高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)橢圓

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?江西月考）已知橢圓。的方程為/+吟=1,則橢圓C的離心率為（）

1V2\/31

A.-B.——C.—D.-

2223

工？y2

2.（2025?永州三模）已知橢圓E：一+!=1,點F（-1,0）,若直線x+U-1=0（XGR）與橢

43

圓石交于4,4兩點，則4A/好的周長為（

A.2>/3C.4V3

工2y2

3.（2025?保山校級二模）若橢圓C：—+77=1（?>/>>（））的上頂點與右頂點的連線人垂直于下

a2b2

頂點與右焦點連線/2,則橢圓的離心率《為（）

4.（2025春?東莞市校級月考）己知中心在原點的橢圓。的右焦點為6（I,0）,離心率等于點則

。的方程是（）

石二

x2y2

5.（2025春?亳州校級期末）已知橢圓:~+=1的兩焦點分別為尸I,尸2,點P為橢圓上任意一

48

點，則IP511+1尸/切的值為（）

B.2V2D.4企

丫2V3

6.（2024秋?潮州期末）若橢圓C：的離心率為了，則。=（）

2V3l

A.—B.4C.V3D.2

3

7.（2025?巧家縣校級模擬）已知橢圓C：-r+77=1?稱點P（xo?vo）和直線/：獨梳+駕^=1

a2b2a2b2

是橢圓C的一對極點和極線，每一對極點與極線是一一友應(yīng)關(guān)系.當(dāng)P在橢圓外時，其極線/是

橢圓從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）.結(jié)合閱讀材料叵答下面的

問題：已知P是直線y=-1A+4上的一個動點，過點P向橢圓C：774-=1引兩條切線，切點

分別為M,N,直線MN恒過定點。當(dāng)茄=6時，直線MN的方程為（）

A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

8.（2025?喀什市模擬）直線過橢圓：我+法=?心。，??！档淖蠼裹cF和上頂點4與圓心

在原點的圓交于P,Q兩點，若PF=35Q,/POQ=120°,則橢圓離心率為（）

1V3\/7V21

A.-B.-C.—D.---

2337

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?邵陽模擬）已知尸是橢圓E：蕓+[=1上一點，F(xiàn)1、3為其左、右焦點，且△

QP上的面積為3,則下列說法正確的是（）

A.2點縱坐標(biāo)為3

B.斤2的周長為4（a+1）

7

C.COSZ.F1PF2=25

D.的內(nèi)切圓半徑為1）

x2y2

（多選）10.（2024秋?棗強縣校級期末）橢圓一+-=1的焦距為4,則機的值可能是（）

m8

A.12B.IDC.6D.4

（多選）11.（2024秋?新疆期末）下列說法中正確的是（）

A.已知為（-4,0）,F2（4,0）,平面內(nèi)到四，尼兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段

B.已知為（-4,0）,尸2（4,0）,平面內(nèi)到為，放兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓

C.平面內(nèi)到點Q（-4,0）,尸2（4,0）兩點的距離之和等于點M（5,3）至I廣放的距離之

和的點的軌跡是橢圓

D.平面內(nèi)到點月（-4,0）,F2（4,0）距離相等的點的軌跡是橢圓

（多選）12.（2024秋?保山期末）已知尸尸2為橢圓C：5+亭=1的左、右焦點，點尸是橢圓。

上的動點，則下列說法正確的是（）

A.IW|P&|W3

B.橢圓C上存在點P使得NFiP氏2=90°

C.若直線/：）=依（kWO）與橢圓C相交于A、B兩點，則HFi|+|8Fi|=4

D.若4鼻。戶2=專，則△F1PF2的面積為3

三.填空題（共4小題）

/y2

13.（2025春?崇明區(qū)期末）橢圓二+J=1的兩個焦點之間的距離為

14.（2025春?寶山區(qū)校級期末）橢圓9』+25*=225的短軸的長是

丫2y2

15.（2025?湖南模擬）已知橢圓C：—+—=1上一動點到其兩個焦點的距離之和為2m,則m

m9

16.（2024秋?海南州期末）已知地球運行的軌道是橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，若地球

到太陽的最大和最小距離分別為1.53X10%小，］47X10）加,則這個橢圓的離心率為

四.解答題（共4小題）

17.（2025?武功縣校級模擬）若一個三角形的三條邊均與曲線「相切，則稱這個三角形是以這三個

切點為頂點的三角形的“「伴隨三角形”.已知橢圓心；5+y2=an（〃6N"）,且「I上的點到

點（0,?。┑木嚯x的最大值為手.

