第六章平面向量及其應(yīng)用單元復習提升

（易錯與拓展）

易錯易混

易錯點1忽略向量平行（共線）同向還是反向

【指點迷津】向量的共線指方向相同，或者方向相反，與三點共線是有區(qū)別的，兩個向量的共線在位置

上可以是在同一條直線上的兩個向量，也可以是兩條平行線上的兩個向量；

典例1（2024高二下?黑龍江?學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，與而相等的向量是（）

DC

￡7

AB

A.BCB.ACC.ADD.DC

典例2（23-24高一下?全國?課后作業(yè)）如圖所示，在等腰梯形力中，AB!/CDt對角線BD

交于點O,過點。作交力。于點M,交4C于點N,則在以4,B,C,D,M,O,N為起

點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有______對.

:O二<

跟蹤訓練1（24?25高一下?全國?課前預習）如圖，在矩形47元中，AC=:2AF,R,E分別為邊4C,

O/的中點，在以力，B,C,D,E,/為起點和終點的所有有向線段表示的向量中：

ABC

山

FED

⑴分別找出與萬，萬相反的向量;

（2）分別找出與萬，赤相等的向量.

跟蹤訓練2（24-25高一下?全國?課堂例題）如圖所示，V/8C的三邊長均不相等，E,F,。分別是邊

ACf4B,EC的中點.在以力，B,C,D,E,f為起點和終點的所有有向線段表示的向量中:

⑴找出與屋相等的向量；

⑵分別找出與麗，而，歷相反的向量.

易錯點2忽視零向量

【指點迷津】零向量的方向是任意的，零向量與任意向量平行；平行關(guān)系注意別忽視了零向量；

典例1（23?24高一下?江蘇南京?階段練習）下列命題中，正確的個數(shù)是（）

①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；

③若。/力，則存在唯一實數(shù)幺使得。=/lB;

④兩個非零向量.，若J"小同+跖貝/與6共線且反向；

⑤若）〃尻方則

A.0個B.1個C.2個D.3個

典例2（23-24高一下?新疆烏魯木齊?期末）下列命題：

①若同叫則才="或1=-1②G=B的充要條件是同明且

③若。/區(qū)，bllcy則④起點相同的單位向量，終點必相同

其中，真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

跟蹤訓練1（23?24高二下?江蘇泰州?階段練習）給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.。=（1,1,1）為單位向量B.若a/區(qū)b//c?則q//c

C.若入B，〈共面,則它們所在的直線共面D.已知￡=（-2,-1,3）,6=（1,2,2）,則￡在I上的投影向

量為舄a

跟蹤訓練2（23?24高一下?廣東廣州期中）下列說法正確的是（）

A.若1/區(qū)，bHc?則。B.若d=B，則2QV3B

2

C.對任意非零向量G,而是和它同向的一個單位向量D.零向量沒有方向

易錯點3忽視向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律

【指點迷津】注意多個向量點成時，注意不滿足結(jié)合律

典例1（24?25高二上?山東泰安?開學考試）設(shè)￡3]是任意三個非零向量且互不共線，下列各式正確的

是（）

——--2—2a?bb

A.（ah）=ci-hB.^~==

aa

C.[ab\c=（ac\h=^D.,小同啊

典例2（24-25高一?上海?課堂例題）若入B、2是三個任意向量，則下列運算中錯誤的是（）

A.（4/卜。=4@?。）；B.^ci+b=（￡+町；

C.^a+f）yc=ac+bc?D.=a-2a-b+b'.

跟蹤訓練1（2024高一下?全國?專題練習）對于任意向量下列命題中正確的是（）

A.內(nèi)B.|“+6|=|。|+網(wǎng)

C.（ab）c=a（bc）D?|￡|=日

跟蹤訓練2（多選）（23-24高一下?山東泰安?階段練習）設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正

確的是（）

A.03=0B.伍7）1=心（方1）

C.ab=0=>a±bD.（ci+b）-（a—b）=\af—|^|2

易錯點4求向量模時忽視開根號

【指點迷津】求向量模時注意開根號：|同=行；

典例1（24-25高三上?四川?階段練習）已知單位向量￡滿足而+加同1副，則|￡+2"=（）

A.8B.3C.2x/2D.M

典例2（2024高三?全國?專題練習）己知向量G,g滿足）=（1,1）,同=2,伍一孫石=1,則,-可=（）

A.2B.75C.x/6D.

