圓中的定值問題

1.(2025春?崇川區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面中的點(diǎn)例，N和圖形G,若圖形

G上存在一點(diǎn)C,使乙MVC=90°,則稱點(diǎn)N為點(diǎn)M關(guān)于圖形G的“起落點(diǎn)”，稱AMCN為點(diǎn)M關(guān)于圖

形G的“起落三角形

(1)已知點(diǎn)A(4,0),B(2,0),

①在點(diǎn)R(2,2),RO,-6),鳥(4,-1)中，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)”是;

②點(diǎn)。(加,〃)在直線y=-2x上，若點(diǎn)。是原點(diǎn)O關(guān)于線段48的“起落點(diǎn)”，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)用的取值范

圍；

(2)若2Q的圓心為(夕,0),半徑為3,直線/:y=x+G與x,y軸分別交于石，F(xiàn)兩點(diǎn)、，點(diǎn)、P為QQ上

一點(diǎn)，若線段EF上存在點(diǎn)P關(guān)于《。的“起落點(diǎn)”，且對應(yīng)的“起落三角形”是底邊長為2的等腰三

角形，請直接寫出g的取值范圍.

爸用圖I備用圖2

2.(2025?羅湖區(qū)一模)問題：如圖1,OO中，是直徑，人C=AC,點(diǎn)。是劣弧AC上任一點(diǎn).(不

與點(diǎn)、B、C重合)

求證：處二也為定值.

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，先證明叢CE=ABCO.按思路完成下列證明過程.

證明：在4)上截取點(diǎn)E.使AE=BD.連接CE.

運(yùn)用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，C。與x軸相切于點(diǎn)43,0),與軸相交于8、C兩點(diǎn)，且8C=8,

連接加，O.B.

(1)OB的長為.

(2)如圖3,過A、8兩點(diǎn)作0。丁與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)M,與。出的延長線交于點(diǎn)N,連接AM、MN,

當(dāng)C)Q的大小變化時，問的值是否變化，為什么？如果不變，請求出BM-BN的值.

3.(2024?荊州)閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是PC%,y)、

Q(0，m)，則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|。。|=/5一%)2+(苗一月)2.如P(L2),0(X4),則

IPQ\=,1-3)2+(2-4)2=272.

對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡.如

平面內(nèi)到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線)，=a+；交)，軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于4軸的對稱

點(diǎn)為點(diǎn)3,過點(diǎn)3作直線/平行于x軸.

(1)到點(diǎn)A的距離等于線段A4長度的點(diǎn)的軌跡是:

(2)若動點(diǎn)C(x,y)滿足到直線/的距離等于線段C4的長度，求動點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；

問題拓展：(3)若⑵中的動點(diǎn)。的軌跡與直線)，"+磬于仄尸兩點(diǎn)，分別過仄尸作直線」的

垂線，垂足分別是M、N,求證：

①即是MMN外接圓的切線;

②‘一+」一為定值.

AEAF

4.(2024?濱州模擬)如圖，O為等腰A/WC的外接圓，直徑4?=12,P為弧8C上任意一點(diǎn)(不與8,

C重合)，直線CP交A4延長線于點(diǎn)Q,O在點(diǎn)、P處切線PD交BQ于點(diǎn)、D,

(1)專PD/IBC,求證：AP平分NC43：

(2)若PB=BD,求尸￡＞的長度；

(3)證明：無論點(diǎn)P在弧8c上的位置如何變化，CRC。為定值.

5.(2024?鹿城區(qū)校級一模)在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OA8C,46,0),以6,6),C'(0,6),現(xiàn)有一

個動點(diǎn)。從C點(diǎn)出發(fā)，向)，軸的負(fù)方向運(yùn)動，速度為每秒1個單位，同時另一個動點(diǎn)Q以相同的速度.從

力點(diǎn)出發(fā)，向x軸正方向運(yùn)動，作直線PQ,交射線剛于。，設(shè)兩運(yùn)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為，秒.

(1)求證：ABCP二ABAQ：

(2)求出直線PQ的解析式(用含的式子表示);

(3)求/為何值時，ABDP為等腰三角形；

(4)當(dāng)尸在線段CO上運(yùn)動時，過。、B、。三點(diǎn)的一個圓交8C于E,E點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為F,

在第一象限內(nèi)是否存在一個點(diǎn)G,并且G到b的距離為定值，如存在，請直接寫出這個定值；如不存

在，請說明理由.

6.(2024?江東區(qū)模擬)如圖，已知y=-工+>4)過動點(diǎn)，并與反比例函數(shù)y=±的圖象交于B>

x

C兩點(diǎn)(點(diǎn)“在點(diǎn)C的左邊)，以為直徑作反比例函數(shù))，=3的圖象相交的半圓，圓心為尸，過點(diǎn)小

x

作x軸的垂線，垂足為E,并于半圓。交于點(diǎn)。.

