高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)直線與方程

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?商丘期末）若直線/的一個(gè)方向向量為（1,-遙），則直線/的傾斜角6的值是（）

2.（2025春?安徽月考）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-V5,0）,傾斜角是直線x=-1的傾斜角的點(diǎn)則直線/的

方程為（）

A.x-V3y4-V3=0B.x—y+V3=0

C.y/3x-y+3=0D.x+V3y+V3=0

3.（2025春?寧波期末）已知直線/過(guò)點(diǎn)P（2,2）且傾斜角為135°,則點(diǎn)Q（?2,0）到直線/

的距離為（）

A.V2B.2V2C.3V2D.4^2

4.（2025春?鹽城期末）直線%-6y+1=0的傾斜角為（）

27157rTC71

A.—B.—C.-D.一

3636

5.（2025春?長(zhǎng)沙期中）已知直線nv:+3y+in-1=0與直線x+（ni+2）y+2m-2=0平行，則m的值

為（）

A.3B.-3C.1或-3D.-1或3

6.（2025?包頭模擬）已知直線/：2*-y=0的一個(gè)方向向量為向量b=（m,—4）,若a與b是共

線向量，則實(shí)數(shù)〃?的值為'：）

A.-2B.2C.-8D.8

7.（2025?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）“m=?4”是“直線A：（〃?-2）x-3），-1=0與直線及：〃?x+（m+2）

戶(hù)■1=0相互平行”的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

8.（2025春?新鄉(xiāng)期中）若直線M.），+1=0與/2：A-（2+a）尹1=0互相垂直，則〃=（）

A.0B.-3C.-1D.-2

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?河南模擬）已知AOAB為等腰直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4在第一象限,

點(diǎn)B在第四象限，乙40B=*,若直線Q4,OB,AB的斜率都存在，記直線Q4,OB,的斜率

分別為Ai,上，心，則Ai,匕，心的關(guān)系可能為（）

A.ki>k2>k3B.k3>h>k2C.ki>k3>k2D.k3>k2>k\

（多選）10.（2024秋?溫州期末）已知直線A：x+（1+a））=2-。與/2：2ar+4y=-16,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若4=1時(shí)，則/1〃/2

B.若4=?2時(shí)，則人與/2重合

C.若。二一￡時(shí)，則/l_L/2

D.若。=0時(shí)，則人與/2交于點(diǎn)（6,-4）

（多選）11.（2025?湖北模擬）己知直線/i：ax-y+l=0,/2：x+ay+l=0,以下結(jié)論正確的

是（）

A.不論〃為何值時(shí)，人與，2都互相垂直

B.當(dāng)。變化時(shí)，/I與/2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0,1）和B（-1,0）

C.不論。為何值時(shí)，人與!2都關(guān)于直線x+〉=0對(duì)稱(chēng)

D.如果人與/2交于點(diǎn)M，則|MO|的最大值是企

（多選）12.（2025春?北侖區(qū)校級(jí)期中）直線/：xsine-y+3=0（6GR）的傾斜角可以為（）

57r37rnn

A.—B.—C.-D.一

6436

三.填空題（共4小題）

13.（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)八-3m-1）,9（-2,〃?+2）,

0,若。、A、8三點(diǎn)共線，則線段A8上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為.

14.（2025春?寶山區(qū)校級(jí)月考）直線2x+y+5=0在x軸上的截距是.

15.（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若直線2yH=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么。的值等

于.

16.（2025?湖北模擬）直線A：x-），+l=0與直線%：75%-y+2025=0的夾角為.

四.解答題（共4小題）

17.（2025春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABC。中，E,尸分別為邊AB,C。的中點(diǎn)，AB//

CD,記AC,相交于點(diǎn)

（1）試用總、麻表示麻；

（2）證明：E,M,/三點(diǎn)共線.

F

DC

△J

AEB

18.(2025春?北侖區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的頂點(diǎn)A(-4,2).

(1)若AC邊上的高BE所在的直線方程為x-3y+10=0,求邊AC所在的直線方程；

(2)若AB邊上的中線CF所在直線方程為x+2v-5=0,的平分線BD所在的直線方程為y

=2x,求邊8C所在的直線方程.

