導(dǎo)數(shù)&零點

N■優(yōu)質(zhì)典例★展示///

【2025屆山東省濰坊高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)/(x)=e'+x-2和

g(r)=lnx+x-2,若)=8(8)=。則()

1

A.$+/=2B.0<X]<:C.X)-x2>VeD.—<-A2lav2

2X

【思路分析】本題主要考察零點相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于建立變量之間的關(guān)系，把多變最

問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點存在定理、函數(shù)對稱性、基本不等式以及

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等知識，如在分析玉+巧關(guān)系時，利用變量之間的關(guān)系構(gòu)建函數(shù)

W(X)=A1111A-,再借助函數(shù)單調(diào)性求解，也可利用函數(shù)對稱性求解，從數(shù)與形兩個知度綜

合考慮，考驗對函數(shù)本質(zhì)的理解；確定％更精確范圍以及比較玉*2和五大小，運用函數(shù)值

計算與基本不等式，思維靈活轉(zhuǎn)換，對于叵與一馬122的大小判斷，根據(jù)其共同結(jié)構(gòu)特征

x\

采用構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)的方法求解即可.

【詳解】對于A選項：

方法一：由題意/(xJ=g(X2)=0,得e"+玉―2=11112+》2—2=0,

v,x,v,

c+X]=\nx2+x2oe+lne=x2+lar,,

令〃[(x)=x+lnr在(0,+⑹單調(diào)遞增，所以e』=受，

代入/(*)得e$+七一2=0=e"+M=2,所以％+與=2.

方法二：由爐=占可得X=皿，

代入g(工2)得1叫+W-2=0=g+W=2,所以X]+w=2.

eX|+x-2=0=>ex,=2-x

方法三:由題意〃xj=g(x2)=。，1(

liu2+x2-2=0=>ln.v2=2-X2

由),=e'與y=lnx關(guān)于y=x對稱，y=2-x關(guān)于y=x對稱，

*

則J1；X的交點(X，K)與，二的交點與的交點(*2，入)關(guān)于，二;_x的交點(")

對稱,

對于B選項:/(x)=e'+x-2在(-8,伊)上遞增，H./(0)=-l<0,

/(x)的零點多的范圍為(0,；)故B對；

I「3、

對于C選項：方法一：因為0<X]<s，故x/2=x"27])e0,-,C錯;

方法二：由題意易知0<X]<g,1<X2<2,

%=1政2，X}+X2=2,西&<J=],故C錯;

0<x,<i,x,x=x,eXl

方法三:2令/w(x)=xer,

M(x)=e'(x+1),而(工)在((),；)單調(diào)遞增，機(x)<〃｛；)=手，故C錯.

對于D選項：解法一：皿<-w1nxzoLln’AxJn。，

再』X|

1上單調(diào)遞增，0<x<i,\<x

令〃[(x)=xlnx,M(x)=l+kir,在12故只需

—>x2,故D對.

解法二：令E(x)=lnx,0<x1<i,F(xI)<Ff^j=-21n2,

G(x)=—,1<Jr,<2,G(x])<G21n2,

Inx

/.F(x)+G(x)<尸(g)+G(2)=0,故穴xj<_G(x?)故D對.

故選：ABD.

【題后反思】本題不々是/(x),g(x)的零點，四個選項都是關(guān)于兩零點的相等和不等關(guān)系,

關(guān)鍵在/(占)=8(匕)=0建立3戶2之間的關(guān)系，用零點存在性定理卡住內(nèi)戶2的范圍，把雙

變量轉(zhuǎn)化為單變量進(jìn)行求解，因為本題的結(jié)構(gòu)特征，可考慮進(jìn)行指對同構(gòu)進(jìn)行解決，找到變

量之間的關(guān)系.

E?-s多變*綜述///

9u，一題多變*變一方程問題轉(zhuǎn)化函數(shù)零點問題m

【變化角度】改變角度：方程問題轉(zhuǎn)化函數(shù)零點問題，本題與原題題干題意都一樣,

只是描述的角度不同，運用載體不同，由原來的方程問題轉(zhuǎn)化函數(shù)零點問題，對選項做了一

些變化，本題是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點.

