考點24.圖形的相似（精講）

【命題趨勢】

圖形的相似是中考數(shù)學中非常重要的一個考點，也是難度最大的考點之一。它不僅可以作為基礎考點

單獨考查，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等知識點一起考查。而且

在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中

得到函數(shù)關系式的重要手段。需要考生在復:習的時候給予加倍的重視，扎實掌握，靈活應用。

【知識清單】

1：相似的有關概念（☆）

1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比。

ab

2）比例中項：如果a即按=枇，我們就把》叫做a,c的比例中項。

3）比例的性質

性質內(nèi)容

ac

性質1—=—<=^ad=bc（a,b,c,d#0）。

bd

,acm,a±bc±d

性質2如果m丁=-；,那么二］一。

bdba

,acm、廣?a+c+…+"?rn.

性質3如果m一=-二???=—（z〃+4+—+〃卻），則-------------=一（不唯一）。

bdnZ?+d+…+〃〃

4）黃金分割：如果點。把線段力8分成兩條線段，使江=生，那么點C叫做線段AC的黃金繼原,

ABAC

AC是4c與44的比例中項,AC與48的比叫做黃金比。

5）平行線分線段成比例（定理）：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

AB_DEAB_DEBC_EF

正一定’就一而'就一而

2：相似三角形的性質與判定（☆☆☆）

1）相似三角形的定義：對應角相笠，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形,相似三角形對應邊的比

叫做相似比。

2）性質：（1）相似三角形的對應角粗箜；（2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比

例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

3）判定：（1）有兩角對應祖笠，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似;（3）

三邊對應成比例,兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應城叱圓，兩直角三角形相似。

4）相似多邊形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊虺，相似多邊形對應邊的比

叫做它們的相似比。

5）相似多邊形的性質：（I）相似多邊形的對應邊成比例;（2）相似多邊形的對應用相笑；（3）相似多

邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的包。

3：圖形的位似（☆☆）

1）位似圖形的定義；如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或

在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比。

2）位似圖形的性質：（1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為那么位似圖

形對應點的坐標的比等于k或-&；（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似叱或相

似比。

3）找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點,則該點即

是位似中心。

4）畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心;（2）確定原圖形的關鍵點:（3）確定位似比,即要將圖形

放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關鍵點的對應點;（5）按原圖形的連接順序連接所作的各仝對

應點。

4：相似三角形的應用（☆☆）

1）利用影長測量物體的高度

①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似，.角形的性質即相似三角形的對應邊的比相

等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決。

②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的近度。

2）利用相似測量河的寬度（測量距離）

①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在?條直線

上。必須保證在一條一線上,為了使問題簡便，盡量構造直.角三角形。

②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河g度。

3）借助標桿或直尺測量物體的高度.

利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建

相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度0

【易錯點歸納】

1.求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系。

2.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形。

3.兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點上。

【核心考點】

核心考點1.相似的有關概念A

例1：（2025?上海奉賢?統(tǒng)考一模）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形A8C,再以A為圓心，AC長為半

徑作弧，交線段A8于點那么ARAB等于（）

A.|：V?B.1：6C.D.2:3

變式1.（2025?廣東湛江?校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（）

A.4,1,3,8B.3,4,5,6C.4,8,3,5D,15,5,6,2

變式2.（2024?上海楊浦?統(tǒng)考一模）已知線段。=3厘米，c=12度米，如果線段〃是線段〃和。的比例中項,

那么/?=厘米.

例2：（2025?四川達州?統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦4?=80cm,兩個端點48固定在樂器板面上,

支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點。是靠近點A的黃金分割點，C。之間的距離為

變式1.（2025?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有

是（）

變式2.（2025?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線A。，8c交于點O,AB$EFCD.若AO=2,OF=],FD=2.

貝IJ族BF的值為___.

