奔馳模型

1.（2025春?商河縣校級期末）數(shù)學探究課上老師處這樣一道題：“如圖，等邊AA/3C中有一點P,且

PA=3fPB=4,PC=5,試求47火的度數(shù)小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求NAPA度數(shù)的方法，下

面是這種方法的一部分思路，請按照下列思路要求畫圖或判斷

（1）在圖中畫出AAPC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的△AP.B;

（2）試判斷△的形狀，并說明理由；

（3）試判斷△期夕的形狀，并說明理由；

（4）由（2）、（3）兩間可知：ZAPB=.

2.（2025?武侯區(qū)校級開學）問題：如圖I,在等邊AABC內(nèi)部有一點尸，已知尸A=3,尸8=4,PC=5,

求ZAP8的度數(shù)？

（1）請寫出常見四組勾股數(shù)：、、、.

（2）解決方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)小,PB,PC的長度符合勾股數(shù)，但由于尸A,PB,PC不在一個三

角形中，想法將這些條件集中在一個三角形，于是可將MAP繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△A產(chǎn)C,此時

MBPWMCP,這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出NAP8=,請寫出解題過程.

（3）應(yīng)用：請你利用（2）題的思路，解答下面的問題：

如圖2,在AABC中，ZG4B=90°,AB=ACfE,F為BC的點、,且N￡4尸=45。，若=FC=nf

請求出線段所的長度（用加、〃的代數(shù)式表示）.

3.（2024秋?永定區(qū)期中）（1）如圖1,點夕是等邊A48C內(nèi)一點，已知E4=3,PB=4,PC=5,求ZAP4

的度數(shù).

分析：要直接求ZA所的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助

旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi).

解：如圖2,作NR4￡>=60。使連接尸D,CD,則是等邊三角形.

0

/.=AD=AP=3fZADP=ZPAD=6［）

AA4C是等邊三角形

/.AC=ABtZBAC=60。/.NBAP=

:.MBP^SACD

；.BP=CD=4,=ZADC

??,在"8中，PD=3,PC=5,8=4,PD2+CD2=PC2

.\ZPDC=°

ZAPB=ZADC=ZADP+N尸DC=600+90。=150°

（2）如圖3,在A44c中，AB=BC,NA3c=90。，點尸是AA4c內(nèi)一點，PA=1,PB=2,PC=3,求

44aM的度數(shù).

（3）拓展應(yīng)用.如圖（4）,AABC中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,2是AA8C內(nèi)部的任意一點，連

接叫,PB,PC,則1+P8+PC的最小值為.

4.（2025春?清苑區(qū)期末）綜合與實踐

問題情境：活動課上，同學們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1,已知

中，AB=ACfZB=40°.將AABC從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到AA0E（點。，E分別

是點、B,C的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為a（（）。<0<100。），設(shè)線段4）與8C相交于點M,線段DE分別交8C,

AC于點O,N.

特例分析：（1）如圖2,當旋轉(zhuǎn)到AOJL8C時，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為;

探究規(guī)律：（2）如圖3,在AA3C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真小組的同學發(fā)現(xiàn)線段AM始終等于

線段4V,請你證明這一結(jié)論.

拓展延伸：（3）①直接寫出當AZXW是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

②在圖3中，作直線用九CE交于點、P,直接寫出當APZ組是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

（4）連接8/）,在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在角a,使四邊形NW是平行四邊形？若存在，直接寫出a的

度數(shù)；如果不存在，請說明理由.

bc

5.（2025?嶗山區(qū)模擬）閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖I,在正三角形A4C內(nèi)有一點P,且E4=3,PB=4,PC=5,求ZAP/?的

度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△ATC,連接小，得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決.

請你回答：圖1中NAP8的度數(shù)等于.

