專題26概率初步單元測試（培優(yōu)提升卷）

班級：姓名：得分：

注意事項：

本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0?5亳米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（24-25九年級上?湖北十堰?期末）下列事件中，是不可能事件的是（）

A.水中撈月B.甕中捉鱉C.水到渠成D.百步穿楊

【答案】A

【分析】本題主要考查隨機事件相關(guān)概念，在一定條件下，一定會發(fā)生的事件叫做必然事件，一定不會發(fā)

生的事件叫做不可能事件，可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：水中撈月是不可能事件；甕中捉鱉是必然事件；水到渠成是必然事件；百步穿楊是隨機事件.

故選A.

2.（2024.廣東肇慶.一模）外觀相同的5件產(chǎn)品中有2件為不合格產(chǎn)品.現(xiàn)從中隨機抽取1件進行檢測.

抽到不合格產(chǎn)品的概率為（）

A.5B.-C.-D.-

2555

【答案】C

【分析】此題考查了概率公式求概率，根據(jù)外觀相同的5件產(chǎn)品中有2件為不合格產(chǎn)品利用概率公式即可

得到答案.

【詳解】解：???外觀相同的5件產(chǎn)品中有2件為不合格產(chǎn)品.

???從中隨機抽取1件進行檢測，抽到不合格產(chǎn)品的概率為

故選：C.

3.（24-25九年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）在一個不透明的袋子中放有10根筆，這些筆除顏色外完全相同，

若每次把筆充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?根筆記下顏色再放回袋子.通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅筆的頻

率穩(wěn)定在0.3,則這個袋子里紅筆的數(shù)量約為（）

A.3B.6C.5D.7

【答案】A

【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，

設(shè)紅筆的數(shù)最為x個，再根據(jù)多次試驗的頻率穩(wěn)定在概率附近可得比=0.3,求出解即可.

【詳解】解：設(shè)紅筆的數(shù)量為4個，根據(jù)題意，得

解得x=3.

所以這個袋子里紅筆的數(shù)量為3個.

故選：A.

4.（24-25九年級上?遼寧盤錦?期中）已知地球表面陸地面積與海洋面積的比約為3:7,如果宇宙中飛來一

塊隕石落在地球上，其“落在海洋里”發(fā)生的可能性（）“落在陸地上”的可能性.

A.大于B.等于C.小于D.三種情況都有可能

【答案】A

【分析】本題考查了幾何概率的求法，理解題意是解題的關(guān)鍵.將地球總面積分為10份，海洋占7份，分

別求出落在海洋里的概率和陸地.上的概率，從而得到答案.

【詳解】解：已知地球表面陸地面積與海洋面積的比約為3:7,即相當(dāng)于將地球總面積分為10份，海洋占

7份，所以落在海洋里的概率是看7，落在陸地上的概率是京3，所以“落在海洋里”的可能性更大.

故答案為：A.

5.（24-25九年級上?山東濟南?期中）不透明袋子中有4個白球、3個紅球、2個黃球和1個黑球，這些球

除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出?個球，某?顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該種球的顏色最

有可能是（）

A.黑球B.紅球C.黃球D.白球

【答案】C

【分析】本題主要考查了由頻率估計概率，概率的計算，熟練掌握概率計算方法是解題的關(guān)鍵.觀察統(tǒng)計

圖得該球得頻率穩(wěn)定在0.20左右，進而計算抽到每種顏色球的概率即可判斷.

【詳解】解：觀察統(tǒng)計圖可知，該球得頻率穩(wěn)定在0.20左右，

???抽至IJ該球的概率為0.20,

243

???抽到黃球概率為在Em。，抽至怕球概率為r7ro.4。，抽到紅球概率為石E=030,

1

抽到黑球概率為=0.10,

4+3+2+1

???該球最有可能是黃球，

故選：C.

6.（2025?山東?二模）小亮和爸爸計劃乘動車外出旅游.在網(wǎng)上購票時，小亮選定的車廂只剩一排有余座

（如圖）.若此時C座已售出，其余座位由系統(tǒng)隨機分配，則小亮和爸爸相鄰而坐的概率是（）

動車二等座某排座位

ABC■DF

I112

A.6-B.4-3-D.5-

【分析】本題考查了列表法求概率.熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，根據(jù)列表法求概率即可求解.

