的形狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨及〃?，〃的值而定

【答案】C

【分析】將"BM繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△C8”,連接"M根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等屋

關(guān)系可得：?NBM=?NBH,然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得△N8M0z\N8”,由全等三角形的性質(zhì)可將x、

小、〃放在△NC”中，即可確定三角形的形狀.

【詳解】解：如圖所示：將△ABM繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△C8H,連接HN,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CH=AM,ZABM=NCBH,NBCH=ZA,

團是等邊三角形，鹿L48C=。4cB=?4=60°,時/8/V=30。，盥1ABM+團C8N=30。,

回回N8H=回CB"+(3CBN=a48M+團CBN=30°,物N8M=(3N8”，

BN=BN

在么NBM與ANBH中,'NNBM=NNBH,醍NBM^ANBH(SAS),?MN=NH=x,

BM=BH

團團8C”=a4=60°,CH=AM=mf豳NCH=120°,

團以x,/小〃為邊長的三角形ANCH是鈍角三角形.故選：C.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，

例4.(2025?廣東深圳?八年級期末)如圖，。中，084c=120。，48=4C,點。為8c邊上一點.點、E

為線段O上一點，且CE=2,八￡?=4百，^DAE=60°,則QE的長為.

14

【答案】y

【分析】將△ABO繞點八逆時針旋轉(zhuǎn)120。至△ACM,連接過用作MQ_LBCj-Q,過A作4b_L/?C

于凡由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△?/注”107,設(shè)CQ=x,則CW=2x,QM=&,證明“U?比△AME(SAS),

得EM=OE=10-2x,最后利用勾股定理來解答.

【詳解】解：如圖，將△A8O繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)120。至AACM,連接ME,過M作MQJ_4C于Q,過A

作于尸，

團ZBAC'=120°,AB=AC,CE-2,AH=4石，

回Z4GV/=N8=30°=ZAC8.ZBAD=ZCAM,^ZMCQ=60\AF=-AB=-x4y/3=2y/3,

22

（3NCMQ=3O°,BF=CF7AB，-AF2=,（4石了一（2石J=6

在心△QMC中，CQ=-CM.0CE=2,13E=2BF-CE=\2-2=\O.

2222

設(shè)CQ=x,0GW=2x,QM=ylCM-CQ=>/（2x）-x=>/3x??EQ=x-2.

團Ztt4E=60°=NFNC,ZBAC=120°.0ZEAC=ZEAC+ZC4M=60°.[>Z.DAF=ZEAG.

AD=AM

0ZDAE=ZE4M.在AADE和AAA/E中<NOAE=NEAM,gAADE^/SAME(SAS),

AE=AE

田EM=DE=BE—BD=BE—CM=10—2x,由勾股定理得：EM2=EQ2+QM2,

0(10-2X)2=(X-2)2+(X/3A-)\@J=1,即CQ=g/)E=10-2x=10-?=?.故答案為：號.

JJJJ口

【點睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形有判定和性質(zhì)，勾股定理，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵.

例5.(2025?廣東廣州?二模)如圖，點。為等邊“8C外一點，N8DC=120。，BD=CD,點、M,N分別

在A4和AC上，NM￡W=60。且八例=9,AN=4,MN=8,則△口(7的邊長為.

【答案】10.5

【分析】先證明團。8M至QCN=90°,如圖，延長AC至〃，使CH=4M,連接。從再證明團￡>5M0[3DCH(SAS),

證明團MOA甌，。N(SAS),可得MV=HN=〃M+CN,從而可得答案.

【詳解】解：函4BC為等邊三角形的48cMMc8=60°,AB=AQ

005DC=12O°,BD=CD,00DBC={3DCB=yx(180°-120°)=30°,^DBM=^DCN=9Q°,

如圖，延長4c至H,使CH=BM,連接DH,

WDCH=90°,^DBM=^DCH,

IBM=CH

在住08M和(3OC”中,I?DBM?DCH,^DBM^WCH(SAS),^DM=DH,^BDM^CDH.

\DB=DC

團團8OM+0CON=6O°,OaCDN+SCD，=60°,盟MDN/HDN,

iDM=DH

在京MON和ta“ON中，\?MDN?HDN,勵MDN^HDN(SAS),?MN=HN=BM+CN,

\DN=DN

???AM=9,AN=4,MN=3,\AM+AN+MN=9+4+S=2]=AM+BM+CN+AN=AB+ACy

\ZB=-?2110.5.即等邊三角形的邊長為：10.5.故答案為：10.5

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形

是解本題的關(guān)鍵.

例6.(2025春?江蘇?八年級專題練習(xí))(1)如圖①，在四邊形ABC力中,AB=AD,4=/。=90。，E,F

分別是邊BC,CQ上的點，且ZEAF=^ZI3AD.請直接寫出線段EF,BE,之間的數(shù)量關(guān)系:___________:

心心口匚

[

0F、DFVayJD

圖①圖②篇用題名用麹

（2）如圖②，在四邊形48co中，AB=AD，ZB+ZD=180°,E,尸分別是邊BC,C。上的點，且

Z￡4F=1ZB4D,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；

（3）在四邊形A8C。中，AB=AI）,/8+NO=180。，E,尸分別是邊BC,C￡＞所在直線上的點，且

ZEAF=^BAD.請畫出圖形（除圖②外），并宜接寫出線段E尸，BE,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）EF=BE+FDx（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，EF=BE-FD

【分析】（1）延長E3到G,使5G=￡＞「，連接AG.證明△樹名皿尸，則AG=4〃，Z1=Z2,

Z1+Z3=Z2+Z3=ZE4F=-ZBAD,證明絲AAF￡（SAS）,得出所二G石，由此可得樣二GE,

2

EF=BE+FD；

（2）思路和作輔助線的方法同（1）；

（3）根據(jù)（1）的證法，可得出=8G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】解：（1）延長至G,使UG—D",連接AG,

^AB=AD,ZABG=ZABC=ZD=90P,BG=DF,團△ABGgAAOb(SAS),

^AG=AF,N1=N2,0Zl+Z3=Z2+Z3=ZE4F=-Zfi4D,EZG4E=ZE4F,

2

AG=AF

在&AGE和AAFE中，0'ZGAE=ZEAF,回△AGE且△月莊(SAS),?EG=EF,

AE=AE

^EG=BE+BG.RBG=FD^EF=BE+FD,故答案為：EF=BE+FD.

(2)解：(1)中的結(jié)論仍成立，證明：如圖所示，延長C8至M,使8V=O/，

0Z4BC+ZD=18O°,Z1+ZABC=18O°.團N/=ZD，

AB=AD

在vABM和△4)“中，＜NI=ND,團AABW絲△AQF(SAS),^AF=AM,N2=/3,

BM=DF

0ZEAF=|zB4D,[UZ2+Z4=-zB/\D=ZE4F,0Z3+Z4=ZE4F,即ZM4E=NE4產(chǎn)，