(1)當(dāng)m=5時，求4、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求證：無論“取何值，線段。石的長始終為定值.

(3)記點(diǎn)C關(guān)于直線。E1的對稱點(diǎn)為C,當(dāng)四邊形CDCE為菱形時，求機(jī)的值.

7.如圖，尸是)，軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,/),其中Tv/vO,以尸為圓心，4為半徑作《尸，交y

軸于小B,交/軸正半軸于C,連接PC,BC,過點(diǎn)2作平行于PC的直線交上軸于。，交0尸于￡：.

(1)當(dāng)/=-3時，求OC的長；

(2)當(dāng)AP8C與△€/￡>相似時，求/的值；

(3)當(dāng)尸在)，軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,

①試問些的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；如不發(fā)生變化，求出這個比值;

OP

②求的最大值.

備用圖

8.（2025春?岳麓區(qū)校級月考）如圖，AC為平行四邊形八4（刀的一條對角線，AB=ACfAABC的外接

圓與邊CD交于點(diǎn)上（點(diǎn)上不與點(diǎn)C,。歪合），過點(diǎn)K作上于點(diǎn)〃，直線上”交“C的延長

線于點(diǎn)尸，連接AE.

(1)求證AABCSAAED；

（2）若。的半徑為5,tanZB/1C=-,求DE的長;

3

（3）若空="，對于CE的任意長度，都有4M2-5“C爐+L〃2的值是一個定值，求這個定值.

CE7

9.（2025?浙江三模）如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB=AC,點(diǎn)。為劣弧AC上動點(diǎn)，延長AD,8C交于

點(diǎn)E,作。P//44交0。于廣，連結(jié)b.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)。為4C的中點(diǎn)時，求證：DF=BC；

（2）如圖②，若C"=C4,ZABC=a,請用含有a的代數(shù)式表示ZE；

（3）在（2）的條件下，若BC=CE,

①求證：AC+AD=DE；

②求tanNE的值.

圖①圖②

10.(2025?北侖區(qū)二模)【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,oO是等腰AWC的外接圓，AB=ACf在AC上取一點(diǎn)夕，連結(jié)AP,BP,CP.求證:

ZAPB=ZPAC+ZPCA;

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)條件下，若點(diǎn)P為4c的中點(diǎn)，AB=6,PR=5,求小的值;

【拓展延伸】

(3)如困3,OO的半徑為5,弦BC=6,弦CP=5,延長AP交BC的延長線于點(diǎn)f,JIZABP=ZE,

求APPE的值.

11.(2025?長安區(qū)校級模擬)在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，一。的圓心坐標(biāo)為(-2,-2),

半徑為夜.直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸在線段A8上運(yùn)動(包括端點(diǎn)).

(1)直線CO與m的夾角是°;

(2)當(dāng)是等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)直線PO與C相切時，求NPO4的度數(shù);

(4)如圖2,直線PO與《C相交于點(diǎn)E,F,"為線段麻的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)M

也相應(yīng)運(yùn)動，請直接寫出點(diǎn)M所經(jīng)過路徑的長度.

31圖2

12.(2025?味州市模擬)在平面直角坐標(biāo)系工0)，中，已知點(diǎn)P(4,3),O經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)夕作工軸的平

行線交O于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求線段OP的長.

(2)點(diǎn)A為)，軸正半軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)A關(guān)于直線莊:對稱，連結(jié)小,PB.直線/:4,PB分

別交二。于點(diǎn)C,D.直線6交x軸于點(diǎn)尸，交直線PE于點(diǎn)G.

①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到如圖2位置，連結(jié)Cf,DE.求證：ZDGP=ZECP.

②在點(diǎn)A運(yùn)動過程中，當(dāng)￡＞尸=。尸時，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

13.(2025?河源一模)如圖，扇形048的半徑。4=3,圓心角4403=90。，點(diǎn)C是AB上異于A,B的

動點(diǎn)，過點(diǎn)。作CO_LO4于點(diǎn)D，作CE工OB干點(diǎn)E,連接DE，點(diǎn)G,”在線段DE上,且DG=GH=HE.

(1)求證：四邊形OGC”是平行四邊形；

(2)當(dāng)點(diǎn)。是A3上運(yùn)動時，在CD,CG,DG這三條線段中，是否存在長度不變的淺段？若存在,

請指出這條線段并求該線段的長度；若不存在，請說明理由.

0D

14.(2025?道里區(qū)校級開學(xué))如圖，CO中，弦AC、BD交手點(diǎn)、E,連接回、AD.OB,ZABO=ACAD.

(1)求證：AC\LAD；

(2)連接CD,NBDC+2NADB=180。,求證：AB=AC；

(3)在(2)的條件下，連接OC交于點(diǎn)尸，oO的弦8”交AC于點(diǎn)G,CG=DF,AB=10,5^=10,

求G”的長.

