專題1-5抽象函數(shù)賦值與構(gòu)造

一、抽象函數(shù)的賦值法

賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，復制規(guī)律一般有以下幾種：

I.....-2,-10,1,2……等特殊值代入求解：

2、通過/(%)一/(%)的變換判定單調(diào)性；

3、令式子中出現(xiàn)了(x)及判定抽象函數(shù)的奇偶性；

4、換x為x+T確定周期性.

二、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)/(x+)，)=???,判斷符號時要變乃為：

/((公一玉)+陽)一/(%)或/(占)一/(x)=/(占)一/(u,-%2)+x2)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)/(4，)=...,判斷符號時要變形為：

/(x2)-/(x,)=/x,?土］-/(X,)或/(x2)-/(%,)=/(x2)-/fx2—?

<XJkX2)

三、常見的抽象函數(shù)模型

I、1(x+y)=〃％)+/(y)可看做/(%)="的抽象表達式;

2、f(x+y)=f(x)f(y)可看做/(%)=>的抽象表達式(。>0且awl)；

3、/(個)=/(x)+/(y)可看做/(x)=log“x的抽象表達式(”>0且。工1)；

4、/(孫)=/(x)/(y)可看做〃x)=￡的抽象表達式.

高考真題?回顧

2022新高考2卷T8

22

1.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/G%〃i)=i,則￡>(幻=()

hl

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的/。),/(2),…,/(6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因為/(x+y)+/(x-y)=/(x).f(y),令x=Ly=?？傻茫?/(i)=/(i)/(o),所以/(。)=2,令工=0可得，

/")+/㈠)=2/(力，即f(y)=f(-y),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知〃x+2)=—〃x—l),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x—4),即/(x)=/5+6),所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/。)+/(2)+…+f⑹=0.由于22除以6余4,

所以￡/伙)=/'⑴+/(2)+/(3)+/(4)=1-2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由/(工+)，)+/(工一曰=/(力/(》)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosACOS)：,可設/(A)=acoscox,則由方法一中/(0)=2J⑴=1知a=2,acos<w=l,

解得cos《o=；,取0=m,

所以/(x)=2cos?x,則

f(x+y)+/(x-y)=2cos4cos^xcosy.￥=/(x)/(y),所以〃x)=2cos—,v

JJ3

7=至=6

符合條件，因此/*)的周期丁，/(0)=2J⑴=1,

3

/⑵=TJ⑶=-2〃4)=TJ⑸=1J⑹=2,所以f⑴+f⑵+f(3)+f(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

所以￡/伙)=/⑴+/(2)+〃3)+/(4)=1—1—2—1=—3.故選：A.

?=1

【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題,

簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

2023新高考1卷TU

2.(多選)已知函數(shù)/(月的定義域為R,/(孫)=y2/(x)+x7(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(力是偶函數(shù)D.x=0為/(力的極小值點

【答案】ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/*)=。即可排除選項

D.

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)=進行判斷即可.

0,x=0

【詳解】方法一：

因為/(孫)=了7(制+//(),),

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=。，故B正班.

對于C,令x=y=-1,/(1)=/(-1)1-/(-1)=2/(-1),則/(—1)=0,

【答案】-1

【分析】采用賦值的方式可求得了(()),令>=1和丁=一犬可證得/W的對稱軸和奇偶性，由此可推

導得到了(力的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.

【詳解】令x=y=l,則〃2)=〃1)/(0)+〃0)/(1)=2/(0)=0,"(0)=0；

令X=2,y=-\,則〃1)-尸⑵+fZ(_i)_/2(fT,又

令y=l,則/(x+l)=/(力/(0)+/(1-刈/(1)=/(1一力，\/(X)關于直線X=1對稱；

令y=T,W'J/(O)=/(-v)/(l+x)+/(l-x)/(-x)=[/(x)+/(-x)]/(l+x)=O,

?.?/(1+”=0不恒成立，/./(x)+〃r)=0恒成立，\/⑴為奇函數(shù)，

?.?/(x+2)=/(-x)=-f(x),「J(x+4)=-f(x+2)=/(%),

\/(x)是周期為4的周期函數(shù)，.J(55)=〃4X14-1)=/(-1)=T.

