將軍飲馬(2)

1.(2025?安國市一模)［問題提出］

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等知識(shí)......?？衫盟鼈儊斫鉀Q“最值問題”.

［簡(jiǎn)單運(yùn)用I

(1)如圖1,在A48C中，AB=6,ZA=60°,NB=45。，在8c上取一點(diǎn)。，則4)的長的最小值是.

［綜合運(yùn)用］

(2)如圖1,在AA8C中，A3=6,ZA=60°,4=45。,在BC、AB.AC上分別取點(diǎn)。、E、F,使得

△DEF的周長最小.畫出圖形確定。、E、尸的位置，并直接寫出由所的周長的最小值.

I拓展延伸|

(3)圖2是由線段AB、線段AC、8c組成的圖形，其中NA=60°,AB=6,AC=3,BC為m，分別在8C、

線段AB和線段AC.上取點(diǎn)D、E、F,使得ME/7的周長最小，畫出圖形確定。、E、F的位置,并直接寫

出△/好的周長的最小值.

2.(2025春?汨水縣期末)將直前坐標(biāo)系中一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三南形

(也稱為直線的坐標(biāo)三角形).如圖，一次函數(shù)y=履-7的圖象與x、)，軸分別交于點(diǎn)A、B,那么AA4O為此一

次函數(shù)的坐標(biāo)三角形(也稱為直線45的坐標(biāo)三角形).

(1)如果點(diǎn)C在x軸上，將AABC沿著直線翻折，使點(diǎn)。落在點(diǎn)。(0,18)上，求直線的坐標(biāo)三角形的面

積：

(2)如果一次函數(shù))，=履-7的坐標(biāo)三角形的周長是21,求攵值；

(3)在(I)(2)條件下，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,8),直線AB上有一點(diǎn)尸，使得APDE周長最小，求此時(shí)AP8C的

面積.

3.(2025春?江岸區(qū)校級(jí)月考)如圖1,直線y=-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)把直線/W沿直線

4

折疊，使點(diǎn)A落在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)D處，折痕與x軸交于點(diǎn)C.

(1)試求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)：

(2)點(diǎn)尸是直線回上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ADCQ的面積為4,求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(3)如圖2,點(diǎn)石為直線。4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段8石繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段所，求。尸+8尸的最小

值.

2v2w

o/cXOEAXX

D/

圖1圖2

4.(2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)如圖1,在A4BC中，4)是AC邊上的中線，點(diǎn)E、”在4)上，連接BE,CE,

CF,延長b交8E于點(diǎn)G.

(1)若AE:團(tuán)=2:3,5AAsc=20,則Sg\BE=---；

(2)若GE=GF,NBAE+/ECF=/CrEF.求證：AE=EF\

(3)如圖2,在(2)條件下，點(diǎn)尸、M、N分別是&GEF三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且ZE4F=60°,

ZGBC+Z.GCB=2ZABE,當(dāng)“前丫的周長最小時(shí)，直接寫出——的值.

AP

BDcB"b

圖1圖2

5.(2025春?安新縣期末)李明酷愛數(shù)學(xué)，勤于思考，萋于反思.在學(xué)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“二次

根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問題有關(guān)聯(lián)，并且為解決''飲馬位置”“最短路徑長”

等問題，提供了具體的數(shù)學(xué)方法.于是他撰寫了一篇數(shù)學(xué)作文.請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助李明完成相關(guān)問題.

“將軍飲馬”問題的探究與拓展一八年級(jí)三班李明

“白日鰲山望烽火，黃昏飲馬傍交河”(唐?李顧《古從軍行》)，這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將

軍從4地出發(fā)到河邊/飲馬，然后再到8地軍營視察，怎樣走路徑最短？

?軍營

將軍'B

??

1

【數(shù)學(xué)模型】如圖I,A,8是直線，同旁的兩個(gè)定點(diǎn).在直線/上確定一點(diǎn)使尸A+FB的值最小.

【問題解決】作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A',連接48交/于點(diǎn)尸，則點(diǎn)。即為所求.此時(shí)，P4+尸8的值最小，

且姑十P8=A'P+P8=A3.

【模型應(yīng)用】

問題1.如圖2,經(jīng)測(cè)量得A,4兩點(diǎn)到河邊/的距離分別為AC=300米，40=900米，且6=900米.請(qǐng)計(jì)算出

“將軍飲馬”問題中的最短路徑長.