15.(2025?龍崗區(qū)校級一模)如圖①，已知O是A4BC的外接圓，/ABC=^ACB=a(45°<a<90°,D為

AB上一點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E.

(1)連接BD,若NC￡>8=40°,求a的大小;

(2)如圖②，若點(diǎn)8恰好是C'O中點(diǎn)，求證：CE2;

(3)如圖③，將CZ)分別沿8C、AC翻折得到CM、GV連接MN,若C￡>為直徑，請問‘是否為

MN

定值，如果是，請求出這個值，如果不是，請說明理由.

D

B

A/

圖①圖②圖③

16.(2025?宣州區(qū)校級自主招生)如圖，已知：正方形八次刀中，八4=8,點(diǎn)O為邊獨(dú)上一動點(diǎn)，以

點(diǎn)。為圓心，?！盀榘霃降?。交邊4)于點(diǎn)七(不與點(diǎn)A、。重合)，貿(mào)工0上交邊CD于點(diǎn)、卜.設(shè)A3=x,

AE=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出尤的取值范圍;

(2)在點(diǎn)O運(yùn)動的過程中，AEm的周長是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示AEFD的

周長；如果不變化，請求出AEFO的周長;

(3)以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中.，討論O。與GA的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)

的工的取值范圍.

17.(2025?黔西南州模擬)如圖，已知■為CO的直徑，CD為弦.CO=4>/5,AB與CD爻于點(diǎn)、E,

將。。沿6翻折后，點(diǎn)A與圓心。重合，延長以至尸，使/1P=(M,連接PC.

(1)求OO的半徑；

(2)求證：PC是。的切線；

(3)點(diǎn)N為AQ4的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動點(diǎn)M,連接MN交于點(diǎn)G.交BC于點(diǎn)、F(F與B、

C不重合).求NG?Nr的值.

18.(2025?寧波模擬)如圖①，點(diǎn)M是正方形人4s的對角線人C上的一點(diǎn)，射線。M與的外接

圓的另一個交點(diǎn)為N,與射線C6相交于點(diǎn)〃.

(1)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)3重合時，絲的值為—；

(2)如圖②，當(dāng)MN是A4M8外接圓的直徑時，求箸的值:

(3)若APNC為等腰三角形，求上的值.

(備用圖)

19.(2025秋?小口區(qū)校級月考)如圖1,AC是CQ的直徑，總是0。的切線，A為切點(diǎn)、，點(diǎn)、B在

上，PA=PB,弦AB與PC交于點(diǎn)、M.

(1)求證：是?O的切線；

(2)連接8C,若ZAP3=4ZBPC,AP=6,求8。的長；

(3)如圖2,若=求收的值；

MB

(4)如圖3,若AP=AC,PO與AB交于點(diǎn)、D,尸。與O交于點(diǎn)N,連接ON,則"=

DN

M、

20.(2025春?海曙區(qū)校級期末)如圖1,E點(diǎn)為工軸正半軸上一點(diǎn)，OE交/軸于A、B兩點(diǎn),交)，軸

于C、。兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC上一個動點(diǎn)，且4-2,0),￡(2,0).

(1)BC的度數(shù)為

(2)如圖2,連結(jié)PC,取PC中點(diǎn)G,連結(jié)OG,則OG的最大值為

(3)如圖3,連接以，PC.若CQ平分NPCD交外于Q點(diǎn)，求線段AQ的長;

(4)如圖4,連接小、PD,當(dāng)。點(diǎn)運(yùn)動時(不與8、C兩點(diǎn)重合)，求證:筌為定值,并求

出這個定值.

21.(2025?浙江自主招生)如圖，已知，在以為弦的弓形劣弧上取一點(diǎn)M(不包括A,8兩點(diǎn)),

以M為圓心作圓”和M相切，分別過A,Z?作0V的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.

求證：ZACB為定值.

22.(2024?越秀區(qū)校級開學(xué))如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系、Qv中，直線)，=代+!交y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A

2

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)4,過點(diǎn)4作直線/平行于x軸，動點(diǎn)C(x,y)到直線/的距離等于線段C4的長度.

(1)求動點(diǎn)C(x,)，)滿足的y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)圖象;

(2)若(1)中的動點(diǎn)C的圖象與直線)，=履+；交于E、尸兩點(diǎn)(點(diǎn)后在點(diǎn)尸的左側(cè))，分別過后、F

作直線/的垂線，垂足分別是M、N,求證：①EF是AAM7V外接圓的切線；②」-+」-為定值.

