第二章機械振動

第一部分知識總結

內容1:簡諧運動

一、彈簧振子

1.機械振動：物體或物體的一部分在一個位置附近的往復運動稱為機械振動，簡稱振動.

注意：機械振動是機械運動的一種.

2.彈簧振子

/d、

---；

如圖所示，如果球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質量與小球的質量相比也可以忽略，我們把小

球和彈簧組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子.

3.平衡位置；彈簧未形變時，小球所受合力為。的位置.

二、彈簧振子的位移一時間圖像

1.建立坐標系：以小球的平衡位置為坐標原點，沿著它的振動方向建立坐標軸.小球在平衡位置右邊

時它對平衡位置的位移為正，在左邊時為負.如圖.

2.繪制圖像：若用橫軸表示強子運動的時間，，縱軸表示振子在振動過程中離開平衡位置的位移X,則

振子振動的圖像如圖所示，是一條正弦（或余弦）曲線.

三、簡諧運動

1.定義

如果物體的位移與時間的關系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像（.1圖像）是一條正弦曲線，這樣

的振動叫作簡諧運動.

2.特點

簡諧運動是最簡單、最基本的振動，其振動過程關于平衡位置對稱，是一種往復運動.彈簧振子的運

動就是簡諧運動.

3.簡諧運動的圖像（如圖所示）

（1）簡諧運動的圖像是振動物體的位移隨時間的變化規(guī)律.

（2）簡諧運動的圖像是正弦（或余弦）曲線，從圖像上可直接看出不同時刻振動質點的位移大小和方向、

速度大小和方向的變化趨勢.

知識演練

1.關于機械振動的位移和平衡位置，以下說法中正確的是（）

A.平衡位置就是物體振動范圍的中心位置

B.機械振動的位移總是以平衡位置為起點的位移

C.機械振動的物體運動的路程越大，發(fā)生的位移也越大

D.機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移

2.如圖所示，彈簧振子在人兩點間做簡諧運動，當振子從平衡位置。向〃運動過程中（）

B.加速度和速度均不斷增大

C.加速度不斷增大，速度不斷減小

D.加速度不斷減小，速度不斷增大

3.如圖所示是一彈簧振子，設向右為正方向，。為平衡位置，則（）

B.。一＞8時，位移為正，加速度為負

C.時，位移為負，速度為正

D.。一4時，位移為負,加速度為正

4.關于簡諧運動，下列說法中正確的是（）

A.位移的方向總是指向平衡位置

B.加速度方向總和位移方向相反

C.位移方向總和速度方向相反

D.位移方向總和速度方向柱同

5.如圖所示，一個勁度系數(shù)為人的輕彈簧下端固定在擋板上，上端與物塊4連接在一起，物塊4緊挨

著物塊4靜止在斜面上.某時刻洛B迅速移開，A將在斜面上做簡諧運動，已知物塊4、B的質量分別為

"如若取沿斜面向上為正方向，移開B的時刻為計時起點，則A的振動位移隨時間變化的圖像是（）

內容2：簡諧運動的描述

一、描述簡諧運動的物理量

1.振幅

（1）定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，叫作振動的振幅.用4表示，國際單位為米（m）.

（2）物理含義：振幅是描述振動范圍的物理量；振幅的大小反映J'振動的強弱和振動系統(tǒng)能量的大小.

2.周期（7）和頻率⑺

內容周期頻率

做簡諧運動的物體完成一次全振動所物體完成全振動的次數(shù)與所用時間之

定義

需要的時間比

單位秒（S）赫茲（Hz）

物理含義都是表示振動快慢的物理量

聯(lián)系/=）

J/

注意：不管以哪個位置作為研究起點，做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間總是相同的.

3.相位：在物理學中，周期性運動在各個時刻所處的不同狀態(tài)用不同的相位來描述.

二、簡諧運動的表達式

1.表達式：簡諧運動的表達式可以寫成

x=Asin（①什。）或x=A$in（第+。）

2.表達式中各量的意義

（1）””表示簡諧運動的“振幅”.

（2）①是一個與頻率成正比的物理量，叫簡諧運動的圓頻率.

（3）“〃表示簡諧運動的周期，^表示簡諧運動的頻率，它們之間的關系為T=/

（4）嘮+/或“2sb°”表示簡諧運動的相位.