問題2.如圖3,在正方形A8CD中，A8=9,點(diǎn)E在CZ)邊上，且OE=2CE,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

則莊:斗汽＞的最小值是.

問題3.如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(—2,4),點(diǎn)3(4,2).

(1)請(qǐng)?jiān)趚軸上確定一點(diǎn)P,使+M的值最小，并求出點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)直接寫出P4+PA的最小值.

【模型遷移】

問題4.如圖5,菱形A8CD中，對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)O,AC=12,BD=16.點(diǎn)、P和點(diǎn)、E分別為BD,CD

上的動(dòng)點(diǎn)，求莊+PC的最小值.

1911HU

6.（2025春?龍崗區(qū)期末）龍崗區(qū)八年級(jí)某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型:

直線/同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線/上存在點(diǎn)尸，使得上4+尸8的值最小.

解法：如圖1,作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A8,則A片與直線/的交點(diǎn)即為尸，且QA+出?的最小值為

A:B.

請(qǐng)利用上述模型解決下列問題:

（1）格點(diǎn)應(yīng)用：如圖2,邊長為1的正方形網(wǎng)格內(nèi)有兩點(diǎn)4、B,直線/與A、8的位置如圖所示，點(diǎn)P是直線/

上一動(dòng)點(diǎn)，則24+廢的最小值為

（2）幾何應(yīng)用：如圖3,AA8C中，ZC=90°,AC=4rBC=6.E是AB的中點(diǎn)、,P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)、,則

Q4+房的最小值為

（3）代數(shù)應(yīng)用：代數(shù)式Jx2+4+J（6-力+36（超J6）的最小值為

7.（2。25春?重慶期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/經(jīng)過點(diǎn)A（2,。）和點(diǎn)8（。⑵.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)。為線

段08的中點(diǎn).

（1）求直線/的解析式;

（2）如圖1,若點(diǎn)P為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+夕。的值最小時(shí)，求出點(diǎn)P坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在線段上，若ADPQ是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，并寫

出其中一個(gè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的求解過程.

8.（2025?碑林區(qū)校級(jí)一模）（1）如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)8在直線/同側(cè)，請(qǐng)你在直線/上找一點(diǎn)尸，使得AP+期的值

最?。?不需要說明理由)

(2)如圖②，408=60。，點(diǎn)產(chǎn)為NAO5內(nèi)一定點(diǎn)，OP=5,點(diǎn)、E,尸分別在OA,OB上,APE尸的周長是否

存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由;

(3)如圖③，已知四邊形QABC中，Z4=ZC=90°,ZB=150°,BC=2,OC=吆8,點(diǎn)〃為。A邊上的一點(diǎn)

3

且O”=4,點(diǎn)尸，尸分別在邊AB,OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)石在線段O”上運(yùn)動(dòng)，連接EF,EP,PF,AFFP的周長

是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出△￡/￥＞周長最小值和此時(shí)OE的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.

B-

A

圖①

9.(2025?湖南區(qū)模擬)如圖1,拋物線)，="2+班+。與大軸交于人，8兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C,直線8c的解析

式為y=x—4;線段OC的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)M、N,點(diǎn)、M、N橫坐標(biāo)分別為苦、占且滿足用+工=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)Q是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置上時(shí)，AQO8的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)及AQOB周

長的最小值：

(3)如圖2,。線段C8上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線尸產(chǎn)J_x軸于尸，交拋物線于G,且PF=PG:點(diǎn)、H是直線BC

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)〃，Q,P,廣為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)

(寫出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的詳細(xì)求解過程，其余的點(diǎn)的坐標(biāo)直接寫出即可).

圖1圖2

10.(2025?西山區(qū)一模)如圖，拋物線與X軸交于A,B兩點(diǎn)、,與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)4-3,0),拋物線的最低

點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-4).

(1)求出該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,線段3c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CD,CD與拋物線相交于點(diǎn)石，求點(diǎn)石的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)M,N是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=0,求△OWN周長的最小值.

(2025?長安區(qū)模擬)如圖，是半圓形量角器的直徑，點(diǎn)O為半圓的圓心，D4與半圓。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)夕

在半圓上，且點(diǎn)夕對(duì)應(yīng)的示數(shù)為120。(60。)，點(diǎn)C是PB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)P重合).連接。O交半圓O于點(diǎn)點(diǎn)E

對(duì)應(yīng)的示數(shù)為60。(120。).