23.如圖，OO經(jīng)過等邊A4BC的頂點(diǎn)A,C(圓心O在A48C內(nèi))，分別與AB,C8的延長線交于點(diǎn)。,

E,連接DE,過點(diǎn)5作8/J.EC交AE于點(diǎn)尸，過點(diǎn)、E作EH上BD交AD于H.

(1)求證：ABDE為等邊三角形.

jr?rr

(2)當(dāng)"':￡F=3:2,求tanNDAE和——的值.

AC

(3)設(shè)絲=加,

EF

①用〃?的代數(shù)式表示型，并寫出你的解題過程.

AC

②對于AC(4C>0)的任意的長度，都有16療七〃2-12472+6的值是一個定值，求這個定值.

24.已知在平面直角坐標(biāo)系中，oO的半徑是2,?O交坐標(biāo)軸于A,B,C,。四點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)，連接封O,并延長交_O于E,連接必、FD,求證：正平分ZAH);

(2)如圖2,點(diǎn)P是AZ)上任意一點(diǎn)(不含A,。)，連接PC,過A作AQ_LC〃于Q,連接OQ,APt

求NO2C的度數(shù)；

(3)如圖3,點(diǎn)例是AC上一動點(diǎn)，連接M4,MC,MB,MD,求加少一必。一的值.

MAMB

25.(2025春?深圳月考)問題：如圖1,O中，是直徑，AC=3C,點(diǎn)。是劣弧8。上任一點(diǎn)(不

與點(diǎn)8、C重合)，求證：42二也為定值.

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，先證明MCE=MCZ).按思路完成下列證明過程.

證明：在4)上截取點(diǎn)E,使AE=BD,連接CE.

運(yùn)用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，CO1與x軸相切于點(diǎn)A(3,0),與)，軸相交于4、C兩點(diǎn)，且4c=8,

連接加、O\B.

(1)03的長為

(2)如圖3,過A、4兩點(diǎn)作CO?與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)M,與。港的延長線交于點(diǎn)N,連接AM、MN,

當(dāng)0。2的大小變化時，問的值是否變化，為什么？如果不變，請求出BM-3N的值.

圖1圖2圖3

1.(2025春?崇川區(qū)校級月考)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于平面中的點(diǎn)N和圖形G,若圖形

G上存在一點(diǎn)C,使NA/NC=90°,則稱點(diǎn)N為點(diǎn)“關(guān)于圖形G的“起落點(diǎn)”，稱AMCN為點(diǎn)M關(guān)于圖

形G的“起落三角形”.

(1)己知點(diǎn)4(4,0),4(2,0),

①在點(diǎn)4(2,2),巴(1,-G),呂(4,-1)中，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)”是_42_鳥_；

②點(diǎn)&恤〃)在直線y=-2、上，若點(diǎn)。是原點(diǎn)O關(guān)于線段"的“起落點(diǎn)”，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)用的取值范

圍；

(2)若GQ的圓心為(4,0),半徑為3,直線/:y=x+G與x,y軸分別交于以產(chǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P為(Q上

一點(diǎn)，若線段砂上存在點(diǎn)P關(guān)于CQ的“起落點(diǎn)”，且對應(yīng)的“起落三角形”是底邊長為2的等腰三

角形，請直接寫出的取值范圍.

備用圖1備用圖2

【解答】解：(1)①根據(jù)“起落點(diǎn)”的定義，要使NO%=90。的P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)”,

根據(jù)各個點(diǎn)的坐標(biāo),

?！?&,A[=2&,04=4,則：

C甲+卻=042,

.?.NOR4=90。，[是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)

OP?=2,APS04=4,貝lj:

OP；+AP；=0A2,

/.ZOTA=90°,心是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)”,

NO/l6=90°,

??.A不是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的“起落點(diǎn)”,

故答案為：夕，E.

②如圖2,過點(diǎn)A,3分別向），=-2工作垂線，垂足分別為E,,過點(diǎn)尸作PG_Lx軸于點(diǎn)G,

圖2

?.?點(diǎn)。是原點(diǎn)O關(guān)于線段M的“起落點(diǎn)”，

線段上存在一點(diǎn)C,使得N8C=90。,

.?.點(diǎn)O在線段爐上，

設(shè)尸3,-2〃），則:

OG=a,FG=2a,

?,OB=2,

:.13G=2-a,

即：

OGFG

2a2-a

TF'

