3.2勾股定理的逆定理蘇科版（2024）初中數(shù)學(xué)八年級上冊同步練習(xí)

分?jǐn)?shù)：120分考試時間：120分鐘命題人：

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，在團(tuán)A8C中，AB=AC=12,BC=6,將團(tuán)ABC折疊，得到折痕且頂點B恰好與點A

重合，點C落在點尸處，則CE的長為（）

A.4B.1C.5D.3/10

2.如圖，在△力BC中，AC=8,BC=6,AB=10,把△48。沿48邊翻折成△ABC'（在同一個平面內(nèi)），則

CC'的長為（）

3.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，以為邊畫直角三角形力BC，使點C在格點上，滿足這樣條件的點。的

個數(shù)是（）

B

A.4B.6C.8D.10

4.如果三個正整數(shù)Q,力，c滿足。2+52=。2,那么稱ab,c為一組勾股數(shù)?如果一個正整數(shù)由能表示成

兩個非負(fù)整數(shù)％,y的平方和，即血=/+、2,那么稱m為廣義勾股數(shù)?現(xiàn)有下面的結(jié)論：①7是廣義勾股

數(shù)：②13是廣義勾股數(shù)：③兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)：④兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)：

⑤若％=巾2—幾2,y—2mn,z=m2+n2,其中x,y,z,m,n是正整數(shù)，貝k，y,z是一組勾股

數(shù).其中正確的是（）

A.①③④⑤B.②④C.②③⑤D.②④⑤

5.下列條件中，不能判斷為直角三角形的是（）

A.a2=1,d2=2,c2=3B.a:b:c=3:4:5

C.LA4-Z.B=Z.CD.Z.A：Z.B：zC=3:4:5

6.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.6,8,12B.0.6,0.8,1C.8,15,16D.9,12,15

7.下列四組數(shù)據(jù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）

A./6,/8,710B.32,42,52

cC.c9,4S0,41nD6.12,1—3

300

8.卜列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.1、gy[3B./I、6、＜5C.5、12、13D.1、2、3

9.4力8。中，乙1,乙8,乙。的對邊分別是a,b,c,下列條件中，不能判定△力8C是直角三角形的是（）

A.LA+Z.B=90°B.乙4：￡B：zC=1：2：3

C.a=l,b=1,c=V-2D.a=y/~3,b=2,c=x/-5

10.如圖，一塊四邊形4BCD,已知4D=47n,CD=37n/ADC=90°,/lB=13m.8c=12m，則這塊地的

面積為（）m2.

A.24B.30C.48D.60

II.如圖，在網(wǎng)格圖（每個小方格均是邊長為1的正方形）中，以48為一邊作直角三角形ABC,要求頂點C在

格點上，則圖中不符合條件的點是（）

B

A.C]B.C2C.心D.C4

12.如圖，己知四邊形4BC0中，40=4,CD=3,/-ADC=90°,AB=13,

BC=12,則這個圖形的面積為（）

A.48B.54C.24D.60

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，線段4B,BC,BD,OE的端點均在格點上，線段力8和。E

交于點尸.則CF的長度為.

如圖，ADLBC,垂足為D,且4D=4,8D=8.點E從點B沿射線BC方向以每秒2個單位長度的速度勻速

運動，尸為BE的中點，連接力E,AF,設(shè)點E運動的時間為￡s.

(1)當(dāng)t為何值時，AE=AF?

(2)當(dāng)￡=5時，判斷同ABE的形狀，并說明理由.

20.(本小題8分)

如圖，P是等邊三角形48c內(nèi)一點，且P4=6,PB=8,PC=10.若將團(tuán)P4C繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到回

P'血

(1)求PP'的長.

(2)求乙4PB的度數(shù).

21.(本小題8分)

如圖，在四邊形力BCD中，AB=BC=2,CD=3,AD=1,R/.ABC=90°,試求匕4的度數(shù).

22.（本小題8分）

如圖，AB=AD,AC=AE,Z-BAD=Z.CAE.

(1)求證：

(2)若AC=9,AD=12,BE=15,請你判斷△ABE的形狀并說明理由.

23.(本小題8分)

如圖，在四邊形力3co中，48=90。，AB=20,BC=15,CD=7,DA=24,求四邊形力8C0的面積.