(1)連接PC,AC,求/尸C4的度數(shù)；

(2)連接AP,PB,求證：S4O空ZXA尸8:

(3)若直徑上存在一點(diǎn)M,使得EM+QW的值最小，已知半圓O的半徑是2,直接寫出EM+尸M的最小

值.

12.（2025秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）將A/1BC（/W>4C）沿4）折疊，使點(diǎn)。剛好落在邊上的點(diǎn)石處，展開如圖I.

【操作觀察】（1）圖1中，AB=8,AC=6.

①則BE=

②若SAQCO=9,則S&4BD

【理解應(yīng)用】（2）如圖2,若NC=2NB,試說明：AB=AC+CD;

【拓展延伸】（3）如圖3,若447=60。，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，且AG=5.點(diǎn)P是4。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PG、

PC,求（PG+尸O的最小值.

13.（2025秋?連云港期末）【問題情境】八上《伴你學(xué)》第138頁有這樣一個(gè)問題：如圖1,把一塊三角板

（A4=8C,NA4C=90。）放入一個(gè)“U”形槽中，使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在槽

的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知NO=N￡=90°,在滑動(dòng)過程中，你發(fā)現(xiàn)線段4）與龐:有什么關(guān)系？試說明你的結(jié)

論；

【變式探究】小明在解決完這個(gè)問題后，將其命名為“一線三等角”模型；如圖2,在AABC中，點(diǎn)。、E、尸分

別在邊8C、AC.AB上，若ZB=/FDE=/C,則這三個(gè)相等的角之間的聯(lián)系又會(huì)使圖形中出現(xiàn)其他的一些等

角.請(qǐng)你寫出其中的一組，并加以說理；

【拓展應(yīng)用】如圖3,在A48C中，BA=BC,ZB=45°,點(diǎn)。、/分別是邊8C、45上的動(dòng)點(diǎn)，且

AF=2BD.以O(shè)F為腰向右作等腰ADEF,4更得DE=DF,Z￡DF=45°,連接CE.

①試判斷線段/X:、BD、5*之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

②如圖4,已知4。=2,點(diǎn)G是4C的中點(diǎn)，連接￡4、EG,直接寫出￡4+KG的最小值.

14.(2025秋?小口區(qū)期末)在等腰AAAC中，A8=4C=〃4C,點(diǎn)D和點(diǎn)石分別為AC和AC邊上的點(diǎn)，AD=CE,

AE與6。相交于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)〃=1時(shí),

①如圖I,求證：AE=BD;

②如圖I,求NAED的度數(shù);

③如圖2,若AF=2BF,作AG_L4Q,垂足為G點(diǎn)，連接CG,求證：GF=GC.

(2)當(dāng)〃=士時(shí)，如圖3,若A￡+AO取得最小值，直接寫出絲的值.

2EC

15.(2025秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知拋物線)，=?2+笈-8的圖象與工軸交于42,0)和伏-8,()),與)，軸交

于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式：

(2)點(diǎn)/是直線8C下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)A5C尸的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使得的

周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)和點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)Q(0,〃])，使得A8尸。為等腰三角形？如果有，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)：

如果沒有，請(qǐng)說明理由.

16.（2025秋?仁壽縣期末）已知：DAA.ABtCB1.AB,人4=25,Aq=15,AC=1O,如圖1,點(diǎn)夕是線段回

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接產(chǎn)。、PC.

（1）當(dāng)尸。=尸。時(shí)，求AP的長；

（2）線段上是否存在點(diǎn)P,使PQ+尸。的值最小，若存在，在線段他上標(biāo)出點(diǎn)尸，并求電＞+PC的最小值：

若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖2,點(diǎn)M在線段A3上以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)8向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N在線段AQ上從點(diǎn)A以x個(gè)單

位每秒的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)（當(dāng)一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為［秒，是否存在實(shí)

數(shù)x,使A4MN與MMC全箏？若存在，求出X、/的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（2025春?潁州區(qū)期末）閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)A（x，y）,網(wǎng)占,），2），則①回兩點(diǎn)的

距離=［（4一W）2+（）,1—%）2；②線段4南的中點(diǎn)坐標(biāo)為（七里,

解決問題：

如圖，平行四邊形A8CD中，點(diǎn)8在大軸負(fù)半軸上，點(diǎn)。在第一象限，A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0,4）,（3,0）,

邊4）的長為6.