19.(2025春?寶山區(qū)校級(jí)期中)已知點(diǎn)P(l,2),直線/：2x-y-1=0.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)。且與直線/平行的直線的方程；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線/垂直的直線的方程.

20.(2024秋?寧城縣期末)已知△/WC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,0),8(4,2),C(l,3).

(1)求過(guò)點(diǎn)C且與直線48平行的直線的方程；

(2)求BC邊上的高所在直線的方程.

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】先求出直線/的方程，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)P（2,2）且傾斜角為135。，則直線/的方程為y-2=-5-2）,

即x+y-4=0,

點(diǎn)。（-2,0）到直線/的龍離d==3<2.

v2

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2025春?鹽城期末）直線x-V5y+l=0的傾斜角為（）

27157r7T7T

A.—B.——C.-D.-

3636

【考點(diǎn)】有線的傾斜角.

【專(zhuān)題】方程思想；分析法；直線與圓.

【答案】。

【分析】求出直線的斜率，由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求值.

【解答】解：直線1^），+1=0的斜率為依冬

設(shè)傾斜角為。，可得tana=字，

由OWaVn,且aH

可得a=也

O

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2025春?長(zhǎng)沙期中）已知直線mx+3y>+m-1=0與直線.什（相+2）y+2m-2=0平行，則m的值

為（）

A.3B.-3C.1或-3D.-1或3

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)兩條直線平行列出方程，再代入驗(yàn)證即可.

【解答】解:因?yàn)橹本€g+3y+/〃-1=0與直線x+（加+2）y+2〃?-2=0平行，

所以1X3=m(〃?I2)?解得m=1或〃?=-3；

當(dāng)〃?=?3時(shí)，兩條直線為：3x-3.y+4=0,x?y-8=0兩條直線平行，

當(dāng)〃?=1時(shí)，兩條直線為：工+3y=0,x+3y=0兩條直線重合，舍去.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2025?包頭模擬)已知直線/：-y=0的一個(gè)方向向量為向量匕=(m,-4),若：與b是共

線向量，則實(shí)數(shù)〃?的值為()

A.-2B.2C.-8D.8

【考點(diǎn)】平面中直線的方向向量和法向量；平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】先求得上由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【解答】解：由已知可得之=(L2),

因?yàn)橹cb是共線向量，所以IX(-4)?2〃?=0,所以m=-2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方向向量，向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2025?楊浦區(qū)校級(jí)模擬)“〃?=-4”是“直線/1：(〃?-2)x-3)，-1=0與直線及：〃氏+(m+2)

肘1=0相互平行”的()

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法：直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行的條件建立方程求出〃2,再檢驗(yàn)即可得解.

【解答】解：若直線/1：(in-2)x-3y-1=0與直線/2：nix+(m+2)y+\=0相互平行，

貝(w-2)X(m+2)=wX(-3),且-3X1H-1X(w+2),

即-4=0,日機(jī)#1,解得〃?=-4,

所以“析=-4”是“直線4：(/w-2)x-3y-1=0與直線/2：加計(jì)(〃?+2)y+l=()相互平行”的

充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2025春?新鄉(xiāng)期中）若直線A：x-y+l=0與/2：x-（2+a）y+1=0互相垂直，則。=（）

A.0B.-3C.-1D.-2

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】由兩條直線垂直的充要條件，可得。的值.

【解答】解：因?yàn)橹本€A：x-），+l=0與/2：X-（2+a）產(chǎn)1=0互相垂直，

所以1X1+（-1）X[-（2+a）]=0,

解得a=-3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線垂直的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?河南模擬）已知△ORB為等腰直角三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，

點(diǎn)3在第四象限，4力。8=看若直線OA,OB,A8的斜率都存在，記直線。A,OB,A3的斜率

分別為內(nèi)，ki,k3,則％,ki,k3的關(guān)系可能為（）

A.k\>ki>k?.B.h>k\>kiC.k\>k3>kiD.h>ki>k\

【考點(diǎn)】直線的斜率.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】AB

【分析】由題意，分兩種情況討論，結(jié)合斜率與夾角關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤，可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，有如下兩種情況：

,nn,

①當(dāng)一V乙40xV一時(shí)，燈>1>0>七>依；

42

②當(dāng)O-AOxV飄，依>1>口>0>上.