（1）求〃|;

（2）若△4+］即HCM+I是A4志”G的“「熊伴隨三角形”，且Bn,Q均不與的頂點重合.

（i）求△4&Q與△4+I8〃+IG+I的面積之比;

5）求用《?

18.（2025?懷寧縣校級模擬）已知橢圓C：務(wù)/=l（a〉b〉0）,若橢圓的長軸長為4且經(jīng)過點（-1,

等過點7（遮，0）的直線交橢圓于P,Q兩點.

（I）求橢圓方程；

（2）若△OPQ面積為近，求此時直線PQ的方程；

（3）若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點S（s,0）使得NPSTr/QS丁恒成立？若存

在，求出s的值；若不存在，說明理由.

x2V2V3

19.（2024秋?武強縣校級期末）設(shè)橢圓方+77=l（a>b>0）的左，右焦點是為，/2,離心率為三，

a"b'3

上頂點坐標(biāo)為（0,V6）.

（1）求橢圓的方程：

（2）設(shè)P為橢圓上一點，且NQP尸2=60°,求焦點三角形四尸”2的周長和面積.

20.（2025春?重慶校級月考）已知橢圓C：務(wù)/=l（a>力>0）的離心率為去且過點4（龍，號）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線/與C交于不同兩點P（xi,yi）、Q（X2,），2）,且滿足*+后=4,。為坐標(biāo)原點，

則：

①△POQ的面積S^POQ是否為定值？

②橢圓C上是否存在點M（異于點P、Q）,滿足S“°Q=SAQ?！?S&MOP=?如果存在，請判

斷△PQM的形狀；如果不存在，請說明理由.

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)橢圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?江西月考）已知橢圓。的方程為/+嚓=1,則橢圓C的離心率為（）

1V2V31

A.—B.——C.—D.-

2223

【考點】求橢圓的離心率.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】B

【分析】直接根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)計算可得.

【解答】解：由已知得，J=2,b2=\,則。2=。2-廬=1,

所以C的離心率為e.=盍=孝.

故選:B.

【點評】本題主要考查求椎圓的離心率，屬廣基礎(chǔ)題.

（2025?永州三模）已知橢圓州—+=1,點F(?1,0),若直線x+入y-1=0(XtR)與橢

圓E交于4,B兩點,則AAB廠的周長為（

A.2V3C.4V3

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】。

【分析】由題意，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)求解即可.

【解答】解：易知。=2,b=V3,c=l,

所以橢圓的左焦點F（-1,0）,右焦點F'（1,0）,

因為直線的方程為x+U-1—0,

即Xy+（x-1）=0,

此時直線過點F'（1,0）,

則的周長C=AF+A尸+BF+BF'=2a+2a=4a=8.

故選：

【點評】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2025?保山校級二模）若嘀圓C—4-77=1（?>/>>（））的上頂點與右頂點的連線人垂直于下

a2匕2

頂點與右焦點連線，2,則橢圓的離心率6為（）

1BYVs-iV3

A.-c.-----D.

222T

【考點】求橢圓的離心率.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】c

【分析】利用已知條件，通過斜率乘積為-1,轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可.

y2

【解答】解：橢圓C—+77=1Ca>b>0）的上頂點與右頂點的連線人垂直于下頂點與右焦點

a2b2

連線/2,

可得一、［=-1，所以"=從=。2-耕，

可得因為改（0,1）,所以解得6=與1.

【點評】本題考杳橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考杳.

4.（2025春?東莞市校級月考）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為尸（1,0）,離心率等于點則

。的方程是（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+-F=1

344V3

x2y2x22

C.—+—=1D.—+y2=i

434J

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再通過己知條件建立方程即可求解.

【解答】解：???橢圓C的中心為原點，又右焦點為尸（1,0）,

42/2

?二設(shè)橢圓C的方程為我+京=1>（?>/?>（））,

則42-/=°2=],乂離心或6=5=2，C=1?

v4.乙

:.Q=2,1^=(?-<?=4-1=3,

x2y2

???橢圓。的方程是7+-=1.