故答案為：

2023?山東濱州?三模

2.(多選)已知連續(xù)函數(shù)/*)對任意實數(shù)X恒有/(x+y)=/*)+/(y),當￡>0時，/*)V0,/⑴=-2,

則以卜說法中止確的是()

A./(0)=0

B.火幻是R上的奇函數(shù)

C.火幻在[-3,3]上的最大值是6

2

D.不等式/(3/)-2/。)</(3工)+4的解集為,

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)"V)對任意實數(shù)X恒有/(x+y)=/(x)+/(y),令x=y=0,可得/(0)=。，判斷奇偶性

和單調(diào)性，即可判斷選項；

【詳解】解：對于A,函數(shù)/出對任意實數(shù):恒有ra+y)=fa)+/(y),

令％=y=0,可得/(0)=0,A正不角：

對于B,令x=—y,可得/(0)="V)+/'(T)=0,所以/*)=-f(T),

所以人幻是奇函數(shù)：B正確；

對于c,令則/(y)-/(￡l=/(y)+/(—力=/(丁一工)，

因為當心>0時，Av)<o,

所以〃y-x)<0,即，(y)-”H〈o,

所以f(X)在(o,+°°)，(Y°，o)均遞減，

因為fa)〈o,所以/⑶在u上遞減;

/(1)=-2,可得/(-1)=2；

令y=i,

可得/(x+l)=/(x)—2

〃2)一

/(3)=-6；

/(3)=-/(-3)=6,

?,J(x)在［-3,3］上的最大值是6,C正確:

對卜D,由不等式/(3/)-2/(x)</(3x)+4的可得/(3./)</*)+m)+/(3b+4,

即f(3./)v/(2%+3%)+4,

v4=/(-2),

/./(3A-2)</(2A+3X)+/(-2),

則f(3/)<f(5x-2),

/.3.r2>5x-2?

2

解得：或工>1；

D不對；

故選：ABC.

安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學期10月第二次聯(lián)考

3.已知函數(shù))，=/(",xeR不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①/(a+b)+/(a叫=其中

a,beR；?/(l)=0,則/(-2026)=()

A.0B.1C.2D.-2

【答案】D

【分析】先令匕=0,得到"0)=2,再令1=1,得至iJ/(a+2)=-f(a),根據(jù)函數(shù)的周期性得到函數(shù)y=/(x)

的周期為4,即可求解.

【詳解】由題意令。=0,得2/(。)=/(。)/(0),乂)，=f(x)不是常數(shù)函數(shù)，

所以/(0)=2,再令〃=1,得=

即“a+l)+/(a—1)=0,則/(a+2)=_/(a),

即一/(〃)=/(。-2),故/(。)==(。+4),

所以函數(shù)y=/(x)的周期為4,

所以/(-2026)=f(2+4x506)=/(2)=-/(0)=-2,

故選:D.

4.(多選)已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/(⑼=f(x)/(y)-f(x)-f(y)+2J(0)<2,〃0)w/(l),

且/(6>0,則()

A./(0)=1B./(-1)=2

C./(-x)=2/(x)D.f(-x)=f(x)

【答案】ABD

【分析】由已知，利用賦值法計算判斷得解.

【詳解】定義在R上的函數(shù)/(*)滿足/3)=/(x)/(y)—/(x)—/(y)+2,

令x=y=0,W/(O)=[/(O)]2-2/(O)+2,而〃0)<2,則f(0)=l,A正確；

令1='=得/⑴=+而〃0)工/⑴，則/⑴=2,令x=y=T,

得f(l)=[f(T)f_2f(T)+2,BP1/(-1)]2=2/(-1),而/(”>0,即/則"-1)=2,B正確;

令y=-1，得f(T)=〃T)〃—(6+2,

即有f(T)=2f(x)-2-f(x)+2,因此/(-x)=/(x),C錯誤,D正確.

故選：ABD

5.已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(6的定義域均為R,對任意的x,yeR,恒有

/'(x+y)+/(x—)，)=2/'(x)/()，),則下列說法正確的個數(shù)是()

?20231

①“0)=0；②r(x)必為奇函數(shù)；@/(x)+/(0)>0；④若/⑴=9則?(〃)=彳.

2n=l2

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用賦值法可判斷①;利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性定義判斷②;賦值，令kx,得出/(級)+/(0)20,

2023

變量代換可判斷③；利用賦值法求出"〃)部分函數(shù)值，推出其值具有周期性，由此可計算Z/m)，判斷④，

n=1

即可得答案.