EC

\AB/

fCD、

變式3.（2025?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Y48CO中，產(chǎn)是AO上一點，。尸交8。于點E,C戶的

延長線交K4的延長線于點G,EF=\,EC=3,則G/的長為（）

核心考點2.相似三角形的性質與判定A

例5；（2025?福建龍巖校考模擬預測）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N,這種圖形改變屬于（）

A.平移B.軸對稱C.旋轉D.相似

變式1.（2025?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預測）下列圖形不是相似圖形的是（）

A.同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片B.某人的側身照片和正面照片

C.用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案D.大小不同的兩張中國地圖

變式2.（2025?河南洛陽?統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形.下列哪組圖形不一定是相似圖形（）

A.關于直線對稱的兩個圖形B.兩個正三角形C.兩個等腰三角形D.兩個半徑不等的圓

例6：（2025?安徽?模擬預測）如圖，.48。中，ZA=76°,=AC=6.將/4c沿圖示中的虛線剪開,

剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

變式1.（2025?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形A8CQ中，已知=那么補充下列條件

后不能判定△ADC和胡C相似的是（）

A.AC2=BCCDB.ZDAC=ZABCC.CA平分/BCDD.—=—

ABAC

變式2.（2025?江西贛州?統(tǒng)考一模）如圖，已知會=點=上，請再添加一個條件，使ABCAACD,你

ACAD

添加的條件是（寫出一個即可）.

C

A/?

變式3.（2025?湖南邵陽?統(tǒng)考一模）如圖，48C是等邊三角形，點。、E分別在C8、AC的延長線上,

406=60。.⑴請找出圖中相似的三角形：（2）請選擇其中一對說明理由.

例7：（2025?湖北恩施?統(tǒng)考一模）如圖，在/8C中，A3=AC=6,8C=8,點。是3c邊上的一個動點,

點E在AC上，點。在運動過程中始終保持N1=N8，當時，則8。的長為（）

77

A.2B.-C.3D.-

32

變式1.（2025?四川成都?模擬預測）如圖，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧分別交A8,AC于點M,N,

再分別以點M，N為圓心，大于gMN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接AP并延長交8。于點￡）.若

2

AB=8,AC=10,BD=4,則CD=.

變式2.（2025?安徽滁州?校考一模）在等邊三角形ABC中，AB=6,D、E是4C上的動點，尸是A3上的

動點，且8尸=8O=EC=2,連接在，率跡?=____；

'△ABC

變式3.（2025?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A8C中，AB=AC,ZBAC=36°,以點C為圓心，以8c

為半徑作弧交AC于點O,再分別以。為圓心，以大于;胡的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射

線CP交A8于點E,連接DE.以下結論不F砸的是（）

A

A.ZBCE=36°B.BC=AEC.—=D.=

AC2S4.Ec2

例8：（2025?四川?統(tǒng)考中考真題）如圖1,已知線段/W,AC,線段AC繞點A在直線A4上方旋轉，連接,

以BC為邊在3c上方作Rt.BQC,且NOBC=30。.

圖1圖2圖3

⑴若NBQC=90°,以48為邊在A3上方作RlZXBAK，且NA&5=90。，ZEBA=30°,連接?！?用等式表

示線段4。與OE的數(shù)量關系是；

（2）如圖2,在⑴的條件下，若DE上AB,A8=4,AC=2,求8c的長；

⑶如圖3,若N6CO=90。，A6=4,AC=2,當AO的值最大時，求此時tan/CBA的值.

變式1.（2025?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）【特例感知】

（1）如圖1,在正方形A8CO中，點P在邊的延長線上，連接P。，過點。作。MJ.77），交BC的延

長線于點M.求證：ADAP名aDCM.

【變式求異】（2）如圖2,在RI&4BC中，ZABC=90。，點。在邊AB上，過點。作QQ^AB,交AC于

點。，點。在邊A4的延長線上，連接尸Q,過點。作QMJ_PQ,交射線8。于點M.已知BC=8,4C=10,

AD=2DR,求空的值.

QM

【拓展應用】（3）如圖3,在RtZXABC中，ZBAC=90°,點。在邊48的延長線上，點Q在邊AC上（不

與點A,C重合），連接P。，以Q為頂點作NPQM=ZPBC,ZPQM的邊QM交射線AC于點M.若AC=/2B,

CQ=nAC（小，〃是常數(shù)），求器的值（用含〃?，〃的代數(shù)式表示）.

