高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題

例1某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與”有獎問答比賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時(shí)

回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是旅甲、丙兩個家庭都回

答錯誤的概率是七,乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是"若各家庭回答是否正確互不影響.

⑴求乙、丙兩個家庭各自I可答正確這道題的概率；

(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率.

解(1)記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道

|7(下)/(下)==，

題”分別為事件人B,C,則P(4)=3且有，

【1-P(4)M1-P(C)]==

叫

P(B)?P(。/

32

所以P(8)=g,P(C)=y

(2)有0個家庭回答正確的概率為

-----------------------——1515

3=P(ABC)=尸(4)P(B)P(C)=4義1><?=而，

有1個家庭回答正確的概率為

Pi=P(A~B~CU~AB~CUTTO=P(AT-C)+P(T?-c)+P(TTo

=P(A\PCBYPCC)+P(A)P(B)PCC)+P(Typ(~B)?p(o

—

3513—1527

-------

48-48-483一

33~24

所以不少于2個冢庭回答正確這道題的概率為

思維升華隨機(jī)事件的概率求解策略

(1)對復(fù)雜的隨機(jī)事件表示我互斥事件的和，獨(dú)立事件的積；

(2)利用概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2020」海市七寶中學(xué)模擬)通過手機(jī)驗(yàn)證碼登錄哈啰單車App.驗(yàn)證碼由四位

數(shù)字隨機(jī)組成，如某人收到的驗(yàn)證碼("I，。2,。3,田)滿足0VSV43V田，則稱該驗(yàn)證碼為遞增

型驗(yàn)證碼，某人收到一個驗(yàn)證碼，那么是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為.

答案?

解析：=2,2<〃2<43<。4,

，。2,43，。4從3?9中選，

只要選出3個數(shù)，讓其按照從小到大的順序排列，分別對應(yīng)。2,的，出即可，

(2)某城市2020年的空氣質(zhì)量狀況如表所示:

污染指數(shù)T3060100110130140

111721

概率p

To63301530

其中污染指數(shù)TW50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50VTW100時(shí)，空氣質(zhì)量為良，100VTW150時(shí),

空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2020年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為.

3

宏索-

口呆5

解析由題意可知2020年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為〃=e+*+；=］.

題型二用樣本估計(jì)總體

例2(2021.石家庠模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡

稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次

“一帶一路”知識競賽,滿分為100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了工

人,按年齡分成5組，第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),

第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.

⑴求x；

(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，

42人，36人，24人，12人，分別記為1?5組，從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組

中每組各選派1人參加“一帶一路”知識競賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1?5組的

成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1?5組的成績分別為93,98,94,95,90.

①分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差；

②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價(jià)5個年齡組和5個職業(yè)組對"一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀?/p>

的感想.

解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01X5=0.05,??1=0.05,，犬二口。.

(2)設(shè)中位數(shù)為a,則0.01X5+0.07X5+(4—30)X0.06=0.5,

95

???。=三仁32,則中位數(shù)為32.

—11

(3)①5個年齡組成績的平均數(shù)為x1=^X(93+96+97+94+90)=94,方差為.n=7X[(-l)2

JJ

+22+32+02+(-4)2]=6.

5個職業(yè)組成績的平均數(shù)為；2=^X(93+98+94+95+90)=94,方差為52=|x[(-1)2+42

+02+12+(-4)21=6.8.

②從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定(感想合理即可).

思維升華(1)注意頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法.

(2)處理決策問題時(shí)，一般先比較平均數(shù)，若平均數(shù)相同，再比較方差.

跟蹤訓(xùn)練2(2020?佛山模擬)寒假期間，很多同學(xué)都喜歡參加“迎春花市擺檔口”的社會實(shí)踐

活動，下表是今年某個檔口某種精品的銷售數(shù)據(jù).

日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日

銷售白天3532433951

量/件晚上4642505260

已知攤位租金900元/檔，售余精品可以進(jìn)貨價(jià)退回廠家.

(I)求表中10個銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)：

(2)明年花市期間甲、乙兩位同學(xué)想合租一個攤位銷售同樣的精品，其中甲、乙分別承包白天、

晚上的精品銷售，承包時(shí)間段內(nèi)銷售所獲利潤歸承包者所有.如果其他條件不變，以今年的

數(shù)據(jù)為依據(jù)，甲、乙兩位同學(xué)應(yīng)如何分擔(dān)租金才較為合理？

434-46

解(1)中位數(shù)為一^—=44.5,

f…”5+46+32+42+43+50+39+52+51+60

平均數(shù)為------------------桁--------------------=45.

(2)由題意知，今年花市期同該攤位所售精品的銷售量與時(shí)間段有關(guān)，明年合租攤位的租金較

為合理的分?jǐn)偡椒ㄊ歉鶕?jù)今年的平均銷售量按比例分擔(dān).