解得：〃=2,

5

.?I的橫坐標(biāo)為2,

5

同理可得后的橫坐標(biāo)為

5

.?.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)方的取值范圍為2到n

55

（2）根據(jù)題意，記線段石尸上的點(diǎn)是G,當(dāng)GQ上存在一點(diǎn)C,使Z7>GC=90c的時候，貝lj：

線段所上存在點(diǎn)?關(guān)于：。的“起落點(diǎn)”，

“起落三角形”是等腰直角三角形，

二.G點(diǎn)一定在線段PC的垂直平分線上，

點(diǎn)?、點(diǎn)。都是圓上的點(diǎn)，線段PC是Q的弦，

圓心。也在線段的垂直平分線上，

??.Q和G是共線的，且它們之間的距離是固定的，

?.?等腰直角三角形的底為2,

??.G到PC的距離是1,

。的半徑是3,弦長尸C是2,

???根據(jù)垂徑定理可以算出圓心Q到線段PC的距離是2>/2,

QG=I+2&,

根據(jù)直線廣x+石，求出石（-6,0）、F（O,73）,

如圖3,

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)F的位置上的時候,

①06=6，GQ1=1+2無，

根據(jù)勾股定理，求得：

OQ{=2+72,則：

q=24-5/2,

②同上。。3=2+&，則:

g=-2-V2,

當(dāng)G在￡的位置上時，

③EQ?=1+2夜，貝I］：

6/=1+2>/2—>/3,

④￡0=-1-2及，則：

<7=—1—2\/2—x/3?

綜上，〃的范圍是：-1-2&-亞陽-2-&或1+2&-VS煙2+V2.

2.（2025?羅湖區(qū)一模）問題：如圖1,匚。中，回是直徑，AC=BC,點(diǎn)O是劣弧AC上任一點(diǎn).（不

與點(diǎn)以C重合）

求證：也圖為定值.

CD

思路：和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，先證明叢CEMABCZX按思路完成下列證明過程.

證明：在AD上截取點(diǎn)E1.使連接CE.

運(yùn)用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點(diǎn)4（3,0）,與軸相交于5、C兩點(diǎn)，且3C=8,

連接加，O出.

圖1

（1）04的長為

（2）如圖3,過A、8兩點(diǎn)作CR與V軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)M，與Q8的延長線交于點(diǎn)N,連接AM、MN,

當(dāng)CQ的大小變化時，問的值是否變化，為什么？如果不變，請求出6M-6N的值.

【解答】證明：如圖I,在4）上截AE=4Q,

c

D

圖1

CD二CD,

:"CAD=/CBD,

在SACE和MiCD中,

AC=BC

<NCAE=4CBD,

AE=BD

:.^ACE^ABCD(SAS)，

:.ZACE=ZBCDfCE=CD,

A8為直徑，

.?.NACB=90。，

.?.46=90°,

AECD是等腰直角三角形,

.-.CD-—ED,

2

ED=AD-BD,

回型=叵,即處二也為定值;

CDCD

（1）如圖2,連接QA,過。1作q”于點(diǎn)〃,

圖2

:.CH=BH=4,O、H=3,Q/_LK軸,

21

：.O,B=^OXH+HB=5,

.?心4=。出=5，

.?.40=5,

:.OB=HO-HB=5-4=\1

故答案為：1:

(2)BM-BN的值不變,

如圖2,

由(1)得，《A_LOA,

-OB1AO.

:.O\AUOB,

NO】BA=NOBA,

1.OfA=OtB，

/.ZAB。1=ZABO,

使欣;=zw,連接/W,AG,

N/\"Q]-^ABO,N/Wq-AMN,

ZABO=ZAMN.

ZAB0=ZANM,

:.ZAMN=ZANM,

：.AM=ANf

?AB=AB,

:.ZAMG=ZANB,

在A4MG和A/W3中,

AM=AN

ZAMG=NANR,

MG=BN

...AAMGNM7V8(S4S),

：.AG=AB,

?/AOJ.3G,

;.BG=2B()=2,

:.BM-BN=BM-MG=BG=2,即AM-用V的值不變.

3.(2024?荊州)閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P(R,y)、

Q(&,y2),則尸、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQI=J(X-W)2+()I-%)2.如P(l,2),0(3,4),則

IPQ\=J03f+(2-4)2=25/2.

對于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡.如

平面內(nèi)到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系式。中，直線)，=&+《交)，軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于尤軸的對稱

點(diǎn)為點(diǎn)4,過點(diǎn)8作直線/平行于x軸.

(1)到點(diǎn)4的距離等于線段AB長度的點(diǎn)的軌跡是以(0」)為圓心，1個單位長度為半徑的圓；

2

(2)若動點(diǎn)C(x,y)滿足到直線，的距離等于線段6的長度，求動點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；

問題拓展：(3)若(2)中的動點(diǎn)C的軌跡與直線y=+g交于石、尸兩點(diǎn)，分別過E、/作直線/的

垂線，垂足分別是M、N,求證：

①)是AWN外接圓的切線；

【解答】解：(1)設(shè)到點(diǎn)A的距離等于線段回長度的點(diǎn)D坐標(biāo)為?y),

/.AD2=x2+(>'-^)2，

v直線y=收+g交)，軸于點(diǎn)A,

，

/.A(02,-)

「點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

B(0,—),

2

:.AB=],

「點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離等于線段回長度，

???T+(y--X=1,

故答案為：以(0,3為圓心，1個單位長度為半徑的圓;

2

(2),過點(diǎn)2作直線/平行于工粕，

.?.直線/的解析式為)，=-1

,.C(x,y),A(0,g)，

:.AC2=x2^-(y-^)2,點(diǎn)C到直線，的距離為：(y+g),

?.?動點(diǎn)C(x,y)滿足到直線/的距離等于線段C4的長度，

動點(diǎn)。軌跡的函數(shù)表達(dá)式)，=』/,

?2

(3)①如圖,

設(shè)點(diǎn)點(diǎn)F(n,b)?