跟蹤訓練1（2025高三?全國?專題練習）已知向量譏B滿足5工入僅+何）3=4相，則村=（）

A.2B.2&C.4D.46

跟蹤訓練2（24?25高三上?河北滄州?階段練習）已知向量療滿足同=夜網(wǎng)=1,且0-則

\a+2b\=（）

3

易錯點6誤解sin24=sin28為4=8而造成漏解

【指點迷津】在三角形中，解sin2/=sin28,很多考生直接得到24=28,而忽視了24+24=》而

造成漏解。

典例1(24-25高一上?上海?課后作業(yè))在V48C中，若￡=螞1,試判斷VX8C的形狀.

b"tanB

跟蹤訓練1(23-24高三上?寧夏銀川?階段練習)在V48C中，內(nèi)角48,C所對的邊分別是。,仇。，且

Z)2tan>4=/tan4.

⑴判斷此V/8C形狀；

(2)點。是線段的中點，若4。=5,求V48C面積的最大值.

易錯點7解三角形周長，邊長，忽視了銳角三角形這個重要條件

【指點迷津】在解銳角三角形中周長取值范圍問題時，忽視了銳角這個條件而錯誤的使用兩邊之和大于

第三邊，兩邊只差小于第三邊，造成范圍放大。

典例1(24-25高三上?遼寧大連?期中)己知函數(shù)/(x)=48SX-sin(x+E)-l,“灰?中的三個內(nèi)角A,

B,C的對邊長分別為。，b,cf/(4)=1.

⑴求角8的大小；

(2)若4c為銳角三角形，c=2,求V/18C周長的取值范圍.

5

典例2（2024高二上?云南?學業(yè)考試）在V/14C中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、力、c,且

b2+c2-a2=bc.

⑴求cosZ的值；

⑵若8c是銳角三角形，a=0求b+c的取值范圍.

跟蹤訓練1（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）"BC中,角4R,。所對的邊分別為a,b,c,

=（sinC-sinB,b-a）,H=（c+Z>,sin,且記i=0.

⑴求角C的值：

⑵若△川%:為銳角三角形，且c=l,求V/13C周長的取值范圍.

跟蹤訓練2（24?25高二上?湖北恩施期中）記VH8C的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為“，b,ct且

47COsC+x/3asinC-/?-c=0.

⑴求4

⑵若V/AC為銳角三角形，且a=4,求V/18C的周長的取值范圍.

6

拓展1自主建系法求平面向量數(shù)量積問題

典例1（23?24高一下?河北保定?期末）已知VABC的外接圓圓心為0,且2行=與+%，|明=|祀卜1,

點。是線段4。上一動點，則加?麗的最小值是（）

1193

A.一一B.——C.——D.一一

416168

典例2（23-24高三上?貴州貴陽?階段練習）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民

間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長為4的正六

邊形4BCDEF,內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心。，圓。的半徑為2,點P在圓。上運動，則而.礪

的最小值為（）

CD

乙

典例3（23-24高三上?天津濱海新?期末）如圖，梯形48C。，ABUCD且AB=5,AD=2DC=4t

ACBD=Of貝吐8力。=,￡在線段8c上，則亞.瓦的最小值為.

跟蹤訓練1（23-24高一下?江蘇連云港?期末）在梯形/8C0中，力8〃。。,/8力。為鈍角，且

AB=AD=2DC=2f若E為線段BD上一點,AE=BE,則屁.就=（）

132

A.5R.1C.-D.-

跟蹤訓練2（24-25高三上?天津?階段練習）已知V48C中，AB=6t4c=3,且R布+（2-22）天|（4wR）

的最小值為3石，若P為邊兒?上任意一點，則而?定的最小值是.