【詳解】解：列表如下，

ABDF

AA,BADAF

BB,AB,DB,F

DD,AD,BD,F

FF,\F,BF,D

共有12種等可能結(jié)果，其中符合題意的有4種，

小亮和爸爸相鄰而坐的概率是相上

故選：C.

7.（24-25九年級上?河南駐馬店?期木）用圖中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲，分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤,

若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）

【答案】C

【分析】此題考查了用列表法求概率.由于第一個轉(zhuǎn)盤不等分，所以首先將第一個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分

成兩部分，然后列表，由列表求得所有等可能的結(jié)果與可配成紫色的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：如圖，將第一個轉(zhuǎn)盤中的藍色部分等分成兩部分，

【答案】B

【分析】本題考查利用樹狀圖求概率，首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果，然后

求得李師傅恰好從七出口駛出的情況數(shù)，再利用概率公式求解，即可解題.

【詳解】解：根據(jù)題意可畫樹狀圖如下：

開始

AD

不/K

CBECBE

由樹狀圖可知所有可能的結(jié)果有6種，李師傅恰好從E出口駛出的結(jié)果有2種，

2I

則李師傅恰好從￡出口駛出的概率為J=：,

63

故選：B.

10.（24-25九年級上?河南安陽?期末）在一個不透明的布袋中裝有三個球，球上分別標(biāo)有數(shù)字-1,0、

這些球除了數(shù)字以外完全相同.現(xiàn)隨機摸出一個小球，記下數(shù)字陽，放回后攪勻再摸出一個球，記下數(shù)字〃，

則使得二次函數(shù)y=W+mx+n的圖象不經(jīng)過第四象限的概率為（）

5349

A.-B.-C.-D.-

9999

【答案】A

【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖法、二次根式的性質(zhì)等知識點，掌握運用列表法求概率成為解題

的關(guān)鍵.

由二次函數(shù)），=/+/心+〃不經(jīng)過第四象限，-34。,或加>4〃，再列表得到，〃、〃的所有可能的值

以及圖象不經(jīng)過第四象限的情況數(shù)，然后運用概率公式計算即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)），=/+，依+〃不經(jīng)過第四象限，

/.—^<0.〃之（）或頂點縱坐標(biāo)，"一".N0,即：m>0,〃之0或OKm?K4〃，

24

列表:

2

fun-10

3

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中符合條件的結(jié)果數(shù)為5,

???二次函數(shù)…?+如+〃不經(jīng)過第四象限的概率為

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（24-25九年級上?河南鄭州?期中）九（1）班有50名學(xué)生，其中有20人報了美術(shù)班，從該班隨機選一

名學(xué)生，這名學(xué)生報美術(shù)班的概率是.

【答案】|2

【分析】本題考查的知識點是等可能事件的概率，解題關(guān)鍵是熱練掌握等可能事件的運算公式.

根據(jù)等可能事件求概率的公式計算：如果一個事件中有〃種等可能結(jié)果，事件A包含其中的，〃種結(jié)果，那么

事件A發(fā)生的概率是

n

【詳解】解：???50名學(xué)生中有20人報了美術(shù)班,

二從該班隨機選一名學(xué)生，這名學(xué)生報美術(shù)班的概率是2合0=（2.

2

故答案為：

12.（24-25九年級上?河北邢臺?期中）把一枚質(zhì)地均勻的骰子［各個面上的點數(shù)為1~6）拋擲一次，落地

后,朝上面的點數(shù)能被3整除的概率是—.

【答案】;

【分析】本題考查?步概率問題求解，根據(jù)題意，把?枚質(zhì)地均勻的骰子（各個面上的點數(shù)為屋6）拋擲一

次，落地后，朝上面的點數(shù)為1、23、4、5、6共6種等可能得結(jié)果，其中被3整除的有3,6共2種，由簡單概率

公式代值求解即可得到答案，熟練掌握一步概率問題的求解方法是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???把一枚質(zhì)地均勻的骰子（各個面上的點數(shù)為1~6）拋擲一次，落地后，朝上面的點數(shù)為

1、2、3、43、6共6種等可能得結(jié)果，其中是被3整除的有3,6共2種，

???朝上面的點數(shù)被3整除的概率為32=1

63

故答案為：

13.（24-25九年級上?陜西西安?期末）??個不透明的箱子里裝有僅顏色不同的紅色卡片和藍色卡片共20張，

隨機從箱子里摸出I張卡片，記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到藍色卡片的頻率穩(wěn)定在0.4

附近，由此估計箱子中藍色卡片有張.