..,_,,_“35+32+43+39+51_

今年白天的平均銷售量為--------------------------=40(件/天)，

.,,?人f人口u46+42+50+52+604

今年晚上的平均銷售量為--------5------------=50(件/天)，

4()

所以甲同學(xué)應(yīng)分擔(dān)的租金為900乂而看=400(元)，

P(X=\)=P(C"DU-CD)=P(C)P(~D)+P(7)P(D)

=0.4X(I-0.6)+(l-0.4)X0.6=0.52,［6分］

P(X=0)=P(-C~D)=P(~C)P(~D)=0.2447分］

所以X的分布列為

X012

P0.240.520.24

［8分］

故X的均值E(X)=0X0.244-1X0.52+2X0.24=1.0.［9分］

(3)記事件F為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣

本數(shù)據(jù)得尸(￡)=在=焉.山分］

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：

P(或比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額

大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化，理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，尸(￡)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有

沒有變化.［12分］

第一步：審清題意，理清條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系.

第二步：找數(shù)量關(guān)系，把圖表語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字，將圖表中的數(shù)字轉(zhuǎn)化為公式中的字母.

第三步：建立解決方案，找準(zhǔn)公式，根據(jù)圖表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算數(shù)值.

第四步：作出判斷得結(jié)論，依據(jù)題意，借助數(shù)表作出正確判斷.

第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范性.

跟蹤訓(xùn)練3某項(xiàng)大型賽事需要從高校選拔青年志愿者，某大學(xué)學(xué)生實(shí)踐中心積極參與，在8

名學(xué)生會干部(其中男生.5名，女生3名)中選3名參加志愿者服務(wù)活動.若所選3名學(xué)生中

的女生人數(shù)為X,求X的分布列及均值.

解因?yàn)?名學(xué)生會干部中有5名男生，3名女生，所以X服從參數(shù)N=8,M=3,〃=3的

超幾何分布.

GC廠

X的所有可能取值為0,1,23,其中P(X=i)=7^

(i=0」,2,3).

由公式可得P(X=0)=獸=介，

P(X—1)—口-28,

PfY_2._C5Cl_15

P(X-2)-c,-56,

Pg）=宣』

所以X的分布列為

X0123

515151

p

28285656

所以X的均值為E（X）=0X?lx||+2X抖3X*碟=*

題型四回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

例4近年來，國資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部

署，在各個貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精

準(zhǔn)扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面枳以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下

表所示：

土地使用面積M單位：畝）12345

管理時(shí)間），（單位：月）810132524

并調(diào)查了某村3（X）名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民15050

女性村民50

（1）求），關(guān)于x的線性回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

⑵是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

Z(為一X)(y—y)

A尸1AA

______〃(-Of______

參考公式：b=,a=y_bx>K2=

Q+A)(c+d)(a+c)S+")'丹十〃

i(Xi-x)2

i-l

+/7+（?+”.

臨界值表：

尸（片2例）0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

1+2+3+4+5—8+10+13+25+24

解依題意得，X5=3，=5=16，

故￡aL7)GLK)=(-2)X(-8)+(-l)X(-6)+lX9+2X8=47,

i=l

5一

￡(Xj—x>=4+1+1+4=10,

i=l

5__

A￡(Xi-x)8—y)

則-----=---------=m=4.7,

ED10

r=l

AA

a=~-/>7=16-4.7X3=1.9,

A

所以)，關(guān)于k的線性回歸方程為y=4.7x+1.9,

(2)依題意，女性不愿意參與管理的人數(shù)為50,

計(jì)算得照的觀測值為

300X(150X5()—50X50)2300義5000義5000

==

k=200X100X200X100200X100X200X1000.828,

故有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性.

思維升華統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)實(shí)臉、起幾何

分布、二項(xiàng)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)、線性回歸等知識，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理輪力、

運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識.

跟蹤訓(xùn)練4(2020?濟(jì)寧模擬)下面給出了根據(jù)我國2012年?2018年水果人均占有量y(單位:kg)

和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖(2012年?2018年的年份代碼x分別為

1?7).

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；

77

⑵根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得?尸1074,ZR，7=45I7,求)，關(guān)于x的線性回歸方程；

?-11-1

(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.(只寫出結(jié)論)

附：線性回歸方程;=1+*中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

Z（內(nèi)一x）（另一j?一〃Xy

人尸I產(chǎn)1AA

h=----------------------------=----------------------,a=y~bx.

y.（X,—x）2￡4—〃x2

解(1)由散點(diǎn)圖可以看出，點(diǎn)大致分布在某一直線的附近，且當(dāng)X由小變大時(shí)，y也由小變

大,從而y與x之間是正相關(guān)關(guān)系.