（1）若點(diǎn)尸是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PO+PC取得最小值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及PO+PC的最小值；

（2）已知直線/:），=依+。過點(diǎn)（0,-2］,且將平行四邊A48分成面積相等的兩部分，求直線/的解析式；

（3）若點(diǎn)N在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使以A、C、F、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在,

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

13

18.（2025春?豐澤區(qū)校級(jí)期中）已知一次函數(shù)y=4日十5A十彳（女工0）.

（1）尢論k為何值,函數(shù)圖象必過定點(diǎn)，求該點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖1,當(dāng)k=時(shí)，該直線交x軸，y軸于A,B兩點(diǎn)、,直發(fā)，2：)'=x+l交回于點(diǎn)尸，點(diǎn)。是‘2上一點(diǎn)，

若SMK=6,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)如圖2,在第2問的條件下，已知。點(diǎn)在該直線上，橫坐標(biāo)為1,。點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，ZABC=45°,動(dòng)點(diǎn)M

的坐標(biāo)為(〃M),求CW+MD的最小值.

19.(2025春?冷■榆區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AA6C是邊長為2的等邊三角形，其中中點(diǎn)與坐標(biāo)原

點(diǎn)重合，點(diǎn)C在)，軸上；在光軸上有一點(diǎn)。，其橫坐標(biāo)是4;點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng):

點(diǎn)Q是平面內(nèi)的一點(diǎn).

(I)若四邊形ACPQ是菱形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是;

(2)若四邊形ACPQ是矩形，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)的過程中，若四邊形ACPQ是平行四邊形，試探索點(diǎn)Q的位置，若個(gè)數(shù)有限，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若個(gè)數(shù)無限，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長度：

(4)在第(3)間的條件下，在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，試求出當(dāng)CP+CQ最小時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

20.(2025秋?市南區(qū)期末)如圖1,國2,圖3是每個(gè)小正方形的邊長為1正方形網(wǎng)格，借用網(wǎng)格就能計(jì)算出一些

三角形的面積的面積.

(I)請(qǐng)你利用正方形網(wǎng)格，計(jì)算出如圖I所示的AA8C的面積為.

(2)請(qǐng)你利用正方形網(wǎng)格，在圖2中比較加+1與如的大小.

(3)已知x是正數(shù)，請(qǐng)利用正方形網(wǎng)格，在圖3中求出&+9+加-4+1的最小值.

(4)若A4AC三邊的長分別為+為，\j4/n2+9n2,\116m2+4/z2(其中〃z>0,〃>0且〃?工〃)，請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖

法，求出這個(gè)三角形的面積.

21.（2025?安國市一模）［問題提出］

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等知識(shí)……?？衫盟麃斫鉀Q“最值問

題”.

（1）如圖1,在AABC中，AB=6,Z4=60°,ZB=45°,在上取一點(diǎn)。，則4）的長的最小值是

3上

r綜合運(yùn)用］

（2）如圖1,在AA6c中，AB=6,ZA=60°,NB=45。,在BC、AB.AC上分別取點(diǎn)。、E、F,使得

△D所的周長最小.畫出圖形確定。、E、產(chǎn)的位置，并直接寫出AM廠的周長的最小值.

［拓展延伸］

（3）圖2是由線段AB、線段AC、組成的圖形，其中NA=6O。，AB=6,AC=3,BC為6CP,分別在8C、

線段相和線段AC.上取點(diǎn)。、E、/，使得ADEE的周長最小，畫出圖形確定。、E、廠的位置，并直接寫

出AD￡F的周長的最小值.

【分析】（1）當(dāng)AO_L8C時(shí)，4。有最小值；

（2）過點(diǎn)A作人力_LAC交于。，作4）關(guān)于A4的對(duì)稱線段AM,作">關(guān)于4C的對(duì)稱線段/W,連接MN交

于點(diǎn)E,交4c于點(diǎn)尸，連接DE,DF,此時(shí)AD石廠的周長的最小值為防V,求出MN即可；

（3）作出8c所在的圓O,連接40交8C于點(diǎn)。，連接80,CO,AC,作4）關(guān)于AB的對(duì)稱線段AM,作

A3關(guān)于AC的對(duì)稱線段4V,連接MN交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，取的中點(diǎn)Q,連接CQ,過點(diǎn)A作

4GJ_MN交于G,此時(shí)八/）正的周枝最小，求出MN即為所求.