變式2.（2025?吉林長春??？寄５诸A測）在“8C中，AB=AC,。是邊8c的中點，以。為角的頂點作

NMDN=NB=a.如圖1.射線ZW經(jīng)過點人ZW交邊4。于點旦

⑴不添加輔助線，請直接寫出圖1中所有與VADE相似的三角形；

（2）如圖2,將ZJWDV從圖1中的位置開始，繞點。按逆時針方向旋轉（旋轉角不大于a）,射線。W,DN

分別交AC,A8于點E,F.①求證：！8FD!CDE；②如圖3,若A8=AC=5,8c=8,在線段AC上

有一點P,且AP=L5,若點P始終在NMDN內(nèi)（包括邊界上），求質的取值范圍；

③若a=65。，直接寫出旋轉角為多少度時，YBDF與A8C相似.

例9：（2025?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知./8Cs，EOC,AC:EC=2:3,若A8的長度為6,則OE的

長度為（）

A.4B.9C.12D.13.5

變式1.（2025?重慶?統(tǒng)考中考真題）若兩個相似三角形周長的比為1:4,則這兩個三角形對應邊（1勺比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

變式2.（2025?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）兩個相似圖形的周長比為3:2,則面積比為.

例8：（2025?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A8C。是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使。人

邊落在。。邊上，點A落在點〃處，折痕為OE；使C8邊落在C。邊上，點B落在點G處，折痕為C尸.若

矩形〃石尸G與原矩形ABC。相似，AD=],則CO的長為（）

A.>/2—1B.75-1C.V2+1D.6十1

變式1.（2025?重慶沙坪壩?統(tǒng)考一模）若兩個相似多邊形的相似比為3:1,則它們周長的比為（）

A.2:1C.4:1D.9:1

變式2.（2025?安徽合肥??？既＃┰谘芯肯嗨茊栴}時，甲、乙同學的觀點如下:

甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1,則新三角

形與原三角形相似.乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間

距均為1,則新矩形與原矩形不相似.對?于兩人的觀點，下列說法正確的是（）

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對

核心考點3.圖形的位似

例10:（2025?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以與△4/TC的相似比為1：2,

點A是位似中心，已知點42,0）,點、C（a,b）,ZC=90°.則點C'的坐標為.（結果用含。，8的式子

表示）

變式1.（2025?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.在如圖所示

的平面直角坐標系中，格點AABC、/出產(chǎn)成位似關系，則位似中心的坐標為（）

A.（-1,0）B.（0,0）C.（0,1）D.（1,0）

變式2.（2025?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，一的頂點坐標是A（2,6）,8（3,1）,0（0,0）,以點。為

位似中心，將縮小為原來的;，得到△AEO,則點4的坐標為.

例11：（2025?湖南湘潭??？既！罚ǘ噙x題）如圖，已知.A8C,任取一點。，連接AO,BO,CO,并取

它們的中點。、E、產(chǎn)、順次連接得到山即，下列結論中正確的是（）

A..48。與」無尸是位似圖形B.A8c與1）燈是相似圖形

C....45C與」）所的周長之比2:1D.A8C與4）E尸的面積之比為2:1

變式1.（2025?湖南婁底?統(tǒng)考一模）如圖，已知.工8c與刀比'位似，位似中心為O,且A8C的面枳與DEF

的面積之比是16:9,則AO:AO的值為（）

A

變式2.（2025?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，一A8C和AAB'C是以點。為位似中心的位似圖形，點A在

線段04.上.若。4：A4'=1：2.則和二ART的周長之比為.

變式3.（2025?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題）如圖，/8C與.?）所是以點。為位似中心的位似圖形，若

OA:OD=2:3,則/8C與DEF的面積比是.

例12：（2025?安徽?模擬預測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)

格線的交點）為頂點的A8C和格點0.（1）在所給網(wǎng)格中，以點。為位似中心，將48C放大2倍得到

（點AI,C的對應點分別是畫出△A&G；（2）將..A3C進行平移得到格點△&&G（點A4.C的

對應點分別是&，用,C?）,使80〃A。?，畫出△AB/；.

變式1.（2025?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,ABC

的頂點均在格點上，按要求完成婦下畫圖.（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）

圖1

⑴在圖1?中，以8c為邊，畫出△8C。，使△8CO和./8C全等，加為格點，請在圖1中畫出滿足條件的

所有△BCO；（2）在圖2中，以點C為位似中心.畫出△。砂，使二EPC與位似，且位似比EC:AC=2,

點E、尸為格點；⑶在圖3中，在AC邊上找一個點P,且滿足AP:CP=3.