24.(本小題8分)

如圖，P是等邊△力8C內(nèi)一點，PA=6,PB=8,PC=10.若P'是△ABC夕|、一點，且△三△P/1C,求

點P與點P'之間的距離及乙1P8的度數(shù).

25.(本小題8分)

已知關(guān)于匯的一元二次方程(a+C)/+25%+(a-c)=0,其中a,b,c分別為團(tuán)力BC三邊的長.

(1)如果％=-1是方程的根，試判斷團(tuán)218c的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根,試判斷回力BC的形狀，并說明理由；

(3)如果圖ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

答案和解析

1.【答案】B

【4鋁斤】略

2.【答案】D

【解析】略

3.【答案】C

【解析】①當(dāng)/BAC=90。時，如圖①，可作出2個點C,

vAB2=22+22=8,ACl=4廢=I2+I2=2,BC：=B第=I2+32=10,

ACl+AB2=BCl，ACl+AB2=BCl，ABC^為直角三角形.

②當(dāng)41BC=90。時，如圖②，可作出4個點C,

vAB2=22+22=8,ACl=ACl=l2+32=10,BCl=BCl=I2+l2=2,

22

?.BC^AB=AC^BCl+AB=ACl，.'^ABC4,△力BC5為直角三角形；

???AB2=22+22=8,ACj=ACl=42=16,BCj=BCf=22+22=8,

22

：.BCl+AB=ACl，BCl+AB=ACl，ABC3,△ABC；為直角三角形.

1?當(dāng)乙/1。8=90°時，如圖③，可作出2個點C,

vAB2=22+22=8,AC^=ACl=B的=BC^=22=4,

:.Ba+AC"AB?,8鬣+/量UZI”，.?.△48的，△4為直角三角形.

綜上，以4B為邊畫直角三角形ABC,使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共8個.

故選c.

4.【答案】D

【解析】提示：①7H/+y2,不正確；@13=22+32,正確；令m=/+y2,幾=小+匕2,③山+

n=%2+y2+a2+b2,不一定能表示成兩個非負(fù)整數(shù)的平方和，不正確；@mn=(a2+b2}\x2+y2)=

a2x2+a2y2+b2x2+b2y2=(ax')2+(by)2+2abxy+(ay)2+(fix')2—2abxy=(ax4-by)2+(ay-bx)2

能表示成兩個非負(fù)整數(shù)的平方和，正確；⑤易證/+y2=z2,正確.

5.【答案】D

【解析】解：4、可利用勾股定理逆定理判定△/1BC為直角三角形，故此選項不合題意；

8、根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△48C是直角三角形，故此選頃不合題意；

C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出乙C=90。，△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；

D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出41=45。，△3=60。，ZC=75%可判定△4BC不是直角三角形，

故此選項符合題意；

故選:D.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析可得答案.

此題主要考查了勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形

的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.【答案】D

【解析】解:A.V62+82H122,

：.6,8,12不是一組勾股數(shù)，不符合題意；

B、???0.6,0.8不是正整數(shù),

.--0.6,0.8,1不是一組勾股數(shù)，不符合題意；

C、力+廿工162,

.-.8,15,16不是一組勾股數(shù)，不符合題意;

D、v92+122=152,

，9,12,15是一組勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

7.【答案】C

【解析】解：A、不是勾股數(shù)，因為&2H(/而產(chǎn)；

B、不是勾股數(shù)，因為(32)2+d2)2豐(52)2；

C、是勾股數(shù)，因為92+4。2=4仔，且9,40,41是正整數(shù)；

D、不是勾股數(shù)，因為《)2+(守豐建)2

故選：C.

三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可.

本題考查了勾股數(shù)的概念：滿足層+/=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).說明：

①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足小+墳=c2,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾

股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；...

8.【答案】D

【解析】解：4、12+(72)2=(/3)2,能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；

(72)2+(/3)2=(<5)2,能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；

C、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，故選項錯誤；

D、12+22=32,不能構(gòu)成直角三角形，故選項正確.

故選：0.

根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計算分析，從而得到答案.

2

此題考查了勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足小+b=c2,則三角形ABC是直角三角形.