對(duì)照各項(xiàng)，可知AB兩項(xiàng)符合題意.

故選:AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率與傾斜角，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2024秋?溫州期木）已知直線A：x+（1+a）v=2-aI2：2ax+4y=-16>則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.若。=1時(shí)，貝量〃/2

B.若4=-2時(shí)，則人與/2重合

C.若。=一五時(shí)，則八_1_/2

D.若。=0時(shí)，則/1與/2交于點(diǎn)（6,-4）

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；兩條直線平行與傾斜角、

斜率的關(guān)系.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】ABCD

【分析】由”的值，分別求出兩條直線的方程，逐一判斷所給命題的真假.

【解答】解：直線Zi：x+（1+?）y=2-。與，2：2ax+4y=-16,

A中，當(dāng)。=1時(shí)，直線八：x+2y=l與/2：x+2>-=-8,可得兩條直線斜率相同，在），軸上的截距

不同，可得兩條直線平行，所以A正確；

4中，當(dāng)。=-2時(shí)，直線八：工-丁=4與/2：x-y=4,貝!這兩條直線重合，所以6正確；

C中，當(dāng)〃=一］時(shí)，直線八：與，2：-1A+_>'=-4,則一11+11=0,可得兩條直線垂

直，所以C正確；

。中，若。=0時(shí)，直線/i：x+y=2與/2：y=-4,聯(lián)立可得x=6,y=-4,

i工十y一乙

即兩條直線的交點(diǎn)為（6,-4）,所以。正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線平行，垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，兩條直線交點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)II.(2025?湖北模擬)己知直線Zi；axy\1=0,，2；xiayi1=0,aWR,以下結(jié)論正確的

是()

A.不論。為何值時(shí)，”與/2都互相垂直

B.當(dāng)。變化時(shí)，/I與/2分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,1)和8(?1,0)

C.不論〃為何值時(shí)，/I與！2都關(guān)于直線x+)=0對(duì)稱(chēng)

D.如果人馬/2交于點(diǎn)M,則|MO|的最大值是企

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,利用兩條直線垂直的充要條件，即可求解，對(duì)于8,求出兩條直線恒過(guò)的定點(diǎn)坐

標(biāo)，即可求解，對(duì)于C,利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可求解，對(duì)于D,先求出兩條直線的交點(diǎn)

M的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求解.

【解答】解：對(duì)于A，'?,直線八：ax-y+\=0,h：x+ay+i=0,

又?.?aXl+(-I)Xa=0,

???無(wú)論。為何值，八與/2都互相垂直，故人正確,

對(duì)于直線八：ai-y+l=0,

當(dāng)x=0時(shí)，y=\,

則直線人恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),

直線/2：x+ay+1=0,

當(dāng)j=0時(shí)，x=-1,

則直線/2恒過(guò)定點(diǎn)(-1,()),故4正確,

對(duì)于C,設(shè)直線"-y+l=0上任意一點(diǎn)P(X,y),

則點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)為。(-y,?x),

將點(diǎn)P'(-y,-x)代入直線/2：x+qy+l=0,可得ax+y-l=0,與點(diǎn)尸在直線/i上矛盾,

-a—1

MM或，解得、二E

對(duì)于D,聯(lián)立方程組

一a+1'

、」而

故M(a2+l'a2+l)'

則叫OUj(哥)*舒2=工企，

所以|MO|的最大值是VL故。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了宜線與直線的位置關(guān)系，動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線與直線垂直的充要

條件的應(yīng)用，直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，屬于中檔題.

（多選）12.（2025春?北侖區(qū)校級(jí)期中）宜線/：xsin8-y+3=0（0GR）的傾斜角可以為（）

57137r7T71

A.—B.-C.-D.—

6436

【考點(diǎn)】直線的傾斜角.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法：直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】由題易知攵二^^曰-1,1],結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系可得的傾斜角的范圍.

【解答】解：將直線/整理為：尸sinBx+3,

假設(shè)直線/的傾斜角為a,則a日0,IT）,

則左=tana=sin86[-1,1],

當(dāng)2日?1,0）時(shí)，則aW[^—,n），

當(dāng)810,1]時(shí)，則aW[0,-].

