2025-2026學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》自主學(xué)習(xí)達(dá)標(biāo)測(cè)試題（附答案）

一、單選題（滿分24分）

1.下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）

A.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

2.在△4BC中，乙4乙B,4c的對(duì)邊分別是a,b,c,月.Q2—b2=c2,則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.乙C是直角B.乙8是直角C.乙A是直角D.乙A是鈍角

3.已知氏一12|+（7-5）2=0,如果以人），的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么這個(gè)直

角三角形的斜邊長(zhǎng)是（）

A.2.5B.5C.7D.13

4.如圖，在Rt△ABC中，/-ACB=90°,分別以4C,8c為邊作正方形.若48=6,則正方

形40EC和正方形8CTG的面積和為（）

A.64B.36C.12D.6

5.如圖，在△ABC中，AD為8c邊上的中線，AD=2,BC=6,記AB=%,AC=y,當(dāng)x,

y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x-yC.xyD.x2+y2

6.將一根24cm長(zhǎng)的筷子置于底面圓直徑為15cm、高為8cm的圓柱形水杯中，如圖，設(shè)筷

子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hem,則。的取值范圍是（）

D.h<8

7.如圖，一根長(zhǎng)為5m的梯子4B斜靠在一面豎直的墻40上，這時(shí)力。的長(zhǎng)為4m.如果梯子

的頂端A沿墻下滑1m,那么梯子底端8外移的距離RD（）

A.等于lmB.大于ImC.小于ImD.以上都不對(duì)

8.如圖，NB4C=ADAF=90。,48=AC,AD=AF,點(diǎn)D,E為BC邊上的兩點(diǎn)，且N/X4E=45°,

連結(jié)￡R8尸，則下列結(jié)論：①△AED三AAE尸；②△ABEwaACZ）；③BE+DC>DE；

@BE2+DC2=DE2,其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（滿分24分）

9.有一組勾股數(shù)，已知其中的兩個(gè)數(shù)分別是20和15,則第三個(gè)數(shù)是.

10.直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的高為.

11.已知a,b,c是A/IBC的三邊長(zhǎng)，若（c-7）2+|匕一24|+（。-25）2=0,則△ABC的形狀

是.

12.△48C中，AB=15,AC=13,高力。=12,則BC=

13.如圖，在RtZiA8c中，Z-B=90°,AB=4,BC=2,AC的垂直平分線分別交48、,4c于

點(diǎn)￡、D,連結(jié)CE,則△BCE的面積為.

14.《九章算術(shù)》中有一道題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？“大

致意思是：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，那么折斷處離地面的

高度為尺.（1丈=10尺）

15.如圖，在門(mén)上方離地面4.5m的墻上有一個(gè)由傳感器A控制的燈，任何東西只要移至該

燈'5m及5m內(nèi)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光.小明身高1.5m,他走到點(diǎn)。處時(shí)（即CD=1.5m）,燈剛

好發(fā)光，則8。=m.

16.如圖是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)"半

圓柱〃而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為18m的半圓，其邊緣48=CO=30m,點(diǎn)E在

CDk.CE=6m.一位滑板愛(ài)好者從點(diǎn)4出發(fā)滑到點(diǎn)E,則他滑行的最短距離為m.

三、解答題（滿分72分）

17.已知a=2n,6=n2-1,c=n2+1.

⑴當(dāng)九=5時(shí).，則以a,b,c的值為三邊長(zhǎng)的三角形面積為；

⑵小安猜想：當(dāng)〃取大于1的整數(shù)時(shí)，a,為勾股數(shù)，你認(rèn)為小安的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明

理由.

18.為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地48。。，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上

種植草皮，經(jīng)測(cè)量=9Q°,AB=4m,DA=12m,BC=3m,CO=13m,求出空地4BCD的面

積.

19.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為20米、寬為18米的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，已知該

由.

23.著名的趙爽弦圖(如圖1,其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a,較小的直角邊

長(zhǎng)都為b,斜邊長(zhǎng)都為c),大正方形的面積可以表示為c2,也可以表示為4x^ab+(a-by,

由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,則

b2=c2.

⑴如圖2為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法〃，請(qǐng)你利用圖2推導(dǎo)勾股定理：

(2)如圖3,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河為原有兩個(gè)取水點(diǎn)人、B,AB=AC,

由于某種原因，由。到力的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水

點(diǎn)在同一條直線上)，并新修一條路C”,且C4測(cè)得CW=0.8千米，，8=0.4

千米，求新路CH比原路CH短多少千米？

參考答案

1.解：A：???22+32=52,，2,3,5不能構(gòu)成直角三角形；

B：?.?72+242=252,,7,24,25能構(gòu)成直角三角形；

C：v62+82=102,/.6,8,10能構(gòu)成直角三角形；

D：V92+122=152,9,12,15能構(gòu)成直角三角形.

