2從立體圖形到平面圖形

課程：初中數(shù)學(xué)

教材：初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級上冊

章節(jié)：2從立體圖形到平面圖形

課標(biāo)分析

這段教材內(nèi)容對應(yīng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心要

求，重點培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)。課標(biāo)要求學(xué)生通過展開與折疊活動理解立體

圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（如正方體11種展開圖、棱柱展開圖特征），掌握圓柱圓錐

側(cè)面展開圖性質(zhì)（長方形和扇形），探究截面形狀（如正方體截面可能得到三角形到

六邊形），并通過觀察三視圖（主視、左視、俯視）發(fā)展空間想象能力。這些活動強調(diào)”

做中學(xué)”，要求學(xué)生在動手操作中積累幾何活動經(jīng)驗，建立二維與三維空間的對應(yīng)關(guān)系，

為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何體表面積和體積計算奠定基礎(chǔ)。

教材分析

本節(jié)課”從立體圖形到平面圖形”通過展開與折疊、微面觀察、三視圖識別等活動，引導(dǎo)學(xué)

生探索立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念和幾何直觀。教學(xué)過程以

動手操作和合作交流為主，學(xué)生通過觀察、猜想、驗證等方式逐步理解圖形的本質(zhì)特征。

本節(jié)內(nèi)容承接小學(xué)階段對簡單幾何體的認(rèn)識，為后續(xù)初中幾何中三視圖、幾何體表面積與

體積計算等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。本節(jié)課的作用在于提升學(xué)生的空間想象能力、動手操作能力和

合作探究能力，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何相關(guān)知識做好鋪墊，具有承上啟下的重要作用。

學(xué)情分析

七年級學(xué)生已初步認(rèn)識常見的立體圖形與平面圖形，具備?定的空間觀念和動手操作能

力，為學(xué)習(xí)《從立體圖形到平面圖形》奠定了基礎(chǔ)，同時，這個年齡段的學(xué)生好奇心強、

樂于動手，但空間想象能力尚在發(fā)展中，面對展開圖與截面形狀等問題時可能存在一定困

難，需要通過動手操作、直觀演示和小組交流逐步建立空間觀念，本節(jié)課要求學(xué)生通過觀

察、操作、想象和推理，理解立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學(xué)

活動經(jīng)驗，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何體的三視圖和立體幾何知識打下基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)

I.了解立體圖形與平面展開圖之間的關(guān)系，掌握正方體、棱柱、圓柱、圓錐的展開與

折疊規(guī)律，提升空間觀念與幾何直觀核心素養(yǎng)，發(fā)展邏輯推理和空間想象能力。

2.通過截幾何體的活動，理解截面的概念與形狀變化，掌握正方體截面的可能形狀，

培養(yǎng)觀察、分析與歸納能力，增強直觀想象與數(shù)學(xué)建模意識。

3.學(xué)會從不同方向觀察幾何體并繪制三視圖，掌握由視圖還原幾何體的方法，提升圖

形表達(dá)與邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)交流與合作意識，增強空間思維與問題解決能

力。

重點難點

重點：

掌握常見立體圖形的展開與折疊，理解截面形狀及從不同方向看幾何體的形狀圖。

難點：

判斷展開圖能否圍成立體圖形，確定微面形狀及根據(jù)形狀圖搭建幾何體。

課前任務(wù)