43

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

%2y2

5.（2025春?毫州校級期末）已知橢圓二十J=1的兩焦點分別為Fi,點P為橢圓上任意一

48

點，則|PR|+|P放|的值為（）

A.2B.272C.4D.472

【考點】橢圓的定義.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件求得4,利用橢圓的定義求得正確答案.

【解答】解：由已知得，。=2企，由橢圓的定義可得|PFI|+|P/2|=2Q=4&.

故選：D.

【點評】本題主要考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2024秋?潮州期末）若橢圓C：各y2=i（Qi）的離心率為字則。=（）

【考點】由橢圓的離心率求解方程或參數(shù).

【專題】整體思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)給定條件，利用離心率的意義求出。值.

=坐，解得。=2.

【解答】解：依題意,

故選：D.

【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2025?巧家縣校級模擬）已知橢圓C：-r+77=1,稱點P（xo,vo）和直線/：+=唱=1

a2b2a2b2

是橢圓C的一對極點和極線，每一對極點與極線是一一友應(yīng)關(guān)系.當(dāng)戶在橢圓外時，其極線/是

橢圓從點尸所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）.結(jié)合閱讀材料叵答下面的

XV

問題:已知P是直線產(chǎn)-5+4上的一個動點，過點P向橢圓C：77+-=1引兩條切線，切點

164

分別為M，N,直線MN恒過定點7,當(dāng)MT=TN時，直線MN的方程為()

A.A+2),-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維.

【答案】A

【分析】根據(jù)極點極線的定義，寫出極點坐標(biāo)和極線方程，再利用切點弦和弦中點斜率乘積為定

值，得直線MN的方程.

1xx(—―%o+4)y

【解答】解：設(shè)PCs—/o+4),則MN的直線方程為：-77+—^———=1,

/164

整理得刈(x-2y)+165--16=0,

由｛第3：黑?解得［三定點”，1),

"*T11

MT=TN,則7'為MN中點，kMN-k0T=-^所以/^可=一方

MN：y—1=—i(x—2),ERx+2y-4=0.

故選：A.

【點評】本題考查直線與楙圓的綜合應(yīng)用，屬于簡單題.

%2y2

8.(2025?喀什市模擬)直線過橢圓：—+77=1(?>0,b>0)的左焦點r和上頂點4與圓心

a2b2

在原點的圓交于P,Q兩點，若而=3而，ZPOQ=\20°,則橢圓離心率為()

1V3V7V21

A.-B.—C.—D.-----

2337

【考點】求橢圓的離心率：橢圓與平面向量.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)求出直線PQ的斜率，再根據(jù)A,尸的坐標(biāo)得出直線PQ的斜率，從而得出

6c?的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

【解答】解：???橢圓的焦點在x軸上，??“>力>0,

：.F(-c,0),A(0,b),

xv

故直線FA的方程為一+r=1,HPbx-cy+bc=0.

-cb

過O作尸Q的垂線OM,則M為PQ的中點，

\*ZPOQ=\20°,，/OPM=30°,

OMn

-----=tan30"=-5-,

PM-----------------3

VPF=3FQ,???尸是MQ的中點，

?'?直線PQ的斜率k=tnnZMFO=常落=2*~^=~，

b2\/3「；______,-

=---,不妨令力=2，5,C=3,則4=V62+C?=JU,

c3

???橢圓的離心率6=(=亨.

故選：D.

【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?邵陽模擬）己知。是橢圓E：1+。=1上一點，為、尸2為其左、右焦點，且4

RP尸2的面積為3,則下列說法正確的是（）

A.P點縱坐標(biāo)為3

B.△尸|尸放的周長為4（或+1）

7

C.COSLFXPF2=25

D.的內(nèi)切圓半徑為2

【考點】橢圓的焦點三角形.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】BCD

【分析】利用三角形的面積公式可判斷A選項；利用橢圓的定義可■判斷臺選項；設(shè)/八戶尸2=仇

利用三角形的面積公式、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于sin。、cos。的方程，解

出cos。的值，可判斷C選項；利用等面積法可判斷。選項.