例：(多選題)已知函數(shù)/(x)=e'+x-2的零點為多,函數(shù)g")=lnx+x-2的零點為占，

貝IJ()

A.x(+x2=2B.2演＞占C.e*+e"＞2cD.x}x2＜顯

2

【答案】ACD

【分析】注意到g(x)=ln.r+x-2=elnr+lnx-2=/(lnx),又可得/(x)在(O.+s)

單調(diào)遞增，則有石=lnz，后由零點存在性定理可得不范圍.，之后判斷各選項正誤即可得

答案.

【詳解】g(x)=Inx+x-2=elnt+Inx-2=/(lnx),

又函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點為X2,則g(￡)=/(In9)=0,其中々>0.

,r(A)=ex+l>0,得〃x)在R上單調(diào)遞增，又其有零點x「則占為其唯一零點.

又g(x?)-/(In%)-。，得玉hlnx2.

【舉一反三】

1.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)為f(x)的反函數(shù),若/(x)、g(x)的圖象與直線卜=-％交點的橫

坐標(biāo)分別為西，工2，則()

nx

A.巧>1iB.X]+x2=0

C.,(E')D，占—/S1>~+In2

【答案】BCD

【分析】由對數(shù)函數(shù)的運算和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得A錯誤；由A中j=玉可得B正確;

｛；)(0，刈1))0再結(jié)合零點存在定理可得C正確；構(gòu)造函數(shù)，?(x)=x-hu?求導(dǎo)分析單調(diào)性后

可得D正確.

【詳解】A：由題意得玉TlnX1=0,cM+x2=0,

e'2+&=。可變形為j+lneX2=0,

又再+111X(=(),

令人(x)=x+lnx,則〃(工])=/?卜必)，

又/?(力=x+山在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故爐=N，所以與=13，所以A錯誤;

B：由選項A可得e*二X],由？"+工2=0，可得%+七=0,所以B正確；

C：由于/d=；+ln；=；_ln2=ln&_ln2(0，Ml)=l〉0,

結(jié)合"x)=x+hu-在(0,+力)上單調(diào)遞增，由零點存在性定理得;<玉<1,故C正確;

D：X)-x2=X]-Iru"1,

1

令廠(x)=x-1nx-<x<1|,則/(x)=l—L

2

因為gvx<l,所以/(x)<0,所以〃(x)在g<x<l時單調(diào)遞減，

所以〃所以1</?(%)<；+M2,即1<演一/<；+仙2,所以D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題選項A關(guān)鍵是把、+/=0可變形為e-+lne-=O,再結(jié)合及合

函數(shù)的單調(diào)性求解.

2.若函數(shù)/(x)=ln(or)-1,g(x)=cv-/),滿足對Vxe(0,*o)均有/(x)g(x)20,則而

的取值不可能為()

25

A.eB.—C.c2D.9

4

【答案】AB

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的零點重合，得出。6=舁轉(zhuǎn)化單變量的函數(shù)最值問題，求

In6

導(dǎo)計算即可.

【詳解】條件對Vx￡(O,+R)均有/'(x)g(x)20恒成立，等價于[ln(ax)—l](c；方)之0,

易知。>0,y=/(x)與y=g(x)均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

且由/(x)=O=x=，故0?)時/(x)vO,

若要滿足題意，只需兩函數(shù)的零點相同即可，則6>1

令g(x)=Onx=ln〃，BPx=—=In/?,

a

、ar、e(Inx-l)

則帥=魯，令Mx)=「n〃(x)二人、2，則〃(x)>Onx>e,/f(x)<0=>1<x<e,

lnZ)inx(Inx)

即MM在(l,c)上單調(diào)遞減，(c,+oc)上單調(diào)遞增，

力。)之〃(?)=/,顯然A、B不可能,C、D可能

故選：AB

E■一題多變?變二引入?yún)?shù)建立等價關(guān)系///

【變換角度】改變角度：引入?yún)?shù)建立等價關(guān)系，都是導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題，原題

是直接由方程相等且為零點明內(nèi),七的關(guān)系；本題司,占是用/將兩者聯(lián)系，根據(jù)條件的函數(shù)關(guān)

系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)式化簡并構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，如下:

2

例：(多選)已知函數(shù)/(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/、a)=l+21nf,g(.r2)=/,則

(x/2-々)1位的取值可能是()

A.--B.—C.---D.--

e2e’2ee

【答案】BC

【分析】由已知條件可推得一=（再-1把5=或吟Jn/,即有心馬=$-1,結(jié)合目標(biāo)式化簡

可得（x/z-xJInZuHlnz,令仲）=/.用，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性并確定區(qū)間最小值,

即為（工三-々）1皿的最小值，根據(jù)最小值進(jìn)行選擇即訶.