【詳解】令x=y=0,則由〃x+y)+/(Ay)=2/(x)/(y)可得2〃O)=2/2(o),

故f(0)=?；?0)=1,故①錯誤；

當f(0)=0時,令y=0,則〃x)+fa)=2/W(0)=0,則f(x)=o,

故f(x)=o,函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)乂是偶函數(shù)；

當f(0)=l時，令工=0?則”y)-/(-)，)=2f(0)/(.v),所以/(—)，)=/")，

則一/'(一)，)=f\y),即r(-y)=,貝"f'W為奇函數(shù)，

綜合以上可知必為奇函數(shù)，②正確；

令…,則/(2“+*0)=2/?),故/(2x)+/(O)NO.

由于xeR,令Z=2x,/eR,即〃/)+/(0)N0,即有/(x)+/(0)N0,故③正確;

對于D,若/()=；,令戶1,)=0，則〃1)+〃1)=2/(1)/(0),則八0)=1,

令%=)，=1,則/(2)+〃0)=2尸⑴，即/(2)+1=/「.〃2)=-；，

令x=2,)，=l,則/⑶+/⑴=2〃2)/⑴，gp/(3)+l=-1,/./(3)=-1,

令4=3,)，=1,則/(4)+/(2)=2/⑶〃1),即/(4)T=T"(4)=T，

令工=4，)，=1,則/(5)+/(3)=2f(4)/(l),即/(5)_1=_/:/5)=3，

令*=5,)，=1,則/(6)+〃4)=2f⑸41),即/(6)-g=g,/./⑹=1,

令工=6，)，=1,則〃7)+〃5)=2f(6)/(l),即“7)+；=1,/.〃7)=；,

令"=7,)，=1,則/⑻+/⑹=2/⑺/(1),即〃8)+1=提「.〃8)=一3，

由此可得/(〃),〃wN"的值有周期性，且6個為一周期，+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故Z〃〃)=337X[/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/⑴=彳，故④正確，

<-i2

即正確的是②③④，

故選：C.

2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬

6.已知函數(shù)/'(X)的定義域為R,且/(力二//'(：(xe(-oo,0)U(0,+oo)),/(X)+/()，)+2Q=/(X+)，)，

則/⑶的值是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】由賦值法先得/(。)=。，再由/⑴與/(T)關系列式求解.

【詳解】/(x)+/(y)+W=/(x+y)中令％=y=o,則

/(x)+/(y)+2冷，=/"+)，)中令x=l,y=-l,則/(1)+/(-1)-2=/(0)=0,

又f(x)=d/(￡]中令4一1,則/(一1)=0,所以/⑴=2,

/(x)+/(y)+2書=/(x+y)中，令x=y=l,則/(2)=2〃1)+2=6,

再令x=l,y=2tK!|/(3)=/(l)+/(2)+4=2+6+4=12.

故選:D

2023屆江蘇連云港?？?/p>

7.已知函數(shù)/(X),任意X，ywR,滿足/(x+y)/(x—)，)=/2("_/2(y),且/(1)=2,"2)=0,則

f⑴+((2)+…+〃90)的值為()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【分析】抽象函數(shù)利用特殊值的思路可以得到函數(shù)“X)在取奇數(shù)和偶數(shù)的時候的規(guī)律，然后可以得到函數(shù)

值的和.

【詳解】令戶2,y=1,則/(3)/(1)=尸⑵一/⑴，所以〃3)=-2；

令％=3,y=2,則”5)/⑴=戶3)-尸(2)=4,所以45)=2；

令丁=2,則〃x+2)/(x—2)=尸(x),所以〃7)=-2,"9)=2

/(2Z+l)=(-/2(AcZ).

令x=3,y=l,則44)/(2)=。①,令X=4,>'=2,則〃6)〃2)=尸(4)②，

令％=5,y=h則/(6)/(4)=0③，

假設“4)工0,那么由③可知/(6)=0,將/⑵=0,46)=0代入②式發(fā)現(xiàn)與44),0矛盾，所以/(4)。0

不成立，/(4)=0.

同理可得當x為偶數(shù)時，/(x)=0.

所以原式=〃1)+/(3)+/'(5)+…+"89)=2.

故選：C.

