專題2.1簡(jiǎn)單事件概率教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解概率的基本概念，清晰區(qū)分必然事件、不可能事件和Y九隨機(jī)事件，并熟練運(yùn)用概率公式P(A)=(其中n為所有可能出現(xiàn)m的結(jié)果數(shù)，m為事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù))計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率。2.學(xué)會(huì)通過(guò)列表法、樹狀圖法等方法，不重不漏地列舉出簡(jiǎn)單隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果，進(jìn)而求出相關(guān)事件的概率，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)理解概率的意義，掌握概率的基本概念和計(jì)算公式，并能準(zhǔn)確運(yùn)用公式計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率。這是學(xué)習(xí)概率知識(shí)的基礎(chǔ)，只有深刻理解概率的本質(zhì)，才能在后續(xù)學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。（2）熟練運(yùn)用列表法、樹狀圖法等方法，準(zhǔn)確找出隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果，以及所求事件發(fā)生的結(jié)果，進(jìn)而求出事件的概率。這些方法是解決復(fù)雜概率問(wèn)題的重要工具，對(duì)于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力至關(guān)重要。2.難點(diǎn)（1）理解概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系，在大量重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，體會(huì)頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)而理解概率的統(tǒng)計(jì)定義。學(xué)生容易混淆這兩個(gè)概念，需要通過(guò)大量的實(shí)例和試驗(yàn)，幫助學(xué)生理清兩者的關(guān)系。?（2）當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)，或者各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，如何合理地構(gòu)建概率模型，運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和綜合運(yùn)用能力要求較高，需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入分析問(wèn)題，找到合適的解決方法。知識(shí)點(diǎn)01事件的類型EQ\o\ac(○,1)必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.EQ\o\ac(○,2)不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.EQ\o\ac(○,3)不確定事件：許多事情我們無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）.說(shuō)明：

（1）必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.（2）事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①

必然事件發(fā)生的概率為1，即P(必然事件)=1；②

不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；③

如果A為不確定事件，那么0<P(A)<1【即學(xué)即練】1．下列事件中必然事件的個(gè)數(shù)有（

）①當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，x≥0；②打開(kāi)數(shù)學(xué)課本時(shí)剛好翻到第12頁(yè)；③13個(gè)人中至少有2A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】本題考查了必然事件，解題的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的概念．根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的概念對(duì)各事件逐個(gè)判斷即可．【詳解】①當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，x≥0②打開(kāi)數(shù)學(xué)課本剛好翻到第12頁(yè)，屬于隨機(jī)事件；③13個(gè)人中至少有2人的生日在同一個(gè)月，屬于必然事件；綜上，必然事件有①和③，共2個(gè)．故選：C．知識(shí)點(diǎn)02概率1.定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．（1）一個(gè)事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件發(fā)生的概率。（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值。2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=．（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。（2）在一次實(shí)驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè).（3）在一次實(shí)驗(yàn)中,各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。（5）一個(gè)事件的概率取值：0≤P（A）≤1當(dāng)這個(gè)事件為必然事件時(shí)，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0隨機(jī)事件的概率：如果A為隨機(jī)事件，則0＜P（A）＜1（6）可能性與概率的關(guān)系事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．2.求概率方法：（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時(shí)，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來(lái)，并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過(guò)用列表法和樹形圖法來(lái)輔助枚舉法。（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。（3）列樹形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。【即學(xué)即練】1．一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（

）A．16 B．13 C．12【答案】A【分析】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A【詳解】解：∵袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，∴摸出的球是白球的概率是13+2+1故選：A．2．在一個(gè)神秘的探索之旅中，有個(gè)特殊的項(xiàng)目正在籌備，這個(gè)項(xiàng)目叫“秘境探尋者”，項(xiàng)目組共10人，分兩批確定：第一批確定了7人，第二批確定了2名男生，1名女生，現(xiàn)從該項(xiàng)目組全體成員中隨機(jī)抽取1人來(lái)?yè)?dān)任極為重要的宣傳聯(lián)絡(luò)任務(wù)，若抽中男生的概率為35，則第一批次確定的人員中女生的人數(shù)為（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、概率的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)概率列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)第一批確定的女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為7-x．結(jié)合第二批確定的2男1女，總男生數(shù)為7-x+2=9-x，總?cè)藬?shù)為【詳解】解：設(shè)第一批確定的女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為7-x．結(jié)合第二批確定的2男1女，總男生數(shù)為7-由題意可得：9-x10=故選B．知識(shí)點(diǎn)03頻率與概率1、頻數(shù)：在多次試驗(yàn)中，某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率：某個(gè)事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比，叫做這個(gè)事件出現(xiàn)的頻率3、一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么，這個(gè)常數(shù)p就叫作事件A的概率，記為P（A）=P。【即學(xué)即練】1．如圖所示，是地理學(xué)科實(shí)踐課上第一小組同學(xué)在一張面積為30cm2的長(zhǎng)方形卡紙上繪制的廣東省政區(qū)圖，他們想了解該圖案的面積是多少，經(jīng)研究采取了以下辦法：將長(zhǎng)方形卡紙水平放置在地面上，在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果）．他們將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了如圖2所示的統(tǒng)計(jì)圖，由此估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（A．28.5cm2 B．21.5cm2 C．【答案】D【分析】本題考查利用頻率估算概率，幾何概率，先根據(jù)折線圖，利用頻率估算出概率，再利用幾何概率的計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在0.65左右，∴P=0.65∴不規(guī)則圖案的面積為30×0.65=19.5cm故選D．知識(shí)點(diǎn)04概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用概率與人們生活密切相關(guān)，能幫助我們對(duì)許多事件作出判斷和決策。【即學(xué)即練】1．為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，不斷提升青少年的審美和人文素養(yǎng)，我縣某學(xué)校舉辦了以“綻放藝術(shù)風(fēng)采、激發(fā)強(qiáng)國(guó)力量”為主題的藝術(shù)展演活動(dòng)．張老師從全校50個(gè)班中隨機(jī)抽取了A、B、C、D共4個(gè)班，對(duì)征集作品進(jìn)行了數(shù)量分析統(tǒng)計(jì)，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)張老師所調(diào)查的4個(gè)班共征集到作品件，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示A班的扇形周心角的度數(shù)為60°，則B班的扇形周心角的度數(shù)為，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)如果全校參展作品中有4件獲得一等獎(jiǎng)，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．現(xiàn)要從獲得一等獎(jiǎng)的作者中隨機(jī)抽取兩人去參加學(xué)校的總結(jié)表彰座談會(huì)，求恰好抽中一男一女的概率（要求用樹狀圖或列表法寫出分析過(guò)程）．【答案】(1)24，90°，見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）根據(jù)公式計(jì)算A所占的百分比，利用利用樣本容量=頻數(shù)÷所占百分比計(jì)算即可求出總數(shù)；根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義，計(jì)算度數(shù)即可；計(jì)算B班件數(shù)然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）畫樹狀圖計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，調(diào)查的總件數(shù)n=4÷B班的作品數(shù)為24-4-10-4=6（件），B班的扇形周心角的度數(shù)為：624補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖為：（2）設(shè)男生為B，女生為G1一共有12種等可能性，一男一女有6種等可能性，所以恰好抽中一男一女的概率612【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，畫樹狀圖計(jì)算概率，熟練掌握統(tǒng)計(jì)圖的意義，畫樹狀圖計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．題型01事件的分類【典例1】下列事件中，是必然事件的是（

