高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第二章綜合檢測(cè)卷(拔尖C卷)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得。分.

1.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中正確的是()

A.若則雙?〉儀;2

B.若l￡a-b￡2,2￡a+b￡4,則4s4a—2b￡ll

C.若。<a<b,則2vf

ab

D.若〃>6>c>0,貝!

hh+c

【答案】D

【分析】由不等式性質(zhì)判斷各選項(xiàng)正誤即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,注意到若c=O,當(dāng)心6時(shí)，/=痙=0.故A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)〃?一8)+〃(4+6)=4a-2b,

\m+n=4[ZH=3.、

得r，解得「又3K3a—bK6,2<(a+b)<4,

|n-m=-2[n=I

得544a-2Z>410.故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，因0<a<〃，則〃2>a2<=>—>—<=>->-,故C錯(cuò)誤.

ababab

nn+c(Q-b)c

對(duì)于D選項(xiàng)，----八,因。>b>c>0,則：〉產(chǎn)，故D正確.

bb+cb(bc)bb+c

故選：D

2.已知x>0,y>0,Rx+2y=xyt若不等式x+2yN1-2加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[-2,4]B.(-2,4)C.(-OO,-2]O[4,-KO)D.(-oo,-2)U(4,+co)

【答案】A

【分析】由條件可得2+'=1,根據(jù)“1〃的變形技巧，利用基本不等式求出x+2y的最小值，解不等式即可

xy

得解.

21

【詳解】工+2歹二中可化為一+—=1,

xy

則i+2y=(x+2y)—+—=4+—+—>4+2/—?—=8,

\,xy)xy'xy

當(dāng)且僅當(dāng)X=2y=4時(shí)等號(hào)成立，即X+2J，的最小值為8,

因?yàn)閤+一2〃?恒成立，所以〃，一2加48,解得一24/〃44,

則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是卜2,4].

故選：A.

3.關(guān)于工的不等式〃江2+2小xT<0的解集為R的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.-\<m<--B.-1<w<0

2

C.-2<m<-1D.-3<m<--

2

【答案】A

【分析】先由二次不等式恒成立求得題設(shè)條件的等價(jià)條件，再利用充要條件與集合之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一

判斷即可.

【詳解】因?yàn)閙/+2加.1<0解集為R,

所以當(dāng)〃?=0時(shí)，不等式為-1<0,顯然成立，滿足題意；

fW?<0f<0A,

當(dāng)陽工0時(shí)，得zJC，即｛“24C，解得一1<小<0,

A<0[4//J-+4w<0

綜上：—1<機(jī)K0,即nix2+2mx-1<0的解集為R等價(jià)J*—1</?<0,

對(duì)于A,因?yàn)椋ㄒ籐-Q是的真子集，所以-1<m-J=-1<〃?W0,即一1</〃<-g是〃〃二+2〃次一1<0

的解集為R的充分不必要條件，故A正確：

對(duì)于B,易知-是膽/+2"d-1<0的解集為R的充要條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椋?2,-1）與（-1,0]互不包含，所以-1是/〃/+2〃“-1<0的解集為R的既不充分也不必

要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?3,一；）與（7,0]互不包含，所以-g是m，+2必-1<0的解集為R的既不充分也不

必要條件，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

4.設(shè)〃?為實(shí)數(shù)，++若不等式y(tǒng)〉o的解集為0,則〃?的取值范圍是（）

A2?/26口/2百「2也Ka

A.----WniW----B.m<----C.m>---D.0

3333

【答案】B

fw+1<0

【分析】當(dāng)陰+1=0時(shí)，不合題意：當(dāng)機(jī)+1工0時(shí)，\,由此能求出〃7的取值范圍.

△<0

【詳解】當(dāng)加+1=0時(shí)，，"=-1,

y=x-2>0,解得x>2,不合題意；

當(dāng)陽+1H0時(shí)，

〃!+1V0

???不等式J，>0的解集為0,??.A/C

△40

/w+l<（）

△=（w）'4（wIl）（w1）<0

解得機(jī)4一遞.

3

???加的取值范圍是（口,-竺］.