8.已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),對任意x,y滿足/(x-y)=/(x)g(y)-g(x)/(y)，且

/(—2)=/(1)=0,則下列說法正確的是()

A./(0)=1B.函數(shù)g(2x+l)的圖象關于點(1,0)對稱

2023

c.g(l)+g(—l)=0D.若〃1)=1,則=1

?=|

【答案】D

【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC,取/(x)=sin與x,g(x)=cos與x可判斷B,對于D,

通過觀察選項可以推斷/(力很可能是周期函數(shù)，結(jié)合/(x)g(，),g(x)fW的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論,

想到令)，=T和丁=1時可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出〃x+l)+/(x-l)=-/(x),進一步得出/(另

)(P3

是周期函數(shù)，從而可求￡/(〃)的值.

n=1

【詳解】解：對于A,令x=y=0,代入已知等式得〃0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0,得"0)=0,故A

錯誤：

對于B,?/(x)=sinx,(x)=cosx,滿足f("y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)及〃-2)=/⑴.0,

因為#(3)=cos2兀=1。0,所以網(wǎng)”的圖象不關于點(3,0)對稱，

所以函數(shù)g(2t+l)的圖象不關于點(1,0)對稱，故B錯誤；

對于C,令y=0,x=l,代入已知等式得/⑴=/(l)g(0)-g(l)/(0),

可得〃l)[l-g(O)]=-g⑴40)=0,結(jié)合/⑴工0得i-g(o)=o,g(o)=i，

再令x=0,代入已知等式得，(-y)=/(o)g(y)-g(o)/(y),

將"0)=0,&(())二1代入上式，得〃一力=一〃A，所以函數(shù)f5)為奇函數(shù).

令x=l,y=7,代入己知等式,得〃2)=〃l)g(T)-g(l)〃T),

因為f(T)=-J(l)，所以/(2)=/(l)[g(T)+g。)],

又因為/(2)=-/(-2)=-/⑴，所以一〃l)=/(l)|_g(7)+g(l)_|,

因為〃1)/0,所以g⑴+g(—i)=-i,故C錯誤；

對于D,分別令)，=-1和y=l,代入已知等式，得以下兩個等式：/(x+l)=〃x)g(—

“iT)=/(x)g(l)-g("⑴，

兩式相加易得f(x+l)+〃x-l)=-/(力,所以有〃4+2)+〃力=-〃X+1).

即：/(x)=-/(x+l)-/(x+2),

有：-/(小/(力=/(1+1)+/(3-1)-/(1+1)-/(工+2)=0,

即：y(x-l)=/(x+2),所以/(“為周期函數(shù)，且周期為3,

因為"1)=1,所以“-2)=1,所以〃2)二一『(-2)=-1,/(3)=/(0)=0,

所以川)+〃2)+〃3)=0,

^0”

所以之/(〃)=1=八1)+/(2)+/(3)+…+/(2023)=/(2023)=/(1)=1,故D止確.

n=l

故選：D.

【點評】：對于含有乂)'的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關系，發(fā)現(xiàn)可利用的點，以及利用證明了

的條件或者選項；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，特別是有X)，雙變量，需要雙賦值，可

以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題

設條件以及選項來決定.

2023紹興?高二期末

9.已知函數(shù)小)的定義域為R,且f(x+2)+/(x)=/(8),/(2、+1)為奇函數(shù)，/(；)=:，則

加(得)=()

A.-11B.—C.0D.一

22

【答案】B

【分析】根據(jù)“工+2)+/(工)=〃8)即可得出/")周期為4,賦值可求出〃2)=0.進而由/(2x+l)為奇函

(3I

數(shù)，可推得函數(shù))，=/(同關于點(1,0)對稱，由己知可求出/目、=-51，/(0)=0,/(8)=0,然后即可求

2

圖:一;，,佃=g.進而即可根據(jù)周期性得出函數(shù)值，求出

得/

(4/〃+2)/'(4那+T3)+(4〃？+3)/4〃？+g+(45+4)./'(4次+(7)=0,

(4/.74-1)/!4/7Z+—+即可得出

22

22

代入數(shù)值，即可得出答案.

【詳解】由〃x+2)+/(x)=f(8),則f(x+4)+f(x+2)"(8),

所以，/(x+4)=/(%),〃力周期為4,所以/⑻=/(4)=/(0).

由"%+2)+/(力="8),令工=0,則有〃2)+/(0)=〃8)="0),所以，*2)=0.

因為〃2x+l)為奇函數(shù),所以[(-2x+l)=_f(2x+l),

所以,“T+1)=—/(X+1),所以函數(shù)y=〃x)關于點(LO)對稱,

所以，f(2-x)=-f[x).

令工=0可得，/(2)=-/(0)=0,所以〃0)=0,所以/⑻=0,

所以,有/(X+2)+/(X)=/(8)=0,即有f(x+2)=-f(x).