（5）“必表示簡諧運動的初相位，簡稱初相.

說明：

1.相位M+伊是隨時間變化的一個變量.

2.相位每增加2兀就意味著完成了一次全振動.

知識演練

1.下列說法正確的是（）

A.物體完成一次全振動，通過的位移是4個振幅

B.物體在9個周期內，通過的路程是1個振幅

C.物體在1個周期內，通過的路程是4個振幅

D.物體在;個周期內，通過的路程是3個振幅

2.如圖所示，機為在光滑水平面.匕的彈簧振子，彈簧形變的最大限度為20cm,圖中P位置是彈簧振

子處「自然伸長狀態(tài)的位置，若將振子，〃向右拉動5cm后由靜止釋放，經過0.5s后振子機第一次回到P

位置，關于該彈簧振子，下列說法正確的是（）

A.該彈簧振子的振動頻率為1Hz

B.在。位置給振子機任意一個向左或向右的初速度，只要最大位移不超過20cm,總是經過0.5s速

度就降為。

C.若將振子〃?向左拉動2cm后由靜止釋放，振子m連續(xù)兩次經過P位置的時間間隔是2s

D.若將振子〃?向右拉動10cm后由靜止釋放，經過1s振子/〃第一次回到。位置

3.一個質點在水平方向上做簡諧運動的位移隨時間變化的關系是x=5sin5w（cm）,則下列判斷正確的

（2）在平衡位置處，動能最大，勢能最小.

2.簡諧運動的能量特點：在簡諧運動中，振動系統(tǒng)的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損

耗，因此簡諧運動是一種理想化的模型.

知識演練

1.（多選）關于做簡諧運動物體的平衡位置，下列敘述正確的是（）

A.是回復力為零的位置

R.是同亞力產生的加速度改變方向的位置

C.是速度為零的位置

D.是回復力產生的加速度為零的位置

2.（多選）關于簡諧運動，以下說法正確的是（）

A.回復力可能是物體受到的合外力

B.回復力是根據(jù)力的作用效果命名的

C.振動中位移的方向是不變的

D.物體振動到平衡位置時所受合外力一定等于零

3.（多選）如圖所示是某一質點做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是（）

A.在第1s內，質點速度逐漸增大

B.在第2s內，質點速度逐漸增大

C.在第3s內，動能轉化為勢能

D.在第4s內，動能轉化為勢能

4.如圖所示，將彈簧振子從平衡位置拉下一段距離入丫，釋放后振子在A、3間振動，且48=20cm,振

子由人到B的時間為0.1s.若使妻子在八B=10cm間振動，則振子由A到8的時間為.

---B—^―

6??1?-020cm

L?

..I.-4-I-

5.如圖所示，把一個有孔的小球人裝在輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在沿x軸的水平

光滑桿上，且能夠在桿上自由滑動.把小球沿工軸拉開一段距離，小球將做振幅為R的振動，。為振動的

平衡位置.另一小球8在豎直平面內以O,為圓心，在電動機的帶動下，沿順時針方向做半徑為R的勻速圓

周運動.。與O,在同一豎直線上.用豎直向卜的平行光照射小球從適當調整4的轉速，可以觀察到，小

球B在x軸方向上的“影子”和小球A在任何瞬間都重合.已知彈簧勁度系數(shù)為小球A的質量為〃?，彈簧

的彈性勢能表達式為耳=；叱，其中2是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧的形變量.

問題：（1）請結合以上實驗證明：小球A振動的周期

（2）簡諧運動的一種定義：如果質點的位移工與時間1的關系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像?！?/p>

圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫作簡諧運動.請根據(jù)這個定義并結合以上實驗證明：小球A在彈簧作

用下的振動是簡諧運動，并寫出用已知量表示的位移x與時間，關系的表達式.

內容4：單擺

一、單擺及單擺的回復力

1.單擺模型

如果細線的長度不可改變，細線的質量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，

這樣的裝置就叫作單擺.單擺是實際擺的理想化模型.

在單擺模型里，懸線無彈性、不可伸縮、沒有質量，小球是質點，單擺是一個理想化的模型.

2.單擺的回復力

（1）回復力的提供：擺球的重力沿切線方向的分力，即尸=〃取sin_。

（2）回復力的特點：在偏角很小時，單擺所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向

平衡位置.