跟蹤訓練3（24?25高三上?天津南開?階段練習）已知扇形水必半徑為1,408=60°,弧藍上的點。

滿足訴=丸工5+〃。夙4〃6R）,則％+〃的最大值是；蘇.而最小值是.

7

A

拓展2平面向量模的最值問題

典例1（23-24高一下?河南濮陽?階段練習）已知在V/18C中，JZ?sinZ?=l,貝4同+2%|的最小值

為.

典例2（2024高三?全國?專題練習）己知。為坐標原點，礪麗為單位向量，且向國專，

OC=OA+AOB.若V/e（O收），|/汝-西存在最小值，則正數(shù)2的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,+8）D.（0,2）

典例3（2024?天津?一模）已知平行四邊形力BCD的面積為6后，Z^D=y,且詼=2反.若廣為線

段。七上的動點，且而=29+，方，則實數(shù)4的值為;|祠的最小值為.

跟蹤訓練1（2024高三?全國專題練習）己知向量G,B,1滿足3=（3,0）,^=（0,4）,

I=“+（1T）”/UR）,則問的最小值為（）

5六12-36、48

A.一B.—C.—D.—

6555

跟蹤訓練2（2024高一下?浙江?競賽）已知平面上單位向量石,3垂直，1為任意單位向量，且存在f￡（0.1）,

使得向量2+（1-昉與向量尸V垂直，貝!1歸+坂山的最小值為.

跟蹤訓練3（2023?四川成都?二模）已知向量"=（cose,sin0）,向量B=G）,則悔-可的最大值

是.

拓展3三角形中周長（邊）的最值，范圍問題

典例1（24?25高二上?四川眉山?階段練習）記V48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，h,。，已知

a+acosC=Gcsin（B+C）.

⑴求角。的大小；

⑵若點。在48上，CQ平分N/C5,a=2,c=@,求CD的長；

（3）若該三角形為銳角三角形，且面積為6,求。的取值范圍.

8

典例2(22-23高三上?河北唐山?開學考試)在銳角V/18C中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,

c_siivl+sinZ?

a-bsinJ-sinC,

⑴求角8;

(2)若〃=2,求〃+c的取值范圍.

典例3(23?24高一下?廣東廣州?期末)如圖，在V48C中，AB=5,AC=7/ABC=60。.

⑴求8C的長；

(2)己知點O在平面內(nèi)，且/ADB=/ACB,求四邊形力8QC的周長的最大值.

9

跟蹤訓練1（23?24高二上?黑龍江哈爾濱期末）在V48C中，角的對邊分別為。力工，且

2acosA-bcusC=ccanB?

⑴求角A的大小；

（2）若a=2,求/）+。的取值范圍.

跟蹤訓練2（23-24高一下?山東濟南期末）如圖，\；48。內(nèi)角45。的對邊分別為〃/了，。為邊8c上

一點,RADIACFZACB=ZBAD.

(1)己知sin4C8=t

CD

<i）求W的值;

DD

(ii)若8O=j5,求v48c的面積;

h2+c2

⑵求的最小值.

a~

10

跟蹤訓練3(23-24高一下?上海寶山?階段練習)2021年5月，第十屆中國花卉博覽會將在美麗的崇明

島舉辦，主辦方要對布展區(qū)域精心規(guī)劃.如圖，凸四邊形力6c0是一個花卉布展區(qū)域的平面示意圖，為

了展示不同品種的花卉，將連接，經(jīng)測量己知AB=BC=CD=2,AD=2瓜

(1)若ZC=120°,求此花卉布展區(qū)域總面積；

(2)求證：GcosX-cosC為一個定值；

(3)在銳角V48C中，內(nèi)角4B,C對的邊分別為a,b,c.若/+力,-l,c=1,求Qq-b的取

值范圍

拓展4三角形、四邊形面積最值，范圍問題

典例1(24-25高三上?四川宜賓?階段練習)在銳角V/8C中，角力、H、C的對邊分別是〃、b、c,且滿

足(2a-c)而比二c赤石.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若c=3,求V/1BC面積的取值范圍.