）A．下周二不帶雨傘出門，被雨淋濕了身體B．籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次，投中籃框C．過(guò)一點(diǎn)能作出一條直線與已知直線平行D．將實(shí)心鐵球放入水中，鐵球下沉【答案】D【分析】本題考查了事件的分類，熟記必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解題關(guān)鍵．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】解：A．下周二不帶雨傘出門，被雨淋濕了身體是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B．籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次，投中籃框是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；C．過(guò)一點(diǎn)能作出一條直線與已知直線平行是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；D．將實(shí)心鐵球放入水中，鐵球下沉是必然事件，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式1】下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．拋擲一枚硬幣，正面向上B．有一匹馬奔跑的速度是70米/秒C．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)D．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，氣溫為2℃時(shí)，冰能熔化為水【答案】D【分析】本題考查了隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、拋擲一枚硬幣，正面向上，屬于隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；B、有一匹馬奔跑的速度是70米/秒，屬于隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；C、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，屬于隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；D、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，氣溫為2℃時(shí)，冰能熔化為水，屬于必然事件，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式2】用兩個(gè)均勻的骰子進(jìn)行擲骰子活動(dòng)，下列事件不是隨機(jī)事件的是（

）A．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù) B．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)差為6C．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)積為偶數(shù) D．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)商為1【答案】B【分析】本題主要考查了事件發(fā)生的可能性，解題的關(guān)鍵是會(huì)根據(jù)事件發(fā)生可能性的定義分析判斷．事件根據(jù)發(fā)生的可能性分為不可能事件、隨機(jī)事件、必然事件，不可能事件發(fā)生的可能性為0，必然事件發(fā)生的可能性為100%，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性介于0-100【詳解】解：A．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不合題意；B．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)差為6，是不可能事件，故此選項(xiàng)符合題意；C．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)積為偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不合題意；D．兩個(gè)骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)商為1，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式3】下列選項(xiàng)中的事件，屬于必然事件的是（

）A．若a是實(shí)數(shù)，則?a-C．兩數(shù)相加，和是正數(shù) D．在一個(gè)只裝有白球的袋中，摸出黑球【答案】A【分析】本題主要考查了必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件、實(shí)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件的概念是解題關(guān)鍵．根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件的定義、實(shí)數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、若a是實(shí)數(shù)，則?aB任意擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，則此項(xiàng)不符合題意；C、任意兩數(shù)相加，和是正數(shù)，是隨機(jī)事件，則此項(xiàng)不符合題意；D、在一個(gè)只裝有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，則此項(xiàng)不符合題意．故選：A．題型02判斷事件發(fā)生可能性大小【典例1】書架上有社會(huì)科學(xué)類圖書20本，教育類圖書5本，自然科學(xué)類圖書15本，文化藝術(shù)類圖書10本，隨機(jī)從該書架上取出一本書，則下列事件發(fā)生的可能性最大的是（

）A．取出的是社會(huì)科學(xué)類圖書 B．取出的是教育類圖書C．取出的是自然科學(xué)類圖書 D．取出的是文化藝術(shù)類圖書【答案】A【分析】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，如果一件事有n種可能，而這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)了m種情況，則事件A發(fā)生的概率為：P(根據(jù)等可能事件的概率公式，求出取出每種書的概率，然后比較即可【詳解】解：取出的是社會(huì)科學(xué)類圖書的概率是：2020+5+15+10取出的是教育類圖書的概率是：520+5+15+10取出的是自然科學(xué)類圖書的概率是：1520+5+15+10取出的是文化藝術(shù)類圖書的概率是：1020+5+15+10故可能性最大的為：取出的是社會(huì)科學(xué)類圖書，故選：A【變式1】春天游園會(huì)有一個(gè)游戲攤位，玩的人就可以從攤主提供的袋子里抽出一個(gè)彈珠．袋子里的彈珠如圖所示，當(dāng)抽到白色的彈珠就能得到獎(jiǎng)品．小剛玩這個(gè)游戲，得到獎(jiǎng)品的可能性為(