【解答】解：（I）如圖1,當(dāng)AO_L8C時(shí)，">有最小值，

-AB=6,ZB=45°,

AD=BD=3yf2,

故答案為：3夜；

（2）如圖2,過點(diǎn)A作AO_L8C交于。，作AO關(guān)于的對(duì)稱線段4W,作A。關(guān)于AC的對(duì)稱線段4V,

連接交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，連接。E,DF,

由對(duì)稱可知，AM=ED,AN=DF,

：.DF+DE+EF=MN,此時(shí)ADE尸的周長的最小，

?.?AB=6,Z5=45°,

AAD=3x/2,

/.AM=AN=3叵,

?.?NA=60。，

.?.NM4/V=120°,

過A點(diǎn)作4GIMN交于G,

在RtAAMG中，A/G=AMsin600=—,

2

:.MN=3R,

.?.AD即的周長的最小值為3#；

（3）如圖3,作出8c所在的圓O,連接AO交BC于點(diǎn)D,連接40,CO,AC,作4）關(guān)于A6的對(duì)稱線段

AM,作A。關(guān)于AC的對(duì)稱線段4V,連接MN交AB于點(diǎn)石，交AC于點(diǎn)尸，取的中點(diǎn)Q,連接CQ,過

點(diǎn)A作AGJ_MN交于G,

?）、D、O三點(diǎn)共線，

???線段4）最短，

由對(duì)稱可知，AM=AD,AN=AD,ME=ED,DF=FN,

:.ED+DF+EF=ME+EF+FN=MN,

此時(shí)AD莊的周長最小，

BC為60。，

.,.MOC是等邊三角形，

\-AB=6,

AQ=BQ=3>

?.?AC=3,ZA=60°,

「.△AC。是等邊三角形，

:.ZACQ=60°,/BQC=120。

ZBCQ=30°,ZCBA=30°,

/.ZA?=90°,ZABO=90°

：.BC=BO=3G,

:.AO=38,

/.AD=3幣-36,

/.AM=3#i-3&,

-.?ZA=60°,

:.ZMAN=\2(r,

在RlAAMG中，ZAf=30°,

：.MG=-sf2\--,

22

:.MN=35-9,

/.ADEF的周長的最小值為3&T-9.

圖2

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2025春?泗水縣期末）將直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角

形（也稱為直線的坐標(biāo)三角形）.如圖，一次函數(shù)），=履-7的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)4、B,那么AABO為

此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形（也稱為直線A4的坐標(biāo)三角形）.

（1）如果點(diǎn)。在x軸上，將A48C沿著直線鉆翻折，使點(diǎn)。落在點(diǎn)。（0,18）上，求直線8C的坐標(biāo)三角形的面

枳；

（2）如果一次函數(shù)），=依-7的坐標(biāo)三角形的周長是21,求左值；

（3）在（1）（2）條件下，如果點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,8）,直線A8上有一點(diǎn)尸，使得"DE周長最小，求此時(shí)△夕BC的

面積.

【分析】（1）由），=依-7得B（0,-7）,OB=7,即可得80=03+8=7+18=25,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得

BC=BD=25,在RlABOC中，力勾股定理即得OC=24,故直線8C的坐標(biāo)三角形的面積為

-OCO/?=-x24x7=84；

22

21

（2）設(shè)。4=M'J/W=21x7=14%,在RtAAOB中，有（M=/+?,可解得點(diǎn)八（,0）,代入

74

4

y=去_7即知A=——；

*3

（3）連接CE交A4于點(diǎn)?，根據(jù)點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于直線44對(duì)稱，可得當(dāng)點(diǎn)?、C、E在一條直線上時(shí)，

PC+莊有最小值，從而AD/石的周長最小，設(shè)直線CE的解析式）「依+/）,由待定系數(shù)法可得直線CE的解析式

47

y=一,4+7

y=gx+8,解，

|，得點(diǎn)廣(—9,5)，故SAPBC=S&CBE-S“BE=U2.5.

