§7.5空間直線、平面的垂直

【課標要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平面、平面與平

面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平面

判\(zhòng)

定內(nèi)的________________垂

定,=/_La

理直，那么該直線與此平面7

垂直

____/

性a

質(zhì)垂直于同一個平面的兩條

定一;■=?a//h

理直線平行匚Z7

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條

直線垂直于平面，我們說它們所成的角是;一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們

所成的角是.

(2)范同：.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角；如圖，在二面角〃一/一夕的棱/上任取一點O,以點。為垂足，在半平面。和夕

內(nèi)分別作____________的射線0A和0B,則射線0A和OB

%

(3)二面角的范圍：____________.

4.平面與平面垂直

(1)平而與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

\文字語言圖形表示符號表示

判

定如果一個平面過另一個平面

定.=(,.邛

理的________,那么這兩個平面垂直/夕/

性兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直

質(zhì)

定線垂直于這兩個平面的________,那么

理

這條直線與另一個平面垂直'Uy

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“4”或“義”）

⑴若直線/與平面?內(nèi)的兩條直線都垂直，則/_La.（）

(2)若直線。_La,bLa,則a//〃.()

（3）若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.（）

（4）若。_1_夕，a邛,則〃〃心（）

2.（2024.惠州模擬）已知/,〃是兩條不同的直線，夕是不重合的兩個平面，則下列命題中正確的是（）

A.若a〃氏lua,tiu0,則/〃〃

B.若a上仇lua,則LL￡

C.若）〃a,a邛,則LL/?

D.若LLa,l//p,則

3.（多選）如圖，PA是圓柱的母線，A8是圓柱的底面直徑，。是圓柱底面圓周上的任意一點（不與A,8重

合），則下列說法正確的是（）

A.PA_L平面A8C

B.BC_L平面PAC

C.AC_L平面PBC

D.三棱錐P—A8C的四個面都是直角三角形

4.在長方體中，AO=A4=1,AB=2,點E在棱AB上，若直線與平面A8CO所成

的角為，則AE=.

1.靈活應(yīng)用兩個重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的仟何一條直線(證明線線垂直的一個重.要方法).

2.掌握三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定定理判定定理、

線線垂直,性質(zhì)'線面垂直性質(zhì)定理面面垂直

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1(2024?昆明模擬)如圖，已知四邊形48co為矩形，48=4,AD=2f石為OC的中點，將△AOE

沿AE進行翻折，使點。與點尸亙合，且出=26.

(1)證明：PALBE；

(2)求四棱錐P—AACE的體積.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

⑴證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性3〃b,ala=>bla)；③面面平

行的性質(zhì)(〃_La,a〃B=a1B)；④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐P—A8C。中，尸A_L底面ABC。，ABLAD,ACLCD,ZABC=

60°,PA=AB=BC,E是尸C的中點,證明:

Bi,C,

4,

B

題型三垂直關(guān)系的應(yīng)用

例3（多選）把邊長為a的正方形A8CO沿對角線AC折起，使二面角8—4。一。為直二面角，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.AC工BD

B.AB1CZ）

C.直線3。與平面ABC所成角的大小為：

D.二面角A-BD-C的余弦值為一1

cos0=cosa?cosa的應(yīng)用

已知A。是平面6（的斜線，如圖，八是斜足，OBta,A是垂足，則直線AB是斜線A。在平面a內(nèi)的射影，

設(shè)4c是a內(nèi)的任一過點4的直線，且BCLAC，。為垂足，又設(shè)A。與直線A8所成的角為a，A4與AC

所成的角是分，A0與AC所成的角為0,則cos0=cos〃「cos〃2.

典例已知PA是平面a的斜線，N84C在平面a內(nèi)，且N84C=90。，又/PAB=ZPAC=60°,則PA與

平面a所成的角為.

思維升華（1）三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

（2）求線面角的關(guān)鍵是找到平面的垂線，有了垂線即可有射影，斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角即為線面

角.

（3）求二面角的關(guān)鍵是找其平面角，要注意二面角的范圍是[0,71].

跟蹤訓(xùn)練3（多選）（2024?漳州模擬）如圖，三棱錐O-ABC中，OA=OC=OB=\,OAJ_平面O8C,Z

80c=60。，則下列結(jié)論正確的是（）

/

A.直線48與平面08c所成的角為45。

B.直線AB與平面OAC所成的角的正弦值為當

4

C.OC_LA8

D.二面角O-BC-A的正切值為竽

?5

答案精析

落實主干知識

1.(2)兩條相交直線mua〃uamC\n=P/_!_〃?/_L〃aLa

bA_a

2.⑴射影90°0°⑵[O,1

3.(1)兩個半平面(2)垂直于棱/(3)[0,n]

4.(2)垂線auaaL/i

交線aS-PaC\B=aILa曰

自主診斷

1.(1)X(2)7(3)X(4)X

2.D|由/，〃是兩條不同的直線，a，夕是不重合的兩個平面知，

在A中，若a〃夕，lua,nu。,

則/與〃平行或異面，故A錯誤；

在B中，若。_1_夕，/ua,貝IJ/與夕相交、平行或/u”，故B錯誤；

在C中，若/〃a,a*,則/與外相交、平行或仁外，故C錯誤；

在D中，若/J_a,/〃夕，則a邛,故D正確」

3.ABD[因為PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A,8重

合),則J_平面ABC，故A正碓；

而BCu平面ABC,貝ljPA1BC,

又AC1BC,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,貝lj8CJ_平面P.\C,

故B正確；

由A知，叢PAB,ZXPAC都是直角三角形，

由B知，△ABC,△P8C都是直角三角形，故D正確；

假設(shè)4C_L平面P8C,因為PCu平面PBC,

則AC.LPC,即NCCA=900,

而在△PAC中NB4C=9()。，矛盾，故C錯誤.]