【詳解】由題意,/(Xj)=%1+ln(xt-1)=1+2Inz,得司-l+ln($-l)=lnJ,

v-12r",

.?.ln[U,-l)e']=Inz,即?=(X1-l)e'>0,

x=x2lnt2

乂S(2)2lnx2=/,得J=clnx2>0

?.?j，=x-e'在［0,+8）上單調(diào)遞增，

???綜上知：In/=$一1,

2

:.（xw-x2）ln/=x2Inx2-Inr=/?In/,

令〃（l）=『?lnz,（/>0）,則〃'⑴=2〃nE+f

.?.力”）>0,得”］；"。）<0，得0</<eT；

故帕）在（0,e；）上單調(diào)遞減，在（e；,+8）上單調(diào)遞增.

-11

???W）min=6（e2）=--?

2e

213

A：因為---（-丁）=-弓<0,所以本選項不符合題意；

e2e2e

11_1J-c

B：因為-（-丁）=一—>0,所以本選項符合題意;

2e‘2e2e

C：顯然符合題意;

D：因為-1-（-1）=-!<0,所以本選項不符合題意，

e2e2e

故選：BC

【點睛】關(guān)鍵點睛?：根據(jù)條件的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合H標(biāo)式化簡并構(gòu)造函數(shù),

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定區(qū)間最小值.

【舉一反三】

3.已知函數(shù)/(x)=Wnx-x與y有兩個不同的交點，交點坐標(biāo)分別為(不月)，伍，乂)

(司<々)，下列說法正確的有()

A.八外在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增

B.。的取值范圍為(7,0]

C.x2-xl>ae+e

D.x2-x,<2a+e+-

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間最值從而可對A、B判斷；然后利用零點附近

的割線、切線,構(gòu)造函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)從而可對C、D判斷求解.

【詳解】由題意可知/(x)=xlnx7定義域為(0,+8),f\x)=\nx+\-\=\nx,

對A：當(dāng)xe(O,l)時,廣(工)<0,/(x)在區(qū)間xe(01)單調(diào)遞減，

當(dāng)X?l,+8)時，/(x)在區(qū)間、€。,+8)單調(diào)遞增，故A正確；

對B：由A知當(dāng)x=l時，/(X)取到極小值也是最小值/⑴=-1,由題值/(“與丁=。有兩

個不同的交點，

令〃x)=0,Wx=0ngx=e,所以當(dāng)x-0,/(x)->0,當(dāng)x?1,e)時，單調(diào)遞增

所以/(e)=O>"/(x)而⑴=7,所以。的取值范圍為(-1,()),故B錯誤.

對C：由/(x)的最小值點所以過點((),())，的直線為y=r=P(x),

令。(x)=p(x)-/(x)=Tlnx,XG(0,1),夕(工)=-1-Inx

當(dāng)夕(x)>0,當(dāng)/(x)<0,

所以。(%)在(0,￡]單調(diào)遞增，在&』)單調(diào)遞減，

夕圖/1)=0,所以，(x)=P(x)-/(x)>。在(0』)恒成立，

所以直線y=_x與y=a的交點為當(dāng)=_4>$：

設(shè)過點（1,一1），（e,0）的直線為—

e1

1

令s(x)7(x)-/(x)=(x-e)-xlnx+xxe(Le),

c-1

則①(x)=g(x)-/(x)=-lnx-1,當(dāng)xw(l,e),69(.v)<0,

c-1

所以0（x）在（l,e）單調(diào)遞減，又因為。（e）=0,所以。（"=夕（力-/（x）＞0在（l,e）恒成立,

所以直線y=與y=。的交點X=a(e-l)+e<x,

e-142

所以超一司>x4-x3=a(e-l)4-e+a=ae+e,故c正確.