y——x+8

,3

【解答】解：（I）將x=。代入），=依一7,得：y=-l,

：.OB=1,

又?.?點(diǎn)。(0,18),即8=18,

.?.80=03+8=7+18=25,

由翻折的性質(zhì)可得：BC=BD=25,

在RtABOC中，由勾股定理可得：

0C=yjBC2-OB2=,252-72=24,

??.直線8C的坐標(biāo)三角形的面積為:OCO8=1X24X7=84；

22

(2)設(shè)3=x,則A8=21—x—7=14—x,

在RtAAOB中，AB2=OA~+OB2,

/.(14-x)2=x2+72,

21

解得：1=

4

21

二?點(diǎn)4---,0)>

4

2121

?.,將點(diǎn)4---,0)代入y=履一7,得：----&-7=0,

44

./=；

3

(3)如圖，連接CE交于點(diǎn)P,

?.?點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于直線48對(duì)稱，

:.PC=PD,

:.PC+PE=PD+PE,

.??當(dāng)點(diǎn)P、C、E在一條直線上時(shí)，PC+PE有最小值,

又「OE的長度不變，

???當(dāng)點(diǎn)P、。、E在一條直線上時(shí)，AD正的周長最小,

由（1）知OC—24,

C(-24,0),

設(shè)直線CE的解析式)，=依+〃，將點(diǎn)C(-24,0)、E(0,8)代入得:

-24A+〃=0

[b=8'

L1

解得：=3，

[〃=8

直線CE的解析式y(tǒng)=卜+8,

4

由(2)知直線/W解析式為丁=-9+7,

4

y=--X+7

聯(lián)立JJ，

y=-x+8

r3

解得：

y=5

.,.點(diǎn)尸(一9,5),

???E(0,8),B(0,-7),

/.Z?￡=8-(-7)=15,

*e-S：\PBC=S^BE~S,\PBE=-x15x24--xl5x9=112.5,

答：AP4C的面積是112.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌

握并能熟練應(yīng)用“將軍飲馬”模型.

3

23.(2025春?江岸區(qū)校級(jí)月考)如圖1,直線y=-(x+3與x軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)3,把直線45沿直線

8C折疊，使點(diǎn)A落在)，軸負(fù)半釉上的點(diǎn)。處，折痕與％軸交于點(diǎn)C.

(1)試求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD"的面積為4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)石為直線04上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段比繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段EF,求OF+質(zhì)的最

小值.

【分析】(1)設(shè)C(x,O),則OC=x,AC=4-x,由折疊可知CD=4C=4-x,BD=AB=5，OD=2，在

RtAOCD中，由勾股定理可求x的值，即可求C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)設(shè)。點(diǎn)到直線CO的距離為/?,由面積可得〃=?,求出直線CO是解析式，再聯(lián)立方程組3,可

得。嚀，,再AC。』。。"，由此可得SCO,設(shè)*?3),釁?)"京+3令，

從而求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)過點(diǎn)尸作對(duì)_1_工軸交于G,可證明ABEO三AEFG(AAS),設(shè)E(a,0),可求Ra+3,a),從而可知/點(diǎn)在直線

)，=4-3上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y=x-3與］，軸交于點(diǎn)H,”(0,-3),作。點(diǎn)關(guān)于直線)，=x-3的對(duì)稱點(diǎn)。，連接077,

O'F,求出。(3,-3),當(dāng)8、O'、尸三點(diǎn)共線時(shí)，OF+M的值最小，求出B0,=3石即為所求.

【解答】解：(1)令y=0,則x=4,

.-.4(4,0),

令x=0,則)，=3,

8(0,3),

:.AB=5,

設(shè)C(xQ),

:.OC=x,AC=4-x,

由折疊可知CD=AC=4-x,BD=AB=5,

:.OD=2,

在RtAOCD中，(4-X)2=4+W,

解得戶;，

2

二.eg,0)；

(2)-;C(|,0),D(0,-2),

：.CD=-

2

.??P點(diǎn)到直線的距離為〃,

15,“

-x-/?=4,

22

,16

..h——,

5

設(shè)直線CD是解析式為)，="+〃,

-k+b=()

2

b=-2

A」

解得3，

b=-2

43

y=—x-2

聯(lián)立方程組3

3

y=—A+3

4

12

A=一

5

解得

6

廠二

-CQ=|,

?.?AC=|,ZACQ=ZDCO,

：.SCOD^/^CQA(SAS),

ZAgC=90°,

:.PQ1CD,

3

設(shè)神鏟3),

1244

解得?手或.下

?12478、》478、

2552525

(3)過點(diǎn)/作〃G_Lx軸交于G,

I3E1EF,

:./BEO+/FEG=9^,

/BEO+/EBO=W,

；.NFEG=/EBO,

?;BE=EF,

;.ABEO三AEFG(AAS),

:.OE=FG,BO=EG,

設(shè)E(?0),

.,.尸(。+3,〃)，

F點(diǎn)在直線y=x-3上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)直線y=%-3與y軸交于點(diǎn)”，