故選：B

5.某工廠利用不超過64000元的預(yù)算資金擬建一長(zhǎng)方體狀的倉庫，為節(jié)省成本，倉庫依墻角而建（即倉庫

有兩個(gè)相鄰的側(cè)面為墻面，無需材料），由于要求該倉庫高度恒定，不靠墻的兩個(gè)側(cè)面按照其底邊的長(zhǎng)度來

計(jì)算造價(jià)，造價(jià)為每米1600元，倉庫頂部按面積計(jì)算造價(jià)，造價(jià)為每平方米600元.在預(yù)算允許的范圍內(nèi)，

倉庫占地面積最大為（）.

A.36平方米B.48平方米

C.64平方米D.72平方米

【答案】C

【分析】設(shè)不靠墻的兩個(gè)側(cè)面的長(zhǎng)度分別為-V,由題有1600（T+J，）+600D464000,利用基本不等式

可得答案.

【詳解】設(shè)不靠墻的兩個(gè)側(cè)面的長(zhǎng)度分別為X，由題有

64000>1600（x+y）+60Qr>,>320Q/^>+60Qry

令而-1>0,貝ij600產(chǎn)+32007-64000<0

=>200（3/+40）（/-8）<0=>0</<8,HPxy<64,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=8時(shí)取等號(hào).

故選：C

6.己知x,N是正實(shí)數(shù)，則下列式子中能使恒成立的是（）

21112111

A.x+—>y+-B.x+—*+—c.x——>y一一D.x------>y一一

yx2yxyx2yx

111z.3y+1J+1,、、1[.py+1x+1

所以——+----=―(1+———+-----bl)2r2J-——x----

x+13y+l5x+13y+\5+13y+\5

?門，i3y+1x+1

當(dāng)且僅當(dāng)一=一

x+13y+l

即(3y+l)2=(x+『，

所以(x+l)=(3y+l)且當(dāng)(x+l)+(3y+l)=5,

即(x+l)=(3y+l)=g,

即i=31y=2時(shí)，

2-2

(11=4

7+T+37+im,n-5*

6

所以

5

故選：A.

8.已知xjwR,/+產(chǎn)+M,=1,則()

A.的最大值為:且x+歹的最大值為芋

B.7+丁的最大值為|且x+y的最小值為o

C.d十V的最小值為:且的最大值為苧

D.W+爐的最小值為:且x+y的最小值為。

【答案】c

【分析】利用r+Vz2xy可求出*+/的最小值，利用a+y)b4xy可求出x+y的最大值.

【詳解】利用/+/22孫，則￡+/+孫=1?/+/+^￡,整理得，+/之：，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即時(shí)取得等號(hào)，即幺+爐的最小值為:；

利用(x+y)224個(gè)，x2+y2+xy=\=(x+y)i-xy,xy=(x+<(X+yY,整理得(x+ylw2,即

43

2石,/2石

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=立時(shí)取得等號(hào)，故X+J的最大值為2叵.

33

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知a）,cwR,則下列推理正確的是（）

ab>0}11

A.a>b=>ac2>be2B.f—<7

a>b}ab

bb+ca>b]

C.>=>—<----D.>=>ac>ba

c>0aa+c0d

【答案】BC

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)證明BC成立，取特殊值說明AD錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A:當(dāng)c=0時(shí),a>瓦/=兒2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B:a>b時(shí),則選項(xiàng)正確；

ab。b

bb+cb(a+c)-a(b+c)c(b-a)-

對(duì)于C:a>b>0,c>0,則-------=------7----7----=-7----選項(xiàng)正確;

aa+caya+c)a(a^-c)

對(duì)于D:a=2,b=T,c=-l,"=-2,。。=-2,方"=一2,故口錯(cuò)誤.

故選:BC.

10.已知〃為正實(shí)數(shù)，且R)+2〃+/)=6,則()

A.帥的最大值為2B.2a+6的最小值為5

C.—;+￡的最小值為3D.|。叫40,3)

【答案】AC

【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求解.

【詳解】依題意，

對(duì)于A：因?yàn)閍b+2〃+b=6,

月［以6=+++,

當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào)，

令，=疝>(),則有尸+2及”640，

W^-3>/2<t<y/2?又因?yàn)椋?點(diǎn)>0，

所以0</4尤，BP0<y/ab<41,

時(shí)的最大值為2,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B：因?yàn)閍〃+2o+b=6,

所以6=ab+2。+6='xlab+2a-i-b<—x'+2a+b

224

當(dāng)且僅當(dāng)2a=6時(shí)取等號(hào),

令f=2a+6>0,則有/+8/-4820,

解得壯4或tK-12（舍去）,

即2〃+》24,所以2。+匕的最小值為4,

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C：因?yàn)椤?）+2。+/）=6,

所叫"2"

所以士

當(dāng)且僅當(dāng)

129

所以----1---的-最小值為7,故C選項(xiàng)正確;

a+\6+1O

對(duì)于D：當(dāng)〃=:,b=(時(shí)，,―〃|=4.15w(O,3),

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：AC.