故選：A.

2.C

【分析】本題考查了勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵；

將小一〃二’2化為爐+,2=標(biāo),根據(jù)勾股定理逆定理即可判定.

【詳解】由。2一/二。2可得，b2+c2=a2,

???△4BC是直角三角形，且〃是直角.

故選：C.

3.D

【分析】?jī)蓚€(gè)非負(fù)的數(shù)相加為零，它們均為零，求出居y,再根據(jù)勾股定理即可求出答案.

【詳解】由題意知,|x-12|=0,(y-5)2=0,

解得，x=12,y=5,

在直角三角形中，由勾股定理知，x2+y2=c2,

???x2+y2=122+5?=169=c2,

團(tuán)斜邊長(zhǎng)為13,

故選：D.

4.B

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。力，斜邊長(zhǎng)為C,

那么+爐=C2.

根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：在Rt/MBC中,LACB=90°MB=6,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36,

團(tuán)正方形力OEC和正方形3CFG的面積和為36,

故選：B.

5.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，勾股定理，熟

練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)健.

先證明△。1^和4全等，可得CE=AB=%,再由勾股定理得小+爐=%/=+匕2一

22

4b+4,y2=Q2+82+4力+4,進(jìn)而得M+y2=2(a+b)4-8=26,據(jù)此即可得出

答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)力0到E,使E。=710=2,連接CE,過(guò)點(diǎn)。作CF10E于點(diǎn)F,如圖所示：

西。為BC邊上的中線，BC=6,

0CD=BD=-BC=3,

2

在△CDE和△BD4中，

(ED=AD

l^CDE=Z-BDA,

(CD=BD

0ACDE=△BDA(SAS),

0CF=AB=x,

設(shè)CF=a,DF-b,

0EF=DE-DF=2-b,AF=AD+DF=2+b,

在RtACD尸中，由勾股定理得：CF2+DF2=CD2,

0a2+〃=32=9,

在RtaCEF中，由勾股定理得：CE2=CF2+EF2,

瞅2=。2+金一匕)2=。2+匕2一助+4,

在Rt△力CF中，由勾股定理得：AC2=AF2+CF2,

2

團(tuán)y2=(2+b)+a2=a2+b2+4b+4,

團(tuán)%2+丫2=2(a24-b2)+8,

跳產(chǎn)+力2=%

0x24-y2=2x9+8=26?

團(tuán)代數(shù)式/+/的值不變，始終等于26.

故選：D.

6.B

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短：當(dāng)筷子的底端在。點(diǎn)時(shí)，筷子露

在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)；分別求出〃的最大值和最小值即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)筷子的底端在。點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，

h

Cl

圖1

團(tuán)九最大=24-8=16；

如圖2,當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短,

力w二二二二三%

圖2

在Rt△力3。|卜，AD=15cm,BD=8cm,

財(cái)B=17(cm),

此時(shí)叫小=24-17=7,

M的取值范圍是7工八W16,

故選：B.

7.A

【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理..梯子的長(zhǎng)是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動(dòng)

前和滑動(dòng)后的所構(gòu)成的兩直角三角形即可.

［詳解］解：04。=4m,AC=lm,

團(tuán)。。二4。-AC=4—1=3m,

在RtA48。中，根據(jù)勾股定理知，B0=3,

在RtaC。。中，根據(jù)勾股定理知，DO=4,

所以8。=00-8。=1m.

故選:A.

8.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理.熟練掌握全等三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)8L

利用已知條件證明三角形全等從而得出邊和角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再利用三角形的性質(zhì)判

斷各個(gè)結(jié)論的正確性即可.

【詳解】解：???^DAF=90°,^DAE=45°,

:./-FAE=Z.DAF=乙DAE=90°-45°=45°,

在△力EO與△4EF中，

AE=AE

Z.DAE=Z.FAE,

AD=AF

???△4EDwaAE尸(SAS),故①正確；

:.DE=EF,

???/.BAC=LDAF=90°,

:.Z.BAC—/.BAD=Z.DAF-Z.BAD7

:.Z.CAD=Z.BAF,

在△4CD與△48尸中，

(AC=AB

l^CAD=Z.BAF,

(AD=AF

^ACD三△718F(SAS),

???DC—BF,乙ABF—乙C,

在ABEF中，BE+DOEF,

:.BE+DC>DE,故③正確；

:.Z.BAC=90。，

/-ABC4-ZC=90°,

Z.ABC+LABF=90°,

???乙EBF=90",

在RtaBE/中，AEBF=90°,

:.BE24-BF2=EF2,

BE2+DC2=DE2,故④正確：

由題干條件無(wú)法證明出仆ABE-△ACD,

綜上所述，其中正確的有，①③④，共3個(gè).