)A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大約50%【答案】B【分析】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握可能性大小的概念．根據(jù)可能性的大小概念求解即可．【詳解】解：由圖知，袋中白球個(gè)數(shù)明顯多于黑球，且個(gè)數(shù)超過(guò)一半，所以小剛玩這個(gè)游戲，得到獎(jiǎng)品的可能性為非常有可能，故選：B．【變式2】一個(gè)不透明的袋子中，裝有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和5個(gè)白球．從袋子中隨機(jī)摸球，甲認(rèn)為：若摸出1個(gè)球，則摸出白球的可能性大；乙認(rèn)為：若摸出3個(gè)球，則至少有1個(gè)白球．以下判斷正確的是（）A．甲乙都正確 B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲乙都錯(cuò)誤【答案】A【分析】本題考查的是可能性的大小，熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)可能性大小的定義解答即可．【詳解】解：∵有2個(gè)紅球和5個(gè)白球，∴若摸出1個(gè)球，則摸出白球的可能性大，故甲正確；若摸出3個(gè)球，則至少有1個(gè)白球，故乙正確．故選：A．【變式3】如圖，不透明的袋子裝有除顏色外，其他完全相同的10個(gè)小球，其中有9個(gè)白球，1個(gè)紅球．從袋子中拿出（填“紅”或“白”）球的可能性最大．【答案】白【分析】本題考查了可能性的大小，要求可能性的大小，只別求出各自所占的比例大小即可，求比例時(shí)，應(yīng)注意記出各自的數(shù)目．分別求出摸出各種顏色球的概率，即可比較出摸出何種顏色球的可能性大．【詳解】解：因?yàn)榇又杏?個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任意摸出一個(gè)球，摸出白球的概率是910摸出紅球的概率是110可見(jiàn)摸出白球的可能性大．故答案為：白．題型03概率意義的理解【典例3】“某商場(chǎng)舉辦有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的可能性相同，其中一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為0.001”這句話指的是（

）A．很有可能中一等獎(jiǎng) B．1000張獎(jiǎng)券中一定有一張是一等獎(jiǎng)C．可能中一等獎(jiǎng)，但可能性不是很大 D．1000個(gè)顧客中一定有一人中一等獎(jiǎng)【答案】C【分析】本題考查了概率的意義：表示事件發(fā)生的可能性大小，理解概率的意義是關(guān)鍵；根據(jù)概率的意義去分析判斷即可．【詳解】解：一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為0.001，說(shuō)明中一等獎(jiǎng)的可能性為0.001，顯然這個(gè)可能性很小，并不意味著一定中獎(jiǎng)；故選項(xiàng)C正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【變式1】某同學(xué)拋擲一枚硬幣，連續(xù)拋擲10次，都是反面朝上，則拋擲第11次出現(xiàn)正面朝上的概率是（

）A．1210 B．1211 C．【答案】C【分析】本題考查概率的意義，根據(jù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面向上的概率都是12，即可得到第11次出現(xiàn)正面朝上的概率．解題的關(guān)鍵是正確把握概率的定義：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面向上的概率都是12∴拋擲第11次出現(xiàn)正面朝上的概率是12故選：C．【變式2】“明天下雨的可能性為80%”這句話指的是（

A．明天一定下雨B．80%的地區(qū)下雨，20C．明天不一定下雨D．明天80%的時(shí)間下雨，20【答案】C【分析】本題考查概率的意義，理解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．根據(jù)相關(guān)概念判斷，即可解題．【詳解】解：“明天下雨的可能性為80%”故選：C．【變式3】某同學(xué)拋擲一枚硬幣，連續(xù)拋擲10次，都是反面朝上，則拋擲第11次出現(xiàn)正面朝上的概率是（