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

（1）如圖3,在正方形A8CD內(nèi)有一點P,且PA=2g,尸3=1,PO=J/，則ZAP8的度數(shù)等于,

正方形的邊長為;

（2）如圖4,在正六邊形內(nèi)有一點尸，且弘=2,尸8=1,"=回，則NA心的度數(shù)等于,

正六邊形的邊長為

AB

圖4

6.（2025秋?玄武區(qū)校級期中）如圖，P是等邊三角形43c內(nèi)一點，連接E4,PB,PC,以8尸為邊

8.（2025秋?田家庵區(qū)校級月考）（原題初探）（1）小明在數(shù)學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如

圖1,尸是正方形A8C/J內(nèi)一點，連結(jié)尸4,〃C現(xiàn)將繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90"得到的△產(chǎn)C8,

連接產(chǎn)產(chǎn).若PA=g,PB=3,ZAPB=\35°i則PC的長為,正方形ABC/）的邊長為

（變式猜想）（2）如圖2,若點尸是等邊AABC內(nèi)的一點，且E4=3,PB=4,PC=5,請猜想ZAP8的

度數(shù)，并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題:

如圖3,在四邊形A8CD中，4)=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°f則8。的長度為

圖2

9.（2024秋?郵城區(qū)校級期中）下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

（1）如圖1,在等邊三角形48C內(nèi)部有一點P,PA=3fPB=4,PC=5,求ZAP8的度數(shù).

解：將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△叱8,連接尸產(chǎn)，則A4P尸為等邊三角形.

-PP=PA=3f尸8=4,PB=PC=5,

...PP2+PI32=PB2?

：.gPP為三角形.

:.ZAPB的度數(shù)為.

（2）類比延伸

如圖2,在正方形八成7）內(nèi)部有一點若N/W7）=135。，試判斷線段%、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

1().(2024?碑林區(qū)校級三模)問題提出

(1)如圖，點M、N是直線/外兩點，在直線/上找一點K,使得A7K+/VK最小.

問題探究

(2)在等邊三角形A8C內(nèi)有一點尸，且由=3,PB=4fPC=5,求乙針B度數(shù)的大小.

問題解決

(3)如圖，矩形A8CD是某公園的平面圖，AB=30G米，BC=60米，現(xiàn)需要在對角線8。上修一涼

亭石，使得到公園出口A、B,。的距離之和最小.問：是否存在這樣的點E?

若存在，請畫出點石的位置,并求出￡4+￡B+EC的和的最小值；若不存在，請說明理由.

11.(2024秋?諸暨市校級期中)如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連接四,PB,PC,以BP為

邊作NP8Q=60。，且BP=BQ,連接CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由.

(2)若尸A=3,PB=4,PC=5,連接PQ,判斷APQC的形狀并證明.

12.(2024秋?高青縣期末)閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形AM：內(nèi)有一點產(chǎn)，且/<4=3,b4=4,FC=5,求乙4心的

度數(shù)；

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△ATC,連接尸產(chǎn)，得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決.

(1)請你回答：圖1中ZA所的度數(shù)等于.(直接寫答案)

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點、P,且尸4=2夜，PB=\,PD=

(2)求ZAP4的度數(shù)；

(3)求正方形的邊長.

13.(2024秋?鹽城校級月考)【方法呈現(xiàn)】

(1)已知，點尸是正方形A4aM勾的一點，連以、PB、PC.將兇4笈繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。到4PCB

的位置(如圖1),設(shè)/W的長為a,PB的長為b(bva),求APA3旋轉(zhuǎn)到△戶CA的過程中邊夕A所掃過區(qū)

域(圖1中陰影部分)的面積；

【實際運用】

(2)如圖2,點P是等腰RiAABC內(nèi)一點，AB=BC,連接E4,PB,PC.若E4=2,PB=4,PC=6,

求NAP8的大??；

【拓展延伸】

(3)如圖3,點尸是等邊AABC內(nèi)一點，PA=3tPB=4,PC=5,則AAPC的面積是(直接填答

案)

14.(2024?河南)(1)探究發(fā)現(xiàn)

下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

如圖1,在等邊三角形A6C內(nèi)部有一點尸，PA=3fPB=4,PC=5.求ZAPB的度數(shù).

解：將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到AATB,連接尸P,則A4尸。為等邊三角形.

、：PP=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

:.PP^+PB?=PB?

XiPP為三角形

:.NAPB的皮發(fā)攵為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形A8CZ)內(nèi)部有一點尸，若ZAPZ)=135。，試判斷線段由、PB、叨之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在AA3C中，ZBAC=120°,AB=AC.點P在直線45上方且ZAP4=60。，試判斷是否存在常數(shù)

心滿足(b4)2+依2=2。2.若存在，求出女的值；若不存在，請說明理由.