II

典例2(24?25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習)在銳角V力8c中，角4B,C的對邊分別為

b,c,S為V/8C的面積，且2S=/-S-c『.

(1)求sin4+2cos4的值；

(2)已知。=2,求V48C的面積的最大值.

典例3(24?25高三上?廣東深圳?階段練習)V48C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2c2=(a2+c2-b-)(tanJ+tan^).

⑴求4

⑵若V/出。為銳角三角形，且〃=2,求V/4C面積的取值范圍.

跟蹤訓練1(24?25高三上?湖北武漢?期中)在V力8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,

GasinC-acosC=c-b?

⑴求A；

(2)若角A的平分線交邊8C于點。，力。=百，求V48C面積的最小值.

12

跟蹤訓練2(24?25高三上?廣東?階段練習)已知向量G=(COSM-1),6=(s加弓｝設(shè)函數(shù)

/(x)=2("+5).萬.

⑴當XC-蓊時,求函數(shù)/(X)的值域；

(2)己知在△板中，內(nèi)角力、B、C的對邊分別為〃、b、c,若a=2,且/(撲(求”8。面積的

最大值.

跟蹤訓練3(23-24高二下?云南曲靖?階段練習)在①asinC=ViccosZ;

(2)(67+/>+c)(sin5+sinC-sin.4)=3bsinC；③acosC+\&sinC=6+c這三個條件中任選一個，補充在

下面的橫線上，并加以解答.

在V43C中，內(nèi)角A、8、。的對邊分別是〃、b、ct且滿足_(填條件序號).

⑴求角A；

(2)。=2,求5“8c"的最大值.

注:如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分.

13

過關(guān)訓練

一、單選題

1.（24-25高三上?安徽?階段練W）已知向量￡=（百,0），且向量“與B的夾角為3,貝的最小值為

（）

A.1B.V2C.2D.4

2.（2022?山東濟南?二模）如圖，△/EC是邊長為3的等邊三角形，O在線段上，且詼=2反，E

為線段力。上一點，若A/IBE與△4C0的面積相等，則而就的值為（）

3.（2024?山東威海?一模）在V/8C中，Zi?/1C=90S|^5|-|^c|=l,。是V48。所在平面內(nèi)一點,

A.5+2石B.10+20C.5-26D.10-26

4.（24?25高三上?山東泰安?階段練習）設(shè)V/8C是邊長為1的正三角形，，必是V/8C所在平面上的一點，

且滿足礪+22麗+沅=有，則當說.沅取最小值，力的值為（）

A.yB.3C.1D.2

二、填空題

5.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）在V48C中，/歷IC=120>8=2,4C=1,。是8C邊上靠近8點

的三等分點，石是8c邊上的動點，則荏.函的取值范圍為.

6.（24-25高三上?山東臨沂?階段練習）如圖所示，正V/14C的邊長為1,以4c的中點。為圓心，8c為直

徑在點A的另一側(cè)作半圓弧前，點。在圓弧上運動，則萬.萬的取值范圍為.

14

c

o

AB

2

7.（2024?天津濱海新?三模）在平行四邊形/8CO中，/4=60。，AD=-ABr點E在邊DC上,滿足

D￡=lbC,則向量存在向量而上的投影向量為（請用而表示）；若相=3,點M,N

分別為線段/<8,8c上的動點，滿足8A/+8N=1,則麗?麗的最小值為.

8.（24-25高三上?天津?期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇％是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇

面的能折疊的扇子，如圖1.其展開幾何圖是如圖2的扇形水用，其中/力。8=120。，OC=2f04=4,

三、解答題

9.（2025屆江西省“三新”協(xié)同教研共同體高三聯(lián)考模擬預測數(shù)學試題）在V力4c中，記角4B,。的對

邊分別為a,b,c,已知75。=JSccosB+bsinC.

（1）求角C；

（2）若c=5,且的面積為2百，求V4也的周長.

10.（24-25高三上?山西大同?階段練習）記V48C的內(nèi)角48,C的對邊分別為q,Ac.已知3=坐練.