）A．1 B．12 C．110 D【答案】B【分析】本題考查概率的意義，根據(jù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面向上的概率都是12，即可得到第11次出現(xiàn)正面朝上的概率．解題的關(guān)鍵是正確把握概率的定義：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正面向上的概率都是12∴拋擲第11次出現(xiàn)正面朝上的概率是12故選：B．題型04根據(jù)概率公式計(jì)算概率【變式4】一個(gè)長(zhǎng)方體盒子中，裝了寫有“禮”字的卡片和寫有“泉”字的卡片共9張，它們的外觀完全相同，若從中隨機(jī)抽取一張，抽到寫有“禮”字卡片的概率為23，則袋子中寫有“泉”A．3張 B．6張 C．9張 D．2張【答案】A【分析】本題考查了概率公式的應(yīng)用，理解求概率的公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可．【詳解】解：袋子中寫有“泉”字的卡片有：9×1-故選：A．【變式1】一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球，5個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出黃球的概率是．【答案】1【分析】本題主要考查概率公式，直接根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出黃球的概率是52+3+5故答案為：12【變式2】在一個(gè)不透明的袋子中裝有只有顏色不同的8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球和5個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是紅球的概率是．【答案】3【分析】本題考查了概率公式，利用概率公式求解即可．【詳解】解：∵在一個(gè)不透明的袋子中裝有只有顏色不同的8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球和5個(gè)白球，∴摸出的球是紅球的概率是38故答案為：38【變式3】古語(yǔ)有言“逸一時(shí)，誤一世”，其意是教導(dǎo)我們要珍惜時(shí)光，切勿浪費(fèi)時(shí)間，浪費(fèi)青春，其數(shù)字諧音為“114514”，在這一組數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)字，選到數(shù)字“4”的概率為．【答案】1【分析】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：∵共有6個(gè)數(shù)字，其中4有2個(gè)，∴在這一組數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)字，選到數(shù)字“4”的概率為26故答案為：13題型05已知概率求數(shù)量【典例5】在一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)白球，n個(gè)黑球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球的概率為14，則n=【答案】6【分析】本題主要考查了已知概率求數(shù)量，摸到白球的概率等于白球的數(shù)量除以球的總數(shù)，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得，2n解得n=6經(jīng)檢驗(yàn)，n=6故答案為：6．【變式1】一個(gè)不透明布袋里只裝有n個(gè)紅球和3個(gè)白球（除顏色外其余都相同），從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為34，則n的值為【答案】9【分析】本題考查了概率的計(jì)算，分式方程的運(yùn)用，掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．確定紅球的數(shù)量，總的數(shù)量，根據(jù)任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為34【詳解】解：有n個(gè)紅球和3個(gè)白球（除顏色外其余都相同），任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為34∴n解得：n=9檢驗(yàn)，當(dāng)n=9∴n的值為9，故答案為：9．【變式2】在一個(gè)不透明的袋子中，裝有10個(gè)除顏色外其他均相同的小球．已知從袋中任意摸出一球是白球的概率為0.3，若袋子中再加入2個(gè)紅球，則摸出一球是白球的概率為．【答案】14/【分析】本題考查了概率公式，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意先求得白球有3個(gè)，進(jìn)而根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】解：∵共有10個(gè)小球，任意摸出一球是白球的概率為0.3，∴白球有0.3×10=3（個(gè)），若袋子中再加入2個(gè)紅球，∴摸出一球是白球的概率為為310+2故答案為：14【變式3】乒乓球館有20盒白色乒乓球，但在整理過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)其中混入了若干黃色乒乓球．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)后，發(fā)現(xiàn)每盒白色乒乓球中最多混入了2個(gè)黃色乒乓球，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：黃色乒乓球數(shù)012盒數(shù)8mn(1)事件“從20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中沒(méi)有黃色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“隨機(jī)”）；(2)從20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黃色乒乓球的概率；(3)從20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1個(gè)黃色乒乓球的概率為14，求m和n【答案】(1)隨機(jī)(2)3(3)m=5，【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件的定義、概率公式的應(yīng)用，熟練掌握隨機(jī)事件的概念和概率公式（P(A)=mn，其中n是總情況數(shù)，m（1）根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義，判斷“從20盒中任意取1盒，盒中沒(méi)有黃色乒乓球”這一事件的類型，看其是否確定會(huì)發(fā)生或不發(fā)生．（2）先求出有黃色乒乓球的盒數(shù)，再根據(jù)概率公式“概率=所求情況數(shù)÷總情況數(shù)”計(jì)算抽取到有黃色乒乓球的概率．（3）利用“盒中有1個(gè)黃色乒乓球的概率為14”，結(jié)合概率公式列出關(guān)于m的方程，求出m后，再根據(jù)總盒數(shù)為20，算出n的值【詳解】（1）解：因?yàn)?0盒白色乒乓球中，有的盒有黃色乒乓球，有的盒沒(méi)有，所以“從20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中沒(méi)有黃色乒乓球”這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，根據(jù)隨機(jī)事件的定義，該事件是隨機(jī)事件．故答案為：隨機(jī)．（2）解：“盒中有黃色乒乓球”的盒數(shù)為20-8=12（盒），所以所抽取的盒中有黃色乒乓球的概率為1220（3）解：因?yàn)椤昂兄杏?個(gè)黃色乒乓球”的概率為14，所以m即m=5，所以n題型06幾何概率【典例6】小鎮(zhèn)和小海玩擲飛鏢的游戲，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的矩形靶子ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，小鎮(zhèn)投擲的1次飛鏢落在陰影部分的概率是（A．14 B．13 C．12【答案】C【分析】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，概率計(jì)算公式，從圖中找到題目中所要求的信息．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．將圖形分為矩形AEFD和矩形CBEF兩部分，可得三角形ADG是矩形AEFD面積的一半，三角形BCH是矩形CBEF面積的一半，從而可得飛鏢落在陰影部分的概率．【詳解】解：∵E,F分別是矩形ABCD的兩邊AB,∴∠BEF∴四邊形AEFD和四邊形CBEF是矩形，∴S△∴S陰影∴飛鏢落在陰影部分的概率是12故選：C．【變式1】如圖所示的均勻圓盤中，指針落在每一個(gè)數(shù)上的機(jī)會(huì)均等，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，指針落在偶數(shù)的概率是．【答案】25/【分析】本題考查了概率的計(jì)算公式，正確理解概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，共有5種等可能結(jié)果，其中指針落在偶數(shù)有2和4兩種等可能性結(jié)果，運(yùn)用公式計(jì)算，即得答案．【詳解】在如圖所示的均勻圓盤中，指針落在每一個(gè)數(shù)上的機(jī)會(huì)均等，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，共有5種等可能結(jié)果，其中指針落在偶數(shù)有2和4兩種等可能性結(jié)果，所以指針落在偶數(shù)的概率是25故答案為：25【變式2】如圖，正六邊形ABCDEF是由6個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，隨機(jī)地往六邊形ABCDEF內(nèi)投一粒米，落在陰影區(qū)域的概率為．【答案】1【分析】本題考查了簡(jiǎn)單事件的概率，關(guān)鍵是求得所有事件的可能結(jié)果數(shù)，某個(gè)事件發(fā)生時(shí)的可能結(jié)果數(shù)．根據(jù)概率的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：正六邊形ABCDEF是由6個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，隨機(jī)地往六邊形ABCDEF內(nèi)投一粒米，落在陰影區(qū)域有3種可能；故一粒米落在陰影區(qū)域的概率為：36故答案為：1【變式3】如圖，在?ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，直線EF過(guò)O點(diǎn)，交CD、AB于點(diǎn)E、F．若向?ABCD內(nèi)丟一顆小石子，則小石子落在陰影部分的概率是【答案】14/【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，幾何概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得△OED≌△OFB，則陰影部分面積等于△【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OD=OB，∵∠EOD∴△OED∴S△∴陰影部分面積等于△OAB的面積，即為平行四邊形面積的1∴小石子落在陰影部分的概率是14故答案為：14題型07列表法或樹狀圖求概率【典例7】茂陵博物館是以漢武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等為主的西漢斷代史博物館，館藏文物豐富．館內(nèi)文創(chuàng)店新推出四款特色明信片(除畫面不同外，其他完全相同)，分別是：A．馬踏匈奴，B．西漢鎏金馬，C．四神紋玉鋪首，B．四神紋銅染器，店員將這四款明信片各取一張背面朝上洗勻后放于展示臺(tái)上．(1)小茂隨機(jī)抽取一張明信片，則抽到“B．西漢鎏金馬”的概率是____________；(2)小茂想隨機(jī)抽取兩張明信片(先隨機(jī)抽取一張，不放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張)，一張送給朋友，一張自己收藏．請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求他抽取的兩張明信片中含有C．四神紋玉鋪首的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本題主要考查了概率公式、畫樹狀圖求概率等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）直接運(yùn)用概率公式求解即可；（2）先根據(jù)題意畫出樹狀圖確定所有等可能結(jié)果數(shù)和滿足題意的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】（1）總共有四張?zhí)厣餍牌?，“B．西漢鎏金馬”是其中一張，∴抽到“B．西漢鎏金馬”的概率是14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：由上圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中含有C．四神紋玉鋪首的結(jié)果有6種，∴P(抽取的兩張明信片中含有C．四神紋玉鋪首)=6【變式1】為了解九年級(jí)學(xué)生的體能狀況，體育老師隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將測(cè)試成績(jī)分為“優(yōu)秀，良好，合格，待合格”四個(gè)等級(jí)．請(qǐng)根據(jù)下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“合格”部分所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)．(2)若從“待合格”的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，作為重點(diǎn)幫扶對(duì)象，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法，求所抽取的兩人恰好都是女生的概率．【答案】(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析，72°(2)1【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取所需信息是解題關(guān)鍵．（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知“待合格”與“優(yōu)秀”占總體的一半，條形統(tǒng)計(jì)圖可知“待合格”人數(shù)為4，“優(yōu)秀”人數(shù)為36，求出抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再求出“良好”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，再利用百分比計(jì)算“合格”部分所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)即可；（2）先畫出樹狀圖確定所有等可能結(jié)果數(shù)以及兩人恰好都是女生的情況數(shù)，再運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵扇形統(tǒng)計(jì)圖可知“待合格”與“優(yōu)秀”占總體的一半，條形統(tǒng)計(jì)圖可知“待合格”人數(shù)為4，“優(yōu)秀”人數(shù)為36，∴被調(diào)查總?cè)藬?shù)為4+36×2=80∴“良好”的人數(shù)為80-36-16-4=24（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“合格”部分所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)為1680（2）解：畫出樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的兩人恰好都是女生的結(jié)果數(shù)為2．所以抽取的兩人恰好都是女生的概率為212【變式2】．一個(gè)不透明的口袋里裝有四張卡片，卡片上分別標(biāo)有漢字“活”“力”“浙”“江”，除漢字不同之外，卡片沒(méi)有任何區(qū)別．(1)若從中任取一張卡片，求卡片上標(biāo)有的漢字恰好是“活”的概率．(2)若從中任取一張卡片，不放回，再?gòu)闹腥稳∫粡埧ㄆ?，?qǐng)用畫樹狀圖或列表法，求取出的兩張卡片上的漢字恰能組成“浙江”的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．1由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上標(biāo)有的漢字恰好是“活”的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．2列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及取出的兩張卡片上的漢字恰能組成“浙江”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：1由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上標(biāo)有的漢字恰好是“活”的結(jié)果有1種，∴卡片上標(biāo)有的漢字恰好是“活”的概率為1（2）列表如下：活力浙江活(活，力)(活，浙)(活，江)力(力，活)(力，浙)(力，江)浙(浙，活)(浙，力)(浙，江)江(江，活)(江，力)(江，浙)共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩張卡片上的漢字恰能組成“浙江”的結(jié)果有：(浙，江)，(江，浙)，共2種，∴取出的兩張卡片上的漢字恰能組成“浙江”的概率為212=【變式3】如圖，圓形轉(zhuǎn)盤的紅色扇形和藍(lán)色扇形的圓心角都是90°，指針繞著圓心自由轉(zhuǎn)動(dòng)2