變式2.（2025?廣東深圳?校考模抵預測）如圖，。是坐標原點，A、8的坐標分別為（3,1）、（2,-1）.

⑴在），軸的左側以。為位似中心作一048的位似圖形△OA9,使新圖與原圖的相似比為2.

（2）寫出點B的對應點8'坐標：.

核心考點4.相似三角形的應用

例13：（2025?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，用一個卡鉗=啜=穹二口測量某個零件的內(nèi)孔直

\OBOA3）

徑A8,量得CO的長為6cm,則A8的長為cm.

變式1.（2025?吉林長春??？寄M預測）凸透鏡成像的原理如圖所示，AD//1//BC.若物體〃到焦點廠的

變式2.（2025?山西晉中?校聯(lián)考模擬預測）如圖1,游沱河是山西地區(qū)一條途經(jīng)了舟山和太行山的知名河流,

這條河流的流域面積達到了2.73萬平方公里，其發(fā)源地處于山西省繁峙縣泰戲山橋兒溝村，這條河流早在

《山海經(jīng)》中就有出現(xiàn)過，被叫做為虔池.為了估算河流的寬度，我們在河的對岸選定一個目標在近岸

取點A和C,使點P、A、。共線且與河垂直，接著在過點。且與直線PC垂直的直線上選擇適當?shù)狞c。,

確定P。與過點A且與PC垂直的直線交點8.測得AC=50m,CD=120m,A8=80m,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)

求河的寬度處.

圖I

例14：（2025?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣

拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，己有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品.某

數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度.東塔的

高度為AB,選取與塔底6在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為L5m的標桿所和

GH,兩標桿間隔EG為46m,并且東塔4B、標桿E77和G//在同一■豎直平面內(nèi).從標桿EF后退2m到￡）處

（即區(qū)＞=2m）,從。處觀察A點，A、F、。在一直線上；從標桿G”后退4m到C處（即。G=4m）,從

C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且3、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)

據(jù)，幫助興趣小組求出東塔人4的高度.

變式1.（2025?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高〃的方法.”矩〃在古代指兩條邊呈直

角的曲尺（即圖中的ABC）."偃矩以望高〃的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,Q

在同一水平線上，NA8C和乙4。。均為直角，4P與8C相交于點。.測得

AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,則樹高PQ=m.

變式2.（2025?陜西西安?校考模擬預測）攬月閣是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點和標志性建筑，與唐大雁塔

今古一線、遙相呼應，聯(lián)袂彰顯西安具有歷史文化特色的現(xiàn)代化國際大都市風貌.一天下午，小明和小麗

來到了攬月閣廣場，他們想用所學的知識，測量攬月閣的高度.如圖，點A為攬月閣的頂部，點3為攬月閣

的底部，小明在點。處放一水平的平面鏡，然后沿著方向向前走0.5米，到達點。處，這時小明蹲下，

恰好在鏡子里看到攬月閣的頂端A的像.接下來小明不動，小麗在C處豎起一根可調(diào)節(jié)高度論測量桿，并

調(diào)節(jié)測量桿的高度，使得測量桿的頂端?、攬月閣的頂端A、小明的眼睛E在一條直線上，此時測得測量桿

的高度b=1.98米.已知小明?尊下時，眼睛到地面的距離=1米，點8、C、。在一條直線上，ABLBD,

CF1BD,DEtBD,求攬月閣的高度A8.（平面鏡的大小忽略不計）

考點24.圖形的相似（精講）

【命題趨勢】

圖形的相似是中考數(shù)學中非常重要的一個考點，也是難度最大的考點之一。它不僅可以作為基礎考點

單獨考查，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等知識點一起考查。而且

在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質來得到角相等或者邊長間的關系，也是動點問題中

得到函數(shù)關系式的重要手段。需要考生在復:習的時候給予加倍的重視，扎實掌握，靈活應用。

【知識清單】

1：相似的有關概念（☆）

1）線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比。

ab

2）比例中項：如果a即按=枇，我們就把》叫做a,c的比例中項。

3）比例的性質

性質內(nèi)容

ac

性質1—=—<=^ad=bc（a,b,c,d#0）。

bd

,acm,a±bc±d

性質2如果m丁=-；,那么二］一。

bdba

,acm、廣?a+c+…+"?rn.