(2)由題中數(shù)據(jù)可得x=刊+2+3+4+5+6+7)=4,

7=lX1074=^

?"一7x-y4517-7X-*-y^X4

Ai=l221

從而匕=-22222222-

7一l+2+3+4+5+64-7-7X428'

I>?-7A-2

從而所求y關(guān)于x的線性回歸方程為)，=愛"大+醫(yī)2

(3)由殘差圖可以看出，殘差對應(yīng)的點(diǎn)均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效

果較好.

課時(shí)精練

用基礎(chǔ)保分練

1.(2020?全國1)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,

。四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、8級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,

50元，20元；對于。級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承

接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由

哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，

整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的1UO件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪

個分廠承接加工業(yè)務(wù)？

解(1)由表可知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為4瑞0=0.4,乙分廠

加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為奇=0.28.

⑵甲分廠加工1(X)件產(chǎn)品的總利潤為

40X(90-25)+20X(50-25)+20X(20-25)-20X(504-25)=I500(元)，

所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為15元：

乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為

28X(90-20)+17X(50-20)+34X(20-20)-21X(50+20)=1000(元)，

所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為10元.

比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，廠家應(yīng)選擇日分廠承接加工業(yè)務(wù).

2.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如

圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［55,65),［65,75),［75,85］內(nèi)的頻率之比為

4：2：1.

⑴求這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)墻落在區(qū)間［75,85］內(nèi)的頻率；

(2)若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)

值位于［45,75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X,求X的分布列與均值.

解⑴設(shè)落在區(qū)間［75,85］內(nèi)的頻率為上，則落在區(qū)間［55,65),［65,75)內(nèi)的頻率分別為4x知2x,

依題意得(0.004+0.0l2+0.019+0.030)X10+4x+2x+x=1,

解得x=0.05.

所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間［75,85］內(nèi)的頻率為0.05.

⑵從該企業(yè)生產(chǎn)的該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，相當(dāng)于進(jìn)行了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以X服從

二項(xiàng)分布X?8(〃，〃)，其中〃=3.

由(1)得，落在區(qū)間［45,75)內(nèi)的頻率為0.3+0.2+0.1=06將頻率視為概率得〃=0.6.

因?yàn)閄的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)=C?X0.6°X0.43=0.064,P(X=l)=CiX0.6'X0.42=0.288,

P(X=2)=0X0.62X0.4'=0.432,P(X=3)=C^X0.63X0.40=0.216,

所以X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以X的均值為E(X)=0X0.064+1X0.288+2X0.432+3X0.216=1.8.

(或直接根據(jù)二項(xiàng)分布的均值公式得到￡(X)=〃〃=3X0.6=1.8)

3.(2019?全國川)某商場為梃高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客

對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

⑴分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;

⑵能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異？

附：屈=(a+以；，歌%c)(6+0

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的頻率為4器0=0.8,

因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

女顧客中對該商場服務(wù)滿意的頻率為第=0.6,

因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為06

100X(40X20—30X10)2

(2)片的觀測值&==4.762.

50X50X70X30

由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異.

國技能提升練

4.(2021?四川省成都市第七中學(xué)模擬)某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格

產(chǎn)品的質(zhì)量)，(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=c，S，c,為大于0的常數(shù)).按照某指

標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(O.3O20.388)內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品,

測得數(shù)據(jù)如下：

尺寸x(mm)384858687888

質(zhì)量Mg)16.818.820.722.42425.5

質(zhì)量與尺寸的比^0.4420.3920.3570.3290.3080.290

(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，求選中的2件均為優(yōu)等品的概率;

(2)根據(jù)測得的數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

66

E(Inwin>7)Ldnx,)Z(Iny/)Z(InXi)2

i=ii=lI=I/=!

75.324.618.3101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求)，關(guān)于X的非線性回歸方程.

附：對于樣本(s,〃i)(i=l,2,…，6),其回歸直線:=.?。+：的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公

式分別為：

X(Vi—V)(出一W)〃VU

A1=1產(chǎn)1AA_

b=------------------=--------------,a=u~bv.

z(5-0)2Yyi-nV2

I=IJ=I

解(1)由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比5￡(0.302,0.388),

則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，記為明b,c,

有3件為非優(yōu)等品，記為d,/,

現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，所有結(jié)果為(。，b),(〃，c),(a,d),(a,e)3，J),

(b,c),(b,d),(〃.e),(b,J),(r,d),(c,e),(e,f).(d,e),(4,J),(e.f),

選中的兩件均為優(yōu)等品的所有結(jié)果為3,份，(。，c),(b,c),

所以所求概率為去3=/1

⑵對y=c，兩邊取自然對數(shù)得Iny=lnc+Mnx,

AAAA

令3=lnxi,w；=lny/,則〃="。+。，且。=h[c,

由所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有

6____

“ZviUj-6uv75.3-24.6X18.3^60.271

b=分—6右=I0L4-24氏6=而=5'

r-l

A_A_18.3-;x24.6

a=u—bv=------------=I,

A

由a=lnc得c=e,

所以)，關(guān)于x的非線性回歸方程為;=ex°s.

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