（3）運動規(guī)律：單擺在偏角很小時做簡諧運動，其振動圖像遵循正弦函數(shù)規(guī)律.

二、單擺的周期

1.影響單擺周期的因素

（1）單擺的周期與擺球質量、振幅無關.

（2）單擺的周期與擺長有關，擺長越長，周期越大.

2.周期公式

（1）公式：T=2TT\J^.

（2）單擺的等時性：單擺的周期與振幅無關的性質.

知識演練

1.（多選）關于單擺，下列說法正確的是（）

A.擺球受到的問復力是它所受的合力

B.擺球經過平衡位置時，所受的合力不為零

C.擺角很小時，投球所受合力的大小跟投球相對于平衡位置的位移大小成正比

D.擺角很小時，擺球的回復力的大小跟擺球相時平衡位置的位移大小成正比

2.（多選）發(fā)生下述哪一種情況時，單擺周期會增大（）

A.增大擺球質量B.增加擺長

C.減小單擺振幅D.將單擺由山下移到山頂

A./I時刻擺球速度為零,懸線對它的拉力最小

B.時刻擺球速度最大,但加速度不為零

C.時刻擺球速度為零,懸線對它的拉力最大

D.時刻擺球速度最大,懸線對它的拉力最大

若單擺的擺長不變，擺球的質量增加為原來的4倍，擺球經過平衡位置時的速度減小為原來的;,

4.

則單擺擺動的頻率，振幅變.

5.如圖所示，AC3為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R,.甲球從弧形槽的球心處自由落下，乙球

從A點由靜止釋放.

問題：（I）兩球第1次到達C點的時間之比.

（2）若在圓弧的最低點。的正上方〃處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時乙球從圓弧左側由靜

止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點。處相遇，則甲球下落的高度〃是多少？

內容5：受迫振動共振

一、振動中的能量損失

1.固有振動

如果振動系統(tǒng)不受外力的作用，此時的振動叫作固有振動，其振動頻率稱為固有頻率.

2.阻尼振動

（1）阻力作用下的振動

當振動系統(tǒng)受到阻力的作用時，振動受到了阻尼，系統(tǒng)克服阻尼的作用要做功，消耗機械能，因而振

幅減小，最后停下來.

（2）阻尼振動

振幅隨時間逐漸減小的振動.振動系統(tǒng)受到的阻尼越大，振幅減小得越快，阻尼振動的圖像如圖所示,

振幅越來越小，最后停止振動.

二、受迫振動、共振

1.受迫振動

（1）驅動力：作用于振動系統(tǒng)的周期性的外力.

（2）受迫振動：振動系統(tǒng)在驅動力作用下的振動.

（3）受迫振動的頻率：做受迫振動的系統(tǒng)振動穩(wěn)定后，其振動頻率等于驅動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有

頻率沒有關系.

2.共振

（1）定義：當驅動力的頻率等于振動物體的固有頻率時，物體做受迫振動的振幅達到最大值的現(xiàn)象.

（2）條件：驅動力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率.

（3）特征：共振時受迫振動的振幅最大.

（4）共振曲線：如圖所示.表示受迫振動的振幅A與驅動力頻率/的關系圖像，圖中力）為振動物體的

固有頻率.

知識演練

1.（多選）單擺在振動過程中，擺動幅度越來越小，這是因為（）

A.單擺做的是阻尼振動

B.能量正在逐漸消滅

C.動能正在轉化為勢能

D.總能量守恒，減少的機械能轉化為內能

A.只有A、C擺振動周期相等

B.A擺的振幅比8擺的小

C.3擺的振幅比C擺的小

D.B、C兩擺振動時的振幅與其擺長有關，而周期與擺長無關

3.（多選）一臺洗衣機的脫水桶正常工作時非常平衡，當切斷電源后，發(fā)現(xiàn)洗衣機先是振動越來越劇烈,

然后振動逐漸減弱，下列說法中正確的是（）

A.正常工作時洗衣機做的是受迫振動

B.正常工作時，洗衣機脫水桶運轉的頻率比洗衣機的固有頻率大

C.正常工作時，洗衣機脫水桶運轉的頻率比洗衣機的固有頻率小

D.當洗衣機振動最劇烈時，脫水桶的運轉頻率恰好等于洗衣機的固有頻率

A.甲的振幅較大

B.甲的振動頻率為9Hz

C.乙的振幅較大

D.乙的振動頻率為9Hz

5.如圖所示，一個豎直圓盤轉動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一個T形支架在豎直方向振動，T形

