邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法圖形法化簡(jiǎn)

公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：目前尚無一套完整的方法，結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡(jiǎn)法對(duì)最終化簡(jiǎn)結(jié)果難以確定等缺點(diǎn)?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫出來的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡(jiǎn)法，同時(shí)它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法。卡諾圖的基本組成單元是最小項(xiàng)，所以我們先討論最小項(xiàng)。

（1）最小項(xiàng)具備以上條件的乘積項(xiàng)共八個(gè)，我們稱這八個(gè)乘積項(xiàng)為三變量A、B、C的最小項(xiàng)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)邏輯變量，若由這三個(gè)邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項(xiàng)：

①每個(gè)乘積項(xiàng)都只含三個(gè)因子，且每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；

②每個(gè)變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。AB是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？

推廣：一個(gè)變量?jī)H有原變量和反變量?jī)煞N形式，因此N個(gè)變量共有2N個(gè)最小項(xiàng)。3.2.1最小項(xiàng)的定義與性質(zhì)最小項(xiàng)的定義:對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。三變量最小項(xiàng)真值表（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)

①對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時(shí)，該最小項(xiàng)均為0；

②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積恒為0；

③變量全部最小項(xiàng)之和恒為1。最小項(xiàng)也可用“mi”表示，下標(biāo)“i”即最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)方法：把最小項(xiàng)取值為1所對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

(3)最小項(xiàng)的編號(hào)

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說一個(gè)邏輯函數(shù)只有一種最小項(xiàng)表達(dá)式。例：將Y=AB+BC展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：或：3.2.2邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式3.2.3用卡諾圖表示邏輯函數(shù)1.卡諾圖

（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個(gè)小方塊（最小項(xiàng)）；

②最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng),只有一個(gè)變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項(xiàng)的幾何相鄰性，其優(yōu)點(diǎn)是十分突出的。m0m1DDLm0m1DL01DL一變量卡諾圖圖3.2.1（2）卡諾圖的畫法二變量卡諾圖圖3.2.20132CDLCDCDCDCDCDL0123D，，，三變量卡諾圖的畫法

三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰正確認(rèn)識(shí)卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個(gè)封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對(duì)角線上不相鄰。

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個(gè)小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。例已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。邏輯函數(shù)Y的真值表2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)ABCY00000011010101101001101011001111

（2）從最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

（3）從與－或表達(dá)式畫卡諾圖把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的的公因子）所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11

例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=0111

（4）從一般形式表達(dá)式畫卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，則可畫出卡諾圖。

（1）卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律合并相鄰最小項(xiàng)，可消去變量。合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量；合并四個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量；合并八個(gè)最小項(xiàng)，可消去三個(gè)變量。合并2N個(gè)最小項(xiàng)，可消去N個(gè)變量。3.在卡諾圖中合并最小項(xiàng)的規(guī)律

由于卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)中，只有一個(gè)變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項(xiàng)，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個(gè)或多個(gè)變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡(jiǎn)化。兩個(gè)最小項(xiàng)合并

m3m11BCD四個(gè)最小項(xiàng)合并

八個(gè)最小項(xiàng)合并

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；

②合并相鄰最小項(xiàng)（圈組）；

③從圈組寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則

①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)；

②每個(gè)取值為1的相鄰最小項(xiàng)至少必須圈一次，但可以圈多次；

③圈的個(gè)數(shù)要最少（與項(xiàng)就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。3.2.4用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

C．從圈組寫最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法：

①將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示

圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項(xiàng)相或，便得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A相鄰BCABCABD例：化簡(jiǎn)圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈11223344圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；

③最后圈大圈；

④檢查：每個(gè)圈中至少有一個(gè)1未被其它圈圈過。例3.2.2一個(gè)邏輯電路的輸入是邏輯變量A、B、C、D，其真值表如表3.2.3所示，用卡諾圖法求化簡(jiǎn)的與—或表達(dá)式及與非—與非表達(dá)式。ABCDLABCDL00001100010001010010001001010100110101100100111001010111101001100111000111011111表3.2.3例3.2.2真值表1000110010101101LABDC例3.2.2的卡諾圖例3.2.4：設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能判斷一位十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，即，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為0。對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)輸入變量輸出LABCD000000100011200100300111401000501011601100701111810000910011（其余6項(xiàng)為無關(guān)項(xiàng)）表3.2.4例3.2.4真值表解：

01100110

01

LABDC例3.24的卡諾圖利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟（小結(jié)）⑴

將邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)表達(dá)式。⑵

按最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含的最小項(xiàng)，其對(duì)應(yīng)方格填１，其余方格添０。⑶

畫包圍圈，即將相鄰為1的方格畫在圈內(nèi)，但每一包圍圈內(nèi)只應(yīng)包含2n個(gè)方格。⑷