【解答】解：對于A選項，在橢圓心1+0=1中，

**a=2V2,b=2,:.c=Va2-b2=2,

A|FIF2|=2C=4,則尸1(-2,0)、Fl(2,0),如圖,

5

1Q

設(shè)點尸（）〃，〃），=2XI&F2IX|九|=2|八|=3,工九=±2，故選項4錯誤;

對于8選項，由橢圓的定義可知,

△FiPE的周長為2a+2c=4V2+4=4(V2+1),故選項B正確;

對于C選項，設(shè)/為尸放=8,S“1Pa=/|PF]|“PF2|si7ie=3,可得|PFi|?|PB|sine=6.

仍無『+仍尸2|2一|力尸2『―（伊&1+萬手21）2一1%々|2-2仍產(chǎn)止田尸21

由余弦定理可得cos。=

2\PF1\-\PF2\-2\PF^\PF2\

4a2-4c22b28

=1

2|PF1||PF2r=IPFiHPF21T=1WW

所以cos。=—I----1=sind—1,

sinO

cosO=^sind-1

|sni0=

解得《

cos284-sin2O—1?故選項C正確;

IcosO=

!sin9>0

對于。選項，設(shè)△為PP2的內(nèi)切圓半徑為r,

則S^FIPF2=.（4&+4）=3,

工廠=水|筋=|（注-1），故選項。正確?

故選：BCD.

【點評】本題主要考查橢圓的焦點三角形，屬于中檔題.

%2y2

（多選）10.（2024秋?棗強縣校級期末）橢圓一+—=1的焦距為4,則機的值可能是（）

m8

A.12B.10C.6D.4

【考點】由橢圓的焦點焦距求解橢圓方程或參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】AD

【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中。2=廿+°2即可求解.

【解答】解；因為橢圓的焦距為2c=4,則c=2,

當(dāng)焦點在y軸上時，0＜加＜8,“2=8,b2=m,

由?2=/?2+c2,即8=/n+22,解得〃?=4.

當(dāng)焦點在x軸上時，/〃＞8,『=〃?，廬=8,

由a2=b2+c1,即加=8+2?=12,解得m=12；

故m=4或12.

故選：AD.

【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)11.(2024秋?新疆期末)下列說法中正確的是()

A.已知Fi(-4,0),Fl(4,0),平面內(nèi)到尸i,3兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段

B.已知為(-4,0),F1(4,0),平面內(nèi)到為，放兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓

C.平面內(nèi)到點Fl(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到人，放的距離之

和的點的軌跡是橢圓

D.平面內(nèi)到點尸I(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓

【考點】橢圓的定義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.

【解答】解：對于A,???|尸/2|=8,

???平面內(nèi)到為，丘2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段，故A正確，

對于B,到e兩點的距離之和等于6,小于尸尸2|,這樣的軌跡不存在，故B錯誤，

對于C，點M(5,3)到Fi,正2的距離之和為J(5+4)2+32+J(5-4尸+32=4傾＞|R尸2|

=8,其軌跡為橢圓，故C正確，

對于。，軌跡為線段FIF2的垂直平分線，故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題主要考查了楙圓的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)12.(2024秋?保山期末)已知Q,尸2為橢圓C：5+1=1的左、右焦點，點P是橢圓C

上的動點，則下列說法正確的是()

A.IW|P及|W3

B.橢圓。上存在點，使得

C.若直線/：y=kx(^0)與橢圓C相交于A、B兩點,則忸若|+|"1|=4

D.若乙F、PF2=W，則△/□出的面積為3

【考點】橢圓的焦點三角形；橢圓的焦點弦及焦半徑.

【專題】整體思想；綜合法：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】AC

【分析】由焦半徑范圍公式。?cW|P尺|Wa+c即可求解判斷A；求出焦三角中NQP&最大值即可

判斷以由對稱性得|8四|=另乃|,再結(jié)合橢圓定義即可求解判斷C,對于。，法一：由橢圓定義結(jié)

171

合余弦定理求出IPF1IIP正2|即可由面積公式求解］|P%||PF21s出餐求解.