15.如圖，尸是等邊三角形力AC內(nèi)的一點，連接E4、PB、PC,以5P為邊作NP8Q=60。，且BQ=3P,

連接CQ.

Q)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由.

(2)若以=3,p8=4,PC=5,/BQC=.(請直接寫出/HQC的度數(shù))

B

Q

1.（2025春?商河縣校級期末）數(shù)學探究課上老師處這樣一道題：“如圖，等邊中有一點?，且

產(chǎn)A=3,必=4,PC=3,試求"化的度數(shù).”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求乙鏟4度數(shù)的方法，下

面是這種方法的一部分思路，請或照下列思路要求畫圖或判斷

（1）在圖中1皿出AAPC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的

（2）試判斷的形狀，并說明理由；

（3）試判斷△明夕的形狀，并說明理由；

（4）由（2）、（3）兩問可知：Z4PB=150°

A一

【解答】解：（1）如圖，為所作；

（2）連接出,如圖，

△為等邊三角形.理由如下：

AAPC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的△AP.B,

/.AP；=APfZR4^=60°,

.?.△時「為等邊三角形；

（3）為直角三角形.

理由如下：

MPC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。后的△A小，

:.BP\=PC=5、

「△ARP為等邊三角形，

%=”=3,

?<-PP-+PB2=附,

??.△BqP為直角三角形，NBPq=9O。；

（4）產(chǎn)為等邊三角形，

/.ZA%=60°,

jfljNBPA=9()。;

/.ZA^=90°+60°=150°,

AAPC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60。后的△AP.B,

ZfiPC=ZA^5=150°.

故答案為150。.

2.（2025?武侯區(qū)校級開學）問題：如圖1,在等邊AABC內(nèi)部有一點已知尸A=3,PB=4,PC=5,

求ZAP8的度數(shù)？

（1）請寫出常見四組勾股數(shù)：3,4,5、—、—、—.

（2）解決方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)小，PB,PC的長度符合勾股數(shù)，但由于以，PB,尸C不在一個三

角形中，想法將這些條件集中在一個三角形，于是可將八43P繞4逆時針旋轉(zhuǎn)60。到△AVC,此時

MBP'MCP,這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出ZAM=—.請寫出解題過程.

（3）應(yīng)用：請你利用（2）題的思路，解答下面的問題：

如圖2,在A4BC中，ZC4B=90°,AB=AC,E,產(chǎn)為8C的點，且NE4F=45。，若BE=m,FC=n,

請求出線段所的長度（用〃小〃的代數(shù)式表示）.

圖1圖2

【解答】解：(1)勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,10；

故答案為：3,4,5；5,12,13,7,24,25；6,8,1()；

(2)如圖1,將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到AACU處，則AACPwAABP,

.?三角形ABC是等邊三角形，

:.AB=ACfZ^4C=60°,

.\PA=PA=3t依=PC=4,ZBAP=ZCAP,

/./PAP=ZPAC+ZCAP=ZPAC+乙BAP=ZBAC=60°,

是等邊三角形,

產(chǎn)產(chǎn)=產(chǎn)4=3,

在X尸產(chǎn)C中，PP12+PC2=9+16=25=PC?,

.??△小。是直角三角形，

ZPPC=90°,

ZAPS=ZAPC=60o+90°=150°.

故答案為150。.

(3)如圖2中，將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到AACE處，貝ljAACE三AABf,

.\AE=AEJ,BE=CE,NEAC=N^￡,

ZE4C=90°,/LEAF=45°,

.?.N84E+NC4尸=45°,

ZMET=Z￡TAC+ZMC=ZME+ZMC=45°=ZE4F,

在AAM和△AE尸中，

AE=AE,

<ZEAF=AE'AF,

AF=AF

...△A￡F=Z\AE尸（SAS）,

:.FE=FE,

Zfi4c=90°,AB=AC.

/.ZB=ZACB=45°,

/.ZFC4=ZB=45°,

ZFCF=450+45°=90°,

在R/△E'FC中，EC2+FC2=E尸2,

22222

:.EF=BE+CF=m+nf

EF=\]m2+n2.