支架的下面系著一個由彈簧和小球組成的振動系統(tǒng)，小球浸沒在水中.當圓盤靜止時，讓小球在水中振動，

其阻尼振動的頻率約為3Hz.現(xiàn)使圓盤以4s的周期勻速轉動，經過一段時間后，小球振動達到穩(wěn)定.

問題：小球穩(wěn)定后它振動的頻率是多少？

第二部分專題講解

專題1：簡諧運動的周期性和對稱性

1.做簡諧運動的物體在完成一次全振動后，再次振動時則是重復上一個振動的形式，所以做簡諧運動的

物體具有周期性.

2.做簡諧運動的物體其運動具有對稱性.對稱性表現(xiàn)在：

(1)速率的對稱性：系統(tǒng)在關于平衡位置對稱的兩位置具有相等的速率.

(2)加速度的對稱性：系統(tǒng)在關于平衡位置對稱的兩位置具有等大反向的加速度和回復力.

(3)時間的對稱性：系統(tǒng)通過關于平衡位置對稱的兩段位移的時間相等.振動過程中通過任意兩點4、

B的時間與逆向通過該段的時間相等.

[例1]一個質點在平衡位置。點的附近做簡諧運動，它離開。點后經過3s時間第一次經過M點,

再經過2s第二次經過M點，該質點再經過________s第三次經過M點.若該質點由。點出發(fā)在20s內經

過的路程是2()cm,則質點振動的振幅為cm.

【技巧與方法】

由「簡諧運動的周期性和初始條件的不確定性，往往引起此類問題的多解，解決此類問題時要將題目

分析透徹，弄清各種可能性，切勿漏解.

【針對訓練】

1.光滑水平面上的彈簧振子，振子質量為50g,若在彈簧振子被拉到最大位移處釋放時開始計時，在

f=0.2s時，振子第一次通過平衡位置，此時速度為4m/s.則在，=1.2s末，彈簧的彈性勢能為J,

該彈簧振子做簡諧運動時其動能的變化頻率為Hz,lmin內，彈簧彈力對彈簧振子做正功的次數(shù)為

_________次,

專題2：簡諧運動的圖像及應用

簡諧運動的圖像描述了振動質點的位移隨時間變化的規(guī)律.從圖像中可以確定位移、速度、加速度、

動能和勢能等物理量以及它們的變化規(guī)律，具體分析如下:

項目內容說明

橫、縱軸表示的物①振動的圖像不是振動

橫軸表示時間，縱軸表示質點的位移

理量質點的運動軌跡

意義表示振動質點的位移隨時間變化的規(guī)律②計時起點一旦確定，

形狀已經形成的圖像形狀不

①直接從圖像上讀出周期和振幅變，以后的圖像隨時間

②確定任一時刻質點相對平衡位置的位移向后延伸

應用③判斷任意時刻振動質點的速度方向和加速度方向③簡諧運動圖像的具體

④判斷某段時間內振動質點的位移、速度、加速度、動能形狀跟正方向的規(guī)定有

及勢能大小的變化情況關

【例2】（多選）如圖中所示，彈簧振子以點O為平衡位置，在A、8兩點之間做簡諧運動.取向右為

正方向，振子的位移x隨時間，的變化如圖乙所示，下列說法正確的是（）

甲乙

A.1=0.8s時，振子的速度方向向左

B.f=0.2s時，振子在。點右側6出cm處

C.1=0.4s和f=1.2s時，振子的加速度完全相同

D.f=0.4s到f=0.8s的時間內，振子的速度逐漸增大

【針對訓練】

2.（多選）一質點做簡諧運動，其位移x與時間/的關系曲線如圖所示，由圖可知（）

A.質點振動頻率是0.25Hz

B.，=2s時，質點的加速度最大

C.質點的振幅為2cm

D.f=3s時，質點所受的合外力一定為零

專題3：單擺周期公式的應用

1.對單授周期公式的理解

（1）單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立.

（2