對D：因為/'(x)=lnx,/(e)=0,/'(e)=l,/(x)在x=e處的切線為y-O=x-e,

設(shè)g(x)=x—e,令力(x)=/(x)-g(x)=xlnx-2x+e,/?*(x)=lnx-l,

當(dāng)xe(O,e),/f(x)<0,當(dāng)xe(e,+co),/f(x)>0,

所以〃(x)在(O,e)單調(diào)遞減，在(e,+oo)單調(diào)遞增，所以Mx)Z〃(e)=0,即/(x"g(x),

因為王＜/，宜線歹二工一。和V=。相交于點（為,。），

所以/(X2)=a2g(x2)=4-e，可得/WXo=o+e,

下證：x.

e

由于〃=/（芭），所以要證&N-Q_JOX］之_/（司）_，，即證/（xJ+X|+，N0,

eee

令9(x)=xlnx+!，^r(x|=l+lnx,

當(dāng)時

,“(x)<0,當(dāng)9+a),“(x)>0,

o」〕單調(diào)遞減，在（Lr］單調(diào)遞增,

所以0（月20@）=0,所以毛＞一〃3成立.當(dāng)且僅當(dāng)石=?a=-|時取等號.

1)

由于等號不能同時滿足，所以占-％2＜。+€-—a—=2a+e+-,故D正確.

e)

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：C、D中利用零點附近的割線、切線，構(gòu)造函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求

解.

4.函數(shù)/。)=——，則下列說法正確的是()

X

A./(3)>/(4)B.In兀

C.若2、=5"xj均為正數(shù)，則2》>5歹

D.若f(x)=m有兩個不相等的實根石、則不工2>/

【答案】ABD

【分析】由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB；由對數(shù)運算結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷C由分析

/2\/2\

法結(jié)合/(xj=/(xj=〃?得出/(占)一/->0,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(》)—/-,(A>C).

\X2J\XJ

由其單調(diào)性判斷D.

【詳解】由/(4)=皿/>0得：/'3)=上蝮

xx

令/'(x)=0得，x=e

當(dāng)X變化時，/'(X),/(幻變化如下表：

X(0,e)e(e,+<?)

/'(X)+0—

極大值L

/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

e

故，/")=￥在(o，e)上遞增，在(e,+8)上遞減，/(e)=!是極大值也是最大值，

x>e時，時，/(x)f0,且x〉e時/'(幻>0,0cx<1時，f(x)<o,/(i)=o.

對于A,因為/(%)在(e,+oo)上遞減,所以〃3)>/(4),故A對;

對于B,因為人<6<e，且“X)在(0,e)單調(diào)遞增，所以/(五)〈/(五)，即

InVeInVnIneIn兀阮..?

—j=~<-j=-,加以7^<,BPIn7i>,故B正確;

In〃In

對于C,設(shè)2-3均為正數(shù)，則x-y,…="

.2..4...5,.In4In5

「?2x----Ina=---Ink.Sy=---Ink;;--->--->0,

In2ln4In545

45

「?而小品>(U2I<5JJ故C錯誤.

對于D,因為仆)=，〃有兩個不相等的零點X32?.?/'($)=/(￡)=〃，

e2

2e~

不妨設(shè)0<X<e<X2要證：x,x2>e,即要證:$>—，?:x、>e,.'.〈弓??,/(%)在(0,6)單調(diào)

X

x22

遞增，.??只需證：即：/(^2)>/|—

\X2)

只需證:/㈤無卜。

令g(x)=/(x)-/—,(x>e),貝iJg'(x)=(lnx-l)(e-4

le-,rJ

當(dāng)X>e時，Inx>1,-^>-V/.g(x)>0g(x)在(c,+8)單調(diào)遞增

e~f

???士>e,.，.g(X2)>g(e)=0.即：/(它)-/卜>0,故D正確.

\x27

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷函數(shù)值的大小時，關(guān)鍵在于佶助函數(shù)/(力=叵的單調(diào)性，比較

X

其大小，對于雙變量問題，關(guān)鍵在于將雙變量變?yōu)閱巫兞?，再?gòu)造函數(shù)證明不等式.