、(

所以+4〃？+—+(4m+2)f+(4w+3)/+(4"?+4)/4m+—

2Jx2,

=(4〃？+l)x；+(4機+2)x+(4/??+4)x—=0,

所乩新04卜中"加2/(22一￡1=2呢卜22同=2吟+22名卜弓

故逃：B.

10.(多選)已知函數(shù)/(X)的定義域為RJ(x+y)=/(x)+/(.y),則()

A./(O)=OB.〃力是奇函數(shù)

C.x=0為。(力的極小值點D.若/⑴=1,則((2023)=2023

【答案】ABD

【分析】利用賦值法，令x=y=0判斷A得正誤;令》二-￡結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷B的正誤;舉例判斷C的正

誤;令)，=1、則/(x+l)=/(x)+l,再利用累加法即可判斷D的正誤.

【詳解】令x=y=0,則/(0)=〃0)+/(0),所以/⑼=0,故A正確；

令.—，則/(x—x)=/(x)+/(r)=0,所以/(x)是奇函數(shù)，故B正確；

令f(x)=x,其定義域為R,且〃%+>)=」(力+f(y)滿足題意,因為函數(shù)/(力=%為R上的增函數(shù)，所以

i=O不是的極小值點，故C錯誤；

令y=l,則/(x+l)=〃x)+l,即〃x+l)-f(x)=l,

/(2023)=[/(2023)-/(2022)]+[/(2022)-/(2021)]+[/(2021)-/(2020)]

+.??+卜(2)-/(1)]+八1)=1+1+1+???+1=2023,故口正確.

故選:ABD.

11.(多選)設/(X)是定義在R上的函數(shù)，對有/(x+y)—/(x—)，)=/(x+2)“)，+2),且

/(0)*0,則()

A./(x)-f(r)=0

B./(x+4)-/(x)=0

C./(0)+/(2)+/(4)+…+/(2024)=-2

D./2(1)+/2(2)+/2(3)+-..+/(2024)=4048

【答案】ACD

【分析】利用賦值法判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，再結(jié)合假設法、函數(shù)的周期性逐一判斷即可.

【詳解】A：在〃、+)，)-小-)，)=小+2)/()，+2)中，

令H=y=0,則有0=/2⑵=/(2)=0,

在f(x+y)-/(工-)，)=/(工+2)/(y+2)中，

令工=0,則有〃y)-/(-y)=/(2)/(y+2)=Onf(x)-/(T)=O,

因此本選項正確；

B：若〃x+4)-f(x)=0成立,即有〃0)=〃4),

在f(x+)，)-/(x7)=/(x+2)/(y+2)中，

令”=y=2,則有/(4)一〃0)=尸(4)n/(4)=0=〃0)=0,

這與/(0)工0相矛盾，所以假設不成立，因此本選項不正確；

C：在/(x+)，)—/(x—)，)=/(x+2)/(y+2)中，

以t代'f#/(0)-/(2x)=/(x+2)/(-x+2),

以?代y,得〃2x)-f(o)=尸1+2),

上面兩個等式相加，得/2(X+2)+/(X+2)/(-X+2)=0=/(X+2)[/(X+2)+/(-X+2)]=0

=>/(x+2)=0,或小+2)+/㈠+2)=0,

當"x+2)=0時，則有"0)=0,顯然與/(0)工0矛盾，

囚此“X十2)十〃r十2)=。，于是有〃力=一〃4一刈一〃4十刈=一/(一)=一/(刈一/(8+八)=/"),

因此函數(shù)“X)的周期為8,

由"2)=0=/(-2)=0=〃6)=。，

由f(力=-"4T)="4)=-〃。)，

在f(x+N)—/(x-y)=/(x+2)/(y+2>3

令x=2,y=l,得/⑶一/⑴=/[4)/⑶n/⑶一/⑴=一/(0)/(3),

令”=y=l,得〃2)-/⑼=尸(3)=尸(3)=-/(0),

由f(x+2)+/(T+2)=0=/(3)=—/⑴，

/⑶-〃1）=-〃0）/⑶

于是有尸（3）=—/（（））n2/（3）=尸（3）,

"3）=-/⑴

因為J?（3）=-f（0）工0,所以由2/（3）=f（3）=>f2（3）=2,

于是/（。）=-2,

因此〃0）+〃2）+/（4）+〃6）=0,

/（0）+/（2）+/（4）+...+/（2024）=253x0+/（2024）=/（0）=-2,

因此本選項正確；

D：在/（x+），f），）=/（x+2）/（產(chǎn)2）中，

令X=）,=〃_2（〃WN）所以有/（2〃-4）-40）=/（〃），因此有：

尸（1）+尸（2）+尸（3）+…+/（2024）

=［/（-2）-/（0）］+［/（0）-/（0）］+［/（2）-/（0）］+［/（4）-/（0）］+...+［/（4044）-/（0）］

因為/（0）=-2,/（-2）=/（2）=0,/（0）+/（2）+/（4）+/（6）=0,

函數(shù)/（x）的周期為8,

所以尸⑴十尸（2）十尸（3）十…十,2（2024）三0x506十20241-/（0）］

=0+2024x2=4048,因此本選項正確，

故選：ACD.