3.（2024秋?永定區(qū)期中）（1）如圖1,點夕是等邊AAHC內(nèi)一點，已知尸A=3,PB=4,PC=5,求ZAP"

的度數(shù).

分析?：要直接求幺依的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助

旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi).

解：如圖2,作“40=60。使連接叨，CD,則ZVW）是等邊三角形.

/._PD_=AD=AP=3fZADP=Z/^4D=60°

MBC是等邊三角形

/.AC=ABfABAC=60°/.4BAP=

:.BP=CD=4,=ZADC

.?在"CD中，77)=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.APDC=°

ZAPS=ZADC=ZADP+/PDC=600+90。=150°

(2)如圖3,在AABC中，AB=BC,ZABC=90°,點戶是A48C內(nèi)一點，PA=\,PB=2,PC=3,求

ZAP3的度數(shù).

（3）拓展應(yīng)用.如圖（4）,AA4C中，ZABC=30°,

接PA,PB,PC,則%+m+PC的最小值為.

【解答】解：（1）如圖2,作/以。=60。使AD=AP,連接H）,CD,則AE4P是等邊三角形.

,.PD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=(^

AAfiC是等邊三角形

：.AC=AB,Zfi4C=60°,

:.ZBAP=ZCADf

：.SABP^^CD(SAS)

;.BP=CD=4,ZAPB=ZADC

「在APC/)中，77)=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

...ZPZX?=90°

NAPB=ZADC=ZADP+NPDC=600+90。=150°

故答案為：PD,NC4D,ZAPB,90.

(2)解：?.ZAAC=90°,BC=AB,

把M8C繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到M)BA,如圖，

BC

圖3

,-.AD=PC=3,BD=BP=2,

?.N尸8。=90°

：.DP=yf2PB=2>/2,ZD依=45。,

在AAPD中，AD=3,PD=2y[2,^4=1,

\I2+(2>/2)2=32,

:.AP2+PD2=BU,

.?.AAPD為直角三角形，

/.ZAPD=90°,

/.ZAP?=ZAPD+ZDP^=90o+45o=135°.

(3)解：如圖4中，將ZV1BP繞著點笈逆時例旋轉(zhuǎn)60°,得到連接￡P(guān),CD,

叭.

?、、?.

:￡??\

W.A

BC

圖4

:.AABP^M)BE

:.ZABP=ZDBE,BD=AB=4,ZPBE=6O°,BE=PE,AP=DE,

??.MPE是等邊三角形

:.EP=BP

AP+BP+PC=PC+EP+DE

??.當點。，點E,點尸，點。共線時，P1+P8+PC有最小值CD

ZABC=30°=^ABP+ZPBC

:./DBE+乙PBC=3V

/.ZDBC=90°

.\CD=y/BD2+BC2=V52+42=7?1.

故答案為歷.

4.（2025春?清苑區(qū)期末）綜合與實踐

問題情境：活動課上，同學們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1,已知A48C

中，AB=ACfZB=40°.將AA8C從圖1的位置開始繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)，得至I」44DE（點O,E分別

是點5,C的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為a（0。<av100。），設(shè)線段4）與3c相交于點M,線段DE分別交8C,

AC于點O,N.

特例分析：（1）如圖2,當旋轉(zhuǎn)到AD_L3C時，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為_50。_;

探究規(guī)律：（2）如圖3,在A44C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學發(fā)現(xiàn)線段4M始終等

于線段4V,請你證明這一結(jié)論.

拓展延伸：（3）①直接寫出當△次力以是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

②在圖3中，作直線〃），CE交于點、P,直接寫出當△/〉/比是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

（4）連接⑺，在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在角a,使四邊形/W/W是平行四邊形？若存在，直接寫出a的

度數(shù)；如果不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，得=a

N8=40。，z>VWS=90°,

.?.^4￡）=^=90°-40°=50°,

故答案為：50°;

（2）AA4C從圖1的位置開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到A4DE,

:"BAM=a=NCAN,AI3=AD=AC=AEfZB=/C=ND=NE,

A

.-.AABM^AAEV,

：.AM=AN;

(3)①當OA/=A/D時，如圖:

?.OM=MD,ZB=ZD=40°,

4B=4D=/DOM=40°,AB//DO，

.-.ZE4D=ZD=40°;

:.OD=MD,N8=N￡>=40°,

"DMO=/DOM=1Y,

/BAD=180°-70°-40=70°

當OM=OD時，如圖：

OD=MO,ZB=ZD=40°,

Z.DMO=/BMA=40°,

N84D=180。-40°-40。=100。.