9.【答案】D

【解析】解：4、?.?4力+48=90°,+匕C=180°,

Z.C=90°,

??.△人員:是直角三角形，故A不符合題意；

B、,：乙A：乙B：ZC=1：2：3,

.?.設(shè)44=x°,則=2x°,zC=3x0,

vZ/l4-+Z.C=180°,

x°+2x°+3x°=180°,

解得：x=30,

:.LA=30°,乙B=60°,zc=90°,

??.△ABC是直角三角形，故8不符合題意；

C、???I2+I2=(/2)2,

:.Q2+/=。2,

???△48C是直角三角形，故C不符合題意；

D>v(V-3)2+22=7,(V-5)2=5,a<b<c,

:.dz+b2c2,

??.△ABC不是直角三角形，故。符合題意，

故選：0.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷詵項A、8是?否是?百角三角形：根據(jù)勾股定理逆定理可判斷詵項C、。是否

是直角三角形.

本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握勾股定理的逆定理與三角形內(nèi)角和定

理是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】此題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知識點，難度不大；連接力C,先根據(jù)勾股定理求出

AC,再根據(jù)勾股定理逆定理證明=90。，即nJ"求解.

【詳解】解：連接力C,如圖，

vAD=4m,CD=3m,Z.ADC=90°,

???AC=y/CD2+AD2=5m,

AB=13m,BC=12m,

AB2=BC2+AC2

AZ.ACB=90°,

這塊地的面積為：ACxBC-CDxAD=24m2,

故選:A.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理，考查學(xué)生的推理能力和幾何直觀.

利用勾股定理及其逆定理逐?驗證即可.

【解答】

解：：AB=,32+12=5fio,=V22+I2=75,BCi=V224-l2=<5,

.??力仃+BC/=4^2,A/IBG是直角三角形，故選項A不符合題意：

AC2=V32+1.2=730,BCI=x/42+22=

22

.-.AC^+AB=BC2,△ABG是直角三角形，故選項4不符合題意；

2222

VAC3=V4+2=<20,8c3=V3+l=AHO,

22

：.BC^+AB=AC3t△48的是直角三角形，故選項C不符合題意；

vAC4=4,肛=M?2+?2=/TR.

AC}+AB2BC^故選。符合題意.

12.【答案】C

【解析】解：如圖，連接力C,--------—7

vAD=4,CD=3,匕ADC=90S：

AC=y/AD2+CD2=5.?

vAC2=25,BC2=144,AB2=169,

AC2+BC2=AB2,

??.△ACB為直角T角形,

???這個圖形的面積=S&ABC-Ss=1x/lCFC-|xCD-/lD=1x5xl2-ix3x4=24,

Ct乙乙乙

故選：C.

連接4C,由勾股定理得4C=5,由勾股定理逆定理得出△力CB為直角三角形，再根據(jù)這個圖形的面積=

SMBC一S—CD，計算即可?

本題考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算.

13.【答案】2

【解析】略

14.【答案】45

【解析】設(shè)網(wǎng)格的小正方形邊長為1.

方法1：如圖1,由勾股定理，得402=22+12=5,DF2=22+12=5,AE2=32+I2=10,

'.AD=DE,=人￡2,...△力是等腰直角三角形，

A￡DAE=45。，???Z.GAD+Z.EAF=90°-45°=45°.

vAB=AD?AG1BD,:.Z-BAG=Z.GAD.

由平行線的性質(zhì),得乙2=NBAG,

Az2=Z.GAD,同理，得=匕E4F,：?zl4-z2=45°.

方法2：如圖2,取格點DQ4O14B),E,連接A。，CD.

?：AE=BF=2,LAED=Z.BFA=90°,DE=AF=1,團(tuán)ZL4E三團(tuán)力BF(SRS),z2=Z.DAE.

由平行線的性質(zhì)，=Z-CAE,AZ14-Z2=Z.CAE+Z.DAE=Z.CAD.

由勾股定理，得4標(biāo)=22+l2=5,CD2=22+l2=5,AC2=32+l2=10,

-.AD=CD,心+亦=心，...△Ac。是等腰直角三角形,

圖2

15.【答案】135°或45°

【解析】v乙ABC=90°,AB=BC=4,.-.AC2=42+42=32,而CD?=4,AD2=62=36,???AD2:

力。2+。。2,...△/CD為直角三角形，4AG)=90。.?.?△48c為等腰直角三角形，4力。8=45°,.??如圖

①,ziBCD=900+45°=135°；如圖②,乙8c0=90°—45°=45°.綜上,乙BC。=135°或45°.