化雙困數(shù)為單個函數(shù)的零點問題///

【變換角度】改變角度：化雙函數(shù)為單個函數(shù)的零點問題，都是導(dǎo)數(shù)研究雙變量問

題，原題是直接由方程相等且為零點明確不當(dāng)?shù)年P(guān)系：本題不占是用，將兩者聯(lián)系，根據(jù)條

件的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)式化簡并構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，如下：

例：(多選)己知函數(shù)/(x)=lnx+l-QX有兩個零點苔生化<超)，則()

A.4的取值范圍為(一8,1)B.+x2-X^>1c.x+x2>2D.—+—>2

XlX2

【答案】BCD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點的個數(shù)求出。的取值范圍，進(jìn)而確定加%

的取值范圍，再利用不等式的性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】/(X)=\nx+l-ax=>f'(x)=--a,

因為x>0,所以當(dāng)440時，/a)>OJ(x)單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個零點;

當(dāng)。>0時，當(dāng)時，/'(X)<OJ(K)單調(diào)遞減，當(dāng)O〈x<L時，/(x)>O,/(x)單調(diào)遞增,

aa

所以當(dāng)x=,時，函數(shù)有最大值，最大值為：/(x)z=/d)=ln』+l-42=ln1,

aaaaa

當(dāng)。之1時，/Cv)max=ln-!-<0,所以函數(shù)至多有一個零點；

a

當(dāng)0<。<1時，f(x)^=1n->0,而=當(dāng)X.0時，/(x)->-<0,

a

當(dāng)XfXO時，/(x)-00,所以函數(shù)在(0,1),(1,+8)內(nèi)各有一個零點，所以0<再<1<與，

因此選項A不正確；

選項B：因為0<為<1</，

所以X+工2-X/2-1=(1一%2X/-1)>0=芭+*2一芭工2>1，因此本選項正確;

1.121

選項C：因為/(一)>0,當(dāng)XT0時，/(X)>8,所以。<X]<—<x?,因此---x>—,

aa~ala

22I

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=/(--x)-f(x)=ln(--x)-2-\nx+2ax(xG(0,-]),

aaa

"，/、___I___2(av-l)2

g("一^__x~~x"工(--2)，因為X￡(。,/]，所以g(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

a

因此當(dāng)x—，時，gGx,)>?(-)=/(-)-/(-)=0,又因為/(%)=0,

aaaa

222

所以/(--X])=ln(一一再)一。(一一x)+l-/(x)=g(x)>0,而/(馬)=0，

aaa111

222

因此/(--X1)>/(x,)=>一一X]<x=>x,+X1>->2,所以本選項正確；

aa2a

華~.八1+lnx人~、1+lnx

選項D：/(x)=Inx+1-at=0=>6/=------,令F(x)=-------,

XX

顯然有尸&)=尸(工2)，令小4」,顯然m，因此有:

XlX2

,,1,,1

1+ln-1+ln—

—j—=—j—=>//!-!□/1)=r2(1-InZ2),設(shè)h(x)-x(l-Inx)=x-xInx,

11

所以有/?(%)=-Inx,當(dāng)x>l時，〃(x)v0,方(工)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<l時，方(x)>0,方&)單調(diào)

遞增，因為咐)=/?&),所以

令(p(x)=h(x)-h(2-x)(x€(o,l)),

即"(x)=/?(x)h(2x)=Inx[(1)ln(2x)]=ln(2xx2)=ln[l(xI)2],

因為xc(o,i),所以“a)>o,/X)單調(diào)遞增,

因為。<12<1<。，所以何2)=〃(<2)_A(2f)〈奴1)=0=貽2)〈貿(mào)2-々)，

而貼)=帖),所以砌)<力(2-幻，因為0<與<1<*所以2T2>1,

當(dāng)X>1時，力(%)單調(diào)遞減，因此有4>2-4=4+，2>2,即，+，>2,所以本選項說法正

XlX2

確，

故選：BCD

21

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(±-x造〃x)(xe(O,上］)、

aa

力(x)=x(l-1nx)=x-xlnx、^(x)=A(x)-A(2-A)(XG(0,1)),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)單

調(diào)性進(jìn)行求解.

【舉一反三】

5.已知函數(shù)/(1)=廿+或有兩個零點N，w，且則下列說法不正確的是()

A.a<-eB.x}+x2>In)+2

C.>1D./(x)有極小值點

【答案】C

【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0,

判斷A；根據(jù)方程，指對互化，判斷B：根據(jù)極值點的位置，結(jié)合/'(0)>0,即可判斷C；

根據(jù)A的判斷，即可判斷D.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=e、ax,則/")=/+%

當(dāng)〃20時，/'(x)=e、+Q>0在R上恒成立，所以函數(shù)”x)單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)〃<0時,令/'(X)=b+】>0.解得x>In(-4),令/'(xbe'+a<0,解得x<In(-a).