故選C.

9.25

【分析】本題主要考查勾股數(shù)，勾股定理，分第三個(gè)數(shù)是直角邊和斜邊兩種情況解答求出第

三個(gè)數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)判定即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)第三個(gè)數(shù)為X,

分兩種情況：當(dāng)x為直角邊時(shí)，

有％2+152=202,

得》不是正整數(shù)，需舍去；

當(dāng)x為斜邊時(shí)，

有152+202=%2,

解得x=25.

綜上所述，第三個(gè)數(shù)為25.

故答案為：25.

1ac0.60—

13

【分析】本題考查了勾股定理，利用三角形的面積求高，解題關(guān)鍵是求出斜邊長(zhǎng).

先利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，再利用利用三角形的面積求出斜邊上的高.

【詳解】解：設(shè)它斜邊上的高為九，

團(tuán)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,

團(tuán)它斜邊長(zhǎng)為13,

這個(gè)直角三角形的面積為:x5x12=3x13九，

解得：%=詈

故答案為:阿

11.解:0(c-7)2>0,|b-24|>0,(a-25)2>0,且(c-7)2+\b-24|+(a-25)2=0,

(C-7=0

0b-24=0

G-25=0

（c=7

解得匕=24

（a=25

072+242=49+576=625,252=625,

222

0c4-b=at

團(tuán)△ABC是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

12.解：財(cái)。是△ABC的高，

團(tuán)△ABO和△ACO均為直用三角形，Z-ADB=^ADC=90°.

在Rtzx/18。中，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2

即+”2=152,BD2-225-144=81,

解得8。=9（負(fù)值舍去）.

在RtA/lCD中，由勾股定理得：DC2+AD2=AC2,

即2+"2=132,DC2=169-144=25,

解得DC=5（負(fù)值舍去）.

分兩種情況討論：

①當(dāng)/。在449c內(nèi)部時(shí)，BC=BD+DC=9+5=14;

②當(dāng)月。在△4BC外部時(shí),BC=\BD-DC\=|9-5|=4.

故答案為：14或4.

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE=4E,

故［B=BE+4E=BE+CE,設(shè)=貝iJCE=4E=4—x,在Rt△CBE中根據(jù)勾股定

理求出x的值，利用面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：???〃￡?垂直平分4C,

???CE=AE,

:，AB=BE+AE=BE+CE,

設(shè)BE=x,則CE=4E=4-x,

在RtACBE中，BC2+BE2=CE2,

22+X2=(4-X)2,

解得：%=*

??.BE=I，

則^BCE的面積=.BE=：x2x|=今

故答案為:|-

14.4.55

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)折斷處離地面的高度為%尺，在宜角三角形中，利用

勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為工尺，

%2+32=(10-%)2,

解得％=4.55,

故答案為：4.55.

15.4

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練池掌握勾股定理.過(guò)點(diǎn)。作CE1AB

于點(diǎn)E則人離墻的距離為CE,在中，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，傳感器A距地面的高度為力8=4.5m,人高CD=1.5m,

過(guò)點(diǎn)C作CE1于點(diǎn)E,則人離墻的距離為CE,

由題意可知/E=AB-BE=4.5-1.5=3(m),BD=CE,

當(dāng)人離傳感器4的距離4c=5m時(shí)，燈發(fā)光.

此時(shí)，在RtZiACE中，根據(jù)勾股定理可得，

CE2=AC2-AE2=52-32=42,

團(tuán)CE=4,

080=CE=4m?

即人走到離墻4m遠(yuǎn)時(shí)，燈剛好發(fā)光.

故答案為:4.

16.30

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用一最短路徑問(wèn)題.通過(guò)將U型池的側(cè)面展開(kāi)成矩

形，“化曲面為平面〃，用勾股定理求最短路徑是解題的關(guān)鍵.將半圓面展開(kāi)，連接AE.則AE

是最短距離，然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】將半圓面展開(kāi)如答圖所示，連接力￡

C--------

-------

根據(jù)題意，得力。==CD=30m,DE=CD-CE=30-6=24(m).