12.（多選）己知函數(shù)/（?及其導函數(shù)/'（X）的定義域均為R,對任意的x,ywR,恒有

/（x+?+/（x-y）=2/（x）/（），），則下列說法正確的有（）

A./（0）=0B./'（X）必為奇函數(shù)

12023I

c./（A-）+/（0）>0D.若/。）=9則2/*）=彳

【答案】BCD

【分析】賦值法求/'（0）的值，判斷A；賦值法結(jié)合導數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元

2023

法判斷C利用賦值法求得/（〃）,〃6N”的值有周期性，即可求得2/（〃）的值，判斷D.

?=1

【詳解】對于A,令方…,則由/（）十，）十一（八一））=2/（刈/（力可得2/（0）=2/2（0）,

故f(0)=0或/⑼=1,故A錯誤；

對干B,當f(0)=0時,令y=0,!J!IJ/(A-)+/(A)=2/(X)/(0)=0,則于X)=0,

故f'(x)=o,函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)乂是偶函數(shù)；

當f(0)=l時，令x=0,貝I/(>)+/(-)，)=2/(0)/(y),所以/(-)，)=/(月,

貝IJy)=r(y),即r(-y)=-fXy)，則/U)為奇函數(shù)，

綜合以上可知/*)必為奇函數(shù)，B正確；

對于C令y=x,則/(2X)+/(0)=2/2(X),故/(2X)+/(0)N0.

由于xeR,令f=2x/wR、即/(。+/(0)之。，即有〃刈+/(0"0,故C正確；

對于D,若/(1)=；,令x=L)，=。，則/⑴+〃1)=2〃1)/(0),則八0)=1,

令H=y=l,則/(2)+/(0)=2尸⑴，即/(2)+1=/"(2)=-；，

令工=2,產(chǎn)1,則/(3)+〃1)=2/(2)〃1),即/(3)+gT，//3)=—l,

令尸3,)，=1,則〃4)+/(2)=2f⑶/⑴，即〃4)一；二一1,.—(4)二一，

令”=4,)，=1,則/⑸+〃3)=2"4)/⑴，即/⑸-1=-；,"(5)=；,

令工一5,下一1,則“6)十八4)=2/(5)/⑴，即/(6)-3=：,/./(6)=1,

令工=6，)，=1,則/(7)+"5)=2/(6)/(1),即/⑺+；=「.〃7)=g,

L

由此可得/(〃),〃wN,的值有周期性，且6個為一周期,且/⑴+/⑵+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故工/(〃)=337x[/(1)+/(2)+八3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)=-,故D正確，

o=\2

故選：BCD.

13.已知函數(shù)/(x)的定義域為心滿足/(x+y)+/a-)，)=/(x>〃y),且f(i)=-2,則()

A./(O)=2B./(x)為奇函數(shù)

C./(1)+/(2)+/(3)+……+/(2023)=-2D.-2</(A)<2

【答案】ACD

【分析】A.通過賦值，求”0)的值；B.賦值x=0,即可判斷函數(shù)的奇偶性；C.賦值y=l,利用函數(shù)

/(Al)+/(x)=g(x)的周期性,即可求和；D.通過多次賦值，可證明/(刈＜4,即可判斷.