所以函數(shù)/(x)在(-8』n(r))上單調(diào)遞減，在(ln(-4),+/)上單調(diào)遞增，

因為函數(shù)/(x)=e'+at有兩個零點否,9且為，

對A,貝ij/(ln(—。))=€皿6)+aIn(-a)=-a+1/In(-t?)=-a(\-In(-?))<0,且“<0,

所以1-ln(-a)<0,解得a<-e,所以A正確;

V2

對B,a<-e,且9+。須=0,e+ax2=O,故再=ln(一町)，x2=In(-ax2),

2

所以$+x2=\n(axtx2)=2In(-?)+ln(x,x,)>2+ln(x,x2),所以B正確:

對C,由/(0)=l>0,且rtlA可知，a<-c,ln(-a)>l,則0<%<1,但王天〉］不能確定，

所以C不正確；

對D,由函數(shù)/(X)在(Tjn(-〃))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值點為/=1n(-a),所以D正確;

故選：C.

6.若對任意的X，(加,+8),且X1<X2，都有百一/21n.<2,則/〃的值可能是

再一再

()

￡1

A.D.c.劣D.1

3

【答案】BCD

【分析】將土產(chǎn)<2傳化為暇^號"‘構(gòu)造函數(shù)/(上修’和“導(dǎo)

數(shù)求其單調(diào)遞減區(qū)間即可.

■，…_xInx-,-x,Inx_

［詳解］:-----s---s----<2,且/>演>0,

/一天

InX,+2In*+2

則占Inx2-x2In$<2(%-戈|),整理得

設(shè)/(力=見出，則只需要/(x)=皿望在(〃?,+8)上單調(diào)遞減即可,

X

,/，(上修，

X

令廣(x)<0,解得

e

則(m,+8)q(L+oo,^>-

所以BCD符合,

故選：BCD.

Mil

///

7.已知函數(shù)/(4)=/-.口g(x)=x-lnx,則下列說法正確的是()

A.g(e')在(0,+s)上是增函數(shù)

B.Vx>l,不等式/(ax"/(ln/)恒成立，則正實數(shù)。的最小值為；

C.若/(x)=E有兩個零點石，電,則.+/>0

D.若/(xJ=g(X2)=，/>2),且看>$>0,則的最大值為

工2一網(wǎng)e

【答案】ABD

【分析】A選項中，令/=e、>l，利用導(dǎo)數(shù)可求得g〃)單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本

原則可知A正確；B選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得/(x)在(。,1卬)上單調(diào)遞增，由此可將恒成立

的不等式化為也，令〃(力=也(》>1),利用導(dǎo)數(shù)可求得力(x)z，由。2/(丫)四可

XX

知B正確；C選項中，利用導(dǎo)數(shù)可求得/(x)的單調(diào)性，由此確定若$+%>0,

可等價轉(zhuǎn)化為/&)>/(一,),令"(%)=化為)-/(-%)。<0),利用導(dǎo)數(shù)可求得產(chǎn)(力單調(diào)

性，從而得到尸(力<()，知/&)</(-*)，可得C錯誤：D選項中，采用同構(gòu)法將已知等

式化為/(芭)=/(1|］與)=?(/>2),從而可確定9>1，結(jié)合/(工)單調(diào)性得到占Tux2,

由此化簡得到一見一=學(xué)，令9?)=皿。>2),利用導(dǎo)數(shù)可求得/⑺最大值，知D正確.

x2—x{II

【詳解】對于A,當(dāng)x>()時，e、>l,令f=e',則/>1,g(f)=—政，

..?g'⑺=1一；=?，，當(dāng)/>1時，g'(/)>0恒成立，.4(，)在(1,”)上單調(diào)遞增；

?.?/=?，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

「?根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：g(e”)在(0,+a)上為增函數(shù)，A正確；

對于B,當(dāng)x>l時，Inx2>In1=0,又。為正實數(shù)，一.ax〉。〉。，

=.?.當(dāng)x>0時，/'(x)>0恒成立，:./(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