0°<d<100°

故旋轉(zhuǎn)角為40°或70。；

/.ZA￡?=90o-40o=50o,

/.ZZi4D=180o-5(y>-50o=80o,

?.?0°<4vl(X)0,

故旋轉(zhuǎn)角為80°;

假設(shè)四邊形ABDN為平行四邊形,

則BDi/AC,

/.ZDBC=ZC=ZABC=40°,

ZA4D=80°,

AB=AL),

：.ZADB=ZABD=SO°,

ZADE=ZABC=40°,

:.ZBDN=ZADB+ZADO=12伊,

?.?Z/MC=1800-2ZB=100°,

.??四邊形ABDN不能為平行四邊形.

5.(2025?嶗山區(qū)模擬)閱讀下面材料:

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形48c內(nèi)有一點尸，且以=3,PB=4,PC=5,求ZA尸區(qū)的

度數(shù).

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決.

請你回答：圖1中ZAP4的度數(shù)筆于_150°_.

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

(1)如圖3,在正方形AAS內(nèi)有一點且尸4=2&,PB=l，=則ZA9的度數(shù)等于

正方形的邊長為

(2)如圖4,在正六邊形入ACT)所內(nèi)有一點P,且率=2,PB=1,PF=V13，則ZAP/；的度數(shù)等于

長

【解答】解：閱讀材料：把AAPE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AAO,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，7yA=P4=3,PD=PB=4,4^=60。,

.?.AAPP是等邊三角形，

.?.PP=Q4=3,N4PP=60°,

?.?P/y2+7yC2=32+42=25,PC2=52=25,

PP?+PC2=PC2，

/.N尸PC=90。，

ZAPC=ZAPP+NPQC=600+90°=150°;

故NAPB=ZAPC=150°;

(1)如圖3,把A4正5繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAD戶，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=2叵,FD=PB=1,NQ4F=90。,

二.A4P產(chǎn)是等腰直角三角形，

/.PV=叵PA=V2x2>/2=4,ZAQP=45°,

...pp。+PD°=42+/=17,PD~==17,

/.PP2+PDr=PDr,

.?.476=90。，

.?.ZAF￡)=ZAFP+NP產(chǎn)D=450+90°=135。，

故，NA尸8=NA。。=135。，

???ZAPB+ZAPP=135°+45°=180°,

:.點F、尸、8三點共線，

過點4作AE_LPP于E,

,

則AE=PE=-PP=-x4=2f

22

:.BE=PE+PB=2+\=3f

在RlAABE中，AB=ylAE2+BE2=722+32=>/13;

(2)如圖4,?.,正六邊形的內(nèi)角為1(6-2)180。=120。,

6

把AAPB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MFP,

,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=2fPF=PB=1,ZE4P=120°,

ZAPP=4尸？=；(180。-120。)=30。，

過點A作AW_L叩于M,設(shè)戶產(chǎn)與A廠相交于N,

貝ljAM=-PA=-x2=\,

22

PM=PM=JPA2-AM2=，22-f=75,

PP=2PM=2>/3,

尸尸‘2+尸尸2=(2x/3)2+l2=13,PF2=V132=13,

:.PPrPF'PF"

ZPPF=90°,

.??N/W卜=N/W尸+NT產(chǎn)尸=3(r+9(r=12(r，

故，Z4PB=ZA/yF=120°,

?.PF=AM=\，

?.AAMV和△QN中，

NPPF=NAMN=90。

?NPNF=/ANM,

P,F=AM

」.A4MV二△尸產(chǎn)N(A4S),

：.AN=FN,PN=MN=%M=—,

22

在RtAAMN中，AN=JAM?+MM=亞+(爭、三

:.AF=2AN=2x—=y/l.

2

6.（2025秋?玄武區(qū)校級期中）如圖，P是等邊三角形A3C內(nèi)一點，連接以，PB,PC,以BP為邊

作NP8Q=60。，且BP=BQ,連接CQ.

(1)求證：AP=CQ;

(2)若ZAP8=150。，%=3,PB=4,求產(chǎn)。長.