4.V2

解析根據(jù)長方體性質(zhì)知。。_1_平面A8CO,故NOE。為直線。石與平面A8CO所成的角

所以NDEDi=g

則lan/OED產(chǎn)嗎=在，

DE3

可得D￡=V3,

所以在RtAAED中，

AE=\/DE2-AD2

=y/2<AB=2,符合題設(shè).

探究核心題型

例1⑴證明由題知

AE=BE=2y12,

所以,482=4/+8爐，

所以AABE為直角三角形，

BE1AE,因為PE=DE=2,

BE=2\[2,PB=2班,

所以PB2=PE2+BE2,

所以△P8E為直角三角形，

BELPE,

因為AEQPE=E,AE,

PEu平面PAE,

所以BEJ_平面PAE,

因為PAu平面PAE,

所以PA上BE.

⑵解如圖，取AE的中點。，連接P。，

1

AB

因為PA=PE=2,。為AE的中點，

所以P0J_4E,且P0=y[2,

又由⑴知8￡?_1_平面PAE,且POu平面PAE,

所以BEJ_PO,

又AEC\BE=E,AE,8Eu平面ABCE,所以QO_L平面ABCE,

所以，四梭鍵p-A"C￡=；SraiijgABCE-PO—^XX(2+4)X2Xyf2=2y/2.

JJ/

跟蹤訓(xùn)練1證明⑴在四棱錐尸一43CD中，

???P4J_底面A8CD,

COu平面48CD,

：.PALCD,

VAC1CD,PAC\AC=A,PA,ACu平面PAC,

，CO_L平面PAC,

而A￡u平面PAC,

：.CDLAE.

(2)由PA=AB=BC,

ZABC=60°,

可得4C=PA.

IE是PC的中點,：.AE±PC.

由(1)知AE_LCO,且PC(~]CD=C,PC,CDu平面PCD,

平面PCD,

而P/)u平面PCD,

：.AELPD.

???PAJ_底面ABCD,

ABu平面ABCD,

J.PALAB.

又且PAf!AO=A,PA,AOu平面PAD,

?"8"L平面PAD,

而PZ)u平面PAD,

：.ABLPD,

又\'ABHAE=A,AB,A￡u平面ABE,

，PO_L平面ABE.

例2⑴證明因為4C_L平面A8C,8Cu平面ABC,

所以AC_LBC,

又因為NACB=90。，即AC_LBC,

因為AC,ACu平面ACG4,

AiCMC=C,

所以BC_L平面ACG4,

又因為ACu平面BBiGC,

所以平面ACGAiJ_平面BBiCC

⑵解如圖，過點A作AO_LCG于點Q

因為平面ACG4_L平面88CC,平面ACGAQ平面881cle=CG,A0u平面ACGAi,

所以AQJ_平面861cle',

所以四棱錐4一88。（、的高為40.

因為AC_L平面ABC,

4Cu平面ABC,

所以ACJL4C,

又A[C]〃AC,所以A]C_LCG,

又AC=1,AA]=2,所以4cl=I,CG=2,

所以AC=JCC：,

所以AQ=小辿&=四=3，

CCt22

所以四棱錐4—85GC的高為當

跟蹤訓(xùn)練2證明在等腰梯形AB囪4中，

t

\AA]=A\B[=BB]=^AB=\,

可得BA\—>/3,

在△8A4中，AAl+BAl=AB2,

：.BA\LAA\,

又???平面A660|J_平面ASC,且立面A66|A￡平面A6C=A6,

AC1AB,且ACu平面ACG4,

???4C_L平面AMA1，

又BAU平面4884,

???8A_LAC

又?.?/141八八。一人,

且AC,AAu平面4CG4,

???844平面ACG4,

又?.?6A|U平面BA\C,

???平面84C_L平面ACGA.

例3ACD[如圖所示，記七為4C的中點，連接BE,DE,所以4C_L8E,AC_LDE,又BECDE=E,

BE,DEu平面BED,所以4C_L平面BED,又BOu平面BED,所以AC1.BD,A正確；

D

c

依題意，/BED是二面角8—AC-。的平面角，所以NBEO=：,所以DEIBE,又DELAC,BEQAC=

E,BE,4Cu平面ABC,所以平面ABC,又A8u平面ABC,所以DELAB,因為CD「lDE=D,所以

4〃與CO不垂直，B錯誤；

直線BQ和平面ABC所成的角即為NEBO,因為tanZEBD=—=\,故/EBD=?,C正確；

BE4

由于BC=CQ=8A=A。，取8。的中點G,連接AG,CG,則有CG_LB。，AG_L3O,故/CG4為二面角

八一8。一。的平面角，

M-41

=^=W'D正知

微拓展

典例45°

解析如圖，作P在〃內(nèi)的正射影0,則。在N84C的平分線上，NPAO為P4與平面a所成的角，所以

cosZPAC