則由/(at"/(lnx2)得：ax>\nx2,,

令〃(x)="(x>l)，則/⑺=2(J”),

XX

.,.當(dāng)X￡(l,e)時，/f(x)>0；當(dāng)xw(e,+oc)時，/f(x)<0；

.?/(X)在(l,e)上單調(diào)遞增,在(e,+oo)上單調(diào)遞減，.?/(x)m、=Me)=￡,

e

22

則正實數(shù)。的最小值為一，B正確；

ee

對于C,=.,.當(dāng)工<0時?，r(x)<0；當(dāng)工>0時，/”(x)>0；

???/0)在(-,0)上單調(diào)遞減，在(。,+8)上單調(diào)遞增；.:/(')由=/(0)=1，則/>1；

不妨設(shè)不</，則必有芯<0<》2，

若玉+工2>0,則七>一項>0.等價于/(%2)>/(-玉)，

又/卜2)=/㈤，則等價于/(*)>/(一芯)：

令尸(X)=/(X)―/(T)(X<0),則F(x)=e'+eT—2,

,/x<0,,-.0<ev<l?b>1,er+e-x>2>/ev-e-x=2?即產(chǎn)'(x)>0,

.?.1(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增，，尸(x)(0)=0,Bp/(x)</(-x),

?'?/(陽)</(一再)，可知x+%>。不成立，C錯誤；

A,lnV2

對于D,由/(xj=g(x2)=，(f>2),工>%>0得：e-X)=x2-In.r2=e-Inx2=/(z>2),

即/(占)=/(足與)=乂/>2),

由C知：/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；

/(l)=e-l<2,占>1,則工2>%>1,Inx2>0,

\ntIn/In/\nt

"=h?即峭=七...?一=/=五=了：

令。(/)=禁(，>2)，則"a)=i^，

.,.當(dāng)fe(2,e)時,”(f)>0；當(dāng)fe(e,+8)時，^(/)<0；

.?"⑺在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，.?.8(/)1nlix=p(c)=L

e

即一也一的最大值為1,D正確.

々fe

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：本題C選項考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類

似于(/(再)=/(±))的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/(x)的單調(diào)性，得到西的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/(。-x)，求導(dǎo)后可得產(chǎn)W恒正或恒負(fù)；

③得到/。)與/(。-%)的大小關(guān)系后，將/(司)置換為/(￡)：

④根據(jù)馬與。-玉所處的范圍，結(jié)合/(X)的單調(diào)性，可得到X?與的大小關(guān)系，由此證

得結(jié)論.

8.函數(shù)/(x)=xlnx-l的零點為演，函數(shù)g(x)=e'(x-l)-e的零點為9,則下列結(jié)論正確

的是()

Vj2

A.e-Inx(=eB.InXj-i2=1

x：-,

C.c+—>2D.x2+--^—<2

再1-lnXj

【答案】C

【分析】先通過條件，以及歹=上工與),=^的圖象關(guān)于卜=%對稱，y=L的圖象關(guān)于

X

對稱得到x(w-l)=l,然后利用等量代換以及基本不等式可分別判斷各個選項.

【詳解】由已知/(xj=xln.±-1=0,即］呻=’,

xi

tJ

g(x2)=e(x2-l)-e=0,即e>—,

x>-1

令t=x2-\,則e'二;，

乂因為y=lnx與y=e，的圖象關(guān)于丁=》對稱，)，=t的圖象關(guān)于J，=x對稱，

所以，=111.丫與了=廿分別與)，=：的交點關(guān)于y=x對稱，

所以卬=1,即%5-1)=1,

又因為/()=一1<0，/(2)=21n2-l=ln4-lne>0,

由零點存在性定理可知司€(L2),

/、1,所以七e住,2）,

又X］（巧7）=1,gpx2=—+1,

1/7

*、1e1e

對于A：e.爪=y1re,A錯誤：

對于B：In%-s=---x2=（x2-0-x2=-l>B錯誤;

x\

對于C：因為—1）=1，所以'=》2-1,

.-1{1

..e-4—=----+伍一1）之2-^―-（X2-1）=2,

%\八fr黑一-1/

當(dāng)且僅當(dāng)」7=%-1，即三=2時等號成立，又吃41,2

占一112

eX2-'+—>2,C正確：

I

對于D：“2+下G

--F1=----

當(dāng)且僅當(dāng)玉]+_L，即不=°時等號成立，不可能,

川玉

所以—>2,D錯誤.

1I4]

故選：C.