【詳解】A.令工=1,)，=0,有/(l)+/(l)=/(l)?/(O),得/(O)=2,A1E確；

B.令4=0,得/(y)+/(-y)=/(O)f(y),/(0)=2,則〃-y)=〃y),函數(shù)的定義域為R,所以函數(shù)為

偶函數(shù)，故B錯誤；

C.令3=1,^/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l),即[〃x+l)+/⑼+[/卜-1)+7(切=0,

設f(xT)+/(x)=g(")，則g(x+l)+g(x)=0,

所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以函數(shù)g(x)的周期為2,

g(l)=/(O)+/⑴=2—2=0,g(3)=/(2)+/(3)=0,…，^(2023)=/(2022)+/(2023)=0,

所以〃0)+/(1)+/(2)+〃3)+...+"2023)=0,/(0)=2,

所以〃1)+〃2)+/(3)+...+/(2023)=-2,故C正確，

D.由“x+)，)+〃x—)，)=/“)./()，)，/(0)=2,/(1)=-2,

令x=y=g,得〃1)+/⑼=./]￡|=0,所以｛；)=0,

將了換成心得/(2力+/(0)=尸(力，①，

將“，)’換成八十;，得〃2.v+l)+〃0)—/20十￡),②，

將工換成2x+g,換成得/(2x+l)+/(2.r)=/(2x+g)/(g)=0.③，

①+②-③，得2/⑼=/⑴+/=4,

則..尸(力工4.得-2W〃x)W2,故D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點睹：本題關鍵的方法是賦值法，尤其是D選項，通過三次賦值，找到等式間的關系，可可

進行判斷.

14.(多選)已知定義域為R的函數(shù)/(力對任意實數(shù)X，〉都有/(工+)，)+/(彳7)=2/(同〃)，),且/(￡|=0,

則以下結(jié)論一定正確的有()

A./（0）=-1B.f(x)是偶函數(shù)

c./(X)關于(則中心對稱D.川)+〃2)+…+”2023)=0

【答案】BC

【分析】根據(jù)賦值法，可判斷"0)=1或/(0)=0,進而判斷A,根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判斷C,

根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對稱性，根據(jù)對稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進而可判斷CD.

【詳解】令x=y=0,則/(0)+/(0)=2/(0)/(0)=/(0)=0或40)=1,故A錯誤，

若f(0)=i時，令x=0,則/())+/(-y)=2/(A/(0)?/(力寸。)，此時“X)是偶函數(shù),若/(0)=0

時，令尸0,則/(x)+/(x)=2/(x)/(0)=0?/(x)=0,此時/(X)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)：因此B正確，

令/=；，則/g+))+/(g-y)=2f(；)/(y)=0=/：+/；_'')二"，所以/(x)關于(；，。中心

對稱，故C正確，

(?\

由/(X)關于-,0中心對稱可得/(X)=-/(l-A),結(jié)合/(X)是偶函數(shù)，所以

IZ/

/(x)=-/(I-A-)=-/(x-1)=-(-/(x-2)六/'(x-2),所以/(X)的周期為2,

令x=y=g,則〃1)+/(0)=2?；)/(￡|=0,故/(l)+/(2)=f(l)+f(0)=o,

進而/(1)+/(2)+…+/(2022)=1011X[/⑴+〃2)]=0,而/(2023)=/⑴=一/(0),由A選項知/⑼=0或

/(0)=1,所以〃1)+〃2)+…+”2023)=0或-1,故D錯誤.

故選：BC

15.函數(shù)/(文)的定義域為R,且〃X+2)=-〃工+1)—/⑴，f(x)=f(2-x),/(365)=-1,則

2￡023/(“)=?

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/(%)的周期，再結(jié)合〃工)=/(27)求出/(1),/(2),/(3)即可求解作答.

【詳解】函數(shù)71)的定義域為R,由/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

得f*+3)=-f[x+2)-/(x+l)=/(x+l)+f(x)-/(x+l)=f(x).

因此函數(shù)/(-v)是以3為周期的周期函數(shù)，且f(x)+f(x+1)+f(x+2)=0,即/⑴+/⑵+/(3)=0,

由f(365)=T,得/⑵=T,又/(x)=/(2—x),/(3)=/(0)=/(2)=-1,從而/⑴=一〃2)-.〃3)=2,

2023

所以Z/(幻=674X"⑴+/(2)+/(3)]+/(1)=/(1)=2,

*-1

故答案為：2

16.已知函數(shù)/*)滿足：/⑴=；,4/*)/()，)=/(x+)，)+/(x-y)@,ycR),則“2023)=.

【答案】7

4

【分析】由已知等式聯(lián)想到三角公式8s(x+y)+8S(x-y)=2cosxcosy,構(gòu)造函數(shù)f(x)=；cos?求解.