在心△ADE中，由勾股定理，得4E=30(m),

所以他滑行的最短距離為30m.

故答案為：30.

17.(1)120

⑵小安的猜想正確，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是勾股數(shù)，滿足。2+/=。2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

(1)把〃的值代入〃、氏C,求出值，根據(jù)勾股定理的逆定理得到以Q,4C的值為三邊長(zhǎng)的

三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算；

(2)根據(jù)勾股數(shù)的概念正明.

【詳解】(1)解：當(dāng)九=5時(shí)，。=2n=10,b=n2-1=24,c=n2+1=26,

1024-242=262,

團(tuán)M+b2=C2,

???以a,b,c的值為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，

???以a,b,c的值為三邊長(zhǎng)的三角形面積為T(mén)x10x24=120,

故答案為：120；

(2)解：小安的猜想正確，

理由：Q?+爐=(2n)2+(n2—l)2=4n24-n4-2n24-1=n44-2n2+1=(nz+I)2,

c2=(n2+I)?,

???a2+b2=c2>

是大于1的整數(shù)，所以a=2n,b=n2-l,c=n2+1都是正整數(shù)，

.?.當(dāng)〃取大于1的整數(shù)時(shí)，a,b,c為勾股數(shù)，

???小安的猜想正確.

18.空地力BCD的面積36小

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過(guò)連接對(duì)角線AC,將四

邊形分割成兩個(gè)直角三角形，分別計(jì)算面積后求和.連接AC,先在Rt△ABC中用勾股定理

求出AC的長(zhǎng)度，再在△力CO中用勾股定理逆定理判斷其為直角三角形，最后分別計(jì)算兩個(gè)

直角三角形的面積并求和得到四邊形面積.

【詳解】解：如圖,連接4C,

在Rt△48c中，AC2=AB2+BC2=42+32=52,

在44c。中，CD2=132,AD2=122,而52|122=132,^AC2\AD2=CD2,

.??△4。。為直角三角形，

???Z.DAC=90°,

S四邊形/sc。=S^ABC+SAA,D=^-BC-AB+^AC-AD=^x3x4+1x5xl2=36(m2),

答：空地48CD的面積36G2.

19.30米

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，將圖形展開(kāi)，利川勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如答圖，將木塊展開(kāi).

由題意可知，長(zhǎng)相當(dāng)于是(48+2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)),

團(tuán)長(zhǎng)為20+2x2=24(米)，寬為18米，

由勾股定理，得：最短路程為30米.

答：最短路程是30米.

20.3米

【分析】先在RtaBC。中，根據(jù)勾股定理求出3。=2.5米，由題意得B。=￡0,則E。=2.5

米.再在RME。尸中，根據(jù)勾股定理求出EF=2米，進(jìn)而可得OF的長(zhǎng)為3米，即墻的高度.

本題主要考兗了勾股定理,熟練掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在Rt^BC。中，。。=0.7米，8c=2.4米，

(3B。=2.5米，

由題意得80=E。，

團(tuán)E。=2.5米，

在RtaE。尸中，￡。=2.5米，OF=1.5米，

0EF=2米，

又(3DE=1米，

WF=DE+EF=3米，

回墻的高度為3米.

21.(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析

(2)5h

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)健.

(1)過(guò)點(diǎn)。作CO_L48于。，可證明。摩+。82=482得到乙4。8=90。，利用等面積法求

出CD的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論；

(2)在線段48上取兩點(diǎn)E、F,使得CE=CF=130km,連接CE,CF,利用勾股定理求出

DE,OF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)，據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)解：海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由如下：

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作CD_LAB于O,

團(tuán)&4=150km,CB=200km,AB=250km,

222

團(tuán)C爐+CB2=1502+200=62500,AB=250=62500,

0C/42+CB2=AB2,

回乙AC8=90°,

^S^BC=^AC-BC=^AB-CD,

0120<130,

回海港C受臺(tái)風(fēng)影響；

（2）解：如圖所示，在線段48上取兩點(diǎn)七、F,使得CE=CF=130km,連接CE,CF,

在Rt^CEO中，由勾股定理得OE=50km,

在CDF中，由勾股定理得CF=50km,

團(tuán)EF=DE+DF=100km,

回臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的速度為20km/h,且100+20=5,

回臺(tái)風(fēng)影響海港。持續(xù)的時(shí)間有5h,

答：臺(tái)風(fēng)影響海港C持續(xù)的時(shí)間有5h.

22.=70°；

⑵見(jiàn)解析；

⑶結(jié)論：EM2+EH2=HN2,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用平角定義解題即可；

（2）根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)得到4