9.已知直線y=-X+2分別與函數(shù)y=和y=ln（2x）的圖象交于點力（斗,必），4億,必）,

則（）

A.c'1+ev'>2eB.XjA,,>

V|

C.—+x2lnx2>0D.e+ln（2x,）>2

xi

【答案】ABD

【分析】A選項，看出y=與y=ln（2x）互為反函數(shù)，確定j，=-x+2也關(guān)于J，=x對稱,

求出/（X，Y），以工2，丁2）兩點關(guān)于（1」）對稱，&+9=2,凹+必=2,x,*x2,A選項，利

/1、11

用基本不等式進(jìn)行證明；B選項，得到5,1,je演=一％+2=0,陽X2=7xe/構(gòu)造

f（x）=xe\xefl1],求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而求出x±>立；C選項，由基本不等式得

/4

到°y構(gòu)造go?”（0,1）,求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到g（xj<g,，得

\x27

到見竺+W1門2<0；D選項，先根據(jù)必+乃=2得到:爐+皿2占）=2,再用作差法比較大

X】2

小.

【詳解】y=與，=皿2力互為反函數(shù)，即兩函數(shù)關(guān)于N=x對稱,

而y=.x+2與y=x垂直，故y=—x+2也關(guān)于y=x對稱，

y=-x+2

聯(lián)立，解得:

y=x卜=1

故4aM,8（%2,必）兩點關(guān)于（u）對稱,

即演十七二2,X產(chǎn)々且必+）‘2=2,乂。%

不妨設(shè)0<$<1,七>1，1<必<2,為<1，

畫出圖象如下:

x,Tlv,v：x+X2

A選項，e+e>27ee=2\le'=2e?當(dāng)且僅當(dāng)9=小，即x1=X2時等號成立,

乂為。士，故等號取不到，A正確;

因為,c(l,2),所以ge』e(l,2),所以演e(ln2,ln4),

因此$>In2>In人=g.故

又4（內(nèi)，必）為y=與），=2-x的交點，故;e”=-玉+2=勺,

所以中2=；書”,令/(])=*，

其中/'（x）=（l+x）e、>0在xj；』）上恒成立,

11

故/(x)=xe'在-,1上單調(diào)遞增,

IN/

所以中2=”>?黑邛,

B正確:

因為0VX［<1,工2>1，菁+工2=2,

所以0＜內(nèi)當(dāng)＜(土產(chǎn)］=1，因此有°＜司＜;＜1,

設(shè)g(x)=￥，xw(OJ)，g")二］二'”(0,1)，

因為xe(O,l),所以g，(x)=Lz學(xué)＞o,因此g(x)=處在xe(01)上單調(diào)遞增,

XJC

,、1n,

當(dāng)0〈Xv-!-vl時，有g(shù)(xj＜g—,即曲±＜—j^=r,lnx2,

當(dāng)

因此把1+工2上工2＜。，C錯誤；

因為必+%=2,所以ge'|+卜(2占)=2,

v,

所以e"+In(2x2)-2=eJln(2xj-+ln(2x2)=ie＞0,

即e*+111(2、2)＞2,D正確.

故選：ABD

【點睛】互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)：①反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域與

定義域；

②嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)存在反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的(比如反比例函數(shù)”

③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)關(guān)于J，=x對稱，

④奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，若有反函數(shù)，則反函數(shù)也時奇函數(shù)；

⑤如果一個函數(shù)圖象關(guān)于歹=x對稱，那么這個函數(shù)一定存在反函數(shù)，并且其反函數(shù)就是它

本身.

2

10.已知函數(shù)/(x)=0+ei-ar有四個零點.占/2，0%(M<々<對<xj,則()

-2I1

A.X]+x>2B.—j=<a<-+—

2eVeee~

C.In(x,x2x3x4)-(X)+x2+x3+x4)=-6D.若x,,則工二出￡

~22

【答案】BCD

x

【分析】根據(jù)函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，令/=/，即方程e￥-e%+l=0有兩根，根據(jù)一

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即可得答

案.

【詳解】由題意知工+e7-o￥=0有四個不同的根，顯然XHO,即￡+1-〃=0,

e'c'ex

X

令，=丁，即/+一一。=0,即eV-c%/+l=0.

ect

X1—Y

另外y==,y=—，

evex

令y=0得x=l,故尸三在區(qū)間（-嗎1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,+功上單調(diào)遞減,

e

Y

當(dāng)x->xo時，j=-->0,如圖所示:

C

根據(jù)題意知e￥-e%f+l=O存在兩根4,*不妨設(shè)心明

貝I」?jié)M足0<4<2，，也=」？.

ee

即有公3=々，3}=