JJ

【詳解】由已知等式聯(lián)想到三角公式cos(x+y)+cos(x-y)=28sxcosy,

注意它們結(jié)構(gòu)相似，通過嘗試和調(diào)整，構(gòu)造函數(shù)/(x)=；cos?,則/⑴=；cosg=；,

—)+-)=加倍+竽其8s傳號)

Tixny,17LV1ny

=cos—cos-=4-—cos----cos-=4/(x)/(y),

332323v7v7

故函數(shù)/(上為小卷滿足題意，而函數(shù)是周期/—h■的函數(shù)，

233

.?,/(2023)=/(337x6+l)=/(l)=l.

故答案為：—.

4

【點睛1：抽象函數(shù)可以選擇構(gòu)造函數(shù)(特例構(gòu)造法)，此題主要是聯(lián)想到三角公式

cos(x+y)+cos(^-y)=2cosxcosy,并且還要根據(jù)〃1)二：構(gòu)造出合適的函數(shù)/(x)=：cos￡,再由周期

性解決問題，達到富有創(chuàng)造力的解題效果。

17.己知函數(shù)/⑺定義域為R,滿足八1)=1J(x+y)+/(x-y)=/(x)〃y),則/(8)=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且周期為6,然后求得/(2)即可得到結(jié)果.

【詳解】因為〃i)=i,〃x+y)+/(f)=/("?)，

令y=l,RTW/(-V4-1)+/(^-1)=/(X)/(1)=/(X),

所以〃x+l)=/(x)-/(x—l),/(x+2)=/(x+l)-/(x),

/(X+3)=/(X4-2)-/(X+1)=-/(X),

所以〃x+6)=〃x),即函數(shù)/%)為冏期函數(shù)，且冏期為6,

當工=1,)，=0時，/(1)+/(1)=/(1)/(0),所以/(0)=2,

所以/(2)=/(1)-〃0)=-1,

貝|J,8)=〃2)=-1.

18.設/(x)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，=/(2)=0,/(-1)<0,對任意的整數(shù)乂尸均有

f(x+y)=/a)f(i-y)+/(iT)f(y).則f(55)=.

【答案】-1

【分析】采用賦值的方式可求得f(o)J(-i),令y=i和y可證得的對稱軸和奇偶性，由此可推

導得到/(A)的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.

【詳解】令x=y=i,則/(2)=/(1)/(0)+/(0)/(1)=2/(0)=。，二/(0)=。：

令x=2,y=7,則/(1)=/2(2)+/㈠)=/2㈠)=],又l)=T；

令y=l，則/a+l)=/(x)/(O)+/(l—x)/⑴=/(l—X)，\關于直線x=1對稱；

令y=T,則〃0)=/3/(l+M+/(l-x)/(r)=[/(x)+/(r)]/(l+x)=0,

?.?/(1+力=0不恒成立，.?./(力+〃一力=0恒成立，\/(勾為奇函數(shù)，

?//(x+2)=/(-x)=-f(x),/./(x+4)=-f(x+2)=f(x),

\/(x)是周期為4的周期函數(shù)，"(55)=/(4X14-I)=/(T)=-L

故答案為：-1.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用抽象函數(shù)的周期性求解函數(shù)值的問題，解題關鍵是能夠通過賦值的方

式，借助已知中的抽象函數(shù)關系式推導得到函數(shù)的對稱性和奇偶性，以及所需的函數(shù)值，進而借助對稱性

和奇偶性推導得到函數(shù)的周期.

19.(2024屆廈門一中?？?若定義域為R的奇函數(shù)八x)滿足f(x)=/(x+l)+/(x-l),且/⑴=2,則

.”2024)=.

【答案】2

【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.

【詳解】由/a)=/(x+D+/(x-1),得/(x+l)=/(x+2)+/(力，

所以/C-l)=/(x+2)+/Q),即一/(x—l)=/(x+2),于是有一/*)=/*+3),

所以—/*+3)=/(x+6),即=/(x+6).

所以函數(shù)〃工)的周期為6.

因為/“)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以f(-0)=-〃0),即,(0)=0.

令H=l,則/⑴=/(2)+/(0),解得/(2)=/⑴-/(0)=2,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=2.

故答案為：2.

20.函數(shù)的定義域為R,對任意X產(chǎn)R,恒有/(x)+〃y)=2/(早)?/(三｝若則

/(-1)=,Z/(〃)=

【答案】；，0

【分析】取特殊值可得/(-I)；取特殊值可得/(%)是周期為6函數(shù)，計算出

/(7)J(O)J(1)J(2),〃3)J(4)的值可得答案.

令x=l,y=—I,則/(1)+/(-1)=2/(0>/(1),

因為/(1)=9,所以

令x=2,y=O,則〃2)+〃0)=2/(|卜圖［，八2