性質3如果m一=-二???=—（z〃+4+—+〃卻），則-------------=一（不唯一）。

bdnZ?+d+…+〃〃

4）黃金分割：如果點。把線段力8分成兩條線段，使江=生，那么點C叫做線段AC的黃金繼原,

ABAC

AC是4c與44的比例中項,AC與48的比叫做黃金比。

5）平行線分線段成比例（定理）：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

AB_DEAB_DEBC_EF

正一定’就一而'就一而

2：相似三角形的性質與判定（☆☆☆）

1）相似三角形的定義：對應角相笠，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形,相似三角形對應邊的比

叫做相似比。

2）性質：（1）相似三角形的對應角粗箜；（2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比

例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

3）判定：（1）有兩角對應祖笠，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似;（3）

三邊對應成比例,兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應城叱圓，兩直角三角形相似。

4）相似多邊形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊虺，相似多邊形對應邊的比

叫做它們的相似比。

5）相似多邊形的性質：（I）相似多邊形的對應邊成比例;（2）相似多邊形的對應用相笑；（3）相似多

邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的包。

3：圖形的位似（☆☆）

1）位似圖形的定義；如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或

在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比。

2）位似圖形的性質：（1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為那么位似圖

形對應點的坐標的比等于k或-&；（2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似叱或相

似比。

3）找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點,則該點即

是位似中心。

4）畫位似圖形的步驟：（1）確定位似中心;（2）確定原圖形的關鍵點:（3）確定位似比,即要將圖形

放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關鍵點的對應點;（5）按原圖形的連接順序連接所作的各仝對

應點。

4：相似三角形的應用（☆☆）

1）利用影長測量物體的高度

①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似，.角形的性質即相似三角形的對應邊的比相

等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決。

②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的近度。

2）利用相似測量河的寬度（測量距離）

①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”型或“X”型相似圖，三點應在?條直線

上。必須保證在一條一線上,為了使問題簡便，盡量構造直.角三角形。

②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河g度。

3）借助標桿或直尺測量物體的高度.

利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建

相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度0

【易錯點歸納】

1.求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系。

2.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形。

3.兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點上。

【核心考點】

核心考點1.相似的有關概念A

例1：（2025?上海奉賢?統(tǒng)考一模）如圖，以為斜邊作等腰直角三角形A8C,再以A為圓心，AC長為半

徑作弧，交線段A8于點那么ARAB等于（）

A.|：V?B.1：6C.D,2:3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可知A8C是等腰直角三角形，設AC=8C=x,可用含x的式子表示AK的長，再根據(jù)

以A為圓心，AC長為半徑作弧，可知的長，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，是等腰直角三角形，設AC=BC=x,

^AB=y^AC2+BC2=^JC+JC=V2x＞團以A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段A8于點/＞，

^AC=AP=x,mAP:A8=x:0x=l:忘，故選：A.

【點睛】本題主要考查作圖求線段的比值，理解題意，找出線段之間的大小關系是解題的關鍵.

變式1.（2025?廣東湛江?校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（）

A.4,1,3,8B.3,4,5,6C.4,8,3,5D,15,5,6,2

【答案】D

【分析】根據(jù)成比例線段的定義進行判斷即可

【詳解】解：A.04:1^3:8,04,1,3,8不是成比例線段，不符合題意；

B.團3:4聲5:6,團3,4,5,6不是成比例線段，不符合題意：

C.04:8*3:5,04,8,3,5不是成比例線段，不符合題意；

D.015:5=6:2,015,5,6,2是成比例線段，符合題意.故選：D.

【點睛】此題考查了成比例線段，如果四條線段〃、b、C、d滿足"：〃=C：4,則線段4、b、C、"成比例，

熟練掌握成比例線段的定義是解題的關鍵.

變式2.（2024?上海楊浦?統(tǒng)考一模）已知線段，=3厘米，c=12厘米，如果線段匕是線段。和c的比例中項，

那么〃=一厘米.