(1)直接寫出第一次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率；(2)求指針一次落在紅色區(qū)域，另一次落在黃色區(qū)域的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練利用列表法求概率是解題的關(guān)鍵．（1）用藍(lán)色區(qū)域得面積除以圓形轉(zhuǎn)盤得面積即可；（2）把圓形轉(zhuǎn)盤分成相同的4等份，其中黃色扇形占2份，畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出指針一次落在紅色區(qū)域，另一次落在黃色區(qū)域的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】（1）解：由題意第一次轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針落在藍(lán)色區(qū)域的概率為14（2）解：把黃色區(qū)域看作兩份，畫樹狀圖為：

，共有16種等可能的結(jié)果，其中指針一次落在紅色區(qū)域，另一次落在黃色區(qū)域的結(jié)果數(shù)為4，所以指針一次落在紅色區(qū)域，另一次落在黃色區(qū)域的概率為4164題型08求某事件的頻率【典例8】2024年3月12日，是我國(guó)的第46個(gè)植樹節(jié)，今年植樹節(jié)的主題是“共同呵護(hù)地球家園，筑造美麗未來(lái)”．下表是某地區(qū)在植樹節(jié)期間，不同批次種植楊樹的成活率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)植樹節(jié)期間，種植楊樹的成活率大約為（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次種植數(shù)量200200200200200成活數(shù)量194193192196195成活頻率0.9700.9650.9600.9800.975【答案】0.97【分析】本題考查了頻率．熟練掌握頻率的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)194+193+192+196+1955×200【詳解】解：由題意知，種植楊樹的成活率大約為194+193+192+196+1955×200故答案為：0.97．【變式1】在一個(gè)樣本中，50個(gè)數(shù)據(jù)分別落在5個(gè)小組內(nèi)，第1，2，3，5小組的頻數(shù)分別是A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】D【分析】根據(jù)各組的頻數(shù)可求出第4小組的頻數(shù)，再根據(jù)頻率的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：50個(gè)數(shù)據(jù)分別落在5個(gè)小組內(nèi)，第1，2，∴第4小組的頻數(shù)為50-2-8-15-5=20，∴第4小組頻率為20÷50=0.4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率的計(jì)算方法，掌握頻率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】在一個(gè)不透明的口袋中，放置6個(gè)黃球、1個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球，這些小球除顏色外其余均相同，課外興趣小組每次摸出一個(gè)球記錄下顏色后再放回，并且統(tǒng)計(jì)了黃球出現(xiàn)的頻率，如圖，則n的值是（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】B【分析】先根據(jù)圖得到黃球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.6附近，再根據(jù)概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【詳解】解：由圖可知，經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，黃球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.6附近，∴6解得n=3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了用頻率估計(jì)概率及用概率求數(shù)量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率公式．【變式3】如圖，某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，繪制的頻率分布折線圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)是（