1.知識回顧：

上節(jié)課我們認(rèn)識了常見立體圖形，回憶下常見立體圖形有哪些，比如正方體、棱柱、圓

柱、圓錐等。簡單說說它們的特征，鞏固對立體圖形的認(rèn)知。

2.預(yù)習(xí)教材：

閱讀教材從立體圖形到平面圖形相關(guān)內(nèi)容，了解正方體、棱柱展開圖，圓柱、圓錐側(cè)面展

開形狀，以及截面和從不同方向看幾何體形狀圖等知識。將重點和疑問記錄在預(yù)習(xí)筆記

上。

3.問題思考：

一個正方體沿棱剪開，你覺得會有多少種不同形狀的展開圖？用平面去截正方體，除了三

角形，還可能截出什么形狀的截面？思考并嘗試找找答案。

課堂導(dǎo)入

同學(xué)們，在生活中我們隨處可見各種立體圖形，像魔方、柱子、漏斗等。那大家有沒有想

過，如果把這些立體圖形“變扁”，會得到什么樣的平面圖形呢？比如說，假設(shè)我們是技藝

高超的工匠，要把正方體的表面像剝橘子皮一樣展開，它會呈現(xiàn)出怎樣不同的平面圖形組

合呢？又比如，我們拿著一把神奇的“刀”，用平面去截一個正方體，切出來的截面會是什

么形狀？而從不同方向觀察一個由小立方塊搭成的物體，看到的形狀圖又有什么不同？今

天,就讓我們一起走進(jìn)“從立體圖形到平面圖形”的奇妙世界，探索其中的奧秘。

從立體圖形到平面圖形

探究新知

（一）知識精講

首先我們來看正方體的展開圖。將一個正方體的表面沿某些棱剪開，可以得到多種不同的

平面展開圖。觀察圖1?9中的展開圖，你能發(fā)現(xiàn)這些展開圖有什么共同特點嗎？

這些展開圖都是由6個正方形組成的，且每個正方形都與相鄰的正方形共用一條邊。通過

折疊這些展開圖，可以重新組成一個完整的正方體。圖1-10展示了幾種不同的展開圖，

同學(xué)們可以嘗試判斷哪些圖形經(jīng)過折疊能夠圍成一個正方體。

(1)(2)

接下來我們觀察棱柱的展開圖。將棱柱沿某些棱剪開，可以得到由兩個多邊形底面和若干

個矩形側(cè)面組成的展開圖。如圖1?12所示，這是一個棱柱的展開圖，同學(xué)們可以思考如

何通過折疊將它還原成立體圖形。

教師繼續(xù)引導(dǎo)：觀察圖1-19中的截面，你能說出它們分別是什么形狀嗎?

（三）設(shè)計意圖

通過觀察和操作立體圖形的展開與折疊過程，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀素養(yǎng)。

讓學(xué)生在實際操作中理解立體圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，掌握判斷展開圖能否折疊

成立體圖形的方法。通過截面問題的探究，幫助學(xué)生建立空間觀念，理解幾何體在不同角

度截取時的變化規(guī)律。這種從具體到抽象的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的幾何知識體

系，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

新知應(yīng)用

例1題目:

圖1-10中的圖形經(jīng)過折疊能否圍成一個正方體？你是如何判斷的？與同伴進(jìn)行交流。

(1)

解答：

我們可以通過觀察圖形中正方形的排列方式來判斷是否能折疊成一個正方體。

一個正方體的展開圖必須滿足以下條件：

1.有6個正方形，且每個正方形代表一個面；

2.這些正方形的排列方式必須符合正方體展開圖的11種標(biāo)準(zhǔn)形式之一；

3.不能出現(xiàn)“田字形”或“U形”等無法折疊成正方體的結(jié)構(gòu)。

觀察圖I/O中的圖形，它由6個正方形組成，排列方式為“一”字形，即6個正方形排成

一行。

分析如下：

?正方體展開圖中，如果6個正方形排成一行，這種結(jié)構(gòu)是不能折疊成正方體的；

?因為正方體的6個面中，必須有一個面作為底面，其余5個面圍繞它折疊形成側(cè)面

和頂面，而“一”字形無法滿足這種折疊要求；

?實際上，這種圖形擰疊后只能形成一個長條形的結(jié)構(gòu)，無法閉合成一個立方體。

因此，圖1-10中的圖形不能折疊成一個正方體。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

?正方體展開圖的識別；

?空間想象能力與圖形折疊判斷能力。

2.題目求解要點

?熟悉正方體展開圖的11種標(biāo)準(zhǔn)形式；

?排除不能折疊成正方體的常見錯誤結(jié)構(gòu)（如“一”字形）；

?通過空間想象或動手折疊驗證判斷。

例2題目:

圖1-11中的圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個正方體形的盒子。折好以后，與“1”面相鄰的面是

什么？相對的面是什么？

解答:

圖1-11是一個標(biāo)準(zhǔn)的正方體展開圖，其中各面編號為1到6o

我們先確定編號為1的面在折疊后的位置關(guān)系:

1.相鄰面的判斷：

O在展開圖中，與面1直接相連的面有：2、3、4、5；

o折疊后，這些面會圍繞面1分布，因此它們都是與面1相鄰的面。

2.相對面的判斷：

o在正方體展開圖中，如果兩個面之間隔著一個面，那么它們在折疊后是相對

的；

O觀察圖1-11,面1的對面是面6；

。所以，面I與面6是相對面。

因此，與面1相鄰的面是：2、3、4、5：

與面1相對的面是：6o

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

?正方體展開圖中面與面之間的位置關(guān)系；

?空間想象與面的相對性判斷。

2.題目求解要點

?利用展開圖中面的相對位置判斷折疊后的相鄰與相對關(guān)系；

?掌握“隔一個面為對面''的判斷方法；

?培養(yǎng)空間想象力，理解三維圖形與二維展開圖之間的對應(yīng)關(guān)系。

例3題目:

如圖1-13,哪些圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱？先想一想，再折一折。

解答:

圖1-13中包含多個圖形，我們逐一分析哪些可以折疊成棱柱。

棱柱的展開圖特征：

1.有兩個相同的多邊形作為底面；

2.中間有若干個矩形面連接兩個底面，這些矩形的數(shù)量等于底面多邊形的邊數(shù);

3.所有矩形必須依次排列，且與兩個底面相連。

我們分析圖中各圖形:

?圖形A：兩個五邊形作為底面，中間有5個矩形連接，符合五棱柱的展開圖特征,

可以折疊成五棱柱：

?圖形B：兩個三角形作為底面，中間有3個矩形連接，符合三棱柱的展開圖特征，

可以折疊成三棱柱：

?圖形C：兩個四邊形作為底面，但中間只有3個矩形連接，少了一個矩形，不能折

疊成四棱柱；

?圖形D：兩個六邊形作為底面，中間有6個矩形連接，符合六棱柱的展開圖特征，

可以折疊成六棱柱。

因此，圖形A、B、D可以折疊成棱柱，圖形C不能”

總結(jié):

1.題目考查內(nèi)容

?棱柱展開圖的識別；

?圖形結(jié)構(gòu)與三維幾何體之間的對應(yīng)關(guān)系。

2.題目求解要點

?掌握棱柱展開圖的基本結(jié)構(gòu)特征；

?判斷底面是否相同、側(cè)面是否完整；

?通過觀察或動手折疊驗證圖形是否能圍成棱柱。

例4題目:

(3)

(I)截面的形狀可能是三角形嗎?

⑵截面的形狀還可能是幾邊形?

解答：

我們分析用一個平面去截一個正方體時，截面可能的形狀。

I.截面為三角形的情況：

。如果平面穿過正方體的三個頂點，并且這三個頂點不在同一平面上，則截面

是一個三角形；

o例如，從一個頂點出發(fā)，穿過對面的三個相鄰頂點，可以形成一個三角形截

面；

o所a截面可以是三角形。

2.截面為其他多邊形的情況：

。如果平面穿過正方體的4個頂點，截面為四邊形；

。如果穿過5個頂點，截面為五邊形：

o如果穿過6個頂點，截面為六邊形；

。但不可能形成七邊形或更多邊形，因為E方體只有6個面。

因此:

?(1)截面可以是三角形；

?(2)截面還可能是四邊形、五邊形、六邊形。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

?兒何體的截面形狀；

?平面與立體幾何體相交的性質(zhì)。

2.題目求解要點

?理解截面的定義：平面與幾何體相交所形成的圖形;

?掌握正方體截面的可能形狀范圍；

?通過空間想象或?qū)嶋H操作判斷截面形狀。

例5題目:

圖1?23是由幾個大小相同的小立方塊拼成的幾何體，從左面和從上面看到的形狀圖如

下，請搭出滿足條件的幾何體。你搭的幾何體由幾個小立方塊構(gòu)成？

m

從左面看從上面看

解答:

我們根據(jù)從左面和上面看到的形狀圖來還原幾何體。

1.從上面看：表示每一列有多少個小立方塊；

2.從左面看：表示每一行有多少個小立方塊；

我們設(shè)幾何體為一個3列x2行的結(jié)構(gòu)：

?上面圖顯示：第1列有1個，第2列有2個，第3列有1個;

?左面圖顯示：第1行有2個，第2行有1個；

我們嘗試搭建滿足條件的幾何體:

?第1行：第1列1個，第2列2個，第3歹U1個;

?第2行：第1列1個，第2列0個，第3列。個;

這樣滿足：

?從上面看：I、2、1；

?從左面看：2、1；

總共小立方塊數(shù)為：

第

4一

1?I+2+

1丁?

一

第2Z1OO

0丁++

1?-

合

個

計:+1-5

。

因此，這個幾何體由5個小立方塊構(gòu)成。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

?從不同方向觀察幾何體的視圖；

?由視圖還原幾何體結(jié)構(gòu)。

2.題目求解要點

?理解“從上面看”和“從左面看”的含義；

?根據(jù)視圖信息搭建幾何體；

?通過逐行逐列分析確定小立方塊數(shù)量；

?培養(yǎng)空間想象與視圖還原能力。

新知鞏固

題目：第1題

一個圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，這個圓柱的底面直徑和高的比是（）

A.27T：1

B.1:1

C.1；7T

D.7T：1

解答：

圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，其一邊是圓柱的高九，另一邊是底面圓的周長2”。

題目中說展開圖是正方形，說明高/I與底面周長相等，即：

h=2nr

我們要求的是底面直徑d=2r與高的比值：

d2r1

-------------------

h2nrn

所以底面直徑與高的比是l：7To

總結(jié)：

L題目考查內(nèi)容

圓柱的側(cè)面展開圖、圓的周長公式、比例關(guān)系。

2.題目求解要點

?圓柱側(cè)面展開圖為長方形，其一邊為高，另一邊為底面周長:

?當(dāng)展開圖為正方形時，高與底面周長相等；

?利用圓的周長公式C=2nr進(jìn)行推導(dǎo)。

3.同類型題目解題步驟

1.明確立體圖形的展開圖形狀；

2.找出展開圖中與原立體圖形相關(guān)的邊長關(guān)系；

3.利用幾何公式（如圓的周長、面積等）建立等式；

4.化簡求出所需比值。

題目：第2題

下列圖形中，不是正方體的表面展開圖的是（）

A、B、C、D（圖略）

解答：

正方體有6個面，展開圖必須滿足能折疊成一個封閉的立方體。

常見的正方體展開圖有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“3-3”型等，但不能出現(xiàn)“7個面”或“無法閉

合，，的結(jié)構(gòu)。

選項D的圖形無法折疊成一個正方體，因為其中存在"Z”字形排列，無法形成封閉結(jié)構(gòu)。

總結(jié):

1.題目考查內(nèi)容

正方體表面展開圖的識別。

2.題目求解要點

?正方體展開圖必須由6個正方形組成；

?展開圖必須能折疊成一個封閉的立方體;

?排除“Z”字形、7個而等非法結(jié)構(gòu)。

3.同類型題目解題步驟

1.數(shù)清圖形中正方形的數(shù)量是否為6個;

2.判斷圖形是否符合常見的展開圖類型;

3.排除“Z”字形、無法閉合的結(jié)構(gòu)；

4.確認(rèn)是否能折疊成正方體。

題目：第3題

一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7,它的展開圖如圖所示。判斷哪一面代表哪個點數(shù)。

解答:

根據(jù)骰子的性質(zhì)，相對兩面點數(shù)之和為7。

觀察展開圖，找出對面關(guān)系：

?A與C相對

?B與D相對

?E與F相對

已知某一面的點數(shù)，可推知其對面的點數(shù)。

例如，若A是1點，則C是6點；若B是2點，則D是5點；E是3點，F(xiàn)是4點。

根據(jù)選項判斷，A代表的是6點，因此正確選項為A。

總結(jié):