11.下列敘述不正確的是（）

AT?的解是反

B.M0<w<4〃是“mx2+mx+1>0"的充要條件

C.已知xeR,則“x>0”是小-卜1”的必要不充分條件

D.函數(shù)/（文）=/+了三的最小道是2方一2

【答案】AD

【分析】利用分式不等式、一元二次不等式、絕對(duì)值不等式、均值不等式判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】選項(xiàng)A：1<2的解是或x<（）,故A不正確；

選項(xiàng)B：由y=機(jī)/+/MX+1得△=〃/-4〃？，mx?+〃?x+i之o恒成立則，，或機(jī)=0,解得

m~-4m<0

所以“0Wm<4"是“機(jī)/+〃次+120”的充要條件,故B正確;

選項(xiàng)C：由卜-1|<1得-解得0<x<2,所以"x>0”是“卜-1|<1"的必要不充分條件，故C正確;

選項(xiàng)D：由均值不等式得/+2+一一22、苗+2卜」一=20,當(dāng)且僅當(dāng)一+2=一工時(shí)等號(hào)成立，此

X2+2VRX2+2x~+2

時(shí)工無實(shí)數(shù)解，所以/（力=/+1”的最小值大于26-2,故D不正確：

故選：AD

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足/+/+孫=4,則（）

Aovvo473也

A.-2W?W2BD.-----<x+y<4------

33

8

A<22<8

X+夕

C.-4<x-^<43---

【答案】BCD

【分析】將等式改寫成關(guān)于x的一元二次方程，該方程必有根即可判斷A；利用不等式可判斷B；

4

根括小等式W（“一）'）2可判斷C；冉由小等式士;M以及-盯匚二的取值范圍可判斷D.

422

【詳解】對(duì)于A,由題可知/+/+/一4=（）,此時(shí)必有x滿足等式，即該方程必有實(shí)數(shù)根；

所以△MV-%/—”。，即可得一遞延：所以A錯(cuò)誤；

33

對(duì)于B,由于一+/+..=（x+才一個(gè)=4,再根據(jù)不等式號(hào)工把Ml,

4

得史上匚4,所以.迪一+”逋，

433

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=苧時(shí)，不等式x+y￡羊的等號(hào)成立，

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=-冬叵時(shí)，不等式一也Wx+y的等號(hào)成立；

33

即B正確；

對(duì)于C,/+/+孫=。_/2+3.=4,再根據(jù)不等式-不”經(jīng)互，

4

得（》一刃;三彳,即可得一4?x-j，44,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=-y=2時(shí)，不等式X-JY4的等號(hào)成立，

當(dāng)且僅當(dāng)］=-歹=-2時(shí)，不等式-4工彳一歹的等號(hào)成立；

所以C正確；

對(duì)于D,由個(gè)D-+）,可知工2+由+。=4?3（"+'）,即,Kp+yZ；

223

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=遞或x=y=-速時(shí)，不等式1工/+/的等號(hào)成立，

33J

由r+y~+號(hào)=4得x2+y~-4=-xy,

k,(一工)？+y~PH>■>.(—x)2+y~+y~

而一;9,<--丁—,即r+y--4=-xy<-——―=—

所以g二《4,即可得

當(dāng)且僅當(dāng)工=-夕=2或x=-y=-2時(shí)，不等式Y(jié)+V<8的等號(hào)成立:

所以gvx2+),2即D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

19

13.已知/（》）=-+■;——（0<x<4）,則的最小值為___________.

x4一x

【答案】4

【分析】根據(jù)x+4-x=4可得/Q）=；（x+4-x）（：+三），再根據(jù)基本不等式求解即可.

【年解】因?yàn)閤+4-x=4,故

當(dāng)且僅當(dāng)=4—x=—9x,即x=1時(shí)取等號(hào).故/（X）的最小值為4.

x4—x

故答案為：4

14.若T/eR,2〃息+2而/-320"是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】（TO]

【分析】求出給定命題的否定，再由所得命題為真命題，求解作答.