【解答】解：對于A，當(dāng)點P為橢圓。的左頂點時，仍放取得最大值〃+c=3；

當(dāng)點P為橢圓C的右頂點時，|PA|取得最小值a-c=\,

則10P"2區(qū)3,

故A正確；

對于8,記M,N分別為橢圓。的上、下頂點，

則點P與點M或N重合時/QPF2最大，

易知附尸||=眼尸2|=|尸1放|=2,AFIMF2為正三角形，

則(/FiPFz)〃心=60",

所以橢圓。上不存在點。使得NF1P尸2—90°,

故8錯誤；

對于C,由橢圓的對稱性知，四邊形AQB也為平行四邊形，

所以|BFi|=|A尸2|,

從而由橢圓的定義得|4尸1I+IB尸i|=|AFi|+|A尸2|=24=4,

故C正確；

對于。，因為|PQ|十甲"2|=4①，

22

又在△尸F(xiàn)/2中，|P0|2+\PF2\-2\PF1\\PF2\COS^=\F-F2\=4,

2

即乃中，|尸F(xiàn)/2+|PF2|-\PFl\\PF2\=4②，

聯(lián)立①②得|PF1||PF2|=4,

則△QP「'2的面積為工|PFX||PF2|sin—=—x4x—=\J3.

2322

所以。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

二.填空題（共4小題）

32y2

13.（2025春?崇明區(qū)期末）橢圓了+y=1的兩個焦點之間的距離為2.

【考點】求橢圓的焦點和焦距.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】2.

【分析】確定橢圓焦點坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：由橢圓方程丁+（=1可知：。2=4,廬=3,

JJfttc2=?2-b2=\,即c=l,

所以兩個焦點之間的距離為2c=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查橢圓的焦距的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2025春?寶山區(qū)校級期末）橢圓9，+25v2=225的短軸的長是6.

【考點】橢圓的長短軸.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】6.

【分析】方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出從求解即可.

【解答】解：方程9/+25/=225化為標(biāo)準(zhǔn)方程為盤+卷=1，

所以戶=9,故22=6,

所以橢圓的短軸的長為6.

故答案為；6.

【點評】本題主要考查橢圓的長短軸，屬于基礎(chǔ)題.

%2y2

15.（2025?湖南模擬）已知桶圓C：—+—=1上一動點到其兩個焦點的距離之和為2加，則m=

m9

3.

【考點】根據(jù)定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解.

【答案】3.

【分析】由題意可知橢圓的焦點在x軸上，或在y軸上，結(jié)合橢圓的定義列式求出機的值，可得

答案.

【解答】解：①若橢圓的焦點在上軸上，則。2=，〃>9,

由橢圓的定義得2a=2，〃，

即\[m=m,解得m=I,不符合題意，舍去；

②若橢圓的焦點在），軸上，則0Vm<9,A2=9,q=3,

由橢圓的定義得2〃=2"?=6,解得機=3.

故答案為：3.

【點評】本題主要考查橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2024秋?海南州期末）已知地球運行的軌道是橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，若地球

到太陽的最大和最小距離分別為1.53X10%〃，147X10%〃，則這個橢圓的離心率為0.02.

【考點】求橢圓的離心率.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】0.02.

【分析】由題意，設(shè)該橢圓的長軸長為2辦焦距為2c,結(jié)合橢圓的定義以及離心率公式進(jìn)行求解

即可.

【解答】解：設(shè)該橢圓的長軸長為2a,焦距為2c,

因為若地球到太陽的最大距離為1.53X10%〃，最小距離為I.47X10%〃，

所以『+c=

—c=1.47x108

8

解得a=1.5X108,c=0.03X10,

g

則這個橢圓的離心率e=5=QQ3X1（l=0.02.

a1.5X108

故答案為:0.02.

【點評】本題考查求橢圓的離心率，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.（2025?武功縣校級模擬）若一個三角形的三條邊均與曲線「相切，則稱這個三角形是以這三個

切點為頂點的三角形的“「伴隨三角形”.已知橢圓心：（+y2=Qn5EN*）,且「I上的點到

4x^3

點（0,何）的距離的最大值為k.

（I）求41；

（2）若△4+1即MG1+1是史“G的“小伴隨三角形”，且A〃,Bn,Q均不與「”的頂點重合.

(i)求△A〃B〃Cn與△A〃+1B〃+1G+I的面積之比;

（近）求

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解.