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角的范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題（共4小題）

13.（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A（〃汁1,-3〃L1）,3（-2,〃?+2）,〃?>

0,若0、A、4三點(diǎn)共線，則線段A4上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-5）.

【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】（2,-5）.

【分析】首先根據(jù)三點(diǎn)共線可得以2。八=心處進(jìn)而求得加的值，可求而的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線

定理與向量加法運(yùn)算即可求解.

【解答】解：因?yàn)锳-3〃?-1）,8（-2,加+2）,

又因?yàn)?、A、8三點(diǎn)共線，

即(m+1)(m+2)=2(3m+1),

整理可得m~-3〃?=0,〃?>0,

解得機(jī)=3,

即4(4,-10),B(-2,5),所以48=(-6,15)；

可得04=(4,-10),。8=(-2,5),

設(shè)線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為C,

TT1T

則。。=04+翅8=(2,-5),

可得C(2,-5).

故答案為：(2,-5).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查用斜率相等表示三點(diǎn)共線及三等分點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5

-

14.(2025春?寶山區(qū)校級(jí)月考)直線2什)，+5=0在x軸上的截距是2

【考點(diǎn)】直線的截距式方程.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】一今

【分析】令y=0即可求解.

【解答】解：直線2x+.v+5=0,令y=()可得工=一￡

5

-

故答案為:2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末)若直線辦+2〉計(jì)1=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于

2.

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解:直線ax+2y+l=0與直線1+)，?2=0互相垂直，

則〃X1+2X1=O,解得a=-2

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2025?湖北模擬)直線/I：x-y+l=0與直線Kx-y+2025=0的夾角為15"

【考點(diǎn)】?jī)芍本€的夾角與到角問(wèn)題.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】150.

【分析】結(jié)合直線的夾角公式即可求解.

【解答】解：設(shè)直線八：葉1=0與直線Z；6x-y十2025-0的夾角為a,

貝ljtana=二2一百，

則a=15°.

故答案為：15°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.（2025春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCO中，E,尸分別為邊人氏CO的中點(diǎn)，AB//

CD,記AC,相交于點(diǎn)M.

（I）試用M%、詁表示麻；

（2）證明：E,產(chǎn)三點(diǎn)共線.

【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線.

【答案】（1）譏=2（晟+薪）；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（I）結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則，即可求解；

（2）結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：（1）因?yàn)镋為A8的中點(diǎn)，所以旗=病,

則加=MA+AE=MA+EB=MA+MB-ME,

故詁=3而+標(biāo)）.

（2）證明：設(shè)人8=%COa#0）,

乂因?yàn)锳B〃C7）,

所以八=攵&，BM=kMD,

由（1）知癡=2（而+麻），

同理而=:（茄+麻），

1TT卜——

其中3(MA+MB)=--(MC+MD),

所以=故E,M,尸三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬「基礎(chǔ)題.

18.(2025春?北侖區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)4(-4,2).

(1)若AC邊上的高8E所在的直線方程為x-3y+10=0,求邊AC所在的直線方程；

(2)若AB邊上的中線CF所在直線方程為A+2.V-5=0,ZB的平分線BD所在的直線方程為y

=2x,求邊8C所在的直線方程.

【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用垂直關(guān)系得到直線AC的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解即可；

(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo).利用已知信息求得點(diǎn)/?坐標(biāo),再求點(diǎn)A關(guān)于直線8。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),由兩點(diǎn)式可求

直線方程.

【解答】解：(1)若AC邊.上的高所在的直線方程為x?3)，+10=0,

則嚷=1則履c=?3,

因A(-4,2),

則直線AC的方程為y-2=-3(x+4),即y=-3x-1().

(2)設(shè)點(diǎn)B(a,力)，頂點(diǎn)A(-4,2).

則線段AB的中點(diǎn)為(嶗，竽)，

將其代入CT所在直線方程x+2y-5=0中，得a+2b=10,

將點(diǎn)B代入BO所在的直線方程y=2x中，得b=2a,

解得a=2,0=4,即B(2,4),

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線)=2t對(duì)稱(chēng)得點(diǎn)A'(〃?，〃)，

(n-2=1

則|噌一得1瓶=4即A'(4,-2),

n+2c血-4In=-2