【詳解】命題"HxoCR,2〃篙+2亞機(jī)%-320〃的否定是：VxeR,2wx24-2V2wx-3<0?

依題意，命題"Wx￡R,2mx2+2>f2mx-3<0"為真命題，

當(dāng)陽=0時(shí)，-3<0成立,貝ljm=。,

—fw<0

當(dāng)〃?工0時(shí)，不等式2加？+2正如一3<0恒成立，貝UL023八，解得一3<〃?<0,

A=8w+24w<0

綜上得：-3<ni<0,

所以實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（-3,0].

故答案為:（-3,0]

15.若不等式3+3乂.一一6）工0對(duì)任意的相（0,+8）恒成立，則。（6+1）的最大值為.

【答案】-6

【分析】討論力KO、b>0,根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，再討論?！?、。=（）情

況下參數(shù)。、方之間的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)目標(biāo)式并應(yīng)用基本不等式求最大值，注意等號(hào)成立條件.

【詳解】1、當(dāng)8WO時(shí)，題設(shè)不等式怛成立，只需），=依+300怛成立，

“K0時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)易知：y=ov+3W0不可能恒成立；

。=0時(shí)，y=3>0不成立；

，640不合要求.

ax+3>0d+3K0

2、當(dāng)人。時(shí),由題設(shè)有J…。在（0,+￥）上恒成立,

x2-b>0

當(dāng)。=0時(shí)，6工0在（（）,+￥）上不可能恒成立，不合要求;

當(dāng)。工0時(shí)，在（0,+￥）上丁="+3、以零點(diǎn)為界兩側(cè)單調(diào)性相反，且零點(diǎn)相同,

--=4b,3

即"為‘

???4b+l)=-3(6+3)4-3x2

=-6,當(dāng)且僅當(dāng)°=-3|時(shí)等號(hào)成立.

y/b

綜上，。傳+1）的最大值為-6.

故答案為：-6.

16.已知。>0力>0,c>0,Q2_〃b+962_5c=0，當(dāng)今最小時(shí)，/-3xN〃+〃一!c恒成立，則》的取值集

ah3

合是.

【答案】｛巾《-1或

【分析】由號(hào)=?+曲-1，結(jié)合基本不等式可得—最小時(shí)為1，進(jìn)而得。+6-。。=-/+46,利用二次函

abbaab3

數(shù)得最大值，進(jìn)而得/一3》24,,從而得解.

【詳解】-962-5c=0可化為主，+嘰1乜號(hào)匣—1=5,

abba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)。=36時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí),L

即c=ab=3b2.

因?yàn)閍+/)-gc=-b~+4/?=-(b-2)2+4<4,

所以x，-3x>4,

即{^xK-l或424}.

故答案為：{x|x4—l或xN4}.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.解答下列問題

(1)設(shè)x,y,zeR,比較5/+_/+z?與2.u+4x+2z-2的大?。?/p>

(2)已知IW2Q+6W4,-[<a-2b<2,求10〃一5。的取值范圍.

【答案】(1)5Y十/十22之2個(gè)十4x+2z-2；(2)[1,20].

【分析】(1)利用作差、配方法即可得出5/+/+z2與2個(gè)+4x+2z—2的大小：

(2)根據(jù)條件可得出10"56=3(2。+6)+4("26),再由|?20+644,-1"-2b42即可得出10〃-56的取

值范圍.

【詳解】(1)解:因?yàn)?2xy+4x+2z-2)

=5J2+y2+z'-2xy-4x-2z+2=(x-y)'+(2x-\)2+(z-l)2>0,

所以Sd+V+z?>2xy+4x+2z-2；

(2)解：l<2a+b<4,-[<a-2b<2,

令10"-5b=A(2a+b)+〃(“-2b)=(2義+〃)“+(2-2〃)b,

22+//=102=3

所以，解得

A-2//=-5〃=4

所以3W3(2a+6)W12,—4W4(。-2b)W8,

所以-1M3(2a+b)+4(a-2b)<20,

即-1<1O"5H2O.

18.(1)解不等式要■?；

\-x

(2)已知0<x<*|，求N=M3-2x)的最大值.