【解答】（1）證明：AA3。為等邊三角形,

.\ZABC=60°,AB=CB,

...ZABP+NPBC=&F.

又NPBQ=ZPBC+/CBQ=60°,

/.ZABP=ZCBQ.

在AA8P和ACB。中，

AB=CB

ZABP=4CBQ,

BP=BQ

MBP=△CBQ^SAS),

AP=CQ.

(2)解：連接PQ,如圖所示.

AABPNACBQ,

ZBQC=ZBPA=\50°.

?:BP=BQ,/PBQ=60。,

??.△PAQ為等邊三角形，

/.PQ=PB=4,/BQP=60°,

ZP(X?=90°.

在RtAPQC中，NR2c=90。，PQ=4,CQ=AP=3,

:.PC=,]PQ1+CQ2=5.

7.（2025秋?新城區(qū)校級期末）如圖，P是正三角形/WC內(nèi)的一點，且=6,PB=8,PC=10.若

將APAC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△〃回.

（1）求點?與點產(chǎn)之間的距離；

（2）求ZA/歸的度數(shù).

B

【解答】解：（1）連接戶戶，由題意可知4產(chǎn)=8=10,AP=AP,

ZPAC=ZPAB,而NE4C+N班P=60°,

所以NPAP=60度.故A4PP為等邊三角形，

所以POuAQuAPuG;

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP24-6P2=BP2,所以她尸。為直角三角形，且ZB尸產(chǎn)=90°

可求Z4必=900+60°=150°.

8.（2025秋?田家庵區(qū)校級月考）（原題初探）（1）小明在數(shù)學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如

圖1,尸是正方形A8C7）內(nèi)一點，連結(jié)如，PB,/C現(xiàn)將繞點6順時制旋轉(zhuǎn)90。得到的△尸CB,

連接若PA=&,PB=3,4PH=135。，則PC的長為_20正方形人ACO的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點尸是等邊AAAC內(nèi)的一點，且E4=3,PB=4,PC=5,清猜想ZA/歸的

度數(shù)，并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓練后，善于反思的他乂提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形A8CD中，4）=3,8=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則8。的長度為.

P'

圖1

【解答】解：（1）?.繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的△尸CB,

:.BP=BP=3,P,C=PA=>/2,NP8尸=90。，NBPC=ZAPB=135。，

.?.MP產(chǎn)為等腰直角三角形，

NBPP=45°,PP=gPB=3x/2,

/.ZPPC=135°-45°=90°,

在R/△。產(chǎn)C中，由勾股定理得：PC=，尸產(chǎn)+pc?=J(3夜尸+(除尸=2石,

過點4作AE_L加交AP的延長線于如圖1所示：

?.?ZAPB=135。，

ZAPE=180°-135°=45°,

.?.A4EP是等腰直角三角形，

...4E=PE=—P4=—x>/2=l,

22

;.BE=PB+PE=3+T=4,

在RtAAEB中，由勾股定理得：AB=ylAE2+BE2=712+42=>/V7,

故答案為：2下,而：

(2)ZAP3的度數(shù)為150。，理由如下：

AABC是等邊三角形，

/.AB=BC,ZABC=60°,

將4爐。繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△叱4,連接呼，如圖2所示：

則是等邊三角形，

1.PP=BP=4,ZlBPr=60°,

???AP=3,APf=PC=5r

.“尸+AP2=AP"

.??A4P產(chǎn)為直角三角形，

/.ZAPP,=90°,

ZAP8=NAPP+N8PP=900+60。=150°;

(3)?/ZABC=ZACB=ZADC=45°,

.?.ABAC是等腰直角三角形，

/.Z^4C=90°,AB=AC>

將△仙。繞點八順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AACK,連接OK,如圖3所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AK=AD=3,CK=BD,ZAAD=90°,

「.AZMA：是等腰直角三角形，

DK=42AD=30,AADK=45°,

Z.CDK=ZADC+ZADK=45°+45。=90°,

.-.AC7M是直角三角形，

:.CK=y]DK2+CD2=7（3>/2）2+22=V22,

:.BD=yf22,

故答案為：\f22.