【答案】8

【分析】本題考查的知識點是由頻率估計概率、根據(jù)概率公式計算概率，解題關(guān)鍵是熟練掌握由頻率估計

概率的方法.

根據(jù)頻率估計概率，然后根據(jù)概率公式列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)箱子中藍色卡片有x張，根據(jù)題意得：

x八.

—=0.4,

20

解得x=8,

則箱子中藍色卡片有8張.

故答案為：8.

14.（2025?山東?二模）如圖1,在邊長為8cm的正方形內(nèi)部有一不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），為測算陰

影部分面積，小亮利用計算機進行模擬試驗，通過計算機在正方形區(qū)域隨機投放一個點，并記錄該點落在

陰影上的頻率數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖2所示.小亮由此估計陰影部分面積約為cm2.

圖I圖2

【答案】22.4

【分析】本題考查了幾何概率以及用頻率估計概率，并在此基礎(chǔ)上進行了題目創(chuàng)新，關(guān)鍵在于讀懂折線統(tǒng)

計圖的含義，隨著實驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于0.35附近，由此得實驗的頻率，并把它作為概率.這對學(xué)

生知識的靈活應(yīng)用提出了更高的要求.根據(jù)折線統(tǒng)計圖知，當(dāng)實驗的次數(shù)逐漸增加時，樣本的頻率穩(wěn)定在

0.35,因此用頻率估計概率，再根據(jù)幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面枳的比為0.35,即可求得不

規(guī)則圖案的面積.

【詳解】解：由折線統(tǒng)計圖知，隨著實驗次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.35,于是把0.35

作為概率.

設(shè)不規(guī)則圖案的面積為.rem?,則有白=0.35,

8x8

解得：x=22.4,

即不規(guī)則圖案的面積為22.4cn?.

故答案為：22.4.

15.（24-25九年級上?湖北襄陽?期末）如圖，電路圖上有一個小燈泡以及4個斷開狀態(tài)的開關(guān)A,B,C,

D,現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為.

【分析】本題主要考查概率，熟練掌握利用列舉法求解概率是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意列舉隨機閉合兩個開

關(guān)的所有情況，以及能使小燈泡發(fā)光的情況，從而完成求解.

【詳解】解：由題意得，隨機閉合兩個開關(guān)有A8、AC、4。、8C、8。、CO六種情況，其中能

使小燈泡發(fā)光的有48、CD,即2種，

21

???小燈泡發(fā)光的概率為

63

故答案為：

16.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，4,B,C為0。上的三個點，。為A8的中點，連接。4,OB,AC,

BC,以。為圓心，4c長為半徑的弧恰好經(jīng)過點0,若要在園內(nèi)任取一點，則該點落在陰影部分的概率

【答案】2-立

3n

【分析】連接OC、交于點。，設(shè)圓的半徑為1,可證△OAC△Q8C為等邊三角形，先求出gs陰影部分,

為“形。g一$邊形oo,分別求出扇形和四邊形面積，可求出陰影部分面積，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：連接OC、A8交于點。，設(shè)0。半徑為1,

VAC=OC=CB,。4、OB、OC為半徑,

???△OAC、△06C為等邊三角形,

〈AB為弦，OC為半徑,

，。。垂直平分A8,

在R^OAO中，04=1,400=60、

00=g,AD=*,AB=2AD二&

SRI成形OACA=2s△.A"=2x；xJJxg=乎,

120乃6用石

弓$1影部分=S出形CACB"冏邊形360-T-7-T

c_24-375

3陰杉部分_§，

p_S陰影制分_2兀-_2_正，

SOO3434

故答案是：2—立.