）A．從裝有一套四大名著的盒子里任取一本書，取到的是《西游記》B．拋兩枚硬幣，一枚正面朝上，一枚反面朝上C．?dāng)S一個(gè)正六面體的骰子，朝上點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)D．一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是紅球【答案】C【分析】本題考查了頻率估算概率，理解圖示，掌握概率的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)圖示信息，根據(jù)頻率估算概率，概率的計(jì)算進(jìn)行判定即可．【詳解】解：根據(jù)題意，大量試驗(yàn)中，頻數(shù)穩(wěn)定在0.3~0.4之間，A、從裝有一套四大名著的盒子里任取一本書，取到的是《西游記》的概率為14B、拋兩枚硬幣，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是24C、擲一個(gè)正六面體的骰子，朝上點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率是26D、一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是紅球23故選：C．題型09由頻率估計(jì)概率【典例9】某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，其成績(jī)?nèi)绫恚和痘@次數(shù)1050100200投中次數(shù)94491180頻率0.900.880.910.90則這名運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約是（精確到0.01）．【答案】0.90【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．熟練掌握利用頻率估計(jì)概率的方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由成績(jī)表可知，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在0.90附近，則這名運(yùn)動(dòng)員定點(diǎn)投籃一次，投中的概率約是0.90，故答案為：0.90．【變式1】如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果．可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是．（結(jié)果精確到0.01）．【答案】0.62【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大，頻率趨于穩(wěn)定，此時(shí)可以頻率來(lái)表示概率．用頻率估計(jì)概率作答即可．【詳解】解：由題意知，估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.62，故答案為：0.62．【變式2】如圖，在邊長(zhǎng)為10cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑白部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.45左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總面積為cm【答案】45【分析】本題考查了用頻率來(lái)估計(jì)概率，解題關(guān)鍵是理解頻率與概率的關(guān)系與概率計(jì)算公式，明確題中黑色部分的面積與正方形的面積比等于概率是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算正方形的面積，再建立方程求解即可．【詳解】解：邊長(zhǎng)為10cm正方形面積為10設(shè)黑色部分的總面積為xcm∴x100∴x=45∴黑色部分的總面積為45故答案為：45．【變式3】某種水稻種子在相同條件下發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下：每批粒數(shù)m100500800100020005000發(fā)芽的頻數(shù)n9444272890217984505發(fā)芽的頻率n0.9400.8840.910a0.8990.901(1)表中a的值為_(kāi)_________；(2)該種水稻種子發(fā)芽的概率的估計(jì)值為_(kāi)_________（精確到0.1）；(3)試用（2）中概率的估計(jì)值，估算10千克該種水稻種子中能發(fā)芽的種子有多少千克？【答案】(1)0.902(2)0.9(3)9千克【分析】（1）用902÷1000計(jì)算即可；（2）根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下的頻率穩(wěn)定值即為概率的近似值，即得出答案；（3）用10千克乘以（2）所得概率即可．【詳解】（1）解：a=故答案為：0.902；（2）解：由表格可知水稻種子的發(fā)芽頻率在0.9左右波動(dòng)，∴該種水稻種子發(fā)芽的概率的估計(jì)值為0.9．故答案為：0.9；（3）解：10×0.9=9千克．答：估算10千克該種水稻種子中能發(fā)芽的種子有9千克．【點(diǎn)睛】本題考查求頻率，由頻率估計(jì)概率，由概率求數(shù)量．理解大量反復(fù)試驗(yàn)下的頻率穩(wěn)定值即為概率的近似值是解題關(guān)鍵．題型10概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例10】請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩個(gè)事件發(fā)生的概率，回答下列問(wèn)題：(1)甲事件：在一個(gè)口袋中放入100個(gè)除顏色外形狀大小都相同的球，其中99個(gè)紅球，1個(gè)白球．則摸到白球的事件屬于______（填選項(xiàng)）；A．必然事件