16.【答案】學(xué)

4

【解析】提示：易得482+^2=左2,所以I34BC為直角三角形，且4MC=90。.因為N為DE的中點，所

以4N=々。區(qū)因為四邊形力DPE的面積為18,0E14P,所以S必刈織DpE=Sm4"+Sgop=T<P?￡M+

^AP-DM=\APDE=AP-AN,即力P?4N=18.所以當(dāng)力P取得最小值時，4N有最大值.因為當(dāng)4P_L

忖，力夕的值最小，最小值為等=當(dāng)所以4N的最大值為18+g=真

10554

17.【答案】【小題1】

連接CE,???。是8C的中點，且。E1BC,:.CE=BE.

222222222

???BE-EA=AC,ACE-EA=AC,:.EA+AC=CE,

???△4CE是直角三角形，??.△4=90°.

【小題2】

-DE=3,BD=4,???BE2=DE2+BDZ=3Z4-42=25=5。

BE=CE=5,-.AC2=EC2-AE2=25-AE2.

???5C=2BD=8,.?.在Rt△肌4c中，由勾股定理得

BC2-BA2=64-(5+AE)2=AC2,/.64—(5+AE)2=25-AE2,解得4E=

【解析】1.略

2.略

18.【答案】【小題1】

△/.BC是直角三角形.理由如下：因為△ABC的三邊長分別是a,b,c,且a=M-i,b=2n,c=n2+

1,所以M+b2=(n2-l)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,c2=(n2+l)2=n4+2n2+

1,即標(biāo)+墳=。2.所以△.A是直角三角形,且NC=90。.

【小題2】

因為以b為直徑的半圓面積為2九，所以?6)2=2亢，解得b=4.乂b=2n,所以2九二4,解得九二2.乂

a=n2—1,所以a=3.由(1),得乙C=90。，所以△48C的面積為:a匕=gx3X4=6.

【小題3】

因為以a,b為直徑的半圓面積分別為p,q,所以p=/6)2=哈q="d)2=嗒由⑴，得+

b'2=c2,所以以c為直徑的半圓面積為47r?(勺2=^=^(a2+b2)=唁十*=p+q.

ZZoooo

【解析】1.略

2.略

3.略

19.【答案】【小題1】

解：由題意，得〃E=2t,且當(dāng)=｛尸時，點尸在點。左側(cè).因為F為〃￡?的中點，所以"尸=E〃=：9E=

t.因為40=4,BD=8,所以0"=80-B尸=8-30E=3E—3D=2t—8.因為AOJ.8C,所以

Z.ADB=Z.ADE=90°.在Rt04OF中，AF2=AD2+DF2=16+(8-t)2.?E/?t團(tuán)/10E中，AE2=AD2+

DE2=16+(2t-8)2,所以16+(8-￡產(chǎn)=16+(2t-8)2,解得t=號或t=0(舍去).所以當(dāng)￡=學(xué)時,

AE=AF.

【小題2】

團(tuán)48E是直角三角形.理由如下：

當(dāng)￡=5時，BE=2t=10,所以DE=8E-8D=2.在RtOADB中，AB2=AD2+BD2=80

.在Rt04DE中，AE2=AD2+DE2=20.因為AB?+AE2=100,BE2=102=100,所以4爐+AE2=

BE2,所以團(tuán)是直角三角形.

【解析】1.略

2.略

20.【答案】【小題1】

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得4P'=/P=6,4PAB=4PAC,所以團(tuán)P'AP是等腰三角形.因為團(tuán)ABC是等邊三角

形，所以4821c=60°,所以/PHC+乙BAP=60°.所以/PAP="AB+乙BAP=60°.所以團(tuán)產(chǎn)'AP是等邊

三角形，所以PP'=6.

【小題2】

因為團(tuán)/<4P是等邊三角形，所以"PP'=60°.因為PP'2+PB2=62+82=100=P'B2,所以日8PP'是直

角三角形,乙BPP'=90°.所以N/1P8=Z4PP'+乙BPP'=150°.

【解析】1.略

2.略

21.【答案】解：連接AC,???A8=8C=2,且乙ABC=90。，

:.AC=2，1且4c48=45°,

又?.力。=1,CD=3,卜、

222

AAD+AC=9=CD

:.Z.CAD=90°,B

.??/.BAD=Z.CAD+上CAB=135°.

【解析】本題考查了勾股定理和其逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是連接AC,構(gòu)造直角三角形.

連接4C，根據(jù)勾股定理求出4C,再