C

圖3

9.(2024秋?邸城區(qū)校級期中)下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

(1)如圖1,在等邊二角形ABC內(nèi)部有一點1=3,咫=4,PC=5,求ZA/咕的度數(shù).

解：將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AF3,連接尸產(chǎn)，則A4PP為等邊三角形.

PP=PA=3,尸8=4,PB=PC=5,

：.PP2+PB2=PB~.

/.MPP為直角三角形.

.?.ZAP8的度數(shù)為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形/WC/)內(nèi)部有一點尸，若ZA叨=135。，試判斷線段PA、PB、叨之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

【解答】解：（1）如圖L將AAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△記8,連接PP,則AAPP為等邊

三角形.

\PP=PA=3fPB=4,PR=PC=5,

P產(chǎn)+PB2=PB2.

;.MPP為直角三角形.

.?./鏟8的度數(shù)為90°+60。=150°.

故答案為：直角；150。；

(2)2PA2+PD-=PB1.理由如下：

如圖2,把AWP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到連接枕.

則P8=肛PA=PA,NR1P=如。，

.?.A4枕是等腰直角三角形，

PP2=MA?+PA2=2pA2,4PPA=45°,

?.-ZAPD=135°,

/.ZAP13=ZAPD=\35°.

/PPB=135°-45°=90°,

在m△PPB中，由勾股定理得，PP1+PB2=PB2,

:.2P*+Pb2=PB?.

10.（2024?碑林區(qū)校級三模）問題提出

（1）如圖，點M、N是直線/外兩點，在直線/上找一點K,使得MK+NK最小.

問題探究

(2)在等邊三角形八AC內(nèi)有一點夕，且幺=3,PB=4,PC=5,求ZAP"度數(shù)的大小.

問題解決

(3)如圖，矩形ABC/)是某公園的平面圖，A3=3()G米，BC=60米，現(xiàn)需要在對角線8。上修一涼

亭￡,使得到公園出口A、B,C的距離之和最小.問：是否存在這樣的點石？

若存在，請畫出點石的位置，并求出E4+EB+居的和的最小值；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖1,連接點M、N,與直線/交于點K,點K即為所求.

圖1

(2)如圖2,把A4P8繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△APC,

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，產(chǎn)A=月4=3,PC=PB=4,

二.A4P產(chǎn)是等邊三角形，

:.PP=PA=3、Z4PP=60。，

?產(chǎn)2+PC?=3?+4]=25,PC2=千=25,

PP1-+PC2=PC1,

...NPPC=%)。,

NA尸C=NA尸產(chǎn)+/PPC=600+90°=150。；

故/APBuZAFCnlSO。;

(3)如圖連接AC,設(shè)在內(nèi)一點M,把AABM繞點呂逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△G3AT，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，G3=八B=3()G，BM'=BM,GM=AM,GB=AB,ZMfW=60°,ZGS4=60°,

、AG/W是等邊三角形,

:.BM=MM'，

.?.M4+MS+MC=GM'+MW+MC,

根據(jù)兩點間線段距離最短，可知當M4+M8+MC=GC時最短，

△GA8是等邊三角形，

.??以AC為一邊作等邊三角形AC/,

.?.MA+M/S+用C最小值為M的長，

此時點M在線段上，

:.點M為CG、加'的交點.

若點M與點石重合，即M在對角線8。上，

則點M為3尸與8。的交點，此時點M（E）與點8重合，

顯然不符合題意，故點〃不在對角線的上，

即對角線上不存在這樣的點E,使得到公園出口A、B,。的距離之和最小.

11.（2024秋?諸暨市校級期中）如圖，P是等邊三角形A3c內(nèi)的一點，連接以，PB,PC,以BP為

邊作NP8Q=60。，且BP=BQ,連接CQ.

（1）觀察并猜想A尸與CQ之間的大小關(guān)系，并說明理由.

(2)若PA=3,P8=4,PC=5,連接PQ,判斷APQC的形狀并證明.

【解答】解：（1）AP=CQ.

理由如下：

?/ZPB2=60°,且BQ=BP,

.??ABP。為等邊三角形，

ZABP+NCBP=(^，NCBQ+NCBP=60。,

/.ZCBQ=ZABPf

在AABP和ACBQ中，

AB=CB

-NABP=4CBQ,

BP=BQ

：,AABP^^CBQ(SAS),

/.AP=CQ；

（2）如圖,

等邊AABC和等邊ABPQ中,

:,PB=PQ=A,PA=QC=3f

PQ2+CQ2=PC2，

??.△PQC為直角三角形（勾股定理逆定理）.