B．不可能事件

C．隨機(jī)事件(2)乙事件：如圖是一個(gè)被等分為8個(gè)扇形的轉(zhuǎn)盤，3個(gè)扇形涂成紅色，3個(gè)扇形涂成藍(lán)色，其余2個(gè)扇形涂成白色．小穎和小琪想利用這個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲，若轉(zhuǎn)盤指針指到紅色區(qū)域，則小穎贏；若轉(zhuǎn)盤指針指到白色區(qū)域，則小琪贏．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)C(2)這個(gè)游戲不公平．理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了事件的分類，游戲的公平性，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件，在一定條件下，可能發(fā)生也有可能不會(huì)發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件，在一定條件下一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件，據(jù)此求解即可；（2）分別計(jì)算出小穎和小琪贏的概率，比較即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，摸到白球的事件屬于隨機(jī)事件，故選：C；（2）解：這個(gè)游戲不公平．理由如下：∵P（小穎贏）=38，P∴P（小穎贏）>∴小穎贏的可能性大，這個(gè)游戲不公平【變式1】小明和小亮用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成三個(gè)面積相等的扇形）做游戲，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤各一次，若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮勝．(1)小明轉(zhuǎn)一次A盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字1的概率是______．(2)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？通過(guò)畫樹狀圖或列表的方式說(shuō)說(shuō)你的理由．【答案】(1)1(2)不公平，見(jiàn)解析【分析】本題考查游戲的公平性．熟練掌握游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平，是解題的關(guān)鍵．（1）直接計(jì)算，即可求解；（2）先畫樹狀圖展示共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為5，兩次數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為4，所以小明勝的概率為59，小亮勝的概率為49，然后通過(guò)比較概率大小判斷這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平；解題的關(guān)鍵是掌握：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為【詳解】（1）轉(zhuǎn)一次A盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字1的概率：13（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平，理由如下：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)5，兩次數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為4，∴小明勝的概率=59，小亮勝的概率=4故這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．【變式2】2024巴黎奧運(yùn)會(huì)，鄭欽文獲得了網(wǎng)球女單的冠軍，創(chuàng)造了歷史時(shí)刻，也在國(guó)內(nèi)批起一股網(wǎng)球熱.某市準(zhǔn)備為青少年舉行一次網(wǎng)球知識(shí)講座，小明的爸爸買到一張門票，但小明和妹妹都想去，那么誰(shuí)去就成了問(wèn)題，小明想到一個(gè)辦法：他拿出一個(gè)裝有質(zhì)地、大小相同的2x個(gè)紅球與3(1)爸爸說(shuō)這個(gè)辦法不公平，請(qǐng)你用概率的知識(shí)解釋原因；(2)若爸爸發(fā)現(xiàn)將袋子里的2個(gè)白球換成紅球，然后用小明提出的辦法來(lái)確定誰(shuí)去聽(tīng)講座就是公平的，問(wèn)袋子中原來(lái)有紅球和白球各有幾個(gè)？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)原來(lái)有紅球8個(gè)，白球有12個(gè)【分析】此題考查了概率公式和游戲公平性問(wèn)題．（1）根據(jù)概率公式分別求得妹妹與小明去聽(tīng)講座的概率，概率相等就公平，否則就不公平；（2）根據(jù)題意摸出紅球的概率為12【詳解】（1）解：∵2x個(gè)紅球與3∴摸出的是紅球的概率為2摸出的是白球的概率為3x25∴這個(gè)辦法不公平（2）解：依題意，2解得：xx=4則2x∴原來(lái)有紅球8個(gè)，白球有12個(gè)【變式3】叮叮和當(dāng)當(dāng)玩紙牌游戲：如圖是同一副撲克牌中的3張黑桃牌的正面，將這3張牌正面朝下洗勻后放在桌上，叮叮先從中抽出一張，當(dāng)當(dāng)從剩余的2張牌中也抽出一張，比較兩人抽出的牌面上的數(shù)字，數(shù)字大者獲勝，該游戲是否公平？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說(shuō)明理由．【答案】該游戲公平，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．熟練掌握列表法與樹狀圖法是本題的關(guān)鍵．列表展示所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出當(dāng)當(dāng)抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)和叮叮抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)，然后計(jì)算她們獲勝的概率，再根據(jù)概率的大小判斷該游戲是否公平．【詳解】解：公平．理由如下：列表如下：36736,37,363,67,673,76,7共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中當(dāng)當(dāng)抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)為3，叮叮抽出的牌面上的數(shù)字大的結(jié)果數(shù)為3，所以當(dāng)當(dāng)獲勝的概率=叮叮獲勝的概率=3所以該游戲公平．一、單選題1．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．若實(shí)數(shù)a<0，則a>0C．若x>y，則-【答案】A【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．根據(jù)必然事件的概念（必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件）可判斷正確答案．【詳解】解：A、若實(shí)數(shù)a<0，則aB、下雨天，每個(gè)人都打著雨傘，是隨機(jī)事件；C、若x>y，則D、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放廣告，是隨機(jī)事件；故選：A．2．一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．摸出黑色球的可能性最大． B．摸出白色球的可能性最大C．摸出紅色球的可能性最大． D．摸出黑色、白色、紅色球的可能性一樣大．【答案】C【分析】本題考查的是可能性大小的判斷．用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．根據(jù)題意得到相應(yīng)的可能性，比較即可．【詳解】解：盒中共有黑球2個(gè)、白球3個(gè)、紅球4個(gè)，總數(shù)為2+3+4=9，摸到白球的可能性為39=13，摸到黑球的可能性為所以摸到紅球的可能性最大，故選：C．3．若兩張撲克牌的牌面數(shù)字相同，則可以組成一對(duì)．如圖，是甲、乙同學(xué)手中的撲克牌．若甲從乙手中隨機(jī)抽取一張，恰好與手中牌組成一對(duì)的概率是（

）A．14 B．13 C．12【答案】C【分析】本題考查求概率，根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：共4張牌，其中能與手中牌組成一對(duì)的有5，8，共2種情況，∴P=故選C．4．一只不透明的袋子中，裝有3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為35，則紅球的個(gè)數(shù)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)概率求數(shù)量，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)紅球有x個(gè)，根據(jù)摸到白球的概率公式列方程求解．【詳解】解：設(shè)紅球有x個(gè)，則袋中總球數(shù)為x+3∴摸到白球的概率為33+根據(jù)題意得：33+解得：x=2因此，紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：B．5．如果一個(gè)兩位數(shù)中兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值不超過(guò)3，則稱該兩位數(shù)為“幸運(yùn)數(shù)”．用3，6，9這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，恰好是“幸運(yùn)數(shù)”的概率為（