?.?動點(diǎn)。的軌跡與直線)，="+L交于E、尸兩點(diǎn)，

2

/.X2-2kx-1=0,

:.m+n=2k,mn=-1,

?.?過石、/作直線/的垂線，垂足分別是M、N,

22

A(0,i),

J

...AM2+AN2=nr+1++1=nr+/z2+2=(m+n)2-2mn+2=4公一4,

MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,

：.AM2+AN2=MN2，

AAMV是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點(diǎn)Q,

.?.點(diǎn)Q是A4MV的外接圓的圓心，

*,?-g)?

4°,彳),

J

直線AQ的解析式為y=-9+；,

1/直線EF的解析式為y=h+g,

:.AQ1EFf

EF是AAM7V外接圓的切線；

②證明：?.,點(diǎn)E(m,a)點(diǎn)F(n,〃)在直線y=履+g上，

1,,1

。/欣;+—,b=nk+—r

22

ME,NF,“'是A/W7V的外接圓的切線，

AE=ME=?+—=mk+1,AF=NF=〃+-1=〃攵+1,

22

〃22

-1+I--1--1---1---(；-*--)-k+--2-=—；-2-k-+-2--=—2(；k--+-\)

AEAFmk+1nk+\mnk~+(tn+n)k+\*+2kk+lk~+1

4.(2024?濱州模擬)如圖，O為等腰的外接圓，直徑鉆=12,P為弧8C上任意一點(diǎn)(不與8,

C重合)，直線CP交延長線于點(diǎn)Q，O在點(diǎn)、P處切線PD交BQ于點(diǎn)D,

(1)若PD//BC,求證：AP平分NC4B;

(2)若PB=BD,求夕。的長度；

(3)證明：無論點(diǎn)尸在弧8c上的位置如何變化，CPC。為定值.

【解答】證明：(1)如圖，連接0P,

PD是O的切線，

:.OP工PD,

PDNBC,

:.OPlBCy

CP=BP,

:.ZPAC=ZPABf

」.4,平分NO;

(2)?.PB=BD,

:.ZBPD=ZBDP,

OP1PD,

ZBPD+4BPO=ZBDP+/BOP,

：.〃3OP=NBPO,

:.BP=BO=PO=6,即MO尸是等邊三角形，

在RtAOPD中，PD=NOD?-OP，=6。；

(3)?,AC=BC.

;.^BAC=ZABC,

\ZABC=ZAPC,

:.ZAPC=ZBACf又ZACP=ZQCAf

AACPSAQE,

卷=忌，BPCPCC=CA2=72,用〕C尸CQ為定值.

c

A

0【BDQ

5.(2024?鹿城區(qū)校級一模)在平面直角坐標(biāo)系中，正方形O44C,4(6,0),8(6,6),C(0,6),現(xiàn)有一

個動點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)，向)，軸的負(fù)方向運(yùn)動，速度為每秒1個單位，同時另一個動點(diǎn)Q以相同的速度.從

A點(diǎn)出發(fā)，向x軸正方向運(yùn)動，徑直線PQ,交射線創(chuàng)于。，設(shè)兩運(yùn)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為/秒.

(1)求證：ABCP=^BAQ;

(2)求出直線PQ的解析式(用含的式子表示);

(3)求/為何值時，為等腰三角形：

(4)當(dāng)尸在線段CO上運(yùn)動時，過?、B、。三點(diǎn)的一個圓交8C于E,石點(diǎn)關(guān)于5尸的對稱點(diǎn)為產(chǎn)，

在第一象限內(nèi)是否存在一個點(diǎn)G,并且G到廠的距離為定值，如存在，請直接寫出這個定值；如不存

在，請說明理由.

【解答】解：(1)如圖1所示：連接心.

V.

:.CP=AQ.

?四邊形OABC為正方形，

/.BC=ABf4PCB=ZBAQ=90°.

在APCA和AQAB中，

PC=AQ

NPCR=/QAR,

BC=AB

APCBw&QAB.

(2)沒點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6T),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6+f,0).

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+6-t.