【答案】6

【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到〃：）=》"，然后利用比例性質計算即可，解題的

關鍵是理解四條線段〃、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的氏度比）與另兩條線段的比相等，

a：b—c:d,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，當a法-c時，線段6是線段4和。的比

例中項.

【詳解】國線段b是線段。和。的比例中項，

^a:b=b:c,即〃2=ac=3xl2,回方=6（cm）,故答案為：6.

例2：（2025?四川達州?統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦A8=8（）cm,兩個端點A3固定在樂器板面上,

支撐點。是靠近點8的黃金分割點，支撐點。是靠近點A的黃金分割點，C。之間的距離為.

【答案】(805/5-160)cni

【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之

比.其比值是?個無理數(shù)，用分數(shù)表示為更二1,由此即可求解.

2

【詳解】解：弦A3=80cm,點C是靠近點6的黃金分割點，設=則AC=80—x,

團80￡_2^__1,解方程得，工=120—40y/5,

802

點D是靠近點A的黃金分割點，設AO=y,則8。=80-），，團叱）=正二1,解方程得，j=120-4075,

802

團C,￡＞之間的距離為80—x—＞，=80—120+40小一120+40＞/5=80后一16(),故答案為：(80x/5—l60)cm.

【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關鍵.

變式1.（2025?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有

一種0.618法應用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割比可進行求解.

【詳解】解：0.618為黃金分割比，所以優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數(shù)；故選A.

【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關鍵.

變式2.（2025?安徽?模擬預測）點G將線段分為兩部分，使得其中較長線段是全長線段MN與較短

線段NG的比例中項，即滿足姆=旭=壇1,則把G稱為線段MN的“黃金分割〃點.已知P是線段A8

MNMG2

的黃金分割點（”>8P）,A8=2,A2的長介于整數(shù)〃和〃+1之間，則〃的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割比，牢記黃金分割比更二1。0.168是解題的關鍵.根據(jù)黃金分割比為

2

竺=正二！■求解即可.

AB2

【詳解】解：團P是線段AB的黃僉分割點（AP>8P）,AB=2，

團絲二更二團人尸=6一］,團1〈6一|<2,0?=1,故選B

AB2

例3：（2025?浙江?統(tǒng)考中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊"4.1比例線段〃3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學習內(nèi)容是一

個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學習過程.圖中橫線處應填：

當x=y=6時~a~廠］當-=▲時-a―b—7"

9=2----------a石=）—￡------ab=c=^

XC

比例線段出現(xiàn)比例中項線段出現(xiàn)特殊線段比

【答案】2

【分析】根據(jù)題意得出〃=后,c=E〃，進而即可求解.

2

,r-Cl>/2/?.

【詳解】解：團，=—=&團a=Gb,c=—人團cJ2?故答案為：2.

be2—Z?

【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

XX—V

變式1.（2025?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題）若一=2,則一一二.

yy

【答案】1

【分析】根據(jù)比例的性質解答即可.

【詳解】解：￡=2,.?.二=巴-1=2-1=1.故答案為：1.

yyy

【點睛】本題考查了比例的性質，解決本題的關鍵是掌握比例的性質.

▲■一??

變式2.（2025?浙江?模擬預測）用婚，"?”，慟分別表示三種物體的重量,g―=則團，?,

?▲?+▲

回這三種物體的重量比為（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【答案】B

【分析】可設：=2三=1*=攵，利用等比性質可得々的值，設團為x,?為y,團為z,得到3個等式，

聯(lián)立可得用上表示六z,相比即可.

▲?一??

【詳解】解：設==—^=h-=A，回為X，?為）'，回為Z，

?▲?+▲

3

0y=2x,z=1x,（33,?,團這三種物體的重量比為2:4:3.故選：B.

【點睛】考查比例性質的應用：利用等比性質得到所給比值的確定值是解決本題的關鍵.

例4：（2025?江蘇?統(tǒng)考中考真題）小明按照以下步驟畫線段的三等分點：

1.以A為端點畫一條射線；

2.用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE,連接BE：

3.過點C、。分別畫8E的平行線，交線段4B于點M、N,M、N就是線段A8

的三等分點八B

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（

A.兩直線平行，同位角相等B.兩條平行線之間的距離處處相等

C.垂直于同一條直線的兩條直線平行D.兩條直線被?組平行線所截，所得的對應線段成比例

【答案】D

【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，即可求解.