77(0,-3),

作O點(diǎn)關(guān)于直線y=x-3的對(duì)稱點(diǎn)。，連接OH,O'F,

.\HO=HC/=3,

vZO//F=45°,

:.HCyLOH,

.?.O'(3,-3),

由對(duì)稱性可知，OF=OF,

;.OF+BF=OF+BF..BO,

當(dāng)8、O'、/三點(diǎn)共線時(shí)，OF+融的值最小，

；.BOS

??.O/+8尸的最小值為36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，能夠

確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

24.（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖1,在AA5C中，是3C邊上的中線，點(diǎn)E、尸在4）上，連接8E,

CE,CF,延長CF交跖于點(diǎn)G.

（1）若AE:EZ）=2:3,友'=20，則S,、3=4；

⑵若GE=GF,5AE+NECF=43EF.求證：AE=EF；

（3）如圖2,在（2）條件下，點(diǎn)、P、M、N分別是AGEF三邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NBA產(chǎn)=60。，

(2)延長EZ)至Q,使DQ=ED,則可證ABDE=ACQ(2(S4S),再證明=AECAXAAS),即可求解;

（3）作。點(diǎn)關(guān)于GE的對(duì)稱點(diǎn)K,連接GK,KP,作。點(diǎn)關(guān)于G尸的對(duì)稱點(diǎn)L,連接GL,PL,連鏤KL交GE

干M,交GF于N,連接MP,NP,則KMN的周長..KL,設(shè)NGBC+/GCB=a,在XGEC中，

々+〃+60。+90。-L=180。，可得a=30。，從而得到AGLK是等邊三角形，當(dāng)GP最小時(shí)，冰就最小，從而

22

-TKPF1

可得=不

AP3

【解答】（1）解：?.?4）是AC邊上的中線,

''=*^MDC=2S.MAC>

^&ABC=20,

s4加=10，

,.?AE:ED=2:3,

…SgBE?S&BED=2:3，

S&WE=gS,BD=4,

故答案為：4；

(2)記明：如圖1,延長￡?至。，使OQ=￡O,

?.?。是4c的中點(diǎn)，

:.BD=CD,

?「ZBDE=/CDQ,

..^BDEACDQ(SAS),

CQ=BE,

YGE=GF,

:"GEF=NGFE,

4GFE=/QFC,

:.CF=CQ,

:.BE=CF,

ZBAE+ZECF=/GEF,NGFE=/ECF+/FEC,

：.ZBAE=ZFEC,

?/Z.GEF=ABAE+ZABE,ZGFE=ZFEC+ZECF,

:.ZABE=ZECF,

.?.AABE=A￡CF(A4S),

AE=EF；

(3)解：如圖2,作。點(diǎn)關(guān)于(7￡1的對(duì)稱點(diǎn)K,連接GK,KP,作P點(diǎn)關(guān)于G/的對(duì)稱點(diǎn)A,連接GL,PL,連

接KL交GE于M,交GF于N,連接MP,NP,

;.MP=KM,PL=NL，

:."MN怕周長=PM+MN+PN=KM+MN+NL..KL,

設(shè)NGBC+NGCB=a,

...4EGF=a,

?；GE=GF,

/.ZGEF=90°--a,

2

由（2）知，NCEF=NBAF,ZABE=NECF,

-.?ZE4F=60°,

/.ZC￡F=60°,

NGBC+/GCB=2ZABE,

ZECF=-a,

2

在△GKC中，?+-?+60°+90°--a=180°,

22

a=30°,

二.NEG尸=30°,

.?.NKGL=60°,

:.&GLK是等邊三角形，

二當(dāng)GP最小時(shí)，LK就最小，

S.GPA.EF,

:.GE=GF,

尸點(diǎn)是即的中點(diǎn),

?;EF=AE,

PF1

/.=—.

AP3

圖2

A

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離，垂

線段最短是解題的關(guān)鍵.

25.（2025春?安新縣期末）李明酷愛數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思.在學(xué)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“二

次根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問題有關(guān)聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路

徑長”等問題，提供了具體的數(shù)學(xué)方法.于是他撰寫了一篇數(shù)學(xué)作文.請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，梢助李明完成相關(guān)問

題.