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入得：^(6+/)+6-/=0,解得：k=-~~-,

r+6

直線PQ的解析式為)，=TX+6T.(/一0).

z+6

(3)當(dāng)雙=2/)時，如圖2所示：連接P3,過點(diǎn)P作?EL4B,垂足為石，則四邊形BCP￡1為矩形.

?四邊形8c正為矩形，

BE—CP=t.

PB=PD,PE±AB,

:.BE=ED=t,即%>=2f.

DANPO,

:.'QD叱bQPO.

...絲=絲，即生2=，，解得/=6四-6(負(fù)值己舍去).

POOQ6-16+/

當(dāng)7=6時，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時，AP3D為等腰直角三角形.

如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)夕位于x軸的下方時，NP/圮為鈍角.

要使為等腰三角形，則PD=BD.

:.ZrBL）="PD.

?：AB〃OC,

:"CPB=4BD.

;"CPB=ADPB.

,.?BC1OC,BE1.PQ,

BC=BE=6.

又??AB=6,BE>AB,

假設(shè)不成立.

.??當(dāng)點(diǎn)~位于入?軸的下方時，M3PD不能構(gòu)成等腰三角形.

綜上所述，當(dāng)，=6&-6或"6時，4評/）為等腰三角形.

（4）如圖4所示：連接4Q、FE,過點(diǎn)尸作尸/L3C,垂足為/.

由題意可知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,6—),Q的坐標(biāo)為(6+1,).

?.ZEBD=90°,

.?.力石為圓的直徑.

：.ZEPA=90°.

由(1)可知：\PCB=^QAB.

：.PB=BQ,4cBp=ZABQ.

/.NCBP+PBD=ZABQ+NPBA=90°,即NPBQ=90°.

.??△。/應(yīng)為等腰直角三角形.

/.ZBP(2=45°.

；.PB平分“PD.

:.EB=BD.

：.(JE=AL).

?.?點(diǎn)/與點(diǎn)E關(guān)于28對稱，

點(diǎn)尸在P8上，且PE=PF.

?;NCPE+ZCEP=90°，/1PF+ZCPE=90°，

ZCEP=Z/PF.

在\PCE和AF/P中，

NCEP=/IPF

，NPIF=NPCE,

EP=PF

:.△PCEHbHP.

：.CP=IF=l,CE=PI.

:.PI=Z）.

將46代入直線PQ的解析式得：y=更匕9+6T.

/+6

,4/）=6（￡-6）+6_Z

r+6

，OI=PO—PI=^1.

6+r

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為《），），則x=/,）、=遜二2.

6+r

將代入得：y=竺二。=二一6,即），=衛(wèi)-—6.

6+xX+6.v+6

.??點(diǎn)F的軌跡為雙曲線的一個部分.

.??第一象限內(nèi)不存在一個點(diǎn)G,使G到尸的距離為定值.

6.（2024?江東區(qū)模擬）如圖，已知y=r+訊心4）過動點(diǎn)A（肛0），并與反比例函數(shù)y=±的圖象交于B、

x

。兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)C的左邊），以04為直徑作反比例函數(shù)），=3的圖象相交的半圓，圓心為P,過點(diǎn)8

x

作X軸的垂線，垂足為E,并于半圓P交于點(diǎn)O.

（1）當(dāng)加=5時，求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求證：無論,〃取何值，線段OE的長始終為定值.

（3）無點(diǎn)。關(guān)于直線?！甑膶ΨQ點(diǎn)為C,當(dāng)四邊形為菱形時，求加的值.

【解答】解：(1)把〃2=5代入y=-x+/〃中得：y=-x+5,

kT+5f]

則4解得：廣二9=4

)'=一〔)1=4%=1

x

8(1,4),0(4,1)；

(2)如圖1,連接。力、A。,

A("?,0),

:.OA=m>

y=-x+/〃中，當(dāng)x=0時，y="?，則/(。，⑼，

；.OF=m,

二.MO尸是等腰直角三角形，

,,ZOAB=45°,

BE工OA,

.?.AABE是等腰直角三角形，

BE=AE,

04是。的直徑，

.-.ZOZM=90°,

?/NODE=NOAD,

-ZOED=ZDEA=90°9

：.\ODE^^DAE>

DEOE

?,----=-----9

AEDE

:.DE2=OEAE=OEBE,

8是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，即O￡3E=4

.??無論〃,取何值，線段DE的長始終為定值；

(3)如圖3,連接CC,設(shè)DE與CC交于G,

由(2)得：DE?=4,

:.DE=2,

?.,四邊形C/7CZ為菱形，

:.DG=EG=\,

.?.C的縱坐標(biāo)為1,

當(dāng)),=|時，—=1,%=4,

x

把C(4,l)代入y=-人+,〃中得：-4=1,

7.如圖，夕是），軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，坐標(biāo)為（0J）,其中Y<f<0,以「為圓心，4為半徑作QP,交），

軸于力，B,交x軸正半軸于C,連接PC,BC,過點(diǎn)4作平行于夕。的直線交x軸于。，交QP于E.