12.（2024秋?高青縣期末）閱讀下面材料:

小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點尸.且尸A=3,PB=4,PC=5,求ZAPb的

度數(shù)；

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△APC,連接小，得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決.

圖1圖2圖3

（1）請你回答：圖1中ZAPA的度數(shù)等于_150。_.（直接寫答案）

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3,在正方形4?。>內(nèi)有一點且PA=2啦，PB=1,PD=y/il.

（2）求ZA/歸的度數(shù)；

（3）求正方形的邊長.

【解答】解：（1）如圖2,把AAP3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到。C0,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P,A=PA=3,PD=PB=4,Z/W>=60。，ZAPB="PC,

.??A4柱是等邊三角形，

:.PP=PA=3,NA產(chǎn)。=60。，

?.??？+產(chǎn)。2=32+42=25,PC2=52=25,

/.P產(chǎn)+PC2=PC"

.-.ZPPC=90°,

/.ZAPC=ZATP+ZPrC=60°+9（y=150°;

故ZAP3=ZAPC=150。；

故答案為：150。.

（2）如圖3,把AAP4繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AADP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=20,PD=PB=1,APAP=9（）°,

.?.A4,是等腰直角三角形，

；.PP=j2PA=4,ZAPQ=45。，

、:P尸+產(chǎn)。2=42+12=17,PD1=（Vn）2=17,

/.PP2+產(chǎn)D2=PD2,

:.NPPD=90。,

ZAPD=ZAPP+/PPD=45°+90°=135°,

故NAP8=NA戶。=135。，

（3）?/ZAPB+ZAPP=135°+45°=180°,

；.點八P、B三點共線,

過點4作尸于E,

貝ljAE=PE=,PP=1x4=2,

22

:.BE=PE+PB=2+l=3,

在RtAABE中，AB=〃爐+BE2=小方+于=V13.

圖2

13.（2024秋?鹽城校級月考）【方法呈現(xiàn)工

（1）已知，點夕是正方形A3CD內(nèi)的一點，連以、PB、PC.將A/VU5繞點5順時針旋轉(zhuǎn)90。到△產(chǎn)

的位置（如圖1）,設(shè)AA的長為a，P4的長為Z?Sva）,求APA4旋轉(zhuǎn)到△產(chǎn)CA的過程中邊PA所掃過區(qū)

域（圖1中陰影部分）的面積;

【實際運用】：

（2）如圖2,點尸是等腰RtAABC內(nèi)一點，AB=BC,連接以，PB,PC.若以=2,PB=4,PC=6,

求ZAP8的大小；

【拓展延伸工

（3）如圖3,點尸是等邊AA4C內(nèi)一點，PA=3tPB=4,PC=5,則AAPC的面積是_怨+3_（直

接填答案）

【解答】解：（1），將APA△繞點“順時針旋轉(zhuǎn)90。到△產(chǎn)a的位置,

（2）如圖2,連接火.

將繞8點順時針旋轉(zhuǎn)90。，與△產(chǎn)C8重合,

:."AR三叢PCB,NPBP=90。，

.?.?〃=叱，ZAPBjWB,”=C"=2,

.?.AP8產(chǎn)是等腰直角三角形，

/.PP=血PB=40,ZBPP=45°.

在△(7尸產(chǎn)中，?.尸產(chǎn)=4夜，C產(chǎn)=2,PC=6,

:.PP?CP，=PC”,

???△C。夕是直角三角形，NC尸尸=90。,

/.ZCPB=ZBP*P+ZCPP=450+90°=135°;

(3)如圖3①，將繞4點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△RAC,連接PR,

.?.A4P8二/XMC，

:.AP=AP^/PAR=60。，CR=BP=4,

是等邊三角形，

/.%=”=3,

?.?CP=5,C[=4,PR=3,

：.PP；+CP；=CP-,

.?.△CRP是直角三角形，NCRP=90。，

cI-696_1Q-

^^PPI=-X^X—=—?S吶c=5x3x4=6，

乙4