【詳解】解：由步驟2可得：C、D為線段AE的三等分點

步驟3中過點C、D分別畫8E的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例得：

M、N就是線段AB的三等分點故選：D

【點睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.掌握相關結論即可.

變式1.（2024?重慶大渡口?統(tǒng)考一模）如圖，AD//I3E//CF,若A3=2,BC=3,Er=6,則OE的長度

【答案】B

【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題.

ARnp2DF

【詳解】解：^AD//BE//CF,0^=—,即：=華，0DE=4,故選：B.

BCEr36

變式2.（2025?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD,8c交于點。，AB*EFCD.若AO=2,OF=\,FD=2.

【分析】由平行線分線段成比例可得，黑=處/段=蕓=之,得出3。=20￡,EC=2OE,從而

OEOF1ECFD2

BE2OE+OE3

~EC~2OE~2'

【詳解】AB\EFCD,AO=2,OF=1,，毀="=々，，BO=2OE,

OEOF1

OEOF\BE2OE+OE33

=:.EC=2OE,=—:故答案為：—.

~EC~FD~2~EC2OE

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決

本題的關鍵.

變式3.（2025?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Y/WC。中，”是AO上一點，CF交BD于點E,C尸的

延長線交陰的延長線于點G,EF=l,EC=3,則G尸的長為（）

C.8D.10

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質可得普=喏，金=票，設G尸為％可得“+解之即可.

【詳解】國四邊形A8CQ為平行四邊形,

rifEGBG

回4BCD,AB=CD,0—=—

FCCD~EC~~CD

設G尸為x,0EF=1,EC=3,團EG=l+x,BG=AG+CD,

AG1+xAG+CD.AGxix

0—=,------=-------------=1+——?.------=1H—,

4CD3CDCD34

UP8-x=0,得x=8,0GF=8.故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例的性質，熟練掌握其性質是解題的關鍵.

核心考點2.相似三角形的性質與判定A

例5：（2025?福建龍巖??？寄M預測）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N,這種圖形改變屬于（）

jA7”

MN

A.平移B.軸對稱C.旋轉D.相似

【答案】D

【分析】根據(jù)相似圖形的定義知，圖形M改變?yōu)閳D形N,屬于圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變

換，據(jù)此作答即可.

【詳解】圖形M改變?yōu)閳D形N,屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換.故選：D.

【點睛】本題考查相似變換，理解圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，是解答本題的關鍵.

變式1.（2025?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預測）下列圖形不是相似圖形的是（）

A.同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片B.某人的側身照片和正面照片

C.用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案D.大小不同的兩張中國地圖

【答案】B

【分析】利用相似圖形定義分別分析得出符合題意的圖形即可.

【詳解】解：A、同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片，是相似圖形，故本選項不符合題意；

B、某人的側身照片和正面像，不是相似圖形，故本選項符合題意；

C、用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案，是相似圖形，故本選項不符合題意；D、

大小不同的兩張中國地圖，是相似圖形，故本選項不符合題意；故選：B.

【點睛】此題考查了相似圖形的定義，正確把握定義是解題關鍵.

變式2.（2025?河南洛陽?統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形,下列哪組圖形不一定是相似圖形（）

A.關于直線對稱的兩個圖形B.兩個正三角形C.兩個等腰三角形D.兩個半徑不等的圓

【答案】C

【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可.

【詳解】解：A、關于直線對稱的兩個圖形全等，0它們是相似圖形，不符合題意；

B、兩個正三角形的對應角相等，對應邊的比相等，團它們是相似圖形，不符合題意；

C、兩個等腰三角形的對應角不一定相等，對應邊的比不一定相等，

回它們不一定是相似圖形，符合題意；D、兩個半徑不等的圓是相似圖形，不符合題意.故選：C.

【點睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關鍵.

例6：（2025?安徽?模擬預測）如圖，A8C中，N4=76。，=AC=6.將S8c沿圖示中的虛線剪開,

剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

c

【答案】c

【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項進行分析即可.此題考查了相似三角形的