（1）當(dāng)/=-3時，求OC的長；

（2）當(dāng)AP8C與ACA。相似時，求，的值；

（3）當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動時，

①試問生的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；如不發(fā)生變化，求出這個比值；

OP

②求破.&力的最大值.

V.

O

B

備用圖

---P(0-3),

:.OP=3,PC=4,

在RdOPC中，OC=dPC?-OP2=\/甲_32=幣.

(2)如圖2中,

:."CB=/PBC,

AP6C與ACBO相f以，

NCBD=Z.CDB=Z.PCB=ZPBC,

?.PC/fBD,

；.NOCP=/CDB,

ZOCP=乙PCB=/PBC，

.?.NOCP=30°,

PC=4,

OP=-PC=2

2f

⑶①器是定值.理由如下:

如圖3中，作于H.

圖3

PH1BE,

:.BH=HE,

PC/1BD,

...PH1PC.

NS/=90。，

易證

?.-O-P=PC，

BHPB

-t4

-?--_-_--__——9

BH4

：.BH=-t，

：.BE=-2t,

BE-2tr

二.一=——=2.

OP-t

「?些是定值.

②，.PC//BD,

PCOP

.?----=-----，

BDOB

?__4___-_t_

"而―T+4'

.口=3,

t

4(/4)

DE=BD-BE=W-_(_2z)=-+2t,

4(1-4),

BEDE=-2t[———-+2t]=-4(/+1?2+36.

t

???-4<0,

.?」=T時，上定值最大，最大值為36.

8.(2025春?岳麓區(qū)校級月考)如圖，AC為平行四邊形ABC。的一條對角線，AB=AC,0成？的外

接圓與邊CD交于點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)C,。重合)，過點(diǎn)E作E77J_AB于點(diǎn)”，直線交BC的延

長線于點(diǎn)/，連接AE.

(1)求證AABCSAAE。；

(2)若O的半徑為5,tanZBAC=-f求￡>E的長；

3

(3)若經(jīng)=〃?，對于CE的任意長度，都有4￡斤-5%C￡2+L〃2的值是一個定值，求這個定值.

CE7

【解答】(1)證明：?.?四邊形人笈⑺是平行四邊形,

/.ZB=Z￡>,

,四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

.-.ZB+ZAEC=180°,

ZAEC+ZA￡?D=180°,

:.ZB=ZAED,

?/AI3=ACf

:./B=ZACB=ZAED=ND,

MBC^/SAED;

(2)解：如圖，連接AO,并延長AO交8C于點(diǎn)M,連接BO,

?.AB=AC,

A3=AC,

OA1RC

/.BC=2CM"BAM=L/BAC,

2

/BOM=2NBAM，

：./BUM=/8AC,

4

tanZ.BAC=—,

3

/.tanNBOM=,

OM3

設(shè)8W=4x,OM=3x,

:.OB=5x,

。的半徑為5,

/.5x=5?即x=1,

OM=3,

：.BC=2BM=8,AM=OA+OM=^f

...AC=AB=^BM2+AM2=4^,

???四邊形A3CQ是平行四邊形，

AO=4C=8,

AA8csAAED,

.?.生=生，即定二旦

ADDE8DE

解得：OE=q；

5

(3)解：如圖，過點(diǎn)4作AG_LO￡于點(diǎn)G,

ZAED=ZD,

：.AD=AE，

:.DE=2DGf

?四邊形A4C7)是平行四邊形,

/.AD=BC,AB!/CD,AB=CD,

:.AG1AB,

-.EH工AB,

AG=EH?

El)

----=m，

CE

DE=mCE?

/.DG=-mCE,

2

AC-AB—CD-CE+DE-(rn+\)CE,

.ACBC即(〃z+l)CEBC

茄一詼''AD-mCE'

7.AD2=(m2+m)-CE2,

i3

222222

/.AG=AD--DG=(〃P+m)CE-(-mCE)=(-m+m)CE,

3

/.HE2=(-m2+m)CE2,

i3ii

???4EH2-5mCE2+-m2=4(-m2+m)CE2-5inCE~+-m2=(3m2-m)CE2+-m2,

7477

■「對于CE的任意長度，都有4EH2-5mCE2+；＞的值是一個定值，

/.3nr-in=0,

解得：〃?=’或0(舍去),

3

.?.當(dāng)〃?=■!時，4m2_5"C爐的值是一個定值，為L

3763

9.(2025?浙江三模)如圖，AA4c內(nèi)接于OO,A4=AC,點(diǎn)。為劣弧AC上動點(diǎn)，延長4),BC交于

點(diǎn)￡,作DF//AB交