“將軍伙馬”問題的探究與拓展

八年級(jí)三班李明

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頑《古從軍行》），這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將

軍從4地出發(fā)到河邊/飲馬，然后再到“地軍營視察，怎樣走路徑最短？

軍營

將軍—

---------------------------------------------1

河流

【數(shù)學(xué)模型】如圖1,A,8是直線，同旁的兩個(gè)定點(diǎn).在直線/上確定一點(diǎn)?，使Q4+收的值最小.

【問題解決】作點(diǎn)A關(guān)于宜線/的對(duì)稱點(diǎn)A,連接48交/于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求.此時(shí)，叫+?8的值最小，

RPA-^PB=A,F,+PB=A,B.

圖1圖2圖3

圖4

【模型應(yīng)用】

問題I.如圖2,經(jīng)測(cè)量得A,3兩點(diǎn)到河邊/的距離分別為AC=300米，比>=900米，且C￡>=900米.請(qǐng)計(jì)算

出“將軍飲馬”問題中的最短路徑長.

問題2.如圖3,在正方形人AC力中，入6=9,點(diǎn)E在CO邊上，且止=2CE,點(diǎn)Q是對(duì)角線人C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則莊+PD的最小值是_3jl0_.

問題3如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(-2,4),點(diǎn)3(4,2).

(1)請(qǐng)?jiān)趚軸上確定一點(diǎn)使E4+P4的值最小，并求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)直接寫出Q4+P8的最小值.

【模型遷移】

問題4.如圖5,菱形A3CZ)中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AC=12,%>=16.點(diǎn)尸和點(diǎn)E分別為8。，

CD上的動(dòng)點(diǎn)，求抬+PC的最小值.

【分析】問題1.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定“將軍飲馬”的位置點(diǎn)尸，作交切的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)矩形

的性質(zhì)分別求出。￡、AE,根據(jù)勾股定理求出力出，得到％+依，即可求解；

問題2,由于點(diǎn)8與。關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BE,與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn).此時(shí)所最小，而BE是

直角△。班1的斜邊，利用勾股定理即可得出結(jié)果；

問題3.(1)作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8',連接A方交x軸于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P即為所求.此時(shí)，B4+P8的值最小，

可得出夕(4,-2),利用待定系數(shù)法求出A&的解析式,即可得點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)根據(jù)勾股定理即可求得P4+P8的最小值；

【模型遷移】

問題4.過A作AE_LCA,文BD于P,連接CP,利用菱形的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)解答即可.

【解答】解：?jiǎn)栴}1.延長AC至/V,連接?T交。。于點(diǎn)?，

1、/

d'、FD_/

二士維-二二二-二二二二二r―二-二二二

則點(diǎn)?即為所求的“將軍飲馬”的位置，

作NELHD交陰）的延長線于點(diǎn)E,

則四邊形C4'ED為矩形，

.?.OE=AC=4c=300米，AE=CQ=900米，

;.BE=BD+DE=1200米,

由勾股定理得，A'B=y/A1E2+BE2=V9OO2+12OO2=1500（米）,

則Q4+P8=A8=1500米,

二“將軍飲馬”問題中的最短路徑長為1500米；

問題2.如圖3,連接3￡,設(shè)跖與AC交于點(diǎn)產(chǎn)，

圖3

?.?四邊形A8C。是正方形，

.??點(diǎn)8與。關(guān)于AC對(duì)稱，

：.PD=PB，

PD-PE=PB+PE=5E最小.

即p在AC與AE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+莊最小，為4E的長度.

?.?四邊形ABCZ）是正方形，AB=9,DE=2CE,

：.BC=CD=9,CE=-CD=3,

3

在直角ACBE中，NBCE-90。，BC—9,CE-3,

BE=\/92+32=3x/10.

故答案為：3則；

問題3.(1)作點(diǎn)“關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)"，連接A9交x軸于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.此時(shí),%+川?的值最小,

圖4

?.?點(diǎn)3(4,2).

"(4,-2),

設(shè)直線的解析式為)，="+〃,

???點(diǎn)A(-2,4),點(diǎn)汗(4,-2).

4=-2k+bk=-l

解得:

-2=4k+bb=2

直線A口的解析式為y=-x+2,

當(dāng)y=0時(shí)，-x+2=0,解得：x=2,

?