）A．16 B．13 C．12【答案】D【分析】本題主要考查了概率計(jì)算，新定義運(yùn)算，首先列出所有可能的無(wú)重復(fù)兩位數(shù)，再根據(jù)“幸運(yùn)數(shù)”的定義篩選符合條件的數(shù)，最后計(jì)算概率即可．【詳解】解：用3、6、9組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有6種可能：36、39、63、69、93、96，判斷每個(gè)數(shù)是否為“幸運(yùn)數(shù)”（兩數(shù)字之差的絕對(duì)值≤3）：36：6-3=339：9-3=663：6-3=369：9-6=393：9-3=696：9-6=3符合條件的數(shù)有4個(gè)（36、63、69、96），故概率為46故選：D．6．某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”B．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上D．用2，3，4三個(gè)數(shù)字隨機(jī)排成一個(gè)三位數(shù)，排出的數(shù)是偶數(shù)【答案】B【分析】本題考查“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)、求隨機(jī)事件的概率等知識(shí)，由題意確定試驗(yàn)出現(xiàn)某種結(jié)果的概率約為0.15，再逐項(xiàng)求出各個(gè)隨機(jī)事件的概率比較即可得到答案．理解題意，掌握隨機(jī)事件概率的求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知，該事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在0.15附近，即概率約為0.15，A、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率為13B、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率為16C、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為12D、用2，3，4三個(gè)數(shù)字隨機(jī)排成一個(gè)三位數(shù)，排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為23故選：B．二、填空題7．如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在B區(qū)域的概率是．【答案】1【分析】本題考查了幾何概率，根據(jù)B區(qū)域的圓心角為120°得出B區(qū)域占整個(gè)轉(zhuǎn)盤的比值，即可求出指針落在B區(qū)域的概率．【詳解】解：由轉(zhuǎn)盤上的度數(shù)得出B區(qū)域的圓心角為120°，則120°360°即指針落在B區(qū)域的概率是13故答案為：18．小明準(zhǔn)備在暑假到重慶游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、長(zhǎng)江索道、山城步道這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)去游玩，他選取背面完全相同的四張卡片，在正面分別寫上景點(diǎn)名，然后背面向上，洗勻后隨機(jī)抽取兩張，則小明抽中洪崖洞和長(zhǎng)江索道的概率是．【答案】1【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到小明抽中洪崖洞和長(zhǎng)江索道的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：用A、B、C、D分別表示洪崖洞、解放碑、長(zhǎng)江索道、山城步道這四個(gè)景點(diǎn)，列表如下：ABCDABCDBACDCABDDABC由表格可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小明抽中洪崖洞和長(zhǎng)江索道的結(jié)果數(shù)有2種，∴小明抽中洪崖洞和長(zhǎng)江索道的概率為212故答案為：169．在一個(gè)不透明的袋中裝有32個(gè)黃球，16個(gè)紫球和24個(gè)藍(lán)球，從中任意摸出一個(gè)球，摸到不是紫球的概率為．【答案】7【分析】本題考查了概率公式，根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：摸到不是紫球的概率為32+2432+16+24故答案為：7910．如圖，這是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率是．【答案】2【分析】考查了概率的求法，解題關(guān)鍵是利用了“概率=相應(yīng)的面積與總面積之比”進(jìn)行求解．根據(jù)陰影區(qū)域所在扇形圓心角的度數(shù)除以360°進(jìn)行求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：指針落在陰影區(qū)域的概率是360°-120°360°故答案為：2311．苗圃技術(shù)人員對(duì)某種花苗移植的成活情況進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查數(shù)據(jù)整理后結(jié)果如表所示：移植總數(shù)n4007501500350060009000成活數(shù)m3696621335320354308073成活的頻率m0.9230.8830.8900.9150.9050.897根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這種花苗移植的成活概率為．（精確到0.1）【答案】0.9【分析】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不等增加，這種花苗種植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右，∴估計(jì)這種花苗移植的成活概率為0.9，故答案為：0.9．12．一個(gè)密閉不透明的盒子里有若干個(gè)白球，在不許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下，為估計(jì)白球數(shù)，小剛向其中放入8個(gè)黑球搖勻后，從中隨意摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估計(jì)盒中大約有白球個(gè)【答案】32【分析】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)概率求數(shù)量；根據(jù)“黑球數(shù)量÷黑白球總數(shù)=黑球所占比例”來(lái)列等量關(guān)系式求解．【詳解】解：設(shè)盒子里有白球x個(gè)，根據(jù)題意得：8x解得：x=32經(jīng)檢驗(yàn)得x=32答：盒中大約有白球32個(gè)．故答案為：32．13．如圖，兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤A，B分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是2，5，9，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是3，6，8（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同之外，其他完全相同）．小美撥動(dòng)A轉(zhuǎn)盤上的指針，小麗撥動(dòng)B轉(zhuǎn)盤上的指針，使之旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方獲勝（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次），則（填“小美”或“小麗”）獲勝的可能性大．【答案】小麗【分析】考查了判斷游戲公平性．解題關(guān)鍵抓住判斷游戲公平性要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．先用列表法求得各自獲勝的概率，再進(jìn)行比較進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：列表得：

B

A25932，35，39，362，65，69，682，85，89，8共有9種可能，其中小美獲勝的次數(shù)為4，小麗獲勝的次數(shù)為5，∴P小美∴P小美∴小麗的獲勝可能性較大．故答案為：小麗．14．在一個(gè)瓶子中裝有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的總數(shù)，他進(jìn)行了如下操作：小明先從瓶子中倒出20粒豆子，接著小明給這些豆子全部標(biāo)上記號(hào)，然后把這些被標(biāo)上記號(hào)的豆子又重新裝回瓶子中，充分搖勻后又從瓶子中倒出了一些豆子，發(fā)現(xiàn)倒出的30粒豆子中，被標(biāo)記的豆子有5粒．小明通過(guò)計(jì)算得出瓶子中豆子的總數(shù)為粒．【答案】120【