371

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形的弧、弦、圓心角定理，勾股定理，扇形面積公式，幾何概

率，根據(jù)圖形作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，將不規(guī)則的圖形拆分為規(guī)則圖形求出面積是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共72分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（24-25九年級上?陜西寶雞?期末）一個不透明的口袋中裝有12個白球和若干個紅球，這些球除顏色外

都相同，攪勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記下顏色后放回袋中.通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到

白球的頻率穩(wěn)定在。4左右，請你估計口袋中紅球的個數(shù).

【答案】18個

【分析】本題考查了用頻率估計概率，利用頻率估計概率是解題的關(guān)鍵.由題意得，利用白球個數(shù)除以摸

到白球的頻率，可估計出球的總數(shù)，再減去白球個數(shù)即可求解.

【詳解】解：由題意得，估計口袋中紅球的個數(shù)為12+0.4-12=30-12=18（個）.

答：估計口袋中紅球的個數(shù)為18個.

18.（21-22八年級上.北京房山.期末）口袋里有除顏色外其它都相同的6個紅球和4個黑球.

（1）先從袋子里取出根（"后1）個黑球，再從袋子里隨機摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A.

①如果事件A是必然事件，請直接寫出機的值；

②如果事件A是隨機事件，請直委寫出機的值.

4

（2）先從袋子中取出“個黑球，再放入加個一樣的紅球并搖勻，摸出一個球是紅球的可能性大小是三,求”的

值.

【答案】⑴①用=4；②/〃的值為1或2或3；

（2）,77=2

【分析】本題主要考查了必然事件和隨機事件定義，求概率，熟練掌握必然事件指在一定條件下一定發(fā)生

的事件：不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，概率公式是解題的關(guān)

鍵.

⑴①根據(jù)必然事件的定義可知：從袋子里隨機摸出一個球一定是紅球，袋子里?定全部是紅球，沒有黑球，

所以黑球要全部被拿走，所以胴的值是4；

②根據(jù)隨機事件的定義可知：從袋子里隨機摸出一個球可能是紅球也可能是黑球，所以袋子里一定既有紅

球又有黑球，所以加的值為1或2或3；

（2）取出，〃個黑球，再放入用個?樣的紅球，袋了里的小球的總數(shù)仍是10個，其中紅球的個數(shù)是m+6,根

據(jù)攜出一個球是紅球的可能性大小是可得：管=之，解方程求出冊即可.

【詳解】（1）①解：工?事件A是必然事件，

二?從袋子里隨機摸出一個球一定是紅球，

二袋子里一定仝部是紅球，沒有黑球，

二黑球要全部被拿走，

/r?=4；

②解：?.?事件A是隨機事件，

從袋子里隨機摸出一個球可能是紅球也可能是黑球，

二籠子里一定既有紅球又有黑球，

「?袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一個黑球，

利的值為1或2或3；

（2）解：袋子里一共有10個球，

取出，"個黑球，再放入〃?個一樣的紅球，袋子里的小球的總數(shù)仍是10個，

其中紅球的個數(shù)是m+6,

4

?.?摸出紅球的可能性大小是

根據(jù)題意得：誓=*，

一.m=2.

19.（23-24七年級F?廣東佛山?期末）任意擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個面的數(shù)字分別是1,2,3,

4,5,6）.

⑴直接寫出點數(shù)結(jié)果為4的概率；

(2)求出點數(shù)結(jié)果是奇數(shù)的概率.

【答案】⑴!

6

［分析】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+總

的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

(1)算出點數(shù)結(jié)果為4事件出現(xiàn)的結(jié)果以及總的結(jié)果，利用概率公式即可得到結(jié)果；

(2)算出點數(shù)結(jié)果是奇數(shù)事件出現(xiàn)的結(jié)果以及總的結(jié)果，利用概率公式即可得到結(jié)果.

【詳解】(I)解：在這6個點數(shù)中，點數(shù)結(jié)果為4的只有I個，

???擲得面朝上的點數(shù)為4的概率為9.

0

(2)解：在這6個點數(shù)中，奇數(shù)有1、3、5這3個，

:?擲得面朝上的點數(shù)為奇數(shù)的概率為:3二措1.