【答案】<1）41=1；

1

(2)(i)-；

4

(ii)￡%

【分析】（1）設(shè)點P（A-O,川）在曲線上，用兩點之間的距離公式和基本不等式即可計算m=2

的值;

（2）（i）設(shè)點An（心/以0，%（%即，y^）,Cn（xCn，yq1直線廝+iCn+i的方程為），=h+，〃,

聯(lián)立方程再通過韋達(dá)定理即可求得面積之比；

（ii）由（i）和點41al/以/在橢圓「“及直線8〃+iC〃+i上可得直線4+1G+1,直線A〃+iC〃+i

和直線A/〃的方程，再通過直線4出〃的方程與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，得｛〃〃｝是以山=1為首

項，4為公比的等比數(shù)列即可計算.

【解答】解：（1）設(shè)點P（xo,>,o）在。:卷+y2=%上，

此時詔=4al-4弁，

因為橢圓「I上的點到點（0,何）的距離的最大值為竽，

所以點P到點（0，?。┑木嚯xd=J/+仇一?。?=yj4aL4%+（y（）-病）2

=』-3仇+等+竽，再,

當(dāng)且僅當(dāng);Yo=-'當(dāng)時，d取得最大值，最大值為4

久恒4V3

此時一^----=----,

33

所以41=1；

(2)(i)因為點A”，Bn，Cn均不與「〃的頂點重令，

所以直線Bn+lCn+1,Cn+1/1”+1?An+11的斜率均存在且不為0>

設(shè)直線B〃+|C〃+1,Cn+]An+l,4“+[5”+|與橢圓「”的切點分別為41,Bn>Cn?An(^X^nt%“)，4(%%，

Xgn)>Cn(%Cn，y<^n),直線B“+1C”+|的方程為y=Lx+〃],

y=kx+m

聯(lián)立/,消去)，并整理得(4F+1)/+85a+4冽2-4板=0,

(彳+y=Q”

z22

此時/=64k2m2—4(4k+1)(4TH—4an)=16(4%20n+c1n—m)=0,

4km

所以與“=一

4A2+1'

8km

同理得%/+1+x=

Cn+14k2+1

XD,+xr

所以當(dāng)n="+、''

即點4是線段RHICHI的中點,

同理得點B〃,。分別是線段C/14+i，4+1及+1的中點,

1

所以△A/〃Cn與△A〃+i8〃+C〃+i的面積之比為一：

4

22

(ii)由(i)知/=16(4/can+an—m)=0,

22

BP(4fc+l)an=m,

因為點4n(辦n,y/)在橢圓r〃及直線8〃+iC“+i上,

所以(41+1)(半+唬)=(yAn-kxAnyf

整理得(4攵%“+辦”)2=0,

即k=4n

4以;

所以直線B/j+iQ+i的方程為y=一就一工/)+

即尸危"笠,

同理得直線4+1&+1的方程為y=一薩%+導(dǎo)，

yBn^即

xB

所以九+1=n

：+，，ycn+1=-47-

4%力nJi

所以直線A?B?的方程為y-=-京和由十?，

即”一羲》+

Cn+1-

一立

y=4ydx+

聯(lián)立"n+1，消去y并整理得冊+1/-2xCn+1anx+4忌-4any?n+i=0,

2

彳X+V2=即

由韋達(dá)定理得4“+xB

nan+l

所以=4日十:（X/+4口）+言嘰

____________2即=4"（時+1一2。7/。皿

—2、6+］冊+1二一an+l

必n+1+與m_也u巴三±1

由（i）知，工金

2-2

同理得"“="+%-、的=一1瓦什1

1、2、,2

f2an2

所以包±2-----包巴+T)%=%

4

而+1

解得2=1或:=4,

因為I“與I”+1不重合，

所以皿=4,

an

則｛〃〃｝是以川=1為首項，4為公比的等比數(shù)列.

1_n4n1

故XMl=3^4T=T-3-

【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬

于中檔題.

18.（2025?懷寧縣校級模擬）已知橢圓C：務(wù)l（a>b>0）,若橢圓的長軸長為4且經(jīng)過點（-1,

等過點T（V5,0）的直線交橢圓于P,Q兩點.

（I）求橢圓方程；

（2）若△OPQ面積為VL求此時直線PQ的方程；

（3）若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點S（s,0）使得NPSrnNQST恒成立？若存

在，求出s的值；若不存在，說明理由.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】綜合題；對應(yīng)思想：綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維：運算求解.

22

【答案】⑴丁X+三y二1：

（2）x4-y—V3=0或％—y-V3=0；

（3）存在，s=竽.