9

【答案】(1){x|x<0^x>l}；(2)-

8

【分析】先化簡(jiǎn)分式不等式，然后利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集;

（2）用基本不等式求得函數(shù)的最大值.

【詳解】⑴因?yàn)橹?6所以若一三°'即若所以’3x(1)40

1一xw0

：；產(chǎn)°,解得小或0,所以原不等式的解集為3,或"氏

所以J

3

(2)因?yàn)?<x<，，所以3-2x>0,

2

所以x（3-2#=3?2》?（3-2幻式3（包士|二紅）=|,

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=1時(shí)等號(hào)成立，

4

9

所以y=x（3-2x）的最大值為三.

O

19.設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)八#+ax+l.

⑴若方程>，=。有實(shí)根，求〃的取值范圍；

⑵若不等式y(tǒng)>o的解集為R,求。的取值范圍.

【答案】⑴丑4或"0；⑵0與。<4

【分析】（D根據(jù)一元二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，分類討論。的取值并利用根的判別式即可求

得。的取值范圍；（2）由一元二次函數(shù)與一元二次不等式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可求得〃的取

值范圍.

【詳解】（1）方程v=0有實(shí)根，即潑+以+1-0有實(shí)根，

當(dāng)。=0,方程無實(shí)根，不符合題意；

當(dāng)“工0時(shí)，A=Q2-4QN0，則a24或a<0,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為aN4或"0.

（2）不等式y(tǒng)>0的解集為R,艮】不等式a，+ax+l>0對(duì)于任意xeR恒成立，

當(dāng)〃=0時(shí)，1>0恒成立，滿足題意；

<7>0

當(dāng)。工0時(shí)，要使不等式恒成立，則需滿足A2/Z

即:>°/，解得0<”4.

10<a<4

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為0<a<4.

23

20.若x>0,y>o,且--+—-=1,求孫及x+y的最小值，何時(shí)取到？

x+\y+1

X=\/3+1LX=1+y[bf-

【答案】廠時(shí)，孫有最小值8+4石；廠時(shí)，x+P的最小值為3+2后

7=2+273[y=2+yJ6

23

【分析】利用-7+—7=1,利用換“1〃法，求出X+歹的最小值；

x+\y+i

化簡(jiǎn)得到2x+y=xy-4,利用基本不等式，得至IJ個(gè)-4=2x+y2，整理得號(hào)-422企石，解出該不

等式，即可得到個(gè)的最小值.

【詳解】由三得皿…舊"+叨?島+W卜2+冊(cè)+鬻1+3N5+2也

3(x+l)_2(5，+l)

化簡(jiǎn)得，x+”3+26,當(dāng)且僅當(dāng)丁丁一不7時(shí)等號(hào)成立'列方程地里2：g'解得

y+\x+1

Jx=1+V6

[y=2+瓜

X=1+娓lr-x=1+V6

故當(dāng)廣時(shí)，x+”3+2、石，所以'+卜的最小值為3+2袁，當(dāng)且僅當(dāng)，L時(shí)成義;

y=2+\/6y=2+V6

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又由右+為"得又、>0,好°'

孫-4=2x+y22廊，對(duì)于不等式孫-422廊，兩邊平方得,

Cr)02-16xv+16>(),解得孫28+4百或0<個(gè)48-46，故孫有最小值時(shí)，必有

23

+=1

xy>8+473,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)成立，列方程，7H7+1得，--2n-2=0,又x>0,則解得》=百+1,

2x=y

，x-+\

所以，y=2+2石，故當(dāng)”一”十廠時(shí)，盯有最小值8+4百

y=2+2V3

21.(1)已知〃，b,。均為正實(shí)數(shù)，求證：Ja2+b2+\lh2+c2+^c1+a2>V?(?+Z>+e).

(iyiViA

(2)已知X,y,z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=l,求證：―一1――1-7>8.

lx八yAz/

【答案】(1)證明見解析：(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)重要不等式，進(jìn)行不等式的轉(zhuǎn)換，可得答案；

(2)利用通分及基本不等式，可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)4=8時(shí)等號(hào)成立，

所以2(〃2+從)242+246+力2=(4+32,所以所以J"'+W之三營?①

同理J//+/之等^②,slc2+a2>^^（3）.

①+②+③，得戰(zhàn)+1+82+d+必2+/?鋁+2?+