1.題目考查內(nèi)容

正方體展開圖中對面關(guān)系的判斷、骰子點數(shù)規(guī)律。

2.題目求解要點

?正方體展開圖中對面關(guān)系可通過“間隔一個面”或“對面無公共邊''來判斷:

?骰子相對兩面點數(shù)之和為7。

3.同類型題目解題步驟

1.找出展開圖中對面關(guān)系：

2.利用骰子點數(shù)之和為7的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

3.逐一驗證選項，找出符合的點數(shù)對應(yīng)關(guān)系。

題目：第4題

如圖所示的正方體的表面展開圖是（）

A、B、C、D（圖略）

解答：

觀察正方體的立體圖，找出各面之間的相對位國關(guān)系。

再逐一比對選項中的展開圖，判斷哪一個能折疊成該正方體。

選項A的展開圖可以折疊成題目中所示的正方體，其余選項折疊后無法形成相同的相對

位置。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

正方體展開圖與立體圖的對應(yīng)關(guān)系。

2.題目求解要點

?根據(jù)正方體立體圖判斷各面之間的相對位置；

?比對展開圖是否能擰疊成相同結(jié)構(gòu)。

3.同類型題目解題步驟

I.分析正方體立體圖中各面的相對位置；

2.逐一比對選項展開圖能否折疊成相同結(jié)構(gòu);

3.排除無法形成正確結(jié)構(gòu)的選項。

題目：第5題

將圖I的正方形放在圖2中①②③④⑤的某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的位置

有幾個？

解答：

圖1是一個正方形，圖2是一個由5個正方形組成的“十字形”展開圖。

將圖1的正方形放在圖2的①②③④⑤位置，判斷是否能組成一個完整的正方體展開

圖。

通過分析，放在①、③、⑤位置時，可以組成“1-4-1”型展開圖，能圍成正方體；

放在②、④位也時，無法形成閉合結(jié)構(gòu)。

因此，能圍成正方體的位置有3個。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

正方體展開圖的構(gòu)造與識別。

2.題目求解要點

?正方體展開圖必須由6個正方形組成；

?常見展開圖類型包括“141”、“2-3-1”、“3-3”等；

?判斷添加一個正方形后是否形成合法展開圖。

3.同類型題目解題步驟

1.明確正方體展開圖的構(gòu)成要求；

2.分析添加一個正方形后是否形成合法展開圖；

3.判斷是否能折疊成正方體。

題目：第6題

用刀截一個正方體豆腐塊，截面不可能是（）

A.三角形

B.矩形

C.六邊形

D.七邊形

解答：

正方體的截面形狀取決于截面與正方體的交線數(shù)量。

?截面與3個面相交一三角形

?截面與4個面相交一四邊形（如矩形）

?截面與6個面相交->六邊形

但正方體只有6個面，截面最多只能與6個面相交，因此不可能形成七邊形。

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

正方體截面形狀的判斷。

2.題目求解要點

?截面形狀由截面與正方體面的交線數(shù)量決定；

?正方體最多有6個面，因此截面最多為六邊形。

3,同類型題目解題步驟

1.分析截面與立體圖形的交線數(shù)量；

2.判斷可能形成的截面形狀；

3.排除不可能的選項。

題目：第7題

將長方形ABCD平均分成三個小長方形，再將三個小長方形分別平均分成2份、3份和4

份，陰影部分面積是長方形4BC0面積的（）

解答:

設(shè)長方形4BC0的面積為S,則每個小長方形面積為支

?第一個小長方形分成2份，陰影部分為=：

235

?第二個小長方形分成3份，陰影部分為1x|=^

?第三個小長方形分成4份，陰影部分為：x：=白

4312

總面積為：

SSS6+4+313

6912I36136

因此陰影部分面積是長方形ABCD面積的

36

總結(jié)：

1.題目考查內(nèi)容

分?jǐn)?shù)運算、面積的分配與求和。

2.題目求解要點

?將整體面積平均分配；

?分別計算各部分陰影面積；

?求和并化簡。

3.同類型題目解題步賽

1.設(shè)整體面積為單位1或具體值；

2.按比例分配各部分面積；

3.分別計算陰影部分面積；

4.求和并化簡結(jié)果。

課堂練習(xí)