【分析】（1）由長軸長求出4,將（一1，堂）代入橢圓方程求出。，b,得到答案：

（2）根據(jù)題意設(shè)直線PQ.?工=my4-V3,與橢圓方程聯(lián)立可得戶+”，yi”，由雇。叫=jx\0T\x

仇-%1，代入運算化簡求解；

（3）根據(jù)題意有"S+〃QS=O,轉(zhuǎn)化為2町刈力+（8一s）（yi+y2）=0,由第二問韋達(dá)定理代入運

算得解.

【解答】解：⑴因為橢圓的長軸長為4且經(jīng)過點（-1,%

13

所以2a=4,-+—=1，

42b2

解得。=2,b2=2,

x2y2

則橢圓C的方程為丁+—=

42

（2）易知直線PQ的斜率小為0,且直線PQ與橢圓必相交，

設(shè)直線PQ；x=my+x/3,P（xi,y\）,Q（X2>）2）,

x=my4-A/3

聯(lián)立/y2，消去工并整理得（血2+2亞2+26血？-1=0,

（彳+2=1

由韋達(dá)定理得力+y?=-當(dāng)普，％力=一高，

所以S?Q=2x\°T\xM-及1=5xJ（一麴=十磊=nx也I

若△OPQ面積為企，

J2m2+1廠

此時x—2Q=V2,

m"+2

解得m=±1，

所以直線PQ的方程為％+y-V3=0或％-y-V3=0；

（3）在x軸上存在點S（竿，0）使得/PST=NQST,理由如下:

因為NPST=NQST,

所以kps+kQS=0,

即g"+q=0,

xx-sx2-s

可得2肛為丫2+（V3-s）（y[+丫2）=0，

-

所以2mx（一7n2；2）+（8一s）x（^2^2）=。且

解得s=警.

故在無軸上存在點S（挈，0）,使得NPS7=NQS7.

【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬

于中檔題.

y2A/3

19.（2024秋?武強縣校級期末）設(shè)橢圓方+77=1（。＞力＞0）的左，右焦點是F\,Fz,離心率為一，

上頂點坐標(biāo)為（0，V6）.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)P為橢圓上一點，且/尸仍尸2=60°,求焦點三角形QPF2的周長和面積.

【考點】橢圓的焦點三角形；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】應(yīng)用題：整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解；新定義類.

%2y2

【答案】⑴大+-=1;

96

（2）C^pprp2=6+25/3＞5”后尸2=2^3.

【分析】（I）由橢圓的上頂點坐標(biāo)求得從由離心率及柄圓中小b,c的關(guān)系可求得從而得

橢圓的方程；

（2）根據(jù)橢圓的定義得|PFi|+|PF2|=2a及焦距長|F尸2|可得CNFFZ，由|PFI|+|PF2|=2〃平方及余弦

定理解焦點三角形，得|PFI|?|PP2|,再結(jié)合三角形面積公式求得〃”也.

【解答】解：（1）由題意：離心率為亨，上頂點坐標(biāo)為（0,V6）.

（b=y/6

如匹!_叵解得〃=3，

V-^2--T

X2V2

?二橢圓的方程為X+—=1.

96

（2）由（1）知c='a?一=逐,|F1F2|=2c=2＞/3＞

/y2

又???尸為橢圓二■+?=1上一點，???|PFi|+|Pg|=2a=6,

96

???焦點三角形FIPF2的周長C“/”2=6+2V3.

在△BP尸2中，由余弦定理，得|尸/2『=|PFI|2+|PF2|2-2|PF]|?|PF21cos60。，

2

即|P&|2+\PF2\-\PF1\^\PF2\=12①，

由|Pg|+|PP2|=6平方，得|PF]『+|PF2|2+2|PFi|?|PF2l=36②，

②-①，整理得|PF1|?|P戶2|=8,

所以三角形F\PF2的面積=*|PFI|?|PF21s）60。=4X8x亨=2百.

【點評】本題考杳橢圓的焦點三角形，屬于中等題.

20.（2025春?重慶校級月考）已知橢圓C：盤+馬=l（a＞力＞0）的離心率為右且過點/（應(yīng)，乎）.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若直線/與C交于不同兩點P（M,），i）、Q（X2,”），且滿足*+后=4,0為坐標(biāo)原點，

則：

①△尸0Q的面積S?o0是否為