20.(2025?江蘇宿遷?二模)2025年宿遷馬拉松比賽于3月30日7：30在項王故里鳴槍開跑.張先生和王

女士報名參加了此次比賽，在經(jīng)過的某路口有三個車道(分別記為A、8、C),假設(shè)每個人經(jīng)過此路口時

走每個車道是等可能的.

(1)王女士經(jīng)過此路口時走A車道的概率為一；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求張先牛.和王女士經(jīng)過此路口時走不同車道的概率.

【答案】⑴(

靖

【分析】本題考杳了利用概率公式求概率，利用樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是列出所有的情況，

再利用公式求概率：

(1)直接利用概率公式求概率；

(2)利用列表法進行求解即可.

【詳解】（1）解：?.?有三個車道（分別記為A、B、C）,每個人經(jīng)過此路口時走每個車道是等可能的

.?.王女士經(jīng)過此路口時走A車道的概率為：

故答案為：：；

（2）解：利用列表列表如下：

張先生王女士ABC

A(AA)(AB)(AC)

B(8㈤(8,8)(B?

C(CA)(CB)(c?

共有9種等可能的情況，張先生和王女士經(jīng)過此路口時走不同車道的有6種情況，

故張先生和王女士經(jīng)過此路口時走不同車道的概率為：!=|.

21.（21-22九年級上?陜西西安?期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（攵-2）/-2x+l=0.

⑴若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求4的取值范圍.

（2）從一4,-2,0,2,4中任選一個數(shù)字作為k代入原方程，求選取的數(shù)字能令方程有實數(shù)根的概率.

【答案】⑴Av3且&W2

迷

【分析】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式大于。且二次項系數(shù)不為0,求解即可；

（2）方程有實數(shù)根，即判別式大于等于（）且二次項系數(shù)不為（），求解即可.

【詳解】（1）???一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，

/.A>0,且"2/0,

即（-2）2-4（攵-2）>0,且02工0,

且&m2.

（2）若要方程有實數(shù)根，則且"2工0：

即上q3且攵工2,

???給定的5個數(shù)字中，一4,一2,0能令方程有實數(shù)根，

3

故選取的數(shù)字能令方程有實數(shù)根的概率為1.

【點睛】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系，熟練掌握兩者間的判定條件即可，注意不要遺漏二次

項系數(shù)不為0這個要素.

22.（24-25九年級上?廣東湛江?期中）老師為幫助學(xué)生正確理解物理變化與化學(xué)變化，將5種生活現(xiàn)象分別

制成表面看上去無差別的卡片，并分別放入甲、乙兩個口袋中（如圖）.甲口袋中裝有A,8兩張卡片，乙

口袋中裝有C,。，E三張卡片.注：沒有生成其他物質(zhì)的變化叫做物理變化（A、C）；生成其他物質(zhì)

的變化叫做化學(xué)變化（。、D、E）.

衣服晾干牛奶變質(zhì)冰化成水鐵棒生銹酒精燃燒

ABCDE

甲口袋乙口袋

（1）若從乙口袋中隨機抽取1張K片，抽到化學(xué)變化的概率是_____；

（2）從兩個口袋中分別隨機取出I張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片均是物理變化的概率.

【答案】⑴：2

星

【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率、根據(jù)概率公式計算概率.

（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中抽到化學(xué)變化的結(jié)果有2種，利用概率公式可得答案；

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽出的兩張卡片均是物理變化的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出

答案.

【詳解】（1）解：???乙口袋中有3張卡片，其中C是物理變化，。、E是化學(xué)變化，

?.?共有3種等可能的結(jié)果，其中抽到化學(xué)變化的結(jié)果有2種，

???從乙口袋中隨機抽取1張卡片，抽到化學(xué)變化的概率是彳，

2

故答案為：p

（2）解?甲口袋中A是物理變化，8是化學(xué)變化，

只有同時抽到A和C才符合要求，

根據(jù)題意，列表如下：

AB

CACBC

DADBD

EAEBE

由表可知，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，其中兩次抽出的卡片均為物理變化的情況有1種,

???抽出的兩張卡片均是物理變化的概率嗎.

23.（23-24九年級下?湖南長沙?期中）張老師在帶領(lǐng)同學(xué)們進行折30。角的探究活動中，按步驟進行了折紙:

①對折矩形4